指数型复合函数的单调性.(PPT 精品)
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
指数型复合函数
例2.已知x＞0，函数y=(a2－8)x的值恒大于1， 则实数a的取值范围是______．
2x 1
例3：已知函数f(x)=
,讨论：
2x 1
（1）f(x)的奇偶性。 （2）f(x)的单调性。 （3）f(x)的值域。
五.指数型复合函数的定点
例：函数f（x）=ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的 图象恒过定点，则定点P的坐标是_______。
七.指数型复合函数的奇偶性
例1:以下函数是奇函数的是：
（1）f(x)=2-x （3）f(x)=2x-2-x
（2）f(x)=2x+2-x (4) f(x)=2 x2 1
2.已知f(x)=(
2x
1
1
1 2
)x
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性.
指数型复合函数
一.指数型复合函数的定义域和值域 1.求下列函数的定义域和值域：
1
2 （1）y= x4
2x 1 (2)y= 2x 3
1 x24x
(3)y=
2
(4)y=
1 1 x 2
二.换元法求最值
例1.求函数y=
上的值域。
1 4x1 2x Nhomakorabea1
在x
[-3，2]
2.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2•3x+1﹣9x 的最大值和最小值。
六.含有绝对值的指数函数
例：1.函数y=3|x|的单调递增区间是_____． 函数y=3-|x|的单调递增区间是________．
2.函数y=a|x|在( ,0)上是增函数，则a
的取值范围是___________．
3．关于x的方程 2 1x m 1 0有唯一
2x 1
例3：已知函数f(x)=
,讨论：
2x 1
（1）f(x)的奇偶性。 （2）f(x)的单调性。 （3）f(x)的值域。
五.指数型复合函数的定点
例：函数f（x）=ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的 图象恒过定点，则定点P的坐标是_______。
七.指数型复合函数的奇偶性
例1:以下函数是奇函数的是：
（1）f(x)=2-x （3）f(x)=2x-2-x
（2）f(x)=2x+2-x (4) f(x)=2 x2 1
2.已知f(x)=(
2x
1
1
1 2
)x
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性.
指数型复合函数
一.指数型复合函数的定义域和值域 1.求下列函数的定义域和值域：
1
2 （1）y= x4
2x 1 (2)y= 2x 3
1 x24x
(3)y=
2
(4)y=
1 1 x 2
二.换元法求最值
例1.求函数y=
上的值域。
1 4x1 2x Nhomakorabea1
在x
[-3，2]
2.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2•3x+1﹣9x 的最大值和最小值。
六.含有绝对值的指数函数
例：1.函数y=3|x|的单调递增区间是_____． 函数y=3-|x|的单调递增区间是________．
2.函数y=a|x|在( ,0)上是增函数，则a
的取值范围是___________．
3．关于x的方程 2 1x m 1 0有唯一
专题：复合函数的定义及其单调性
y a (0 a 1)
x
y
y a x (a 1)
O
x
图象的解析式是： y a x (a 0且a 0)。此函数是指数函数。 当a 1时，函数在 , 上是增函数； 当0 a 1时，函数在 , 上是减函数。
三.复合函数的定义：
如果y是u的函数,而u又是x的函数,即 y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)] 叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量. 1 u 2 1 x2 2 x 由y ( ) 和 u x 2 x 导入：函数 f ( x) ( ) 3 3 复合而成. 1 u 2 u x 2 x叫内层函数。 我们把 y ( ) 叫外层函数； 3
O
x
b 2a
x
y ax2 bx c(a 0)
图象的函数解析式是：y ax 2 bx c(a 0) 。此函数是二次函数。 b b 当a 0时，函数在 , 上是减函数，在 , 上是增函数； 2a 2a b b 当a 0时，函数在 , 上是增函数，在 , 上是减函数。 2a 2a
y 3
x 2 x 6
2
2
1 1 在 , 上是减函数，在 , 上是增函数。 2 2
y 3
x 2 x 6
1 的单调递减区间为 ， 。 2
1 x 2 3 x 2 练习：求函数 f ( x) ( ) 的单调性. 2 3 1
注意：研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函 数的单调区间是函数定义域的某个区间。
五.复合函数单调区间的求解
例 1.求函数y x 2 4x 3的单调区间。
复合函数的单调性
练习.求函数y 3x2x6的单调递减区间。
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u
x2
x
6
x
1
2
13
, 则y
3u
2 2
y 3u 在定义域内是增函数。
又u
x
1 2
2
13 2
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,上是增函数。
y
3x2
x6
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,
上是增函数。
y
3x2
复合函数y=f[g(x)]单调性
3、对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (u)
增函数
u g(x)
增函数
y f [g(x)] 法
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
又u x 22 1在2,3上是减函数。
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
(问：函数y x2 4x 3的单调递增区间是什么？）
例4.求f (x) log x2 4x 3 的单调区间。 0.4 解： x2 4x 3 0 1 x 3,即定义域为1,3 令u x2 4x 3 x 22 1,
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
例1、求函数y x2 2x-3的单调区间。
补充：复合函数的单调性
拓展训练
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定 解：依题意，f ( x 1) f (x2 1)
义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松；
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
本节新知识
1.在某个区间上，若f(x),g(x)同为增函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
2.在某个区间上，若f(x),g(x)同为减函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
3.在某个区间上，若f(x)为增函数，g(x)为减函 数，则f(x)-g(x)也为增函数；
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻；
TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
例2.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。 解：x2 4x 3 0，即x2 4x 3 0，
复合函数单调性
复合函数单调性一般地，设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。
注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
即我们所说的“同增异减”规律。
求y=122)21(--x x 的单调区间.解 ： 设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数,二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由x ∈R, (复合函数定义域)x ≤1， (u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. y=x17.0;((－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.)y=232x -;(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) y=3)31(+x ,((－∞，+∞)为单调减区间.)y=227x x -；((－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)指数运算和指数函数1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n n(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a a ap p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m且(5)负分数指数幂 n mn ma a 1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。
指数函数及图像.ppt
[规律方法] 1.求含有指数型的函数定义域时，要注意考 虑偶次根式的被开方数大于等于0，分母不为0等限制条件．
2．求含有指数式的复合函数的值域时，要结合指数函数的 单调性和定义域来考虑，不要遗漏了指数函数的值域大于0.
