综合法与分析法导学案
2.2.1综合法与分析法学案
高二数学学案选修1-2(文科）课题：综合法和分析法学习目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种方法——综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.重点：掌握直接证明的一般步骤，会用综合法和分析法证明一些简单的问题；难点：根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.一、复习回顾用所学知识证明下列不等式：（1）)0,0(2>>+≤b a b a ab ；（2）已知a,b>0，求证：2222()()4a b c b c a abc +++≥.二、探究新知(一)综合法1、定义：利用 和 ，经过 ，最后推导出所要证明的结论成立.2、用综合法证题的框图表示和基本步骤？（二）分析法1、定义：一般的，从 出发，逐步寻求 ，直到最后把要证明的结论归结为判断 .2、用分析法证题的框图表示和基本步骤？三、典例分析例1、如图，ABC ∆在平面α外，,,,R AC Q BC P AB =⋂=⋂=⋂ααα求证R Q P ,,三点共线.例3、在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.例4、求证：5273<+..)(21S ,,CB 2222b a b a b CA a ABC ABC∙-===∆∆求证：中，设、在例例5、如图,SA ⊥平面ABC,AB ⊥BC,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F,求证 AF ⊥SC.思考：请对综合法与分析法进行比较，说出他们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识.例6、已知)(2,Z k k ∈+≠ππβα，且.sin cos sin ,sin 2cos sin 2βθθαθθ=⋅=+ 求证：=+-αα22tan 1tan 1)tan 1(2tan 122ββ+-当堂检测：1、关于综合法和分析法的说法错误的是（ ）A. 综合法和分析法都是直接证明中最基本的两种证明B.综合法又叫顺推证法或有因导果C.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D. 分析法又叫逆推法或执果索因法2、“函数x x x f ln )(-=在区间)1,0(上是增函数”的证明过程“对函数x x x f ln )(-=取导数的,ln )(x x f -='当)1,0(∈x 时，,0ln )(>-='x x f 故函数)(x f 在区间)1,0(是增函数”应用了 的证明方法.3、补充下面用分析法证明基本不等式ab b a ≥+222的步骤：要证明ab b a ≥+222， F E S CB A只需证明ab b a 222≥+，只需证： ，只需证： ，由于 显然成立，因此不等式成立.课后作业：1、用综合法或分析法证明：（1）如果,0,>b a 则2lg lg 2lg b a b a +≥+；（2）求证52276+>+.2、设实数c b a ,,为等比数列，非零实数y x ,分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：.2=+yc x a。
综合法与分析法导教案
1数学选修2-2《2.2.1 综合法与分析法》教案导学案内容一、课标要求：知识与技能（１）了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；（２）了解分析法和综合法的思维过程和特点。
过程与方法（１）通过对实例的分析、归纳与总结的过程，发展学生的理性思维能力；（２）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们的分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观 通过本节课的学习，了解数学直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的好习惯，发展学生的思维能力，逐步形成理性思维和科学精神。
教学重点和难点:重点：分析法和综合法的思维过程及特点。
难点：分析法和综合法的应用。
二、学法点拔：通览教材63～65页，完成导学案，注意根据本节重点、难点，提出自己的问题，要具体，然后把它写在“我的疑问” 中（写在一张纸上）。
三、知识梳理 知识一．直接证明（1）定义：直接证明是从______________或______________出发，根据已知的_________、____________、_______________直接推证结论的真实性。
（2）直接证明的方法有：____________和__________. 知识二．综合法（1）定义：综合法是从_____________推导到____________的思维方法。
具体地说，综合法是从_____________出发，经过逐步的____________，最后达到___________。
（2）综合法的推证过程（1）定义：分析法是一种从______________追溯到____________________的思维方法，具体地说，分析法是从_____________出发，逐步寻求结论成立的____________，最后达到____________或_________________。
教学过程。
综合法与分析法.-教案
综合法与分析法一、教材分析：《综合法与分析法》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．二、教学目标：1、知识与技能：(1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点．2、过程与方法：(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3、情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．三、教学重点： 综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤。
四、教学难点： 综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题。
五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：本节知识点数学是证明中的一种特别方法，它需要学生具备一定的方向思维，执果索因，具备一定的逻辑推理能力，由于逻辑的转换存在困难，大部分学生对于本节课要学习的证明方法还存在一定逻辑推理上的欠缺，还需要老师逐步讲解和引导。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究、讲练结合法七、教学过程一， 1、自主导学： 复习引入回顾不等式：⑴(),02a a b b ≥>+的证明过程；证明：因为222a b a b ab +=+≥=所以2a b +≥=a b =等号成立⑵222a b ab +≥，(,)a b R ∈的证明过程；因为2222()0a b ab a b +-=-≥所以 222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立。
2、合作探究（1）分组探究： 例1．已知 ,,0,a b c ＞且不全相等，求证：222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞证明：222,0b c bc a +≥＞，所以22()2a b c abc +≥ ①因为222,0c a ac b +≥＞，所以 22()2b c a abc +≥ ②因为222,0a b ab c +≥＞，所以 22()2c a b abc +≥ ③由于，,,a b c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得 222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞（2）教师点拨：观察上述证明方法我们可以得到综合法的概念：所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证明的不等式。
《比较法、综合法、分析法证不等式》导学案.doc
《比较法、综合法、分析法证不等式》导学案学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013-5-10 编写人：兰霞审核人：张本如班级：姓名：第一节比较法【导案】【学习目标】1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据。
2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤。
3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用。
【学习重难点】重点：比较法证明不等式是木节的热点。
难点：比较法常与证明指数、对数、数列、三角等不等式综合考查；比校法常常考查西方的思想、转化的思想、分类讨论的思想等。
【学案】【自学导引】1.因为a>b<=> a—b>0,要证a>b,以需要证_______________________________________ ,同样要证a<b,只需证 ___________________________________ o2.如果a, b都是正数，要证a>b,只需证 _________________________________ ；如果a, b都是负数，要证a>b,只需证 ___________________________________ o想一想：1.比较法作差后变形的目的是什么？2.具有什么特点的不等式的证明适合作商比较法？哪种类型的不等式证明常用作商、哪些常用作差？①当b>0时，a>bO 纟>1； b②当 b>0 时，a<b<=> - <1； b③当a>O ，b>0时, 其屮真命题有( A.①②③a ->l<z>a>b ： b)B.①②④④当 ab>0 H 、J, — > 1 <=> a>b« b C.④ D.①②③④2. “a>l” 是“丄 <1” 的( a A.充分而不必要条件C.充要条件B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 已知a, b, c, d 都是正数,且bc>ad, 则纟，出 b b + d a + 2c c. --- b + 2da a + c A. 一 B. --------bb + d设 P=a 2b 2+5, Q=2ab-a 2-4a,且 abHl, aH ・2.出£, £屮最大的是( b + 2d d D.- dQ 的的大小关系是【例题分析】 题型一：两代数式大小的比较【例1】已知x<y<0,试比较(x 2+y 2)(x —y)与(x?—y?)・(x+y)的大小。
高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案 新人教A版选修1-2
§2.2.1 综合法和分析法(二) 学习目标.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习过程一、课前准备4850复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:二、新课导学※ 学习探究探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例13526变式：求证3725小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224--+≥c a b ab三、总结提升※学习小结,P P⋅⋅⋅，直到所有的分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,已知P都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么A.22x y x y xy +<<<B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .1. 已知0a b >>,求证:22()()828a b a b a b a b-+-<.2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。
