2016兰州石化职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
2016呼和浩特职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网一、选择题1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)解析：选B.∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，∴m＝－4.∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，m)＝(－4,4＋3m)＝(－4，－8)．2．下列命题正确的是()A．单位向量都相等B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1解析：选C.对于选项A，单位向量方向任意，大小相等，故选项A错误；对于选项B，若b为零向量，则a，c不一定共线，故选项B错误；对于选项C，根据向量的几何意义，对角线相等的四边形是矩形，所以a·b＝0，故选项C正确；对于选项D，单位向量可能有夹角，所以不一定是a·b＝1，故选项D错误．故选C.3.如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a、b表示AD→，则AD→等于()考单招——上高职单招网A ．a ＋34bB.14a ＋34b C.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析：选B.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b ，故选B.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)解析：选D.设c ＝(a ，b )，则c ＋a ＝(1＋a,2＋b )，b ＝(2，－3)． 又∵(c ＋a )∥b ，∴(1＋a )(－3)－2(2＋b )＝0.① 又∵a ＋b ＝(3，－1)，c ＝(a ，b )且c ⊥(a ＋b )， ∴3a －b ＝0.②解①②得⎩⎨⎧a ＝－79b ＝－73，∴c ＝(－79，－73)．5．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C.由题意知m ·n ＝0， ∴3cos A －sin A ＝0，考单招——上高职单招网∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， 即sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin(π－C )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ， ∴sin C ＝1，∵0<C <π，∴C ＝π2，∴B ＝π6. 二、填空题6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析：∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1. 答案：－17．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.解析：由题意画出图形如图所示，取一组基底{}AB →，AC →，结合图形可得 AD →＝12(AB →＋AC →)， BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC→－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.答案：－14考单招——上高职单招网8．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．若|a |＝|b |且a 、b 不共线，则(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝________；若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，则λ＝________.解析：∵|a |＝|b |且a 、b 不共线，∴(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝(λa －λb )·(a ＋b )＝λ(|a |2－|b |2)＝0.∵BC →＝(1,2)，∴f (BC →)＝λ(1,2)，AB →＝(2,4)，∴λ＝2. 答案：0 2 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解：(1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)．求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2， 易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5， ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.10．已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin2θ的值．考单招——上高职单招网解：(1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． ∵|AC →|＝|BC →|，∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2， 化简得2sin θ＝cos θ.∵cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)， ∴tan θ＝12.(2)∵OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)． ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴sin θ＋cos θ＝12. ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴sin2θ＝－34.11．已知点C (0,1)，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于原点O 的相异的两动点，且OA →·OB →＝0.(1)求证：AC →∥AB →；(2)若AM →＝λMB →(λ∈R )，且OM →·AB →＝0，试求点M 的轨迹方程．解：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，x 1≠0，x 2≠0，x 1≠x 2.∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋x 21x 22＝0.又x 1≠0，x 2≠0，∴x 1x 2＝－1.(1)证明：AC →＝(－x 1,1－x 21)，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 21)．∵(－x 1)(x 22－x 21)－(x 2－x 1)(1－x 21)考单招——上高职单招网＝(x 2－x 1)[－x 1(x 2＋x 1)]－(x 2－x 1)(1－x 21)＝(x 2－x 1)(－x 1x 2－x 21－1＋x 21)＝(x 2－x 1)·0＝0， ∴AC →∥AB →.(2)由题意知，A ，M ，B 三点共线，OM ⊥AB ，由(1)知A ，B ，C 三点共线． 又OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB .故M 点是直角三角形AOB 的顶点O 在AB (斜边)上的射影，∠OMC ＝90°. ∴点M 在以OC 为直径的圆上，其轨迹方程为 x 2＋(y －12)2＝14(y ≠0)．。