【活学活用 3】 求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝ 1－3x.
解 (1)由 x－2≥0，得 x≥2.
R.因为5－x>0，所以5－x－1>－1，
所以函数的值域为(－1，＋∞)
课堂小结
1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，
且f(0)＝1.
2． 当a>1时，a的 值 越 大，图 象 越 靠 近y轴 ，递增速度越 快．当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速
度越快．
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
人教B版(2019)数学必修(第二册)：4.1.2 指数函数的性质与图像 课件(共104张PPT)
c=0.22.1，则a，b，c的大小关系是( )
A.a<c<b
B.b>a>c
C.b<a<c
D.c>a>b
【解析】选B.a=0.52.1∈(0，1)，b=20.5>1，c=0.22.1， 0.52.1>0.22.1，所以a>c，所以b>a>c.
【加练·固】
已知
a
(
3
)
1 3
,
b
(
3 )
1 4
类型一 指数函数的概念 【典例】1.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数，则a的值 为________. 2.指数函数y=f(x)的图像经过点(π，e)，则f(-π) =________.
【思维·引】1.根据指数函数的解析式的特征列方程 求解. 2.设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(-π).
A.[3，9] C. [ 1，3]
3
B.[ 1，9]
3
D. [ 1，1]
93
3.已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在区间[-1，1]上的最 大值与最小值的差是1，则实数a的值为________.
【思维·引】1.根据被开方数大于等于0求定义域. 2.先确定函数的单调性，再求最值. 3.分情况表示出最大值、最小值，列方程求a的值.
【加练·固】
函数y= 1－(1)x 的定义域为________.
3
【解析】因为函数有意义的充要条件是1- (1)x ≥0，则
3
(1)x ≤1，即x≥0，
3
所以函数的定义域为[0，+∞).
第2课时 指数函数的性质与图像的应用
指数函数_优秀课件
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012·温州调研)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，
f(2)＝4，则
()
A．f(－2)＞f(－1)
B．f(－1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(2)
D．f(－2)＞f(2)
解析：由a－2＝4，a＞0得a＝12， ∴f(x)＝12－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|， 即f(－2)＞f(－1)．
答案： (0,1)
[冲关锦囊] 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应
指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的
指数型函数图象数形结合求解.
[精析考题] [例 3] (2011·宁波三校联考)若函数 f(x)＝a|x－2|(a>0，a≠1)满足 f(1)＝13，则 f(x)的单调递减区间是________．
答案：A
[高手点拨] 本题给出三种比较指数幂大小的方法，法一是构造函 数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意 底数是否大于1；法二与法三两种方法相类似，都是对a、 b、c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数 的大小可得出a、b、c的大小．
答案： [－1，－∞)
5．函数y＝121－x的值域是________． 解析：函数的定义域为R，令u＝1－x∈R，
∴y＝12u>0.
答案：(0，＋∞)
1．分数指数幂与根式的关系 分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数 幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计 算过程．
2．函数y＝ax、y＝|ax|、y＝a|x|(a>0，a≠1)三者之间的关系 函数y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式， 函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象 关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．
专题3复合函数的单调性
二、复合函数y=f[g(x)]单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性.
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)] 法
增函数
增函数
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
的单调递减
小结
判断函数的单调性有哪些方法 1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调性，通过 一些简单结论、性质作出判断.
4、利用复合函数单调性的规则进行 判断.
一、复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数， 则 函数y=f(x)+g(x)也是增函数.
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则 函数y=f(x)+g(x)也是减函数.
结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减 函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数.
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
题型1.求单调区间
例2.求函数y x2 2x 3的单调区间.
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定 义域，在定义域范围内求函数的单调性.
练习1.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
专题3.复合函数单调性
一、复习： 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自 变量x1,x2的值,