中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶一元二次方程附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数2

22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．

（1）当m =0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且

12111

4

x

x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．

【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析,

（3）AM 的解析式为1

12

y x =--． 【解析】 【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】

（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）令y=0，得△=

∴无论m 取何值，方程

总有两个不相等的实数根．

即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，

由

解得

．

∴函数的解析式为．

令y=0，解得

∴A(

)，B(4,0)

作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．

易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）

设直线AB’的解析式为y kx b =+，则

20{106k b k b -+=+=-，解得112

k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1

12

y x =--， 即AM 的解析式为1

12

y x =-

-．

2．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？

【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【解析】 【分析】

作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出S △PQB =

1

2

×PB×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【详解】

解：

如图，

过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°． ∵∠ABC ＝30°，

∴2QE ＝QB ． ∴S △PQB ＝

1

2

?PB?QE ． 设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2， 则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ．

根据题意，

1

2

?（6﹣t ）?t ＝4． t 2﹣6t+8＝0． t 2＝2，t 2＝4．

当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2． 答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．

3．解方程： 2

212x x 6x 9-=-+（）

【答案】124

x x 23

=

=-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.

试题解析：因式分解，得

22

12x x 3-=-（）（）

开平方，得

12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124

x x 23

=

=-，

4．已知：关于的方程

有两个不相等实数根

．

（1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，

（其中

），且

，求的值．

【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程．

∴

由求根公式，得

． ∴

或

（II ），∴

．

而

，∴

，

．

由题意，有

∴即

（﹡）

解之，得

经检验是方程（﹡）的根，但

，∴

【解析】

（1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．

一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过

（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费

元.下图反映

了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：

5．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；

27120x x -+=④；?它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一

元二次方程为“连根一元二次方程”．

()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．

【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n . 【解析】 【分析】

（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】

解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.

(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n. 【点睛】

本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.

6．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值．

【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．

试题解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得

1﹣2a+a2=0，

解得a1=a2=1，

所以a的值为1.

7．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．

【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.

试题解析：（1）∵方程有两个实数根，

∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；

（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，

∵x12x22+4x1+4x2=1，

∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，

∵a≤3，

∴a=﹣1．

8．阅读下面的例题，

范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，

解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．

∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2

请参照例题解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0．

【答案】x1=4，x2=﹣5．

【解析】

【分析】

分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x2﹣x=0，当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，分别求出方程的解即可．

【详解】

当x≥10时，原方程化为x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；

当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，

故原方程的根是x1=4，x2=﹣5．

本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．

9．已知：关于x 的一元二次方程221

(1)204

x m x m +++-=.

（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足2

2211221184

x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】

（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；

（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，2

12124

x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值． 【详解】

解：（1）∵2

21(1)204

x m x m +++-=有两个实数根，

∴2

2

1(1)41(2)04

m m ?=+-??-≥， ∴290m +≥， ∴92

m ≥-

； ∴m 的最小整数值为：4m =-；

（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，2

12124

x x m =-， 由2

2

2

12121184

x x x x m ++=-

得： ()22211121844m m m ??

??-+--=- ?????

∴22150m m +-=， 解得：3m =或5m =-； ∵9

2

m ≥-

， ∴3m =. 【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则

12b

x x a +=-

，12c x x a

=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.

10．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：

这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1

254

y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m 关于t 的函数关系式；

（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？

（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.

【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】

（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；

（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；

（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】

（1）设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=k b

94=3k b +??

+?

解得:k=-2,b=100

∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，

()1210025204W t t ??

=-++- ???

21

151002t t =-++

()2

115612.52

t =-

-+

∵

1

02

<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ??=-++--

???

()21

1525001002

t a t a =-+++-，

∴对称轴为：152t a =+，

∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.