数形结合思想方法在函数中应用教学设计

数形结合思想方法在函数中应用学案

金堂中学 刘际成

教学目的：通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,

充分利用几何图形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。

教学重点：“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。 教学难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。

一、知识概要

1、数形结合是高三数学第二、三轮复习中四种重要思想方法之一．它既具有数学学科的鲜明特点又是数学研究的常用方法．华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微．”

数形结合就是对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何含义．这是一个极富数学特色的信息转换．对于选择填空题型，数形结合可起到直接解题的作用，在解答题中，则可起到辅助解题作用。

2、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需要做到以下几点；

（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的导数特征；

（2）要恰当引参合理用参，建立关系，做好转化；

（3）要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

（4）精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于求解问题。

二、例题讲练

题型一、结合图形比较数的大小、求不等式解集

【例1】3.02223.0log 3.0与，三个数之的大小顺序是 （ ）

（A ）3.0log 23.023.02<< (B) 3.02223.0log 3.0<<

(C) 3.02223.03.0log << (D) 23.023.023.0log <<

方法引导：（1）直接比较数的大小；（2）联系相应的幂函数、对数函数、指数函数图形，观察图形得解。

变式、不等式1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是

题型二、结合方程或方程组的解的个数问题

【例2】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1

,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程()00)()(2<=+b ，

x bf x f 的不同实根个数有 ( ) （A ）4个 （ B ） 5个 （C ）7个 （ D ） 8个

方法引导：（1）作出函数)(x f y =的图形；（2）由()00)()(2<=+b ，x bf x f 得出 b x f x f -==)(0)(或与)(x f y =的图形结合可求得解。

变式、若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，

函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内零点的个数

是

( ) （A ）5

（B ）7 （C ）8 （D ）10

题型三 结合函数与图象的对应关系考查

【例3 】设集合}0,16),{(2≠-==y x y y x M ，}),{(a x y y x N +==

若φ=⋂N M ，求实数a 的取值范围。

方法引导：（1）在同一坐标系下作出a x y x y +=-=与216的图形；（2）观察直线a x y +=与图形216x y -=的相交情况可求得解。

变式1、设集合}0,16),{(2≠-==y x y y x M ，}),{(a x y y x N +==，若φ≠⋂N M ，则实数a 的取值范围是

变式2、设集合}0,16),{(2≠-==y x y y x M ，}),{(a x y y x N +==，若N M ⋂中只有一个元素，则实数a 的取值范围是

变式3、设集合}0,16),{(2≠-==y x y y x M ，}),{(a x y y x N +==，若N M ⋂中有两个元素，则实数a 的取值范围是

三、课堂练习

1、方程222-=+x x 的实数解的个数为（ ）

（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3

2、若实数y x 、满足⎪⎩

⎪⎨⎧≤>≤+-2001y x y x 则x y 的最小值是 3、若方程 1)lg(x 2)lg(+=kx 只有一个实数解，求实k 的取值范围。

四、课堂小结

运用数形结合解题时，注意以下几点：

1、准确画出图像，注意函数定义域；

2、理解概念、运算的几何意义，建立形与数的关系，做好转化；

3、数形结合即用数研究形，用形研究数，相互结合；

4、数形结合的重点在于“以形助数”，通过“以形助数”使得复杂问题简单化；抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

五、课外练习

1. 【2016高考新课标1卷】函数22x

y x e =-在[]2,2-的图像大致为 （A ）（B ）

（C ）（D ）

2. 抛物线24y x = 的焦点为F ，点(),

P xy 为该抛物线上的动点，又点()1,0A - ,则PF PA

的最小值是（ ） （A ）

12 （ B

） （C

（ D

）3 3. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)()2(+=+x f x f ，且当]1,0[∈x 时，x x f 4)(=，当)2,1(∈x 时，x f x f )1()(=

，令]2,6[,4)(2)(-∈--=x x x f x g ，则函数)(x g 的零点个数为（ ）

（A ） 9

（B ）8 （C ）7 （D ）6

4..已知函数21,0,()(1),0.

x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实

数根，则实数a 的取值范围是

（A ）()0,1 （B ）(],1-∞ （C ）[)0,+∞ （D ）(),1-∞

5.

已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩， 若函数()()F x f x kx =- 有且只有两个零

点，则k 的取值范围为（ ）

(A)(0,1) ( B )1(,1)2 ( C) 1(0,)2

(D) (1,)+∞