存在性和任意性在函数中的解题策略
任意性与存在性在函数问题中的解题策略
黄 京
武汉六中
关键词：全称量词，特称量词，值域，唯一，打比方。。。。。。
近两年，全称命题和特称命题的否定经常被考以外，全称命题和特称命题与函数结合的题型，在高考卷和模拟卷中频频出现，并成为一大热点。两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂，神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意。怎样揭开量词所含的神秘面纱，找到解决这类问题的基本方法，本文通过典型题目分类解析，仅供参考。
一 举例打比方，使学生弄清关于函数在满足全称命题和特称命题对应的值域要求。
命题1 已知函数是闭区间上的连续函数，对于都有，则。
命题2 已知函数是闭区间上的连续函数，对于，都有，则。
以上两种关于函数不等关系的情况，学生较易理解。不管是两个函数
的变量都是任意性；还是其中一个是任意性，另一个是存在性，既可归
纳为对函数的最大值与最小值提出一定要求，所以笔者不再熬述。相
反，关于函数相等关系的情况却显得要费脑筋些。例如：
命题3 ,使得，设的值域分别为,则.
对命题3 的理解，我们可以用甲班和乙班的成绩打比方：要满足命题3
即要在甲班中找一个同学的成绩和乙班的某个同学的成绩相同，那么甲班和乙班同学的成绩表中至少有一个相同的分数，用集合的语言理解，即两个班的成绩要有公共元素。
命题4 ,使得，设的值域分别为,则.
对命题4的理解，我们仍然可以用甲班和乙班的成绩打比方：要满足命题4，即要甲班中所有同学的成绩都要在乙班中分别找出某个同学的成绩与其相同，用集合的语言理解，即甲班的成绩都应该在乙班成绩表中要有，即为。
二典型题型：
1 已知，，，若对，都有成立，求实数的取值范围。
2 （2010山东卷）已知,，当时，，使得，求实数的取值范围
3
若，使得成立，求实数的取值范围。
4 （2011湖北八校二次联考）设，，
，使成立，求实数的取值范围。
若，使得成立，求实数的取值范围。
5. （2013湖北黄冈模拟卷）已知,。是否存在正实数，对任意的，都有
唯一的使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 我们可以看到，随着时间的推后，出题人在任意性和存在性问题上还会加以变化，例如第五题，加上“唯一”二字，就更加使题目显得神秘。现笔者就第五题，在总结前四点的基础上找到解题的途径。
分析：其实，我们可以先不考虑“唯一”二字，那么本题将归结为：设得值域分别为,则
解：易求得的值域为
再来研究函数的值域情况
，
，是单调递减；，是单调递增。
结合图像的值域,首先要满足，
..........................
继续挖掘图像中，要满足唯一的使得成立，
.............................
由于要同时满足,式只用满足即可.
故满足条件的
看来,只要我们充分理解全称量词和特称量词所蕴含的数学含义,用集合语言作辅助工具增强理解,揭开神秘面纱后,解决此类问题,就归结于研究函数的性质等核心问题了。
参考文献：1 武汉市教育科学研究院 武汉市普通高中高中课程教学指导意见 2011.8
高考数学_函数中存在性和任意性问题分类解析
函数中存在性和任意性问题分类解析 湖北省阳新县高级中学邹生书 全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，本文通过典型题目分类解析供参考. 1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即. 例1已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（） 解设函数与在上的值域分别为与，依题意. 当时，，则，所以在上单调 递增，所以即. 当时，，所以单调递，所以即. 综上所述在上的值域. 当时，，又，所以在在上单调递增，所以即，故在上的值域.
因为，所以或解得，故应选. 2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即. 例2(2011湖北八校第二次联考)设，. ①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若 ，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿解①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值范围是. ②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域的子集的实数的取值范围.由①知，易求得函数的值域，则 当且仅当即，故实数的取值范围是. 例3已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围. 解(1)略;(2)依题意实数的取值范围就是使得在区间上的值域是 的值域的子集实数的取值范围. 当时，由得，故在 上单调递减，所以即，于是.
导数与函数零点问题解题方法归纳
导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.