2016辽宁职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)
考单招——上高职单招网2016辽宁职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线，则它的焦点坐标是A ．B ．C ．D ．2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y = -x 2，值域为{-1，-9}的“同族函数”共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．12个3.下表是某班数学单元测试的成绩单：学号与其分数相对应．下列说法：①这种对应是从集合A 到集合B 的映射；②从集合A 到集合B 的对应是函数；③数学成绩按学号的顺序排列：135 ，128 ，135 ，…，108 ，94 ，97组成一个数列．以上说法正确的是A ． ①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．已知x ＝a ＋a －21（a ＞2），y ＝(21)(b ＜0) ，则x ，y 之间的大小关系是A ． x ＞yB ． x ＜yC ． x ＝yD ．不能确定5．已知A 是三角形的内角，且sin A ＋cos A =，则cos2A 等于考单招——上高职单招网A ．B ．－C ．D ．－6．已知二面角的大小为，和是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使和所成的角为的是A ． ∥，∥B ．∥， C ． D ． ，∥7．已知函数反函数为，若，则最小值为A ． 1B ．C ．D ．8. 下图是某企业2000年至2003年四年来关于生产销售的一张统计图表 (注: 利润＝销售额－生产成本). 对这四年有以下几种说法:(1) 该企业的利润逐年提高; (2) 2000年—2001年该企业销售额增长率最快; (3) 2001年—2002年该企业生产成本增长率最快;(4) 2002年—2003年该企业利润增长幅度比2000年—2001年利润增长幅度大. 其中说法正确的是A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(4)D.(2)(3)(4)9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每三个点可以构成一个三角形，如果随机选择三个点，恰好构成直角三角形的概率是A ．41B ．31C ．21D ．51考单招——上高职单招网10．抛物线上点A处的切线与直线的夹角为，则点A的坐标为A．(–1,1) B． C．(1,1) D． (–1,1)或11．设函数的图象如右图所示，则导函数的图像可能为考单招——上高职单招网A ．B ．C ．D ．12．有限数列A ＝(a 1，a 2，…，a n )，为其前项和，定义n S1＋S2＋…＋Sn为A 的“凯森和”；如有2004项的数列(a 1，a 2，…，a 2004)的“凯森和”为2005，则有2005项的数列(1，a 1，a 2，…，a 2004)的“凯森和”为 （ ）A ．2004B ．2005C ．2006D ．2008二、填空题 ：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．圆x 2＋y 2＝2上到直线x －y －4＝0距离最近的点的坐标是_________。
2016阿拉善职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．如图K24－1，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()图K24－1A．0B.BE→C.AD→D.CF→2．设非零向量a，b，c，若p＝a|a|＋b|b|＋c|c|，那么|p|的取值范围为()A．[0,1] B．[0,2] C．[0,3] D．[1,2]3．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为() A．－3 B．2 C．4 D．－64．如图K24－2所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝()图K24－2A.OH→考单招——上高职单招网B.OG →C.FO →D.EO → 能力提升5．已知λ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a | D ．|λa |＞06．△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝1，向量p ＝(a ，b )，q ＝(1,2)．若p ∥q ，则∠C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π37．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图K24－3，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )图K24－3A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫23，23考单招——上高职单招网C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，12图K24－49．如图K24－4，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．10．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．11．设a 、b 为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λa ＋μb ＝0，则称a 、b 线性相关，下面的命题中，a 、b 、c 均为已知平面M 上的向量．①若a ＝2b ，则a 、b 线性相关；②若a 、b 为非零向量，且a ⊥b ，则a 、b 线性相关； ③若a 、b 线性相关，b 、c 线性相关，则a 、c 线性相关； ④向量a 、b 线性相关的充要条件是a 、b 共线． 上述命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)12．(13分)如图K24－5所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →.