椭圆及几何性质
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（7）—椭圆及几何性质
共150分，考试用时120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将唯一正确结论的代号填入题后
的括号内．
1．椭圆2
2
2
123
x y m
m +
=+的准线平行于x 轴，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．－１＜m ＜3
B ．－
2
3
＜m ＜3且m ≠0
C ．－１＜m ＜3且m ≠0
D ．m ＜－1且m ≠0
2．短轴长为5，离心率为3
2的椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则ΔABF 2的周长为 （ ）
A ．24
B ．12
C ．6
D ．3
3．下列命题是真命题的是 （ ）
A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B ．到定直线x=2
a c
和定F(c ，0)的距离之比为c a 的点的轨迹是椭圆
C ．到定点F(－c ，0)和定直线3
2
a x -=的距离之比为c a (a >c>0)的点的轨迹是左半个椭圆
D ．到定直线x =2
a c
和定点F(c ，0)的距离之比为a c (a >c>0)的点的轨迹是椭圆
4．椭圆22
2214x y b b
+=上一点P 到右准线的距离是，则该点到椭圆左焦点的距离是
（ ）
A ．b
B ．
2
3
b C
D ．2b
5．椭圆
13
122
2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段F 1P 的中点在y 轴上，那 么|PF 1|是|PF 2|的
（ ）
A ．7倍
B ．5倍
C ．4倍
D ．3倍
6．椭圆)0(12222??=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b
，0）分成
5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ）
A ．
17
16
B ．
17
17
4 C ．
54
D ．
5
5
2 7．已知圆内的一个定点作圆C 与已知圆相切，则圆C 的圆心轨迹是 （ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．圆或椭圆
D ．线段
8．椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P ，则||2PF = （ ）
A ．
23 B ．3
C ．
72
D ．4
9．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若 △ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
（ ）
A ．
33 B ．32 C ．22 D ．23 10．在椭圆24x +2
3
y =1内有一点P （1，-1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|
的值最小，则这一最小值是
（ ）
A ．
2
5
B ．
2
7 C ．3
D ．4
11．l 为定直线，F 为不在l 上的定点，以F 为焦点，l 为准线的椭圆可画
（ ）
A ．1个
B ． 2个
C ．1个或2个
D ．无穷多个
12．椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交 点为P ，则||2PF = （ ）
A ．
23 B ．3
C ．
72
D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最简结果填入题中的横线上． 13．如图，∠OFB ＝
6
π
，S ΔABF ＝32-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，Ｆ为一个焦点 的椭圆的标准方程为 ．
14．过椭圆15
92
2=+y x 的左焦点作一条长为12的弦AB ，将椭圆绕其左准线旋转一周，则弦AB 扫过的面积为 ．
15．把曲线14:2
21=-k
y x C 按向量a =（1，2）平移后得到曲线C 2，曲线C 2有一条准线方程为x =5，则k 的值为 ；离心率e 为
16．F 1，F 2是椭圆C ：14
82
2=+x x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程．
17．（本小题满分12分）已知9
x 2+5y 2
=1的焦点F 1、F 2，在直线l ：x +y －6=0上找一点M ，
求以F 1、F 2为焦点，通过点M 且长轴最短的椭圆方程．
18．（本小题满分12分） 已知椭圆C 的方程x y 22
43
1+=，试确定m 的取值范围，使得对 于直线y x m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称．
19．（本小题满分12分）设P(x ,y)为椭圆x a y b
222
21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦
点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β．
（1）求证离心率e =
+-cos
cos
αβ
αβ22
； （2）求tan
tan
2
2
α
β
的值；
（3）求|||PF PF 1323+的最值。
20 （本小题满分12分） 经过坐标原点的直线l 与椭圆
()x y -+=362
122
相交于A 、B 两 点，若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F ，求直线l 的倾斜角．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭
圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=2
10
，求椭圆方程.