(完整版)高中抽象函数的单调性习题总结,推荐文档
10月2日 抽象函数的单调性 1、对任意都有：，当，又知 ()f x ,x y R ∈()()()f x y f x f y +=+0,()0x f x ><时，求在上的值域. (1)2f =-()f x []3,3x ∈-2、f(x)对任意实数x 与y 都有,当x>0时,f(x)>2 ()()()2f x f y f x y -=--（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3. 3、已知函数对任意有，当时，f x ()x y R ，∈f x f y f x y ()()()+=++2x >0，，求不等式的解集. f x ()>2f ()35=f a a ()2223--<4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数； （3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。 5、定义在上函数对任意的正数均有：，且当(0,)+∞()y f x =,a b (()() a f f a f b b =-时，,（I ）求的值;（II ）判断的单调性, 1x <()0f x >(1)f ()f x 6、若非零函数对任意实数均有，且当时，)(x f b a ,()()()f a b f a f b +=?0
高考数学-函数中存在性和任意性问题分类解析
函数中存在性和任意性问题分类解析 全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，本文通过典型题目分类解析供参考. 1.，，使得，等价于函数在上的值域与函 数在上的值域的交集不空，即. 例1已知函数和函数， 若存在，使得成立，则实数的取值范围是（） 解设函数与在上的值域分别为与，依题意. 当时，，则，所以在上单调递增，所以即. 当时，，所以单调递，所以即 . 综上所述在上的值域. 当时，，又，所以在在上单调递增，所以 即，故在上的值域.
因为，所以或解得，故应选. 2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即. 例2(2011湖北八校第二次联考)设，. ①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若 ，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿ 解①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设 ，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值范围是. ②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域的子集的实数的取值范围.由①知，易求得函数的值域，则 当且仅当即，故实数的取值范围是. 例3已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围. 解(1)略;(2)依题意实数的取值范围就是使得在区间上的值域是 的值域的子集实数的取值范围. 当时，由得，故在 上单调递减，所以即，于是.
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++ 函数中存在性与任意性问题分类解析 全称量词、特称量词以及全称命题与特称命题在近几年新课标高考卷与模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题、特别就是全称量词”任意”与特称量词”存在”与函数情投意合风火情深,火借风势、风助火威,大有逾演逾烈之势、两种量词插足函数,使得函数问题意深难懂神秘莫测,问题显得更加扑朔迷离难度大增,同时题目也因此显得富有变化与新意、解决这类问题的关键就是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目,本文通过典型题目分类解析供参考、 1、,,使得,等价于函数在上的值域与函数 在上的值域的交集不空,即、 例1已知函数与函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围就是() 解设函数与在上的值域分别为与,依题意、 当时,,则,所以在上单调递增,所以即、 当时,,所以单调递,所以即、 综上所述在上的值域、 当时,,又,所以在在上单调递增,所以即,故在上的值域、 因为,所以或解得,故应选、 2、对,,使得,等价于函数在上的值域就是函数在上的值域的子集,即、 例2(2011湖北八校第二次联考)设,、①若,使成立,则实数的取值范围为＿＿＿;②若 ,,使得,则实数的取值范围为＿＿＿解①依题意实数的取值范围就就是函数的值域、设,则问题转化为求函数的值域,由均值不等式得,,故实数的取值范围就是、 ②依题意实数的取值范围就就是使得函数的值域就是函数的值域的子集的实数的取值范围、由①知,易求得函数的值域,则当且仅当即,故实数的取值范围就是、例3已知,它们的定义域都就是,其中就是自然对数的底数,、(1)求的单调区间;(2)若,且,函数,若对任意的,总存在,使,求实数的取值范围、解(1)略;(2)依题意实数的取值范围就就是使得在区间上的值域就是的值域的子集实数的取值范围、 当时,由得,故在 上单调递减,所以即,于就是、 函数零点存在性定理基础题 1．函数()25x f x =-存在零点的区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 【答案】B ． 【解析】 函数单调递增，并且()()()23130f f ?=-?<，所以在区间()3,2上存在一个零点． 2．若函数在区间内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a <- C ．1a <-或1a > D ．11a -<< 【答案】C ． 【解析】 由零点存在性定理得：(1)(1)0,(1)(1)0,f f a a -<-+<因此1a <-或1a >．选C ． 3．函数f （x ）＝ln x － 2x 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（1e ，1）和（3，4） D ．（e ，＋∞） 【答案】B ． 【解析】 ∵f （1）＝－2<0，f （2）＝ln2－1<0，又∵f （x ）在（0，＋∞）上是单调增函数， ∴在（1，2）内f （x ）无零点．又∵f （3）＝ln3－ 23 >0，∴f （2）·f （3）<0． ∴f （x ）在（2，3）内有一个零点．故选B ． 4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有部分对应值表如下： 那么函数()f x 一定存在零点的区间是 （ ） A ．()1-∞, B ．()12, C ．()23, D ．()3+∞, ()1f x ax =+(1,1)-a 【答案】C ． 【解析】 根据函数的对应值表可得(1) 6.10,(2) 2.90,(3) 3.50f f f =>=>=-<，根据函数的零点存在性定理，一定存在零点的区间是()2,3．故选C ． 5．函数f （x ）=log 3x －8+2x 的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（5，6） 【答案】C ． 【解析】 函数f （x ）=log 3x -8+2x 为增函数， ∵f （3）=log 33-8+2×3=-1＜0，f （4）=log 34-8+2×4=log 34＞1＞0， ∴函数在（3，4）内存在零点．