圆的内接正多边形与计算

一、正多边形与圆

1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形的相关概念

（1）我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

（2）外接圆的半径叫做正多边形的半径.

（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

（4）中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.

3、正多边形的性质

（1）正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。

（2）偶数边的正多边形是中心对称图形。

4、正多边形的有关计算

（1）正n边形的每个内角都等于

（2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于

（3）正n边形的边长a，半径R,边心距r，周长P,面积S的关系（特别要掌握正三角形、正方形和正六边形）

巩固练习：

1、已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为

2、正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为

3、边长为a的正方边形的边心距为

4、半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为

5、正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_________．

6、若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是

7、有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm．

8、已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是____________．

9、下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

（A）正三角形．（B）正五边形．（C）正六边形．（D）正七边形．

二、圆中计算的相关公式

1、若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l

（1）弧长公式：

（2）扇形面积公式：

（3）圆锥的侧面积：

（4）圆锥表面积：

（4）圆柱体表面积公式：

2、常见组合图形的周长、面积的几种常见方法

（1）公式法（2）割补发（3）拼凑法（4）等积变换法

巩固练习：

1、扇形的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长

2、若75°的圆心角所对的弧长是π5.2，此弧所在圆的半径为

3、一扇形的弧长为π

12，圆心角为120°，求扇形的面积

4、已知扇形的弧长是2π厘米，半径为12厘米，则这个扇形的圆心角是

5、已知扇形的圆心角为150 ，它所对的弧长为20π厘米，则扇形的半径是________厘米，扇形的面积是__________平方厘米．

6、扇形的圆心角为120 ，弧长为6π厘米，那么这个扇形的面积为_________．

7、圆锥的母线长为5厘米，高为3厘米，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是_________度．

8、已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是

9、一个圆柱形油桶的底面直径为0.6米，高为1米，那么这个油桶的侧面积为

10、一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是

11、在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝

90．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆

锥，其表面积为S

1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S

，那么S

∶S

等于

12、在Rt△ABC中，∠C＝

90，AＢ＝3，BC＝1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得

圆锥的侧面展开图的面积是__________．

13、如图，以圆柱的下底面为底面，上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4，高线长为3，则圆柱的侧面积为（）

（A ）30π （B ）76π （C ）20π （D ）74π

14、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ 90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为

15、如图，正六边形ABCDEF 的边长的上a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是

16、如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是

17、如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，且OA ＝5，∠AOB ＝30 ，AC ⊥OB 于C ，则图中阴影部分的面积（结果保留π）S ＝_________．

18、如图，扇形的半径OA ＝20厘米，∠AOB ＝ 135，用它做成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面的半径为

20、如图，正六边形ABCDEF 中．阴影部分面积为123平方厘米，则此正六边形的边长为

21、如图，若四边形ABCD 是半径为1和⊙O 的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为

22、如图，圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则ABM S △∶AFM S △＝_________．

23、某种商品的商标图案如图所求（阴影部分），已知菱形ABCD 的边长为4，∠A ＝ 60，是以A 为圆心，AB 长为半径的弧，

是以B 为圆心，BC 长为半径的弧，则该商标图案的面积为_________．

第七节圆的内接正多边形

3.7 圆的内接正多边形教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．【知识要点】 1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2．正多边形与圆的有关定理把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形； (3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形； ②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1. 从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。 3. 正多边形的其它性质 (1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。 4. 正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的有关计算公式注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边

《圆内接正多边形》教案2.docx

《圆内接正多边形》教案2 一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学己经学习过圆和正多边形，对圆和正多边形的特点有所了解，在本章前面几节课中，又学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系的基本技能. 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索圆的性质，解决了一些简单的现实问题，感受到了圆的性质，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析根据学生已有的认识基础和本课的教材地位、作用，依据教学大纲，确定本课的教学目标为：知识目标：（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习屮，体会到要善于发现问题、解决问题, 培养学生的概括能力和实践能力. 情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识. 教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算. 教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 三、教学设计分析本节课设计了八个教学环节：课前准备一一社会调查、情境引入、圆内接正多边形的概念、例题学习、尺规作图、练习与提高、课堂小结、布置作业. 第一环节课前准备活动内容：社会调查（提前一周布置）以4人合作小组为单位，开展调查活动：（1）各尽所能收集生活中各行各业、各学科中应用的各种正多边形形状的物体或照片. （2）对收集的其中最感兴趣的一件正多边形形状的物体进行研究.