综合法和分析法2[5篇范例]
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综合法和分析法2[5篇范例]第一篇：综合法和分析法2§2.2.1 综合法和分析法一、教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程、特点。
（二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力。
（三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：了解综合法和分析法的思考过程、特点。
三、教学难点：根据问题的特点，结合综合法和分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用。
四、教学过程:（一）导入新课：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。
数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。
本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
（二）推进新课：1.综合法问题1:已知a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义。
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：学生独立分析，思考，找出以上问题的证明方法。
证明:因为b2+c2≥2bc,a>0，所以a(b2+c2)≥2abc。
因为c2+a2≥2ac,b>0，所以b(c2+a2)≥2abc。
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc。
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
综合法，又叫顺推证法或由因导果法。
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可用框图表示为：p⇒p1→p2⇒p3→p4⇒p5→...→pn⇒Q综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.设计意图：可以学生进一步体会综合法的思考过程和特点，同时为学生用综合法证()()()() 1明数学命题起示范作用。
导学案：综合法和分析法(1)
主备老师:张智亮班级：姓名_____组别：
达标要求
知识目标
结合学过的数学实例了解直接证明数学命题的方法：综合法
能力目标
提高抽象概括能力和严密的推理证明数学命题能力
重点知识
会用综合法证明问题；了解综合法证明数学命题的思考过程.
预习案
阅读理解课本60-61页的内容，回答下列问题：
1.综合法：从命题的出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过推理，一步一步接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为
2．课本60页例1.
检查展示
1．课本61页练习.
深化选讲
1．课本60页例2.
2．课本.
2．课本64页习题第3题.
学案8：2.2.1 综合法与分析法
2.2.1 综合法与分析法学习目标1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点) 2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点) 基础·初探教材整理1 综合法 1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的__________、__________、__________，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有__________与__________． 2．综合法(1)定义：综合法是从__________推导到__________的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论． (2)符号表示：P 0(已知)⇒P 1⇒P 2⇒…⇒P n (结论)． 预习自测1.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)． 教材整理2 分析法1．定义：分析法是一种从__________追溯到产生这一结果的__________的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的__________条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． 2．符号表示：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知) 预习自测2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( ) 合作学习类型1 综合法的应用例1 (1)在△ABC 中， 已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 的形状一定是__________． (2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________． 名师指导1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)． 跟踪训练1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法类型2 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 名师点拨1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解． 跟踪训练2．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.探究共研型探究点 综合法与分析法的综合应用探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？探究2 综合法与分析法有什么区别？例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.名师点拨综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程. 跟踪训练3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .课堂检测1．下面叙述正确的是( )A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的2．欲证不等式3－5＜6＜8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2 B ．(3－6)2＜(5－8)2 C ．(3＋8)2＜(6＋5)2 D ．(3－5－6)2＜(－8)23．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． 4．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________.5．已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)参考答案教材整理1综合法1.(1)定义公理定理(2)综合法分析法2.(1)原因结果预习自测1. 【答案】 综合法【解析】 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． 教材整理2 分析法【答案】 1.结果 原因 充分 预习自测2.【答案】 (1)× (2)× (3)√ 合作学习例1 【答案】 (1)钝角三角形 (2)32 (3)①②④【解析】 (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0， 又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知， x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)． ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14. ③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立． 跟踪训练 1． 【答案】 B例2 解：当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式成立． 跟踪训练2．证明：由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1， 只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab>1，即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证． 探究1 【答案】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2 【答案】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因． 例3 证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫ab ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1. 跟踪训练3．证明：因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy 成立．课堂检测 1．【答案】 A【解析】 直接证明包括综合法和分析法． 2．【答案】 C【解析】 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．3．【答案】 a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0【解析】 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． 4．【答案】 9【解析】 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c＋2c a ·a c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 5．证明：法一：(综合法) 因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋ba －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a ≥a ＋b .法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。
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结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件、组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：统览全题，要点检查，解题后注意对整个题的检查，反思总结解题方法的选取．
2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略.
六．巩固训练（另行印制）。