图K24－5考单招——上高职单招网难点突破13．(12分)(1)若a、b都是非零向量，在什么条件下向量a＋b与a－b共线？(2)已知两个非零向量e1和e2不共线，如果AB→＝2e1＋3e2，BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线．考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．D [解析] BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D.2．C [解析] 因为a |a |，b |b |，c|c |是三个单位向量，因此三个向量同向时，|p |的最大值为3.3．D [解析] 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)， ∴4(x ＋3)－(x －6)＝0，x ＝－6.4．C [解析] 设a ＝OP →＋OQ →，利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即发现a ＝FO →.【能力提升】5．C [解析] 当λ＜0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |应该是一个非负实数，而非向量，所以B 不正确；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．6．B [解析] 由sin B ＝1⇒B ＝π2，在△ABC 中cos C ＝ab，又由p ＝(a ，b )，q ＝(1,2)，p ∥q ⇒2a －b ＝0⇒a ＝b 2，故cos C ＝12⇒C ＝π3.7．B [解析] 由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ， 则AM →＝23AD →①，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →， 即2AD →＝mAM →②，联立①②可得m ＝3，故B 正确． 8．C [解析] ∵AD ＝DB ，AE ＝EC ， ∴F 是△ABC 的重心，则DF →＝13DC →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13(AC →－AD →)＝23AD →＋13AC →＝13AB →＋13AC →，考单招——上高职单招网∴x ＝13，y ＝13.9.311 [解析] AP →＝14AC →＋NP →＝mAB →＋211AC →，NP →＝mAB →－344AC →. NB →＝NC →＋CB →＝34AC →＋(AB →－AC →)＝AB →－14AC →，设NP →＝λNB →，则λAB →－14λAC →＝mAB→－344AC →，m ＝λ＝311.10.14 [解析] 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM →＝(1－λ)AB →＋λAC →， ∴λ＝14，∴S △ABM S △ABC ＝14. 11．①④ [解析] ②若a ⊥b ，则a 、b 不线性相关，命题错误；③b 为零向量时，命题错误．12．[解答] BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c ， ∵MN →＝MD →＋DA →＋AN →，又∵MD →＝－12DC →，DA →＝－AD →，AN →＝12AB →，∴MN →＝12a －b －12c . 【难点突破】13．[解答] (1)∵a 、b 都是非零向量，则a ＋b 与a －b 中至少有一个不为零向量，不妨设a ＋b ≠0， 则由a ＋b 与a －b 共线知存在实数λ， 使a －b ＝λ(a ＋b )， ∴(1－λ)a ＝(1＋λ)b .考单招——上高职单招网∵a ≠0，且b ≠0，∴λ≠±1. 从而b ＝1－λ1＋λa ，故a ∥b .综上，可知当a ∥b 时，a ＋b 与a －b 共线． (2)证明：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(2e 1＋3e 2)＋(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2) ＝12e 1＋18e 2＝6(2e 1＋3e 2)＝6AB →， ∴AD →与AB →共线，又∵AB →与AD →有共同的起点A ， ∴A 、B 、D 三点共线．。
2016内蒙古北方职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．下面列举的图形一定是平面图形的是()A．有一个角是直角的四边形B．有两个角是直角的四边形C．有三个角是直角的四边形D．有四个角是直角的四边形2．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为() A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定() A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行能力提升考单招——上高职单招网5．有一正方体木块ABCD－A1B1C1D1，为了需要，工人师傅将此木块锯成两块，截痕经过AB、AD、B1C1的中点P、Q、R，则截面图形是()A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为()A.156 B.155 C.153 D.15107．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面8．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有()①这三条直线必共点；②其中必有两条是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图K38－1，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条考单招——上高职单招网10．正方体各面所在的平面将空间分成________部分．11．如图K38－2，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．12．以下四个命题中，正确命题的序号是________．①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．13．下列命题中正确的是________(填序号)．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．考单招——上高职单招网14．如图K38－3所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A 的中点，、F四点共面；求证：(1)E、C、D1(2)CE、D1F、DA三线共点．图K38－3考单招——上高职单招网15．