22．（本小题满分14分）
设椭圆22a
x +22
b y =1的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 1、A 2．
（1）P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=600，求ΔF 1PF 2的面积；
（2）若椭圆上存在一点Q ，使∠A 1QA 2=1200，求椭圆离心率e 的取值范围．
参考答案（7）
一．选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分）
二、填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）
13．
12
82
2=+y x 14．18π 15．－3,21 16． 2 三、解答题（本大题共6题，共74分）
17．（本小题满分12分）解：由15
92
2=+y x ，得F 1（2，0），F 2（-2，0），F 1关于直线l 的对称点F 1/
（6，4），连F 1/F 2交l 于一点，即为所求的点M ，∴2a =|MF 1|+|MF 2|=|F 1/F 2|=45，
∴a =25，又c=2，∴b 2
=16，故所求椭圆方程为
116
202
2=+y x ． 18．（本小题满分12分）分析：椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得
31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=。
又x x x =
+122，y y y =+122，k y y x x =--=-12121
4
，代入得y x =3。 又由y x
y x m
==+???34解得交点(,)--m m 3。
交点在椭圆内，则有
()()-+- 433 1。 得- <<21313213 13 m 。 19．（本小题满分12分）分析：（1）设||PF r 11=，|PF r 22=，由正弦定理得 r r c 122sin sin sin()αβαβ==+。 得 r r c 122++=+s i n s i n s i n () αβαβ， e c a = =++=+-s i n () s i n s i n cos cos αβαβ αβ αβ22 。 （2）e = -+cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβα β α β 2 2 2 22 222 ，采用合分比定理得 e e +-=-1 1 2 222 cos cos sin sin α β αβ ， 1tan tan 221e e αβ-=+。 （3）()()a ex a ex a ae x ++-=+3332226。 当x =0时，最小值是23 a ； 当x a =时，最大值是263 2 3 a e a +。 20．（本小题满分12分）分析：左焦点F(1,0)， 直线y=kx 代入椭圆得()3163022k x x +-+=， x x k x x k 122 122 331 631 = ++= +,， y y k k 122 2331 =+。 由AF ⊥BF 知y x y x 1122111--=-·。 将上述三式代入得k =± 33 ，∴=α30 或150 。 21．（本小题满分12分）解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2) 由???=++=1 12 2ny mx x y 得(m +n )x 2 +2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0, 由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴ n m n n m n -- +-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ① 又2 )2 10()(4=+-+n m mn n m 2 , 将m +n =2,代入得m ·n =4 3 ② 由①、②式得m = 21,n =23或m =23,n =2 1 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+2 1 y 2=1. 22．（本小题满分14分）解：（1）设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2， 则S 21F PF ?= 2 1 r 1r 2sin ∠F 1PF 2，由r 1+r 2=2a ， x A 4c 2=r 12+r 22－2cos ∠F 1PF 2，得r 1r 2= 2 12 PF F cos 1b 2∠+． 代入面积公式，得S 21F PF ?=2 121PF F cos 1PF F sin ∠+∠b 2=b 2tan ∠2 PF F 21=3 3b 2． （2）设∠A 1QB=α，∠A 2QB=β，点Q(x 0，y 0)(0 2 2 200 001tan tan 1tan tan )(tan y x a y x a y x a tg --++-=-+=+=βαβ αβαθ（好像不对） .,1.22 02 222022 022*******y b a a x b y a x a y x ay --=∴=+-+= .322tan 02 220 2 220-=-=--=∴y c ab y b b a ay θ ∴2ab 2≤3c 2y 0≤3c 2b ， 即3c 4+4a 2c 2－4a 4≥0，∴3e 4+4e 2－4≥0， 解之得13 6,322 <≤∴≥e e 为所求． （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 高考能力测试数学基础训练26 基础训练26 椭圆标准方程及几何性质 ●训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题 1.椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为 A.164 1002 2=+y x B.1100 642 2=+y x C.1100 641641002 222=+=+y x y x 或 D.110 818102 222=+=+y x y x 或 2.若方程x 2＋ky 2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1) 3.已知圆x 2＋y 2＝4，又Q (3，0)，P 为圆上任一点，则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 二、填空题 4.设椭圆120 452 2=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||＝_________. 5.(2002年全国高考题)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =_________. 三、解答题 6.椭圆22 22b y a x +=1(a ＞b ＞0),B (0,b )、B ′(0,-b ),A (a ,0),F 为椭圆的右焦点，若直线AB ⊥ B ′F ,求椭圆的离心率. 7.