第26讲 平面向量的概念及线性运算
2013届新课标高中总复习课件(第1轮)(人教A版文科数学)广东专版第26讲平面向量的概念及线性运算
【解析】①不正确．共线向量即平行向量，只要求方向 相同或相反即可，并不要求两个向量A→B、C→D在同一直线上．
②不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与 零向量是相等．
③正确． ④不正确.A→C与B→C共线，虽起点不同，但其终点却相同．
二 向量的线性运算
【例 2】如图所示，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、 AC 边的中点，M、N 分别是 DE、BC 的中点，已知B→C＝ a，B→D＝b，试用 a、b 分别表示D→E、C→E和M→N.
λ＝1 所以－k＝－2λ ⇒k＝2.
3.(2011·四川卷)如图，正六边形 ABCDEF 中，B→A ＋C→D＋E→F＝( D )
A．0 B.B→E C.A→D D.C→F
【解析】 B→A＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E＋E→F＝C→F，选 D.
4.若A→B＝3e1，C→D＝－5e1，且|A→D|＝|B→C|，则四边形 ABCD 是
相等的向量坐标 20
向量是21
的向量.
，坐标相同的
1.下列结论中，正确的是( ) A．若 a、b 都是单位向量，则 a＝b B．相等向量的模也相等 C．直角坐标平面上的 x 轴、y 轴都是向量 D．时间、路程都是向量
【解析】单位向量未必方向相同，所以 a＝b 不一定成 立，即 A 不正确；直角坐标平面上的 x 轴、y 轴的大小没有 确定，不是向量，即 C 不正确；时间、路程没有方向，都 不是向量，即 D 不正确；相等向量的模也相等，即 B 正确．
【点评】(1)|AA→→BB|表示与A→B同方向的单位向量．(2)向 量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生 概念清晰，并能灵活运用．
素材1
判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． ①向量A→B与C→D是共线向量，则 A、B、C、D 四点 必在一直线上； ②任一向量与它的相反向量不相等； ③模为 0 是一向量方向不确定的充要条件； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
2015届高三(文)一轮同步训练：第5单元《平面向量与复数》(含答案)
第五单元 平面向量与复数第26讲 平面向量的概念及线性运算1.设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形2.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(3,6)，a ∥b ，则实数x 的值为( ) A.12B ．－2C ．2D ．－123.△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a|＝1，|b|＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋P A →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝05.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，BD →＝(－3，－5)，则AC →＝________.6.设向量a ＝(cos θ，1)，b ＝(1,3cos θ)，且a ∥b ，则cos 2θ＝________.7.已知向量OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →的模的最大值是________． 8.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a 、b 分别表示DE →、CE →和MN →.9.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )．(1)若向量a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．第27讲平面向量的数量积1.已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0 B．2 2C．4 D．82.已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是()A．锐角B．钝角C．直角D．不确定3.已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是()A．[－4,6] B．[－6,4]C．[－6,2] D．[－2,6]4.已知向量a＝(4,3)，b＝(－2,1)，如果向量a＋λb与b垂直，则|2a－λb|的值为()A．1 B. 5C．5 D．5 55.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．6.若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．7.若b与a＝(2，－2)共线，且b·a＝－16，则b的坐标是.8.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)·a的值；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．9.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b＝(3，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．第28讲 平面向量的应用1.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形2.一条河宽为400 m ，一船从A 处出发航行垂直到达河对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h.则船到达B 所需的时间为( )A ．1.5分钟B ．1.8分钟C ．2.2分钟D ．3分钟3.在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．44.已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关5.已知两个非零向量a ，b ，定义|a ×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为a 与b 的夹角，若a ＋b ＝(－3,6)，a －b ＝(－3,2)，则|a ×b|＝ .6.若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是____________． 7.设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△AOB 的面积等于______．8.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．9.已知a ＝(2cos x 2，tan(x 2＋π4))，b ＝(2sin(x 2＋π4)，tan(x 2－π4))．令f (x )＝a·b.(1)求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间；(2)是否存在实数x ∈[0，π]，使f (x )＋cos x －sin x ＝0？若存在，求出x 的值；若不存在，请证明．第29讲 复数的概念与运算1.已知i 是虚数单位，复数z ＝－1＋2i 2＋i ＋21－i，则|z |＝( )A ．1B ．2 C. 5 D ．2 22.