(13分)已知：如图K38－4，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD上的点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD ＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE 、GH 与AC 的位置关系．图K38－4难点突破16．(12分)已知：在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，求证：ABCD 是矩形．考单招——上高职单招网考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．D [解析] 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．2．C [解析] 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．3．B [解析] 在α内存在直线与l 相交，所以A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ⊄α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内不过l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．4．C [解析] 若c 与a ，b 都不相交，则与a ，b 都平行，根据基本性质4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．【能力提升】5．D [解析] 如图，取C 1D 1中点E ，连接RE ，RE 綊PQ ， ∴P 、Q 、R 、E 共面．再取BB 1、DD 1中点F 、G .∵PF ∥AB 1∥QR 且GE ∥C 1D ∥QR .∴E 、G 、F 、P 、Q 、R 共面． ∴图形为六边形．考单招——上高职单招网6．B [解析] 如图，取CD 的中点N ，连接BN ，D 1N ，则BN ∥DM ，∠D 1BN 就是直线DM 与D 1B 所成角，设正方体棱长为1，在△D 1BN 中，BD 1＝3，BN ＝D 1N ＝52，由余弦定理得cos ∠D 1BN ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×3×52＝155.7．B [解析] 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线，而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.8．D [解析] (1)三条直线两两垂直时，它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的棱AA 1，AB ，BC )，故结论①不正确，也说明必有结论②不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论③正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的棱AA 1，BC ，D 1C 1)，故结论④不正确．正确选项D.9．D [解析] 满足与线段AB ，AD ，AA 1成角相等的直线在如图所示的正方体中，就是其体对角线AC 1所在的直线．如图所示，将AD ，AB ，AA 1所在的线段反向延长，则可得到三个正方体，在每个正方体中都存在一条体对角线，使其与直线AB ，AD ，AA 1所成角相等，故选D.10．27 [解析] 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分．考单招——上高职单招网11.23 [解析] 折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化到一个三角形的内角来计算．如图，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝72，故cos ∠PGK ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23，即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.12．① [解析] 可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．13．①② [解析] 在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 内，又在平面α内，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．14．[解答] 证明：(1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C . ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1.考单招——上高职单招网∴EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交， 设D 1F ∩CE ＝P .∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点， 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．15．[解答] ∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD ＝μ， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD .∴EH ∥FG ，EH ＝λ·BD ，FG ＝μ·BD ，①当λ＝μ时，HG ∥AC ，EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH .由公理4知，EF ∥GH ∥AC .②当λ≠μ时，EH ∥FG 但EH ≠FG ，考单招——上高职单招网∴四边形EFGH是梯形且EH、FG为上、下两底边，∴EF、GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC，∴三条直线EF、GH、AC交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF、GH、AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF、GH、AC交于一点．【难点突破】16．[解答] 证明：由已知，若证得四边形ABCD是平面图形，则四边形ABCD是矩形，下面用反证法证明：A、B、C、D四点共面．假设A、B、C、D四点不共面，又设B、C、D确定的平面为α，则A∉α.作AA1⊥α，垂足为A1，连接A1B、A1D，由已知和三垂线定理的逆定理，可得：∠CBA1＝∠CDA1＝90°，从而∠DA1B＝90°.又A1B＜AB，A1D＜AD，A1B2＋A1D2＝BD2，可得：BD2＜AB2＋AD2⇒∠DAB≠90°，这与∠DAB＝90°矛盾．所以，A、B、C、D四点共面，从而四边形ABCD是矩形．。
