数理方程第二章(3)

P54 (13)
Φ′′ + λ Φ = 0, 0 < θ < π , Φ ( 0 ) = Φ ( π ) = 0,
特征值 特征函数
2
ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0, R ( 0 ) < +∞.
λn = n , n = 1,2,...
Φ n (θ ) = bn sin nθ , n = 1,2,...
2 0
π
4T dn = (1 − cos nπ ), n 3 πa n u ( ρ ,θ ) = 4T
π
∑a n
n =1 n
∞
ρn
[1 − ( −1)n ]sin nθ . 3
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ 1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sinθ 0 = ∂ρ ⋅ sinθ + ρ ∂θ cosθ ∂x ∂x
ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0, R ( 0 ) < +∞.
满足可加性, 由于条件 Φ (θ + 2π ) = Φ (θ ) 满足可加性 所以先考虑
Φ′′ + λ Φ = 0 特征值问题 Φ (θ + 2π ) = Φ (θ )
(2.3.8)
结合周期条件， 结合周期条件，可得
u(ρ,θ ) = R(ρ)Φ(θ ),
代入到原方程得: 代入到原方程得:
R′′Φ + 1
ρ
R′Φ +
1
ρ
2
RΦ′′ = 0
分离变量, 分离变量,令其比值为常数 λ ,
ρ R′′ + ρ R′
2
R
Φ′′ =− =λ Φ
由此得到两个常微分方程: 由此得到两个常微分方程:
u(ρ,θ ) = R(ρ)Φ(θ ),
∂ 2u ∂ 2u 2 + 2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b ∂y ∂x u ( x ,0 ) = f ( x ) ; u ( x , b ) = g ( x ) , u ( a , y ) = 0. u ( 0, y ) = 0;
(2.3.1)
ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0 Φ′′ + λ Φ = 0
由自然边界条件和周期性条件知： 由自然边界条件和周期性条件知：
R ( 0 ) < ∞ , Φ (θ + 2π ) = Φ (θ )
于是得到两个常微分方程的定解问题： 于是得到两个常微分方程的定解问题：
Φ′′ + λ Φ = 0 Φ (θ + 2π ) = Φ (θ )
R( ρ ) = cn ρ n , n = 1, 2,...
u ( ρ ,θ ) = ∑ d n ρ n sin nθ ,
n =1
∞
将 u(a ,θ ) = Tθ (π − θ ) 代入上式,
∑
n =1
∞
d na n sin nθ = Tθ (π − θ )
d na
n
∫
π
0
sin nθ dθ = ∫ Tθ (π − θ )sin nθ dθ
0
2π
n ≠ m 时,有
2π 0
cos nθ ⋅ sin m θ dθ = ∫ sin nθ ⋅ sin m θ dθ
0
2π
= ∫ cos nθ ⋅ cos m θ dθ = 0
0
2π
即 {1, cos n θ , sin n θ : n = 1, 2L} 在区间 [0, 2π ] 是正交的。
经过化简, 注1: 经过化简, 方程的解可以表示为
ρ a1 = , an = 0, n ≠ 1, 因此解为 u ( ρ ,θ ) = cosθ ρ0 ρ0
1
例 一 半 径 为 a 的 半 圆 形 平 板, 其 圆 周 边 界上 的 温 度 保持 u(a ,θ ) = Tθ (π - θ ), 而直径边界上的温度保持 为0度,板的侧面绝缘,试求稳恒状态下的温度分布 规律 u( ρ ,θ ).
2 2 nπ λn = a 2 X ( x ) = C sin nπ x n n a
n = 1, 2, L
代入到关于 y 的方程 一组解： 一组解：
得到 Y(y) 的
Yn ( y ) =
nπ y ′ Ane a
′ + Bne
−
nπ y a
从而得到方程(2.3.1)满足条件 满足条件(2.3.3)的一组特解： 的一组特解： 从而得到方程 满足条件 的一组特解
例：解定解问题
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u + 2 = 0 ( 0 < ρ < ρ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π ) 2+ 2 ρ ∂ ρ ρ ∂θ ∂ρ u | (0 ≤ θ ≤ 2π ) ρ = ρ0 = cosθ
解: 直接利用公式， 直接利用公式， a0 ∞ n cos θ = + ∑ ρ0 ( an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1 注意到三角函数的正交性质, 注意到三角函数的正交性质 可得 bn = 0, n = 1,2,...
利用叠加原理，方程 满足条件(2.3.5)—(2.3.7) 利用叠加原理，方程(2.3.4)满足条件 满足条件 的解可表示为: 的解可表示为
a0 ∞ n u ( ρ , θ ) = + ∑ ρ ( an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1
其中 a0 = 2a c , an = a c , bn = b c .
时的系数, 即
a0 =
bn =
π∫
1
n 0
1
2π
0
f (θ ) dθ ,
2π
an =
ρ π∫
n 0
1
2π
0
f (θ ) cos nθ dθ
ρ π∫
0
f (θ ) sin nθ dθ , n = 1,2,...
∫
∫
2π
0
1 ⋅ cos nθ dθ = ∫ 1 ⋅ sin nθ dθ = 0, n = 1, 2,...