若(a ＋4i)i ＝b ＋i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a －b ＝( ) A ．3 B ．5 C ．－3 D ．－53.复数z ＝i 2(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i4.在复平面内，复数11－i＋i 3对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.计算：3－i1＋i＝__________(i 为虚数单位)．6.i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝ .7.i 为虚数单位，复数1＋a i2＋i为纯虚数，则实数a 等于 .8.设t ∈R ，复数z ＝(|t |－1)＋(t 2－2|t |－3)i ，复数z 在复平面上对应的点在抛物线y ＝12x 2上，求实数t .9.设复数z 满足|z ＋4i|＋|z －4i|＝62，求|z ＋2|的最大值．第五单元 平面向量与复数第26讲 平面向量的概念及线性运算1．D 2.A 3.B 4.C 5.(1,3) 6.－13 7.3 28．解析：由三角形中位线定理知DE 綊12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN → ＝12ED →＋DB →＋12BC → ＝－14a －b ＋12a＝14a －b . 9．解析：(1)因为AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →， 所以2t －cos θ＋1＝0，所以cos θ－1＝2t .①又因为|AB →|＝5|OA →|， 所以(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，所以t 2＝1， 所以t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)； 当t ＝－1时，cos θ＝－1，所以B (－1，－1)，所以OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，所以y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54(cos 2θ－65cos θ)＋14 ＝54(cos θ－35)2－15. 所以当cos θ＝35时，y min ＝－15.第27讲 平面向量的数量积1．B 2.A 3.C 4.D 5.－13 6.π47.(－4,4)8．解析：(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， 所以c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． 所以b·c ＝2×6－2×6＝0，所以(b·c )·a ＝0. (2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，所以2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b |b|＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22.9．解析：(1)因为a ⊥b ，所以3cos θ－sin θ＝0， 得tan θ＝3，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.(2)因为2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)， 所以|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)，又θ∈[0，π]，所以θ－π3∈[－π3，2π3]，所以sin(θ－π3)∈[－32，1]，所以|2a －b|2的最大值为16，所以|2a －b|的最大值为4， 又|2a －b|<m 恒成立，所以m >4. 第28讲 平面向量的应用1．C 2.A 3.B 4.B 5.6 6.[π6，5π6] 7.58．解析：(1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，因为AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )， 故知3(1－m )≠2－m ，所以实数m ≠12时，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，所以3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.9．解析：(1)f (x )＝a·b＝22cos x 2sin(x 2＋π4)＋tan(x 2＋π4)tan(x 2－π4)＝22cos x 2(22sin x 2＋22cos x2)＋1＋tan x 21－tan x 2·tan x 2－11＋tanx2＝2sin x 2cos x 2＋2cos 2x2－1＝sin x ＋cos x＝2sin(x ＋π4)．所以f (x )的最大值为2，最小正周期为2π，f (x )在[0，π4]上单调递增，在[π4，π]上单调递减．(2)由(1)知，f (x )＝sin x ＋cos x ，f (x )＋cos x －sin x ＝sin x ＋cos x ＋cos x －sin x ＝0，得cos x ＝0.因为x ∈[0，π]，所以x ＝π2.第29讲 复数的概念与运算1．C 2.B 3.B 4.D 5.1－2i 6.0 7.－28．解析：要使复数z 在复平面上对应的点在抛物线y ＝12x 2上，则2(t 2－2|t |－3)＝(|t |－1)2，所以t 2－2|t |－7＝0，即(|t |－1)2＝8. 所以t ＝±(1±22)．9．解析：设z ＝x ＋y i ，由|z ＋4i|＋|z －4i|＝62的几何意义知z 对应的点在椭圆x 22＋y 218＝1上，所以|z ＋2|＝(x ＋2)2＋y 2 ＝(x ＋2)2＋18－9x 2 ＝－8x 2＋22x ＋20 ＝－8(x －28)2＋814， 故当x ＝28时，|z ＋2|有最大值92. 【真题集训】1．B 由已知z ＝－1－i (－1－i )(－1＋i )＝－12－12i ，所以|z |＝22.2．D 因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －3－i 为纯虚数，所以a －3＝0，即a ＝3，选D.3．A 10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A.4．3 因为3＋b i1－i＝a ＋b i ，所以3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝a ＋b ＋(b －a )i.又因为a ，b 都为实数，故由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3b －a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝3，所以a＋b ＝3.。
总复习《第26讲 平面向量的概念与线性运算》
C． λ＝－2 D． λ＝－1 解析：选 B.由 a＝2e1－ e2 与 b＝ e1＋ λe2 共线，得存在实数 k，
使得 a＝kb，即 2e1－ e2＝ k(e1＋ λe2)．又 e1，e2 不共线，所以 k ＝ 2，－ 1＝ kλ， 1 得 λ＝－ . 2
栏平面向量
3.如图所示， 在平行四边形 ABCD 中， 下列结论中错误的是 ( C ) → → A.AB＝ DC → → → B.AD ＋AB＝AC → → → C.AB－ AD ＝BD → → D.AD ＋ CB＝0
解析：选 C.A 显然正确，由平行四边形法则知 B 正确． → → → C 中 AB－AD ＝DB，所以错误． → → → → D 中 AD ＋CB＝AD ＋DA＝ 0.