在面积为1的△PMN 中，tan M =2 1,tan N =-2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点 且过点P 的椭圆方程. 8.如图，从椭圆22 22b y a x +＝1(a ＞b ＞0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM . (1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围； (3)设Q 是椭圆上一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程. 2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质 直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( ) A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°， 则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的 方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦 点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e . 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ= 第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< x y O M l l ' 椭圆的几何性质 【教学目标】 1.了解椭圆的第二定义，并会用第二定义解决相关问题，理解准线的概念； 2.能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程，求椭圆的标准方程. 3．了解并掌握应用焦半径公式。 【教学重点】 用坐标法研究椭圆的另一种定义； 【教学难点】 理解焦点与相应准线的相互关系及其相互转化关系. 【教学过程】 一、复习： 1．椭圆的几何性质：2222 1 (0)x y a b a b +=>> 顶点坐标：(,0)a ±，(0,)b ± 对称性：对称轴为坐标轴，对称中心是原点，长轴长2a ，短轴长2b 焦点坐标：(,0)c ±，22c a b =- 离心率：c e a = （01e <<） 二、新课讲解： 1．椭圆的第二定义： 问题：点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它到定直线l ：2 a x c =的距离比是常数c a （0a c >>），求点M 的轨迹． 归纳总结出椭圆的第二定义：平面与一定点的距离和它到一定直线的距离之比是常数e （0＜e ＜1）的轨迹 是椭圆。 定点→焦点，定直线→准线，常数e →离心率 2．椭圆的准线方程： （1）22221x y a b +=，对应焦点(,0)F c 的准线方程：2a x c =，右准线； 对应焦点(,0)F c -的准线方程：2 a x c =-，左准线． 准线的位置关系：c a a x 2<≤ ；焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2 222=-=-= （2）22221y x a b +=，对应焦点(0,)F c 的准线方程：2 a y c =； 对应焦点(0,)F c -的准线方程：2 a y c =-． 3．焦半径及焦半径公式：椭圆上任意一点到焦点的线段称为椭圆的焦半径． 第2课时：椭圆的简单几何性质（二） 【学习目标】 １．进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率等）； ２．掌握求曲线方程的一些基本方法； ３．会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 【知识线索】 椭圆两种标准方程的性质比较 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 2 1 F F）的点的轨迹 标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 c b a, ,的含义及关系 【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用； 2.注意椭圆的焦点的位置的确定； 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。 【典例透析】 高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程 四环节导思教学导学案 课时目标呈现 目标导航 课前自主预习 新知导学 疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2 例1．与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率，且过点)2,32(的椭圆的标准方程是 例2．如图，点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点， 点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方， PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______． 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为定点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标。 【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升 达标导练 M P 椭圆及其标准方程 1。平面内 ，叫做椭圆。 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。 2。根据椭圆的定义可知：集合{} A MF MF M P 221=+=， 0,0,221>>=c a c F F ，且c a , 为常数。当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段； 当 时，集合P 为空集。 3。焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。 其中c b a ,,满足关系为 。 练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2 ，写出焦点坐标 练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a b ==y 轴上； ⑶10,a b c +== 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22??- ??? ，求它的标准方程. 1162522 =+y x 1169 14422=+y x 11 2222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0 ,,22<=+C B A C By Ax 例2 在圆x 2+y 2 =4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程. 