故选C ． 6．方程log 3x +x =3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞） 【答案】C ． 【解析】 可构造函数f （x ）=log 3x +x -3，方程log 3x +x =3的解所在的区间是函数f （x ）=log 3x +x -3零点所在的区间，又函数f （x ）=log 3x +x -3在定义域上单调递增，结合零点存在性定理对四个选项中的区间进行验证即可． 由于f （0）不存在，f （1）=-2，f （2）=log 32-1＜0，f （3）=1＞0， 故零点存在于区间（2，3），方程log 3x +x =3的解所在的区间是（2，3） 故选C ． 解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有： 例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2， f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。 0a a ≠且 解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得 k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。 例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时， f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。 分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则 ， 即，∴f （x ）为单调增函数。 ∵， 又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。∴2(22) (1)f a a f --，∴2221a a --， 解得不等式的解为－1 < a < 3。 例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数， 从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。 解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =， ∴[]()1(0)0f x f -=。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==， ?函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (ｋ≠0) f(x+y)＝f(x)＋ｆ（y) 幂函数 ｆ（ｘ)=x n f(xy)=f （x)f(y) ［或) y (f )x (f )y x (f = ] 指数函数 f(ｘ）=a x (a>０且a ≠1） ｆ(x+y ）=f(x ）ｆ(ｙ) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x ）=lo ｇa ｘ (a 〉0且ａ≠1) f(xy)=f(x ）+ｆ(y) ［)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x ）=si ｎx f （ｘ)=cosx f(ｘ+T ）=f(x ） 正切函数 f(x ）＝ｔanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(ｘ)＝co ｔx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 1。已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠，求证()f x 为偶函数。 证明：令x =0， 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y ＝0则2(0)f =２(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =１∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。 ２．奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解：由2 (1)(1)0f m f m -+-<得2 (1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2 (1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在（—1，1)内递减,∴2 21111110111m m m m m -<--? 3。如果()f x =2 ax bx c ++(a 〉0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2 ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f （2）最小，f （1)=f (3)∵在［２,+∞）上,()f x 为增函数 ∴f （3）〈f （4),∴f (2）〈f (1）〈f (4） 4。 已知函数f (x ）对任意实数ｘ,y ,均有ｆ(x +y )＝f (x )＋f (y ),且当x >0时，f (ｘ)＞０，f (－1）=－2,求f (x )在区间［－2，1]上的值域。 分析:由题设可知，函数f (x )是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域,关键在于研究它的单调性。 解：设，∵当 ,∴ ， ∵, ∴ ，即,∴f （x )为增函数. 在条件中,令y ＝－x ,则，再令x ＝ｙ=０,则f (０）=２ f (0)，∴f （0）＝0,故ｆ（－ｘ)＝f (x ）,ｆ(x )为奇函数， ∴f (1）=－f （－1）＝2,又f （－２)＝２ f （－1）=-４， ∴ｆ(x ）的值域为［－4，2]。 抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract:: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords: abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1.提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的 专题复习—函数的任意性和存在性 已知两个函数k x x x f +-=2)(2，13)(3+-=x x x g （1）[]2,0∈?x ，都有)()(x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （2）[]2,00∈?x ，使得)()(00x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （3）若[]2,0,21∈?x x ，都有)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （4）[]2,0,21∈?x x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （5）[]2,01∈?x ，[]2,02∈?x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （6）[]2,01∈?x ，[]2,02∈?x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； 分析： 函数k x x x f +-=2)(2是一个二次函数，图像开口向上，对称轴为11 22=?