九年级数学下册第三章圆8圆内接正多边形练习无答案新版北师大版

九年级数学下册第三章圆8圆内接正多边形练习无答案新版北师大版 1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( ) (1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形 A ．(1)(2) B ．(2)(3) C ．(1)(3) D ．(1)(4) 2．以下说法正确的是 A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形． B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条． C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数． D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( ) A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．1:2:3 D ． 3:2:1 4.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（） A ．2 1 B ．2 2 C ． 41 D ．42 5．已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为 ______________________．第5题图第6题图 6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ． 7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA / H 的大小是度． O B C D A E F E D C B A O

8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为． 9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形 10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。 (1)求图10－1中∠APN 的度数； (2)图10－2中，∠APN 的度数是_______，图10－3中∠APN 的度数是________。 (3)试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系（直接写答案） A B C P N O . 图10－1 . O A B C D N P 图10－2 A B C D M P . O 图10－3 . M N P O 图10－4 B C O D E C B A

正多边形的有关计算一

正多边形的有关计算一、素质教育目标 (一)知识教学点使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题． (二)能力训练点 1．通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力； 2．通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力； 3．通过用不同方法求正多边形的内角，培养学生的发散思维能力和选优意识； 4．从具体边数的正n边形得到一般正n边形的计算图培养学生化归、转化的数学思想． (三)德育渗透点 1．由具体边数的正多边形计算图过渡到一般计算图，渗透了“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证唯物主义认识观； 2．正多边形计算图的得出渗透了化繁为简、化难为易二矛盾相互依存、相互转化的思想； 3．通过正多边形的有关计算，培养学生仔细认真、一丝不苟、严谨的科学态度； 4．通过正多边形有关计算公式的推导，培养学生不断探索科学奥秘的创新精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．重点：1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理．2．正多边形计算图及其应用． 2．难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．

3．疑点及解决方法：学生对只画出正n边形的一部分图形的计算图生疏，用它分析、计算有疑虑．为此计算图的抽象应由具体边数的正多边形计算图逐步过渡．三、教学步骤 (一)明确目标前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算． (二)整体感知大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题． (三)重点、难点的学习与目标完成过程哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．) 什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．) 正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．) 什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．) 正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)

2019春九年级数学下册第三章圆 3.8 圆内接正多边形课时作业 (新版)北师大版

3.8圆内接正多边形知识要点基础练知识点1正多边形与圆 1.以下说法正确的是(C) A.每个内角都是120°的六边形一定是正六边形 B.正n边形的对称轴不一定有n条 C.正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数 D.正多边形一定既是轴对称图形,又是中心对称图形 2.小颖同学在手工制作中,把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为(B) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 3.如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,则∠ADB的度数是(C) A.60° B.45° C.30° D.22.5° 知识点2正多边形的性质 4.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是(A) A. B. C. D. 【变式拓展】以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形,则 (B) A.这个三角形是等腰三角形

B.这个三角形是直角三角形 C.这个三角形是锐角三角形 D.不能构成三角形 5.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论正确的是(D) ①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长;②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长;③ ;④∠BAC=30°. A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 6.(贵阳中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为6,则这个正六边形的边心距OM的长为3. 7.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹) 解:如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求.

初中数学九年级下册圆内接正多边形1

3.8 圆内接正多边形教学目标 1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点) 2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点) 3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点) 教学过程一、情境导入这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？二、合作探究探究点：圆内接正多边形【类型一】圆内接正多边形的相关计算已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．解析：根据题意画出图形，可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积．解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝1 6 ×360°＝60°， ∴中心角是60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC .∵OH ＝ 3，sin ∠OBC ＝OH OB ＝3 2 ，∴OB ＝BC ＝2.∴内角为 180°×（6－2） 6 ＝ 120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×1 2×2× 3 ＝6 3. 方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．【类型二】圆内接正多边形的画法如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°； (2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵； (3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD ； (2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径AE ； (2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ， C ； (3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ， ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合如图，已知正三角形的边长为2a . (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积； (2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？ (4)已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．解：(1)设正三角形ABC 的中心为 O ，BC 切⊙O 于点D ，连接OB 、OD ，则OD ⊥BC ，BD ＝DC ＝a .则S 圆环＝π·OB 2－π·OD 2＝π OB 2－OD 2 ＝π·BD 2