例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点 M ，且它们的斜率之积是4 9 -，求点M 的轨迹方程. .知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x 轴上，焦距等于4 ，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=. 《椭圆的简单几何性质》教学反思 数学组冶有得 为了提高年轻教师的业务能力和专业素养，学校邀请乌市专家到我校听年轻教师上课, 为了上好木节课，我做了充分准备，下面我从的前期准备、课堂自我感觉及专家评课等方面进行反思，反思如下： 一、课前准备：在前期认真翻看了课木和课标，并多次请教粟登科老师、高志华老师；根据木班学生的实际情况制定了木节的教学目标、教学重难点，列出了框架，再依据框架撰写了教学设计、导学案并制作ppt。 二、课堂自我感觉：从课堂上来看，学生反应积极，教学进程流畅，学生对于知识点达到了掌握和理解，同时能紧跟着老师的思路；基木实现了木节课的预期目标，可惜的是最麻一道练习没处理完。 三、专家评课：一是优点：本节课采用了数形结合的数学思想，更加直观、形象的说明的椭圆的几何性质，使得将难度降低，学生更容易理解、掌握；讲练结合，讲完一个性质练习一道题，使得学生巩同了所学内容，更进一步加深了记忆；课堂较顺利，推进的速度也比较快, 板书较为桀齐；课堂采用了几何曲板，使得复杂的问题简单化。问题的设置较好，层层递进, 使得与学生的互动也比较多，充分体现了新课标要求，以学生为本，将课堂还给学生。 二是缺点：在推到离心率公式的时候速度过快，没有足够的时间去分析和挖掘；例1的讲解只采用了代数法讲解，若结合图形就更能说明问题，学生也更容易理解；本节课的容最较大。四、课后反思： 1.细节决定成败。细节是往往我们忽略的地方，如在复习椭圆的定义时没有强调（| PF】I + I PF2 |= 2a（2a >\ F}F2 |）,如果不满足条件（2a>2c）,那么这个点的轨迹就不是椭圆了，所以要注重教学内容的严谨性。 2.对个别学生的关注度不够，通过检杏笔记和练习本发现上课时没有动笔，一两个学生有打嗑睡的现象。 3.教学语言还需要锤炼。在叙述椭圆的离心率时，语言的表达不是那么精准，也不到位。尔对于一个教师来说最基木就是能够把白己的知识准确的、简单的传授给学生，把复杂的问题简单化，使学生更容易接受，让学生更加认可你。 4?对于教材的挖掘有所欠缺，如叙述离心率是课本上有详细的解答，描述的也比较到位。 五、听专家课的一些想法：乌市专家在高三（14）班上了一节公开课《解三角形》，作为高三的复习课，我们上课的方式一般会是知识梳理、讲解例题、课堂练习；对于公式的推到、背景很少讲解，但是赵老师先复习了最基础的、最简单的公式（三角形的面积公式、锐角三角函数）；Z后利用这两个公式一步步得出了面积公式、正弦定理、余弦定理及推论，使学生更加熟悉了并会应用公式，记忆也比较牢固；然后出了一些较为简单的高考题型进行练习, 最示讲解两道相对复杂的例题。从上课的模式、心态、语言表达等方面给我留下了深刻的印象，也是我学习的内容。 总Z,作为一名年轻教师，要不断的学习，不断地改进，争取早U成熟起来。通过这次的上课和听课，让我也认识到了白己的不足，明确了改进的方向，同时给白己也提出了很多问题，怎样让自己的教学方法多样化，吸引学生？怎样让学生喜欢数学？在今示的教学屮会更加努力。 2.2.2 椭圆的几何性质 【教学内容解析】 1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上 的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何 2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型， 其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用. 3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义 上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用. 4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的 关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点. 【教学目标设置】 1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质； 能解释椭圆标准方程中,, a b c的几何意义； 2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型； 3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵. 4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】 （1）学生已有的认知基础 本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础 要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯. （3）教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是： 1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁； 2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化； 突破难点的相应策略如下： 1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验； 2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立b a 与椭圆圆扁程度的对应 关系，再利用b a 与 c a 的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示， 丰富学生的直观感悟与经历； 椭圆的简单几何性质（一） 池州第六中学 王超 教学目标 （一）教学知识点 椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点. （二）能力训练要求 1.使学生了解并掌握椭圆的范围. 2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心. 3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距. 4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义. 教学重点 椭圆的简单几何性质. 教学难点 椭圆的简单几何性质. （这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的） 教学方法 师生共同讨论法. 