绝对值不等式

2.两个等价关系 (1)|x|<a⇔-a<x<a(a >0). (2)|x|>a⇔x<-a或x>a(a >0). 3.一个关键 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.
4.一个口诀 解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀 “找零点,分区间,逐个解,并起来”.
【教材母题变式】
1.已知x,y∈R,且|x+y|≤
当x∈(-∞,-1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,
且g(-1)=f(-1)=2. 综上所述,f(x)≥g(x)的解集为 [1, 17 1].
2
②依题意得:-x2+ax+4≥2在[-1,1]恒成立.
即x2-ax-2≤0在[-1,1]恒成立.
则只需
12 a
12
•1 2
a 1
解0，得-1≤a≤1.
≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a-1|≤1+|2a|+1 =2(|a|+1), 即|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
【技法点拨】 绝对值不等式性质的应用 利用不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R)和|a-b|≤|ac|+|c-b|(a,b∈R)，通过确定适当的a,b,利用整体思 想或使函数、不等式中不含变量,可以(1)求最值. (2)证明不等式.
解得x<3,
又因为x<-2,所以x<-2;
(ⅱ)当-2≤x≤ 时1 ,f(x)=1-2x-x-2=-3x-1,
2
令-3x-1>0,解得x<-1 ,
3
又因为-2≤x≤ 1,所以-2≤x<- ; 1
2
3
(ⅲ)当x> 1时,f(x)=2x-1-x-2=x-3,
2
令x-3>0,解得x>3,又因为x>1 ,所以x>3.
3
(2)|f(2x)|+|g(x)|=|2x-2|+|2x-5|≥|2x-2-2x+5|=3,
故|f(2x)|+|g(x)|的最小值是3.
考向二 绝对值不等式性质的应用 【典例2】(2018·银川模拟)设函数f(x)=x2-x-15,且 |x-a|<1. (1)解不等式|f(x)|>5. (2)求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
作出y=|f(x)|的图象如图所示:
根据f(x)的表达式,以及|f(x)|的图象,可得当f(x)=1
时,x=1或3,当f(x)=-1时,x=1 或5,结合图象可以得到
3
|f(x)|>1的解集为 (∪, 1)(1,3)∪(5,+∞).
3
【一题多变】将本例(2)中两个绝对值号之间的“—” 改为“+”,其他条件不变,试画函数f(x)的图象并求其 最小值.
【解析】(1)①当x<-1时, 原不等式可化为-x-1+1-x≤2, 解得x≥-1,又因为x<-1,故无解; ②当-1≤x≤1时, 原不等式可化为x+1+1-x=2≤2,恒成立;
③当x>1时, 原不等式可化为x+1+x-1≤2, 解得x≤1,又因为x>1,故无解; 综上,不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集为[-1,1].
选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式
【教材基础回顾】 1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 _a_b_≥__0_时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当_(_a_-_b_)_(_b_-_c_)_≥__0_时,等号成立.
【典例3】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│. ①当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集. ②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值 范围.
(2)设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|. ①解不等式f(x)>0; ②若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=x-2,g(x)=2x-5,
所以|f(x)|+|g(x)|≤2,
即|x-2|+|2x-5|≤2,
当x≥ 5时,x-2+2x-5≤2,解得: ≤5x≤3,
2
2
当2<x<5 时,x-2+5-2x≤2,解得:x≥1,
2
当x≤2时,2-x+5-2x≤2,解得:x≥ 5，
3
综上,不等式的解集是 [5，3].
【金榜状元笔记】 1.一组重要关系 |a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|,|a|+|b|之间的关系: (1)|a+b|≥|a|-|b|,当且仅当a>-b>0时,等号成立.
(2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当|a|≥|b|且 ab≥0时,左边等号成立,当且仅当ab≤0时,右边等号成 立.
【解析】
(1)因为|x2-x-15|>5,所以x2-x-15<-5或x2-x-15>5,即
x2-x-10<0或x2-x-20>0,解得1 41＜x＜1 41
2
2
或x<-4或x>5,所以不等式|f(x)|>5的解集为
{x|x 4或x 5或1 41 x 1 41}.
2
2
(2)因为|x-a|<1, 所以|f(x)-f(a)|=|(x2-x-15)-(a2-a-15)| =|(x-a)(x+a-1)| =|x-a|·|x+a-1|<1·|x+a-1| =|x-a+2a-1|
(3)(2018·邯郸模拟)已知函数f(x)=|x-2|.
①求不等式f(x)≤5-|x-1|的解集;
②若函数g(x)= 1 f (2x) a 的图象在
x
(1 ,) 上与x轴有3个不同的交点,求a的取值
2
范围.
【解析】(1)①当a=1时,f(x)=-x2+x+4,是开口向下,
对称轴为x=1 的二次函数.
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式 |x|<a |x|>a
a>0 _{_x_|_-_a_<_x_<_a_}_ _{_x_|_x_>_a_或__x_<_-_a_}_
a=0
a<0
∅__
∅__
{_x_|_x_∈__R_且__x_≠__0_}_ _R_
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c⇔_-_c_≤__a_x_+_b_≤__c_; ②|ax+b|≥c⇔_a_x_+_b_≥__c_或__a_x_+_b_≤__-_c_. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不 等式的解法
2
所以 3≤x<3或x>5.