初中数学《正多边形的有关计算》的教案设计

初中数学《正多边形的有关计算》的教案设计 1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题． 2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力； 3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．

哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．) 什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．) 正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．) 什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．) 正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)

哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正 n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补)．根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中 (幻灯展示练习题，学生思考，回答) 1．正五边形的中心角度数是____ __；每个内角的度数是______； 2．一个正n边形的一个外角度数是360，则它的边数n=______，每个内角度数是__ ____；

北师大版初三数学下册8圆内接正多边形(20210204010327)

3.8圆内接正多边形教学目标：（1）使学生理解圆内接正多边形及相关概念；（2）通过圆内接正多边形及相关概念的教学，培养学生归纳和解题能力；通过圆内接正六边形、圆内接正四边形的作图培养学生作图能力以及观察、猜想、推理、迁移能力；（3）进一步向学生渗透“特殊一一一般”再“一般一一特殊”的唯物辩证法思想. 教学重点：圆内接正多边形相关计算，用尺规作圆内接正六边形. 教学难点：能把圆内接正多边形相关计算转化为解直角三角形问题. 教学活动设计：一.复习引入出示课件（2）提问： 1 ?等边三角形、正方形的边、角各有什么性质？教师组织学生进归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点 2. 什么样的图形是正多边形？二新课讲解（一）正多边形的概念：（1 ）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形?如果一个正多边形有n（n > 3）条边，就叫正n边形?等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形. （2）概念理解和应用：出示课件（3） ①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形?（正三角形、正方形、正六边形，…….）（二）分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢? 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆. 分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分?要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形?要将圆六等分呢？（三）圆内接正多边形概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫圆内接正多边形。这个圆叫做该正多边形的外接圆。定理：把圆分成n（n > 3）等份，（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 我们以n=5的情况进行证明?出示课件（4）已知：。O 中，弧AB =弧BC=M CD =弧DC=M DE 求证：（1）五边形ABCDE是O 0的内接正五边形；证明：（略）引导学生分析、归纳证明思路：弧相等可得弦相等、圆周角相等说明：（1）要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即: ①依次连结圆的n（n >3）等分点，所得的多边形是正多边形；②经过圆的n（n >3）等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形. （2）要注意定理中的“依次”、“相邻” 等条件. （3）此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形. （四）圆内接正多边形相关概念（出示课件6）圆内接正多边形的中心、中心角、边心距（五）初步应用例出示课件（7）解（略）

圆内接正多边形

圆内接正多边形学习目标： 1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。 1学习过程： 1、复习回顾正n边形的有关计算公式：每个内角= ，每个外角= 。 2、预习、交流并展示阅读课本97页到98页，回答下列问题（1）都在同一个圆上的正多边形叫做，这个圆叫做该正多边形的。 (2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，正n边形的中心角是，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的。如上图，五边形ABCDE是☉O的，☉O是五边形ABCDE 的圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径，是正五边形ABCDE的中心角，中心角是

度，OM⊥BC，垂足为M，是正五边形ABCDE的边心距。（3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形以圆内接正六边形为例：由于正六边形的中心角为，因此它的边长和外接圆的半径R ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。作法如下：（1）☉O的任意一条直径AD，如图（1）（2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。（3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。

历年初三数学正多边形和圆及正多边形的有关计算及答案

中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算. 一、基础知识及其说明： 1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形. 2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证. 判定定理:把圆几等分(3≥n ) ①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形 ②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接n 边形ABCDEF ……是圆内接正n 边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切n 边形是圆外切正n 边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 已知:在⊙O 中,多边形ABCDE …… 是⊙O 的内接n 边形且AB=BC=CD=DE=……. 求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE …… ∴OEB=AEC= BED=COE=…… ∴ΛΛ=∠=∠=∠=∠D C B A 又∵AB=BC=CD=DE=…… ∴n 边形ABCDE ……是正n 边形. 例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形. 已知:多边形F E D C B A ''''''……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,F E D C B A '∠='∠='∠='∠='∠='∠=……. 求证:n 边形F E D C B A ''''''……是正n 边形. 证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD C '和四边形BOC B '中 ∵D C C B B A '''''',,切⊙O 于B,C,D ∴ο90='∠='∠='∠='∠C OD C OC B OC B OB ∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B 而='∠='∠='∠C B A …… ' ∴COD BOC ∠=∠

