立体几何公式

立体几何公式 90．平面

(1)三个公理

①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面上；

②如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点的一条直线；

③经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面。

(2)三个推论

①一条直线和直线外一点可以确定一个平面； ②两条相交直线可以确定一个平面； ③两条平行直线可以确定一个平面。

91．空间中的线面关系

(1)关系①线与线：1212// l l l l ????

??

???

平行:共面相交:异面 ，包括12l l ⊥；

②线与面：// l l l ααα????

??????

直线与平面平行：直线在平面外直线与平面相交:直线在平面内：，

包括l α⊥； ③面与面：//αβ

αβ

????两平面平行:两平面相交:，包括αβ⊥。

(2）判定

((1)) 直线与直线平行的判定

①平行于同一直线的两条直线平行：1212//,////l l l l l l ?； ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行：//,,,//l l m l m αβαβ??=?； ③如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行：

1212,//l l l l αα⊥⊥?；

④如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行：//,a αβαγ?=，//b a b βγ?=?。

((2))直线与平面平行的判定

①如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行：,,////l m l m l ααα???；

②如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面：//,//a a αβαβ??。

③如果平面外的一条直线垂直于平面的一条垂线，那么这条直线和这个平面平行：,,//m l m l m ααα?⊥⊥?。

((3))平面与平面平行的判定

①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个

平面平行：a α?，,,//,//,//b a b a b αββαβ???；

②垂直于同一条直线的两个平面互相平行：,//l l αβαβ⊥⊥?； ③平行于同一个平面的两个平面互相平行：//,////αγβγαβ?。

((4))直线与直线的垂直的判定

①如果两条直线所成的角是直角，那么这两条直线垂直；

②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直：,l m l m αα⊥??⊥；

③如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线：1212//,l l l

l l l ⊥?⊥；

④三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直于平面的一条斜线在平面内的射影，那么这条直线垂直于斜线。相反，如果平面内的一条直线垂直于平面的一条斜线，那么这条直线垂直于这条斜线在平面内的射影。

((5))直线与平面垂直的判定

①如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直：,m

α?,,n l m l n l αα?⊥⊥?⊥；

②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂

直于这个平面：//,m n m n αα⊥?⊥；

③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面：//,m m αβαβ⊥?⊥；

④如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面：,,,m l l m l αβαβαβ⊥?=?⊥?⊥。

⑤如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面：l αβ?=，,l αγβγγ⊥⊥?⊥。

((6))平面与平面的垂直判定

①如果两个平面所成的二面角是直角，那么这两个平面垂直；

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂

直：,l l αβαβ⊥??⊥。

(3)空间角

①异面直线所成的角：过空间中一点，分别做平行于这两条异面直线的平行线，则这两条相交直线所夹的不超过直角的角叫做异面直线所成的角。

(0,]2

π

α∈。

②直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所夹的角叫做这条斜线和平面所成的角；平面的垂线和平面所成的角是直角；如果一条直线在平面内或者和平面平行，规定它和平面所成的角为0?。[0,]2

π

α

∈。

③二面角：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

过二面角的棱上一点，分别在两个半平面内做垂直于棱的射线，这两条射线所夹的角叫做二面角的平面角。[0,]απ

∈。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化解三角形。求空间角一般步骤是：一作、二证、三求解。手段上可采用：几何法和向量法。

(4)空间距离

七种距离：①两点之间的距离，②点到直线的距离，③点到平面的距离，④两异面直线之间的距离，⑤两平行直线之间的距离，⑥平面的平行直线与平面之间的距离，⑦两个平行平面之间的距离。七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离。求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点。

求空间距离：(1)直接法，即直接作垂线，求垂线段的长。(2)转移法，转化成求另一种距离。(3)等体积法或等面积法。 92．三余弦定理

设AC 是平面α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ。则

12cos cos cos θθθ=。 O

93．面积射影定理：'

cos S S

θ=。

(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角为θ) A

94．几何体

(1)柱、锥、台、球的结构特征 ①柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体； ②锥

棱锥：一般的，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面；其余有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

③台

棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥侧面积的比等于顶点到相应截面距离的比的平方。

④球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

⑤组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

球的组合体

a.球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。

b.球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。

c.球与正四面体的组合体: 棱长为a

的正四面体的内切球的半径为12

a ,

外接球的半径为

4

a 。 (2)几种常见凸多面体间的关系

有两个面互相行，而其余每相邻两个面的交线侧棱垂直于底面的棱柱

底面是正多边形的直棱柱

一个面是多边形，其余面是有一

公共顶点

底面是正多边形，且顶点在底面上的射影是底面用一个平行于棱锥底面的平面去截由正棱锥截得的棱台

l表示侧棱长。

12分别表示圆台上、下底面半径，R表示球半径

三角公式

1、和角与差角公式

sin()sin cos cos sin

αβαβαβ

±=±；

cos()cos cos sin sin

αβαβαβ

±=；

tan tan

tan()

1tan tan

αβ

αβ

αβ

±

±=

。

辅助角公式：

sin cos

a b

αα

+=)

α?

+(辅助角?所在象限由点(,)

a b的象限决定,tan

b

a

?=

)。

2、二倍角公式

sin22sin cos

ααα

=；

2222 cos2cos sin2cos112sin ααααα

=-=-=-

22tan tan 21tan α

αα

=

-。

升幂公式

2

1cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=； 降幂公式2

1cos 2sin 2

αα-=，

2

1cos 2cos 2

α

α+=。

3、正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===；

或2sin ,2sin ,2sin a

R A b R B c R C ===，R 是外接圆半径。

4、余弦定理：

222

2cos a b c bc A =+-； 2222cos b c a ca B =+-；2

2

2

2cos c a b ab C

=+-；

或

222222222

cos cos cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab

+-+-+-===

；；

5、同角三角函数的基本关系式

平方关系：

22

sin cos 1

θθ+=，

221tan sec θθ

+=，

221cot csc θθ+=

商数关系：tan θ

=

θ

θ

cos sin ， cot θ

=cos sin θθ

倒数关系：tan 1

cot θθ?=，

sec cos 1θθ=，

sin csc 1θθ=。

6、角度制与弧度制

(1)1?的角的定义：规定周角的1

360

为1?的角；

1弧度的角的定义：规定等于半径的长的圆弧所对的圆心角为 1弧度的角。

(2)180()180,1(),1()180rad rad rad πππ??

=?=??= ???

。 (3)弧长公式：角度制下180

n r

l π=

；弧度制下l r α=。 (4)扇形的面积公式：角度制下2360

n r S π=；弧度制下

2

1122S lr r α==。