2016新疆石河子职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网1．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为__________．解析：要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)＞0＝log 121，∴0＜2x ＋1＜1， ∴－12＜x ＜0.答案：⎝⎛⎭⎫－12，02．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝__________.解析：∵sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.∴tan α＝sin αcos α＝－12，∴tan 2α＝2tan α2α＝－11－14＝－4. 答案：－433．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，∴m ＝1. 答案：14．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．考单招——上高职单招网解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立． 答案：95.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示) 解析：二项展开式的通项为T r ＋1＝C r18x 18－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r18x 18－3r 2.令18－3r2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 218＝17.答案：176．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为__________．解析：因为sin C ＝23sin B ，所以c ＝23b ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc＝32，又A 是三角形的内角，所以A ＝π6. 答案：π67．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：由题意知S ＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π68．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，考单招——上高职单招网即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.答案：15349．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O -ABCD 的体积为__________． 解析：依题意棱锥O -ABCD 的四条侧棱长相等且均为球O 的半径，如图连接AC ，取AC 中点O ′，连接OO ′.易知AC ＝AB 2＋BC 2＝43，故AO ′＝23， 在Rt △OAO ′中，OA ＝4，从而OO ′＝42－12＝2. 所以V O -ABCD ＝1×2×6×23＝8 3.答案：8 310．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么|FA →|＋|FB →|＝__________.解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5.因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以|FA →|＋|FB →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7. 答案：711．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________. 解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，考单招——上高职单招网当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 答案：{x |－2≤x ≤5}12．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值．由⎩⎨⎧ x －y ＝9，2x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－5.所以z min ＝4＋2×()－5＝－6. 答案：－6考单招——上高职单招网13．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )·f ′(x )≥0，则f (x )与f (a )的大小关系是__________．解析：由(x －a )·f ′(x )≥0得⎩⎨⎧ x ≥a ，f ′(x )≥0或⎩⎨⎧x ≤a ，f ′(x )≤0.即函数f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，在(－∞，a ]上为减函数．∴函数f (x )在x ＝a 时取得最小值， 即对任意x 恒有f (x )≥f (a )成立． 答案：f (x )≥f (a )14．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________．解析：设P (x ，y )，则当∠F 1PF 2＝90°时，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5，由此可得点P的横坐标x ＝±35，又当点P 在x 轴上时，∠F 1PF 2＝0；点P 在y 轴上时，∠F 1PF 2为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是－35<x <35 .答案：－35<x <3515．函数f (x )＝2sin (x ＋π4)＋2x 2＋x 2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__________.解析：根据分子和分母同次的特点，将分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，∴M ＋m ＝2. 答案：2。
2016酒泉职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