北师大版九年级数学下册《圆内接正多边形》教案-新版

第三章圆《圆内接正多边形》教学设计说明一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过圆和正多边形，对圆和正多边形的特点有所了解，在本章前面几节课中，又学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系的基本技能. 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索圆的性质，解决了一些简单的现实问题，感受到了圆的性质，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析根据学生已有的认识基础和本课的教材地位、作用，依据教学大纲，确定本课的教学目标为：知识目标：（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力. 情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识. 教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.

教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 三、教学设计分析本节课设计了八个教学环节：课前准备——社会调查、情境引入、圆内接正多边形的概念、例题学习、尺规作图、练习与提高、课堂小结、布置作业. 第一环节课前准备活动内容：社会调查（提前一周布置）以4人合作小组为单位，开展调查活动：（1）各尽所能收集生活中各行各业、各学科中应用的各种正多边形形状的物体或照片. （2）对收集的其中最感兴趣的一件正多边形形状的物体进行研究. 活动目的：通过第1个活动，希望学生能从生活中的正多边形形状的物体中获取尽可能多的知识，体会在社会生活中正多边形的实际意义，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；而在第2个活动中，学生通过对他们感兴趣的问题展开研究或查阅资料，经历探索的过程，并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神.同时这两个活动所收集的物体为后面分析正多边形提供了极好的素材，在课堂中用源于学生真实调查展开教学，必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性. 第二环节情境引入活动内容：各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体（可以是照片、资料、也可以是亲自仿制），并解说从中获取的知识（选3—4个小组代表讲解）活动目的：激起学生对探索正多边形与圆的兴趣，让学生学会用数学语言表述问题，培养学生从物体中获取知识的能力，并从中归纳总结正多边形的特点，体会数学来源于生活，并服务于生活，增强学生的应用意识，而且由此引出我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）第三环节圆内接正多边形的概念

正多边形的有关计算(一)

正多边形的有关计算(一) 教学目的：1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题．2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；教学重点：化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．教学难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．二、新课讲解：哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．)什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．)正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．)什么叫正多边形的中心角？(安

排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．)正n 边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数正n 边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补)．根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中(幻灯展示练习题，学生思考，回答)1．正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；2．一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；3．一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______．对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路．解此方程n=9．幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形．如图7-138，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．1．观

九年级数学下册3_8圆内接正多边形正多边形和圆课标解读素材新版北师大版

正多边形和圆课标解读一、课标要求正多边形和圆一节包括一个例题、一个画图，都是正多边形和圆之间的关系．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对正多边形和圆一节提出了具体的教学要求，本小节的教学要求是： 1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 2．能用尺规完成作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．二、课标解读正多边形是生活中常见的图形，因此正多边形的有关计算在生活中经常用到．圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系．由于正多边形与圆有着密切的联系，所以可以应用圆的有关知识来研究正多边形的问题．正多边形是一种特殊的多边形，在生产和生活中有着广泛的应用，它有一些类似于圆的性质．例如正多边形的边数越多，它的周长就越接近圆的周长，它的面积就越接近圆的面积．又如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合．而正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；而且绕中心每旋转一个中心角，都能和原来的图形重合，这是正n边形的旋转对称性；当n为偶数时，它也是中心对称图形．本小节需要学习的内容是： 1．了解正多边形的对称性，正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数等于正多边形的边数；正多边形都是旋转对称图形，旋转中心是圆心，旋转的最小角度等于正多边形的中心角；正偶数边形是中心对称图形．由于学生对轴对称图形、中心对称图形的概念比较熟悉，通过操作、思考来解答课本中提出的问题一般不会感到困难，所以，教学中要发挥学生的主体作用，通过学生的独立思考、实践自主解决． 2．学生应该掌握正多边形的中心、中心角、半径、边心距等有关概念，如图，会计算

通用版2020年中考数学总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)-最新

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】 1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆 1、正多边形的有关概念： (1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. (2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心. (3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径. (4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径） (5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角. 2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n ≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形. (2)这个圆是这个正多边形的外接圆. （3）把圆分成n(n ≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形.这个圆叫做正n 边形的内切圆. （4）任何正n 边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3、正多边形性质： (1)任何正多边形都有一个外接圆. (2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. (3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 要点诠释：（1）正n 边形的有n 个相等的外角，而正n 边形的外角和为360度，所以正n 边形每个外角的度数是360n ；所以正n 边形的中心角等于它的外角. （2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比. 考点二、圆中有关计算 1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为R 的弧长 . 圆心角为，半径为R ，弧长为的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差计算. 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R ，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.