通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x ，（焦点在x 轴上）或 )0(122 22>>=+b a b x a y （焦点在y 轴上）（板书） 那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？ 同学们知道，2008年的8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的9月25日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？ （出示神七发射画片并解说）：2008年9月25日21时，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请 问： “神舟七号”载人飞船的运行轨道是什么？――对，是椭圆。 据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近地点高度约２００公里、远地点约３４６公里的椭圆轨道。 我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形式？ 问题1：我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式 （板书）)0(12222>>=+b a b y a x )0(122 22>>=+b a b x a y （焦点在x 轴上） （焦点在y 轴上） 问题2：你想求出神七在宇宙中运行的椭圆轨道的标准方程吗？ Ⅱ.讲授新课 （板书标题）椭圆的几何性质 首先我们进入本节课的第一个环节 一、几何性质 ［师］我们不妨对焦点在x 轴的椭圆的标准方程. （板书）122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)进行讨论. 在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去“看”曲线的几何特征（以形辅数），同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形）。我们今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质， 1.范围： ［师］所谓范围，就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内，也就是说椭圆上所有的点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。 那么，你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗？ ［师］请看，如果我们过椭圆与x 轴的两个交点作两条平行于y 轴的直线，再过椭圆与y 轴的两个交点作两条平行于x 的直线（出示幻灯片）。此时，你能说出椭圆的范围吗？ [生]在一个矩形中 ［师］这两组平行线所在的直线方程是多少？能从椭圆的标准方程中找出它来吗？ 【例1】 设()P x y ， 是椭圆2244x y +=上的一个动点，定点(10)M ，，则2||PM 的最大值是（ ） A ． 2 3 Ｂ．1 C ．3 D ．9 【例2】 点M 是椭圆22 12516 x y + =上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则||ON =（ ） A ． 32 B ．2 C ．4 D ．8 【例3】 已知P 为椭圆 22 1259 x y +=上动点，F 为椭圆的右焦点，点A 的坐标为(31)，，则||||PF PA +的最小值为（ ） A ．102+ B ．102- C ．1052+ D ．1052- 【例4】 已知椭圆方程为22 1499 x y + =中，12F F ，分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有（ ） ①焦点在x 轴上，其坐标为(70)±， ； ②若椭圆上有一点P 到1F 的距离为10，则P 到2F 的距离为4； ③焦点在y 轴上，其坐标为(0210)±，； ④49a =，9b =，40c =． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【例5】 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 典例分析 板块三.椭圆的几何性质 经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4a B ．()2a c - C ．()2a c + D ．以上答案均有可能 【例6】 设椭圆22 22 11 x y m m +=-(1)m >上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到椭圆的中心的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【例7】 P 为椭圆 2212516 x y +=上一点，,M N 分别是圆()2234x y ++=和()2 231x y -+=上的点，则PM PN +的取值范围是（ ） A ． []7,13 B ．[]10,15 C ． []10,13 D ． []7,15 【例8】 过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2 212 x y +=交于A 、C 与B 、D ， 则四边形ABCD 面积的最小值为（ ） A ．8 3 B ．42 C ．22 D ． 43 【例9】 椭圆22 12516 x y + =的焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P ，那么1PF 的值是_________． 【例10】 求过椭圆22 142 x y + =的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的三角形2ABF ?的周长是 ． 【例11】 已知1F 、2F 为椭圆22 1259 x y + =的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB =________． 【例12】 设椭圆22 12516 x y + =上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形。 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合： （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。 （3）顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2 椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3）,，； 知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系 2．