限时：45分钟 总分值：70分一、选择题(共8个小题，每题5分，共40分)1．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不一样，每列的字母也互不一样，那么不同的排列方法共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A 33×2＝12种排列方法．2．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，那么不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种解析：选C 优先安排甲有A 14种不同方法，然后剩余5位选手的全排列有A 55种不同排法．故有A 14·A 55＝480种不同排法．3．假设⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中的第5项为常数，那么n ＝( )A ．8B ．10C ．12D ．15解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中的第5项T 4＋1＝C 4n (x )n －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝C 4n 24x122－n 为常数，∴n －122＝0，n ＝12.4．现有16不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4．从中任取3，要求这3卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：选C 假设没有红色卡片，那么需从黄、蓝、绿三色卡片中选3，假设都不同色那么有C 14×C 14×C 14＝64种，假设2同色，那么有C 23×C 12×C 24×C 14＝144种；假设红色卡片有1，剩余2不同色，那么有C 14×C 23×C 14×C 14＝192种，剩余2同色，那么有C 14×C 13×C 24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．5．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，x 4的系数是( ) A ．25 B ．35 C ．45 D ．55解析：选D 二项式(1＋x )5中x 4的系数为C 45，二项式(1＋x )6中x 4的系数为C 46，二项式(1＋x )7中x 4的系数为C 47，故(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝55.6．5名伦敦奥运冠军到、澳门、进展商业宣传，每个地方至少去一名形象大使，那么不同的分派方法共有________种．( )A ．25B ．50C ．150D ．300解析：选C 首先5名形象大使，每个地方至少1名，那么只有两种分派方法：1、1、3和1、2、2，再分派到、澳门、，按照计数原理，第一种分法C 35A 33＝60种，第二种分法C 25C 23A 22·A 33＝90种，合计60＋90＝150种．7．在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 12＋12x 14n 的展开式中，假设前三项的系数成等差数列，那么展开式中有理项的项数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 12＋12x 14n 的展开式的前三项的系数分别为：1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由其成等差数列可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122⇒n ＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 43r4－，假设为有理项，那么有4－3r 4∈Z ，故当r ＝0,4,8时为有理项，所以展开式中有理项的项数为3.8．方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不一样，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条解析：选B 显然方程ay ＝b 2x 2＋c 表示抛物线时，有ab ≠0，故该方程等价于y＝b 2a x 2＋ca. (1)当c ＝0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取2个数作为a ，b 的值，有A 25＝20种不同的方法，当a 一定，b 的取值互为相反数时，对应的抛物线一样，这样的抛物线共有4×3＝12条，所以此时不同的抛物线共有A 25－6＝14条；(2)当c ≠0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取3个数作为a ，b ，c 的值有A 35＝60种不同的方法，当a ，c 的值一定，而b 的值互为相反数时，对应的抛物线一样，这样的抛物线共有4A 23＝24条，所以此时不同的抛物线有A 35－12＝48条．综上所述，满足题意的不同的抛物线有14＋48＝62条． 二、填空题(共6个小题，每题5分，共30分)9.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答) 解析：由⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为C 36＝6×5×41×2×3＝20.答案：2010．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1411．观察以下等式：12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：由中的等式：12＝1＝(－1)2×1×(1＋1)2， 12－22＝－3＝(－1)3×2×(2＋1)2， 12－22＋32＝6＝(－1)4×3×(3＋1)2， 12－22＋32－42＝－10＝(－1)5×4×(4＋1)2，…由此可以推出一个一般的结论：对于n ∈N *，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1×n (n ＋1)2.答案：(－1)n＋1×n(n＋1)212．(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3的项的系数是20，那么a的值等于________．解析：展开式中含x3的项的系数为C22·C36＋C12·a·(－1)·C46＋C02·a2·C56＝6a2－30a＋20＝20，所以a＝0或a＝5.答案：0或513．某企业拟在指定的4个月向市场投放3种不同的产品，且在同一个月投放的产品不超过2种，那么该企业产品的不同投放方案有________种．解析：分两类，第一类，每个月只投放一种产品，有C14A33＝24种不同的投放方案．第二类，一个月投放两种产品，一个月投放一种产品，有C14C23C13＝36种不同的投放方案，故共有24＋36＝60种不同的投放方案．答案：6014．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.那么(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．解析：2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n＋1位有9×10n个．答案：909×10n。
2024年兰州石化职业技术学院单招职业技能测试题库及答案解析