λa＋λb ③λ(a＋b)＝_______.
栏目 导引
第四章
平面向量
4．两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实 b＝λa 数λ，使得_______.
温馨提示：向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包 括两向量所在直线平行和重合两种情形．
栏目 导引
第四章
平面向量
1．设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正 确的是( C )
栏目 导引
第四章
平面向量
→ → → 2 4．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|AB－CB＋CD |＝________.
→ → → → → → → 解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.
栏目 导引
第四章
平面向量
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共 1 － 3 线，则λ＝________.
AB DC 即AB与DC平行且相等 ABCD为平行四边形
平面向量的概念及其线性运算
答案 ②③
12
探究提高 关键． 关键．
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的 正确理解向量的相关概念及其含义是解题的
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 ． 相等向量具有传递性 (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． 共线向量即为平行向量 (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 向量可以平移 题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． 题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈． a a (5)非零向量 a 与 的关系是： 是 a 方向上的单位向量． 的关系是： 方向上的单位向量． 非零向量 |a| |a|
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→ ＝2AB， → 变式训练 2 △ ABC 中，AD 3 DE∥BC 交 AC 于 E，BC 边上的中 ∥ ， 线 AM 交 DE 于 N.设AB＝ a，AC＝ b， 设→ ，→ ， 用 a、b 表示向量 → 、BC、DE、DN、 、 表示向量AE → → → → → AM、AN.
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基础自测 → 的结果等于________． → 1．化简 → － QP＋MS－MQ的结果等于 OS ．化简OP → → ．
→ → → → → → → → 解析 OP－QP＋MS－MQ＝OP＋PQ－(SM＋MQ) → → → → → ＝OQ－SQ＝OQ＋QS＝OS.
2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定 不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；
记作 0 非零向量 a 的单位向 a 量为± 量为 |a| 0 与任一向量平行或
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
第26讲 平面向量的概念与线性运算-高三数学一轮复习(提高版)课件
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
求两个向量和的 加法
运算
法则(或几何意义) __三__角__形____法则 __平__行__四__边__形____法则
运算律
(1) 交换律： a＋b＝b＋a； (2) 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法 数乘
求 a 与 b 的相反向
量－b 的和的运算
a－b＝a＋(－b)
叫做 a 与 b 的差
__三__角__形____法则
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2) 当 λ＞0 时，λa 的方向与 a λ(μ a)＝(λμ)a； 求实数 λ 与向量 a 的方向__相__同____；当 λ＜0 时，(λ＋μ)a＝λa＋μa； 的积的运算
λa 的 方 向 与 a 的 方 向 λ(a＋b)＝λa＋λb
②若 A，P，B 三点共线，则存在实数 λ，使B→P＝λB→A， 所以O→P－O→B＝λ(O→A－O→B)．又O→P＝mO→A＋nO→B， 故有 mO→A＋(n－1)O→B＝λO→A－λO→B， 即(m－λ)O→A＋(n＋λ－1)O→B＝0. 因为 O，A，B 不共线，所以O→A，O→B不共线，
所以mn＋－λλ－＝10＝，0， 所以 m＋n＝1.