2
综上,x< 1或1<x<3或x>5,所以|f(x)|>1的解集为
3
(,∪1 ) (1,3)∪(5,+∞).
3
【巧思妙解】本例(1)可以有以下解法: 根据绝对值的意义,|x+1|+|x-1|表示数轴上的x对应点 到-1,1对应点的距离之和, 它的最小值为2, 故不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集为[-1,1]. 本例(2)②可以有以下解法:
2.求函数f(x)=|x+2 017|-|x-2 016|的最大值. 【解析】因为f(x)=|x+2 017|-|x-2 016|≤ |x+2 017-x+2 016|=4 033, 所以函数f(x)=|x+2 017|-|x-2 016|的最大值为4 033.
考向三 考点
与绝对值不等式有关的参数范围问题◀高频
2 0，
故a取值范围是[-1,1].
【一题多解微课】 本例题还可以采用以下方法求解: 将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得
2x, x 1，
g x 2, 1 x 1，
2x, x 1.
①当a=1时,作出函数图象可得f(x)≥g(x)的范围在F
和G点中间,联立
y y
2x, x2
2
综上,不等式f(x)>0的解集为 (，∪ 1()3,+∞).
3
x 3, x 2,
3x 2, x 1，
【解析】 f(x)=
x
4,
1
x
3， 2
3x
2, x
3 2
.
作出此函数的图象,如图所示:
观察图象可知f(x)min=f
(
3) 2
3
3 2
2
5 2
.
【技法点拨】 形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有两种解 法
(1)零点分区法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将 数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部 分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式 求解,然后取各个不等式解集的并集.
1，|x-y|≤
6
1， 4
求证:|x+5y|≤1.
【证明】因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|.
所以由绝对值不等式的性质,得|x+5y|=|3(x+y)-
2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤
3× 1+2× 1=1.
6
4
即|x+5y|≤1.
2.解不等式|x-1|-|x-5|<2. 【解析】(1)当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2, 所以-4<2,不等式恒成立,所以x≤1. (2)当1<x<5时,原不等式可化为x-1-(5-x)<2, 所以x<4,所以1<x<4,
可得点
x4
G( 17 1, 17 1), 2
因此可得解集为 [1, 17 1].
2
②即f(x)≥g(x)在[-1,1]内恒成立ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ故而可得 -x2+ax+4≥2⇒x2-2≤ax恒成立,根据图象可得: 函数y=ax必须在l1,l2之间,故而可得-1≤a≤1.
(2)①(ⅰ)当x<-2时,f(x)=1-2x+x+2=-x+3,令-x+3>0,
(3)当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式 不成立. 综上,原不等式的解集为(-∞,4).
3.求函数y=|x+3|-|x-1|的最大值. 【解析】因为y=|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)|=4, 所以函数y=|x+3|-|x-1|的最大值为4.
【母题变式溯源】
题号 1 2
3
知识点 绝对值不等式的性质
解绝对值不等式 绝对值不等式的性质
的应用
源自教材 P14·例1 P17·例5
P19·练习5
考向一 解绝对值不等式 【典例1】(1)求不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集M.
(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)= |x+1|-|2x-3|. 世纪金榜导学号37680337 ①画出y=f(x)的图象. ②求不等式|f(x)|>1的解集.
【同源异考·金榜原创】
1.若x∈[-1,1],|y|≤ 1，|z|≤ 1，求证:
6
9
|x+2y-3z|≤ 5．
3
【证明】因为x∈[-1,1],|y|≤ |z1，|≤
1，
6
9
所以|x+2y-3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2× 1+3×
6
1 5， 93
所以|x+2y-3z|≤ 5成立.
3
【解析】原不等式可化为
x
1， 2
1 2x 2x 1 6,
或
1 2
x
1 2
,
1 2x 2x 1 6
或
x
1， 2
2x 1 2x
1
解得 6.
3 2
x
3， 2
即原不等式的解集为 {x| 3 x 3}.
2
2
2.已知f(x)=x-2,g(x)=2x-5. 世纪金榜导学号37680338
(1)求不等式|f(x)|+|g(x)|≤2的解集. (2)求|f(2x)|+|g(x)|的最小值.
(2)①如图所示:
x 4, x 1,
②f(x)=
3x 2, 1
x
3, 2
4
x,
x
3 2
,
|f(x)|>1,
当x≤-1时,|x-4|>1,解得x>5或x<3,
所以x≤-1.
当-1<x<3 时,|3x-2|>1,解得x>1或x<1 ,
2
3
所以-1<x<1 或1<x<3 .
3
2
当x≥ 3时,|4-x|>1,解得x>5或x<3,
(2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴 上到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,|x-a|+|xb|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|. 提醒:易出现解集不全的错误.对于含绝对值的不等式, 不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不 漏.
【同源异考·金榜原创】 1.求不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集.
2 2x, x 1，
g(x)=|x+1|+|x-1|=2,1 x 1，
2x, x 1，
当x∈(1,+∞)时,令-x2+x+4=2x,解得x=17 1.
2
g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以此时f(x)≥g(x)的解集为 (1, 17 1].
2
当x∈[-1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(-1)=2.