24.3正多边形和圆教案

24.3 正多边形和圆教案教学内容 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，?正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距． 2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法．教学目标了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．重难点、关键 1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系． 2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．教学过程一、复习引入请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？ 2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、?中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；?正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，?正六边形ABCDEF ，连结AD 、CF 交于一点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，那么肯定B 、C 、?D 、E 、F 都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O ?分成相等的6?段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF ，下面证明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF 又∴∠A= 12BCF=1 2（BC+CD+DE+EF ）=2BC ∠B=12CDA=1 2 （CD+DE+EF+FA ）=2CD ∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

北师大九下第17讲正多边形和圆(基础)

正多边形和圆【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

正多边形的有关计算1汇总

第四单元正多边形和圆一、教法建议抛砖引玉本单元主要讲授正多边形和圆，正多边形的有关计算，画正多边形，圆周长、弧长，圆、扇形、弓形的面积，圆柱和圆锥的侧面展开图等内容，在教学时，在已学过的等边三角形、正方形的基础上，首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形定义和圆的有关知识，推导出正多边形与圆的关系的两个定理。在教学中，抓住“任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆”这个定理和圆的有关概念，得到了“正n边形的半径和边心距，把正n边形分成2n个全等的直角三角形”这个定理，从而使正多边形的边长、半径、边心距、中心角的有关计算转化为解直角三角形的问题，进而解决了正多边形周长和面积的计算。应用“把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形”这个定理，把正多边形的画图转变为等分圆的问题，应用圆的有关知识容易等分一个圆，从而解决了正多边形的画图问题，圆的有关计算，在教学时，要在小学学过的圆周长、圆面积和扇形面积计算公式的基础上，推导出弧长的计算公式，进而应用这些公式计算弓形等一些简单组合图形的周长和面积。由于圆锥侧面展开图是扇形，也可类比解决有关圆锥、圆柱表面积的有关计算，有机地使理论与实践相结合，解决一些简单的实际问题。本单元是初中几何最后一部分内容，本单元的学习要用到前面学过的许多知识，同时随着知识的丰富，能力的提高，对学生综合运用知识解决问题的要求也不断提高了，不仅需要灵活地运用平面几何的知识，有时还需要综合运用代数或其他学科的知识。总之，在教学中，要注意数学思维能力的培养，注重教学方法的锤炼，以逐步适应在三维空间里思考问题，推进素质教育，不断提高教学素养。指点迷津正多边形的有关计算方法、图及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。如何将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题，其关键是理解正多边形的概念，作正多边形的边心距和半径或圆外切多边形与圆相切的切点与圆心相连，构造出直角三角形，借助解直角三角形的方法便可水到渠成，弓形、扇形、圆有关面积计算，它们之间联系密切，只要抓住圆面积计算，主要矛盾就解决了。当然，弧长、圆周长与此类似。有关圆柱、圆锥的计算问题，只要展开空间想象翅膀，结合公式，解题思路即可畅通。对正n边形有关定理证明，一般来说对“n”的接受理解不习惯，总有一种不踏实的感觉，思维受具体图形的局限，为此，通过具体实例，使认识从具体抽象到一般，从部分到整体，从量到质变，实现认识上的飞跃，充分认识证明方法的通用性，以提高思维能力。二、学海导航思维基础知识是思维的基础，特别是基础知识，它有着广泛的应用，因而掌握它，就能使思路广。请回答下列问题。 1．主要概念及性法：（1）的多边形叫做正多边形。（2）把圆周n（n≥3）等份，依次连结各点得到圆的；分别过各分点作圆的切线得到圆的。（3）任何一个正多边形都有一个圆和圆，这两个圆是圆。（4）的正多边形都相似；正多边形都是对称图形；偶数边的正多边形还是对称图形。 2．主要计算公式：（1）正n边形的内角为，每个内角为，每个外角为，每个