(1)
(2) 如图(2)，在直角梯形 ABCD 中，D→C＝14A→B，B→E＝2E→C，且A→E＝rA→B＋sA→D，则 2r＋3s 等于( C )
(2)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】 方法一：由题意可得A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋23B→C＝A→B＋23(B→A＋A→D＋D→C)＝ 13A→B＋23(A→D＋D→C)＝13A→B＋23A→D＋14A→B＝12A→B＋23A→D.因为A→E＝rA→B＋sA→D，所以 r＝12，s
高考数学一轮总复习 第26讲 平面向量的概念及线性运算课件 理 新人教A版
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所以O→A＝－(O→B＋O→C)，即O→B＋O→C是与O→A方向相反且 长度相等的向量．
如图所示，以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，
则O→D＝O→B＋O→C，所以O→D＝－O→A， 在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E，B→E＝E→C， 则O→E＝E→D. 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|O→A|＝2|O→E|. 所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
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(4)O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个 点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；
(5)已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点， 若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心．
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三 平面向量 (xiàngliàng)共线问题
【例 3】设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共 线，已知 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，试问 b 与 a ＋c 是否共线？并证明你的结论．
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【解析】 b 与 a＋c 共线，证明如下： 因为 a＋b 与 c 共线，所以存在唯一实数 λ， 使得 a＋b＝λc，① 又因为 b＋c 与 a 共线，所以存在唯一实数 μ， 使 b＋c＝μa，② ①－②，得 a－c＝λc－μa，即(1＋μ)a＋(－1－λ)c＝0. 因为 a 与 c 不共线，由平面向量基本定理，得
素材 (sùcái )3
已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a －3b 平行，且平行时它们是同向还是反向？
人教版数学必修第二册6.2平面向量的概念及线性运算课件
不要把它与函数图象的移动混淆．
(4) 非零向量与
Ԧ
的关系：
是与同方向的单位向量．
Ԧ
考点 2 平面向量的线性运算
[例1] (1) (202X·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D
是半圆弧的两个三等分点，则 ＝( D )
A，P，B三点共线 ⇔ ＝λ(λ≠0)
⇔
＝(1－t)· ＋t
(O为平面内异于A，P，B
的任一点，t∈R)
＝x ＋y
⇔
(O为平面内异于A，P，B的任
一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
1
2
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则 ＝ ( ＋ )．
向量线性运算的解题策略
(1) 向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，
一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，
求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量
转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
跟踪训练
(202X·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝
1
2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝
3
，若＝λ ＋
μ ，则λ＋μ＝( A )
A.
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B．
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பைடு நூலகம்
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C．－
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D．－
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平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是平面上有大小和方向的箭头，可以进行线性运算，包括加法和数乘运算。
这些线性运算可以应用于各种数学和物理问题中，是解决平面几何和物理学中向量计算的重要工具。
一、平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量合并为一个新的向量的过程。
设有两个平面向量A(A₁, A₂)和A(A₁, A₂)，它们的加法运算可以表示为：A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)即将向量A和向量A的对应分量相加得到新向量的对应分量。
二、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量的过程。
设有一个平面向量A(A₁, A₂)和实数A，它们的数乘运算可以表示为：AA = (AA₁, AA₂)即将向量A的每个分量乘以实数A得到新向量的对应分量。
三、平面向量的线性组合线性组合是指将若干个向量按照一定的倍数相加的运算。
设有A个平面向量A₁, A₂, ..., AA和对应的实数A₁, A₂, ..., AA，则它们的线性组合可以表示为：A₁A₁ + A₂A₂ + ... + AAAA其中，A₁, A₂, ..., AA为系数，决定了每个向量的倍数。
四、线性运算的性质平面向量的线性运算具有以下性质：1. 交换律：向量的加法运算满足交换律，即A + A = A + A。
2. 结合律：向量的加法运算满足结合律，即(A + A) + A = A + (A +A)。
3. 数乘结合律：向量的数乘运算满足数乘结合律，即A(AA) = (AA)A，其中A和A为实数。
4. 数乘分配律：向量的数乘运算满足数乘分配律，即(A + A)A = AA + AA，其中A和A为实数。
这些性质使得平面向量的线性运算更加灵活和方便，并且可以简化向量计算的过程。
五、线性运算的应用平面向量的线性运算在几何学和物理学中具有广泛的应用。
1. 几何学应用：平面向量的线性运算可以用来求解平面上的几何问题，例如求两向量之和、求向量的倍数、求向量的线性组合等。
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记作 a=(x,y) ，其中 x 、 y 分别叫做 a 在 x 轴、 y 轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示. 相等的向量坐标 20 相同 ，坐标相同的 向量是 21 相等 的向量.