1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 双基达标 （限时20分钟） 1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )． A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69) 解析 由题意知，椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2 ＝69， 故焦点坐标为(0，±69)． 答案 D 2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A.32 B.34 C.22 D.23 解析 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214 ＝1，则a 2＝1，b 2＝1 4，c ＝ a 2－ b 2＝32，故离心率e ＝ c a ＝3 2. 答案 A 3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是6 3，则椭圆C 的方程为( )． A.x 23＋y 2 ＝1 B ．x 2 ＋y 2 3＝1 C.x 23＋y 2 2＝1 D.x 22＋y 2 3＝1 解析 因为c a ＝6 3，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝ a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的 方程为x 23＋y 2 ＝1. 答案 A 4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 解析 设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4. 所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2 ＝1. 答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2 ＝1 5．已知椭圆x 2k ＋8 ＋y 29＝1的离心率为1 2，则k 的值为________． 解析 当k ＋8>9时，e 2 ＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8 ＝14，k ＝4； 当k ＋8<9时，e 2 ＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－5 4. 答案 4或－5 4 6．求椭圆x 24＋y 2 ＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解 已知方程为x 24＋y 2 1＝1，所以，a ＝2，b ＝1，c ＝4－1＝3，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a ＝4，2b ＝2，离心率e ＝c a ＝3 2，两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆的四个顶点是A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)． 综合提高 （限时25分钟） 7．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )． A.14 B.1 2 C ．2 D ．4 第3课 椭圆的几何性质 教学目标 1．掌握椭圆的简单的几何性质； 2．感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法； 3．能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题． 教学重点 椭圆的几何性质及其应用 教学过程 一、建构数学 椭圆的几何性质 1．范围 由方程x 2a 2+y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）可知，椭圆上的点的坐标(x ，y )满足x 2a 2＝1－y 2 b 2≤1，即x 2≤a 2，故|x |≤a ． 同理可得|y |≤b ． 这说明椭圆位于x =±a 和y =±b 所围成的矩形内．（基本矩形） 注意：画椭圆先画基本矩形！ 2．对称性 在椭圆的标准方程中，把x 换成－x ，或把y 换成－y ，或同时把x ，y 分别换成－x ，－y 时方程不变．所以椭圆关于y 轴，x 轴和原点对称．坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3．顶点 在椭圆的标准方程中，令x =0，得y =±b ，说明点B 1(0，－b )，B 2(0，b )是椭圆与y 轴的两个交点.同理，点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)是椭圆与x 轴的两个交点．这四个点是椭圆与对称轴的交点，成为椭圆的顶点． 线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长． 思考：已知椭圆的长轴A 1A 2和短轴B 1B 2，怎样确定椭圆的焦点位置？ 4．离心率 我们把焦距与长轴长的比c a 叫做椭圆的离心率．用e 表示．即e ＝c a ．且e ∈(0，1)． 分析离心率是用来刻画椭圆扁平程度的依据的道理（略）． 对于焦点在x 轴上的椭圆的性质，可类比研究． 二、数学应用 例1 求椭圆x 225+y 2 9＝1的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆． 例2（1）设P 为椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a ＞b ＞0)上任意一点，F 1为其左焦点，求PF 1的最大值和最小值． （课本练习题变式） （2）在椭圆x 225+y 2 5=1上求一点，使这点与两焦点的连线互相垂直． 提示：（1）设P (x 1，y 1)，则PF 1＝…＝a +c a x 1＝a +ex 1； （2）设P (x 1，y 1)，则(a +c a x 1)2＋(a －c a x 1)2＝4c 2，… ，所求点的坐标为(±532，±5 2 )． 课题：椭圆的简单几何性质 设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率． 〖板书〗椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得， 22 22 10 y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
椭圆标准方程及几何性质(附答案)
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习
高中数学椭圆的几何性质
椭圆的几何性质及综合问题汇总
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
椭圆的标准方程及其几何性质(供参考)
椭圆的几何性质(二)
椭圆的简单几何性质(二)
椭圆及其简单几何性质
《椭圆的简单几何性质》教学反思.doc
2.2.2椭圆的几何性质
椭圆的简单几何性质一教案
椭圆 椭圆的几何性质
椭圆的定义及几何性质
(完整版)高中数学椭圆几何性质练习题
第3课椭圆的几何性质
椭圆的简单几何性质教案