1 u( ρ,θ ) = 2π
2π
∫
0
ρ −ρ f (t) 2 2 dt ρ0 + ρ − 2ρ0ρ cos (θ − t )
2 0 2
其中 0 ≤ θ ≤ 2π， < ρ 0 . ρ
上式称为圆域内的泊松公式 上式称为圆域内的泊松公式. 圆域内的泊松公式 半圆域、扇形域、 注2: 半圆域、扇形域、圆环域等区域上的 拉普拉斯方程的边值问题可用类似方法求解。 拉普拉斯方程的边值问题可用类似方法求解。
∂ρ ∂θ − sinθ = cosθ , = ∂x ∂x ρ
同理
∂ρ = sinθ , ∂y
∂θ cosθ = ρ ∂y
§2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
矩形域上的拉普拉斯方程 考虑矩形薄板稳恒状态下的温度分布问题。 考虑矩形薄板稳恒状态下的温度分布问题。 设薄板上下两面绝热， (x=0, ) 设薄板上下两面绝热，板的两边 ( =0, x=a) 始终保 持零度, 持零度 另外两边 ( y=0, y=b) 的温度分别为 f(x) 和 g(x) , 求板内稳恒状态下的温度分布规律。 求板内稳恒状态下的温度分布规律。 点处的温度。 解：用 u(x, y) 表示板上 (x, y) 点处的温度。定解 问题为： 问题为：
−
nπ y a
nπ )sin x a
仍满足方程(2.3.1)和条件 和条件(2.3.3)。 仍满足方程 和条件 。 考虑到 (2.3.2)：u(x,0) = f (x), u(x,b) = g (x), 得 ：
a 2 nπ An + Bn = ∫ f ( ξ ) sin ξ dξ a0 a a nπ nπ b − b A e a + B e a = 2 g ξ sin nπ ξ dξ . n ∫ ( ) a n a0
X + λ X = 0, Y − λY = 0
'' ''
由边界条件可以知道： 由边界条件可以知道：X(0)=X(a)=0，也就是说 ，
X '' ( x ) + λ X ( x ) = 0 X ( 0) = X ( a ) = 0
这个常微分方程的特征值和特征函数分别为： 这个常微分方程的特征值和特征函数分别为：
R0 = c0 + d 0 ln ρ , λ = 0， Rn = cn ρ n + d n ρ − n , λ = n 2 (n = 1,2, L).
通解为
为了保证 | R(0) |< +∞ , 必须有 d n = 0, n = 0, 1, 2,..., 即
Rn = cn ρ n , n = 0, 1, 2,...,
(2.3.2) (2.3.3)
思路：ห้องสมุดไป่ตู้想象为时间， 思路：应用分离变量法 ，将 y想象为时间，将 想象为时间 (2.3.3)看作 齐次 边界条件。 看作(齐次 看作 齐次) 边界条件。 设u( x, y) = X( x)Y( y), 且 u( x, y) (2.3.1), 分离变量得 分离变量得
0, 代入方程
' 0 0 ' n n ' n n
应用条件 u |ρ = ρ0 = f (θ ) ,
a0 ∞ n f (θ ) = + ∑ ρ0 ( an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1
n n a 因此， 0 , ρ 0 an , ρ 0 bn 就是 f (θ ) 展为Fourier 级数
un ( x, y) = ( An e
nπ y a
+ Bn e
−
nπ y a
nπ ) sin x a
方程(2.3.1)和边界条件 和边界条件(2.3.3)都是线性齐次的，由 都是线性齐次的， 方程 和边界条件 都是线性齐次的 叠加原理
u( x, y) = ∑( An e
n=1
∞
nπ y a
+ Bn e
n = 1, 2L
由上式解出 An 和 Bn , 即得原方程的解。
练习：在矩形 (0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b ) 中求解拉普拉斯 方程的定解问题 :
提示：将第三式看作边界条件。 提示：将第三式看作边界条件。
圆域上的拉普拉斯方程
的圆形薄板，板的上下两面绝热， 考察一个半径为 ρ 0 的圆形薄板，板的上下两面绝热， f (θ ) (0 ≤ θ ≤ 2π ), 圆周边缘的温度为已知函数 且 f (0) = f (2π ). 求稳恒状态下的温度分布规律。 求稳恒状态下的温度分布规律。 解：稳恒状态下的温度分布满足拉普拉斯方程。 稳恒状态下的温度分布满足拉普拉斯方程。 由于是圆形区域，为了应用分离变量法，采取极 由于是圆形区域，为了应用分离变量法，采取极 坐标变换： 坐标变换：
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
点的温度， 用 u( ρ ,θ ) 表示圆形板内 ( ρ ,θ ) 点的温度，则问题 可以转换（如何转化？ 为解定解问题： 可以转换（如何转化？）为解定解问题：
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂θ 2 = 0 ( 0 < ρ < ρ 0 ) (2.3.4) 1 ∂ 1 ∂ 2u ∂u (ρ )+ 2 = 0 或者 2 ρ ∂ ρ ∂ρ ρ ∂θ u | (2.3.5) ρ = ρ 0 = f (θ )
2 特征值 λn = n , n = 0,1,2,...
特征 函数
′ Φ 0 (θ ) = a0 , Φ n (θ ) = an′ cos nθ + bn′ sin nθ , n = 1,2,...
下面解方程
ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0, (2.3.9) Euler 方程 R ( 0 ) < +∞.
u ( 0, θ ) < +∞ u ( ρ , θ + 2π ) = u ( ρ , θ )
(2.3.6) 自然边界条件 (2.3.7) 周期性条件
设方程(2.3.4)满足条件 满足条件 设方程 (2.3.5)—(2.3.7)的解为: 的解为: 的解为
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u + + 2 =0 2 2 ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂ρ
提示: 定解问题
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂θ 2 = 0, ( 0 < ρ < a , 0 < θ < π ) 0<θ <π, u( a ,θ ) = Tθ (π − θ ), u( ρ ,0) = u( ρ , π ) = 0, 0 ≤ ρ ≤ a, | u(0,θ ) |< +∞ , 0≤θ ≤π.