知识点一-导数与函数的单调性

1．函数的单调性：在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数．

注：函数()y f x =在(ａ，ｂ)内单调递增,则()0f x '≥,()0f x '>是()y f x =在(ａ，b)内单调递增的充分不必要条件．

2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．

一般地，当函数 ()y f x = 在点0x 处连续时，判断0()

f x 是极大(小）值的方法是:

（1)如果在0x 附近的左侧'()0f x > ,右侧'()0f x <,那么0()

f x 是极大值． (２)如果在

x 附近的左侧'()0f x < ，右侧'()0f x >,那么0()f x 是极小值．

注:导数为０的点不一定是极值点

知识点一:导数与函数的单调性

方法归纳:

在某个区间(a ，b)内,如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数． 注:函数()y f x =在（a,b ）内单调递增,则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在(a,ｂ)内单调递增的充分不必要条件．

例1】(Ｂ类）已知函数32

()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ,且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x ．

(Ⅰ)求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ)求函数)(x f y =的单调区间.

【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上．函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得:'()0f x ≥;函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得：'()0f x ≤.

【例2】（A 类）若3

()f x ax x =+在区间［-１,1]上单调递增,求a 的取值范围.

【解题思路】利用函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得:'()0f x ≤．得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解 【例3】（B 类）已知函数()ln f x x =,()(0)a

g x a x

=

>，设()()()F x f x g x =+. (Ⅰ)求函数()F x 的单调区间；

(Ⅱ)若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率1

2

k ≤恒成立,求实数a 的最小值 【课堂练习】

１.（B) 已知函数32

()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ,曲线在点M 处的切线恰好与直线90

x y +=

垂直.

(Ⅰ)求实数,a b 的值;

(Ⅱ)若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增,求m 的取值范围. 2．(B 类）设函数),(2

131)(2

2R b a bx ax x x g ∈-+=

，在其图象上一点P(x ，y)处的切线的斜率记为).(x f

(1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式； （2）若2

2

,]3,1[)(b a x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值 3.(A 类)已知函数 2

1()ln (1)2

f x x m x m x =

-+-,m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性. 例一[解析】（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =,

所以3

2

()2f x x bx cx =+++. 所以2()32f x x bx c '=++．

由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，

知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=,(1)6f -=′

. 所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨

-+-+=⎩ 即23,

0.b c b c -=⎧⎨-=⎩

解得3b c ==-.

故所求的解析式是3

2

()332f x x x x =--+.

(Ⅱ)因为2

()363f x x x '=--,

令23630x x --=，即2

210x x --=， 解得 112x =212x =．

当12x ≤12x ≥,'()0f x ≥， 当1212x ≤≤,'()0f x ≤,

故32()332f x x x x =--+在(,12]-∞内是增函数，在[12,12]内是减函数,在

[12,)++∞内是增函数.

例二【解析】

2()31f x ax '=+又()f x 在区间[-1,1]上单调递增

2()310f x ax '∴=+≥在[－1，１]上恒成立 即21

3a x

≥-

在x ∈ ［-１,1]时恒成立. 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1

[,]3

-+∞

例三解析】（I ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+

>，()()221'0a x a

F x x x x x

-=-=>