--=x ，[]2,01∈，函数)(x f 在[]2,0上先减后增，且1)1()(min -==k f x f ，k f f x f ===)2()0()(max ； 函数13)(3+-=x x x g ，)1)(1(333)(2'-+=-=x x x x g ，令0)('=x g 得11=-=x x 或， 所以[]2,0)(在x g 上的1)1()(min -==g x g ，3)2()(max ==g x g ， 解（1）依题意得，[]2,0∈?x ，0)()(≥-x g x f 恒成立，令)()()(x g x f x t -= 即01)(2 3≥-+++-=k x x x x t 恒成立，所以0)(min ≥x t 123)(2'++-=x x x t =)1)(13(+-+x x ，所以[]2,0)(在x t 上先↓↑后， 3)2(,1)0(-=-=k t k t ，03)(min ≥-=∴k x t ，解得3≥k （2）:p []2,00∈?x ，使得)()(00x g x f ≥成立， :p ?[]2,0∈?x ，都有成立)()(x g x f <成立，令)()()(x g x f x t -= 即01)(2 3<-+++-=k x x x x t 恒成立，所以0)(max 抽象函数的单调性 抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。思路：添项法。 类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。 或 例1、() f x对任意,x y R ∈都有：()()() f x y f x f y +=+，当0,()0 x f x >< 时，判断() f x在R上的单调性。 ()()() () ()()上是增函数 在 解： R x f x f x f x x f x x x x x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f x x R x x ) ( ,0 ) ( ,0 ) ( ) ( ) ( ) ( , , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 < - ∴ < - > - ∴ > - = - + - = - + - = - < ∈ ? 例2、f(x)对任意实数x与y都有()()()2 f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2 （1）求证:f(x)在R上是增函数；（2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3 () () 2 5 2 3 2 ) ( )2( )3 2( 3 )2( 2 )1 2( )1( )2( ,1 ,2 2 ) ( ) ( ,0 2 ) ( 2 ) ( ,0 , 2 ) ( ) ( , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 > > - ∴ < - ∴ = ∴ - - = - = = ∴ > - > - - ∴ > > > - > - - = - > ∈ < ? a a R x f f a f f f f f y x R x f x f x f x x f x f x x x x x x x f x f x f x x R x x 解得 上是增函数 在 又 原不等式可化为 则 ）令 （ 上是增函数 在 则 时， 当 ） 解：（ 【专练】：1、已知函数f x()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()() +=++ 2，当x>0时，f x()>2，f()35 =，求不等式f a a () 2223 --<的解集。 2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y∈R都有()()() f x y f x f y -=-，且当0,()0 x f x << 时 (1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?-- 函数与导数中任意性和存在性问题探究 命题人：闫霄 审题人：冯昀山 一、相关结论： 结论1：min [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈>?>； 结论2：max [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈?>； 结论4：min [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈?>；【如图一】 结论6：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论7：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论8：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论9：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空； 结论10：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域是()g x 的值域的子集 【例题1】：已知两个函数2 3 2 ()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设32 ()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为： [3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 ' 2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+；当x 变化时，'(),()h x h x 的变化情况列表如下： -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x) + － + h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9 因为(1)7,(2)20h k h k -=+=-, 所以，由上表可知min [()]45h x k =-，故k-45≥0，得k ≥45,即k ∈[45,+∞). 小结：①对于闭区间I ，不等式f(x) ? ? 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 （1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。 （2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。抽象函数解题方法与技巧
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