3.(2014· 福建卷)在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2) 表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
【解析】由向量共线定理，选项 A，C，D 中的向量组是 共线向量，不能作为基底；而选项 B 中的向量组不共线，可 以作为基底．
运算律：交换律、分配律、结合律. 4.平面向量共线定理
； ；当
向量b与非零向量 a共线的充分必要条件 是 15 有且只有一个实数λ，使得b=λa .
5.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内两个 16 不共线 的 向量，那么对这个平面内任一向量 17 有且只有一对 a， .实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
7.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a±b= 22 (x1±x2,y1±y2) . (2)如果23 A(x1,y1),B(x2,y2) , 则 AB = 24 (x2-x1,y2-y1) . (3)若a=(x,y)则λa= 25 (λx,λy) .
x＝－13 3x＝－13 3 所以 ⇒ 4 3y＝－4 y＝－3
8.平行与垂直的充要条件
(1) 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a∥b 的充要 条件是 26 x1y2-x2y1=0. (2) 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a⊥b 的充要 条件是 27 x1x2+y1y2=0.
9.向量的夹角
两个非零向量a和b,作 28 ∠AOB=θ(0°≤θ≤180°) 则 ___________________________ 叫做向量a与b的夹角,记作 29 〈a,b〉=θ . 如果夹角是 30 90° ,我们说a与b垂直,记 作 31 a⊥b .
2.向量的表示方法 用小写字母表示，用有向线段表示， 用坐标表示. 3.向量的运算
加法、减法运算法则：平行四边形法 则、三角形法则.
实数与向量的积：实数 λ 与向量 a 的积 是一个向量，记作λa，它的长度和方向规 定如下：
(1)|λa|=
11
|λ||a| ;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 相同 12 当λ <0时， λa的方向与a的方向 相反 13 14 0 λ=0 时， λa= .
1.向量的有关概念 既有①大小又有② 方向 的量叫做向量. ③ 长度为0 的向量叫做零向量，记作0，规 定零向量的方向是任意的. ④ 长度为1 的向量叫做单位向量. 方向⑤ 相同或相反 的⑥ 非零 向量叫做平 行向量(或共线向量). ⑦ 长度相等 且⑧ 方向相同 的向量叫做相等 向量. ⑨ 长度相等 且⑩方向相反 的向量叫做相反向 量.
→ ＋CD → ＋EF → ＝( 2.如图，在正六边形 ABCDEF 中，BAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA.0 → B.BE → C.AD → D.CF
)
→ ＝AF → ，BF →＝ 【解析】因为在正六边形 ABCDEF 中，CD → ，所以BA → ＋CD → ＋EF → ＝BA → ＋AF → ＋EF → ＝BF → ＋EF → ＝CE → ＋EF → CE →. ＝CF
【解析】③正确．因为 a＝b，所以 a，b 的长度相等 且方向相同，又 b＝c，所以 b，c 的长度相等且方向相同， 所以 a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不 能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而 是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.
4.已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若 a －2b＋3c＝0，则 c 的坐标为( 8 A．(1，3) 13 4 C．( 3 ，3) )
13 8 B．( 3 ，3) 13 4 D．(－ 3 ，－3)
【解析】由 a－2b＋3c＝0，得 3c＝2b－a， 所以(3x,3y)＝2×(－4，－3)－(5，－2)，
=a， OA
=b ， OB
1.给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； → ＝DC → 是四边形 ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是( A ) A．②③ C．③④ B．①② D．④⑤
【解析】①不正确．两个向量的长度相等，但它们的 方向不一定相同． → ＝DC → ，所以|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC →， ②正确．因为AB 又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平 →∥ 行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则AB → 且|AB → |＝|DC → |，因此，AB → ＝DC →. DC
1. 了解向量的实际背景，理解平面 向量的概念，理解两个向量相等的含义， 理解向量的几何表示. 2. 掌握向量加法、减法的运算，并 理解其几何意义，掌握向量数乘的运算， 理解两个向量共线的含义，了解向量线 性运算的性质及其几何意义.
3. 了解平面向量的基本定理及其意义， 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.