2024年兰州石化职业技术学院单招职业技能测试题库及答案解析姓名:________得分:________一、单选题1.小峰同学利用假日在他家后院种植一棵芒果树苗，其种植环节主要有:①放树苗培土;②挖坑;③浇水;④施农家底肥，种植果树的正确流程是()A.①②③④B.②①③④C.②④①③D.①②④③答案：C解析：由分析知种植果树的正确流程是②④①③。
故选C。
考点：通用技术2.猕猴桃果醋是利用醋酸杆菌的发酵作用制成的，醋酸杆菌是一种细菌，其细胞结构的主要特点是()A.有叶绿体B.没有成形的细胞核C.没有细胞膜D.没有细胞质答案：B解析：醋酸杆菌属于细菌。
细菌的基本结构有细胞壁、细胞膜、细胞质、DNA，有的细菌还有荚膜和鞭毛。
但是没有成形的细胞核，也没有叶绿体。
故选B。
考点：生物常识3.短跑运动员在上场比赛时，常常心里默念:“我是最棒的”“我一定能跑赢别人”，这种调控情绪的方法是()A.幽默化解B.目标转移C.换位思考D.自我暗示答案：D解析：调控情绪的方法主要有注意力转移法、合理发泄法、理智控制法等等，运动员在心里鼓励自己，为自己加油，是在进行自我暗示，以保持轻松的情绪来参加比赛。
故选D。
考点：心理素质与社4.耕地的承包期为()年。
A.二十B.三十C.五十D.八十答案：B解析：《中华人民共和国民法典》第三百三十二条规定，耕地的承包期为三十年。
故选B。
考点：法律常识5.下列对于诚实守信说法不正确的是()A.诚实守信就是要重承诺，信守诺言，忠实地履行自己应承担的义务B.诚实守信是市场经济的内在法则C.诚实守信要敢于讲真话，坚持真理D.诚实守信与市场经济的根本目的相矛盾解析：诚实就是真实无欺，不说假话(善意谎言除外，对敌人不说真话)。
说老实话，办老实事，做老实人。
守信就是讲求信用、实践诺言。
社会主义市场经济的根本目标是达到共同富裕，诚实会升华人品，获得更多人的支持，取得更大的成功，两者并不矛盾。
故选D。
考点：职业道德与职6.下列关于温度、热量和内能的说法，正确的是()A.物体的温度升高，一定是吸收了热量B.当物体的内能增加时，温度一定会升高C.在质量相同的前提下，温度升高得多的物体吸收的热量不一定多D.当物体的内能减小时，一定是放出了热量答案：C解析：A项，温度升高可能是吸收了热量，也可能是外界对它做了功，A项错误;B项，物体的内能增加，温度可能升高，也可能不变，B项错误;C项，温度的变化与吸收的热量、比热容和质量有关，因此在质量相同，比热容不确定的前提下，温度升高得多的物体吸收的热量不一定多，C项正确;D项，当物体的内能减小时，可能是放出了热量，也可能是对外界做了功，D项错误。
2016昌吉职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网danzhaowang1．函数f (x)＝x2－ 2ax＋ 2，当x∈ [－1，＋∞ )时，f( x)≥a恒成立，求a的取值X围．解：∵f( x)＝(x－ a)2＋2－a2，∴此二次函数图象的对称轴为x＝ a.(1)当 a∈(－∞，－1)时， f( x)在[－1，＋∞)上单调递增，∴ f( x)min＝ f(－1)＝2a＋3.要使 f( x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得a≥－ 3，即－ 3≤a< － 1.(2)当 a∈[－1，＋∞)时， f( x)min＝f( a)＝2－ a2.要使 f( x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a，即2－ a2≥ a，解得－2≤ a≤1，即－1≤ a≤1.综上所述，实数a 的取值X围为[－3,1]．2.如下列图，圆O： x2＋y2＝4，直线 m： kx－ y＋1＝0.(1)求证：直线 m 与圆 O 有两个相异交点；(2)设直线 m 与圆 O 的两个交点为 A、B，求△AOB 面积 S 的最大值．解： (1) 证明：直线m：kx－y＋ 1＝0 可化为y－ 1＝kx，故该直线恒过点 (0,1) ，而 (0,1) 在圆O：x2＋y2＝ 4 内部，所以直线 m 与圆 O 恒有两个不同交点．1(2) 圆心O到直线m的距离为d＝1＋k2，而圆 O 的半径 r＝2，故弦AB 的长为 || ＝2r2－2＝24－d2，AB d考单招——上高职单招网danzhaowang故△AOB面积＝1|| ×＝1×2 4－d2×d 22AB d＝4d2－d4＝－d2－ 2 2＋ 4.而 d2＝12，因为1＋k2≥1，所以d2＝1 2 ∈(0,1]，1＋k1＋k显然当 d2∈(0,1] 时，S单调递增，所以当d 2＝1，即＝0时，S取得最大值3，此时直线m的方程为y－1＝0.k3.四棱锥 P－ ABCD如下列图．(1)在四棱锥中， E 为线段 PD 的中点，求证： PB∥平面 AEC；PF(2) 在四棱锥中，F为线段PA上的点，且FA＝λ，那么λ为何值时，PA⊥平面DBF？并求此时几何体F－BDC 的体积．解：(1)证明：连接 AC、BD，设交点为 O，连接 OE，∵OE 为△ DPB的中位线，∴OE∥ PB.∵EO?平面 EAC，PB?平面 EAC，∴ PB∥平面 AEC.(2) 过O作OF⊥PA，垂足为F.连接OP、FA、FB.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.[]考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.。
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限时：20分钟 满分：28分
1．(满分14分)已知f(x)＝2x－12x2，g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(1)过P(0,2)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程；
(2)设h(x)＝f(x)－g(x)在定义域上为减函数，且其导函数y＝h′(x)存在零点，求实
数a的值．
解：(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲线y＝f(x)上，
设切点为Q(x0，y0)，∵f′(x)＝2－x，
∴k＝f′(x0)＝2－x0，且y0＝f(x0)＝2x0－x202，
∴切线方程：y－2x0＋x202＝(2－x0)(x－x0)，
即y＝(2－x0)x＋x202，
∵(0,2)在切线上，代入可得x0＝±2.
∴切线方程为y＝2或y＝4x＋2.
(2)∵h(x)＝2x－12x2－logax在(0，＋∞)递减，
∴h′(x)＝2－x－1xln a≤0在x>0时恒成立，
∵x>0，∴1ln a≥2x－x2在x>0时恒成立．
∵x>0时，2x－x2∈(－∞，1]，∴1ln a≥1，
∴0
又∵h′(x)＝2－x－1xln a存在零点，
即方程ln a·x2－2ln a·x＋1＝0有根，
∴Δ＝4ln2a－4ln a≥0，∴ln a≥1或ln a<0，②
由①②知ln a＝1，∴a＝e.
2．(满分14分)如图，已知抛物线C1：y
2
＝2px(p>0)，
圆C
2与y轴相切，其圆心是抛物线C1
的焦点，点M是抛物
线C
1的准线与x轴的交点．N是圆C2
上的任意一点，且线
段|MN|的长度的最大值为3，直线l过抛物线C
1
的焦点，与
C1交于A，D两点，与C2交于B，C两点．
(1)求C1与C2的方程；
(2)是否存在直线l，使kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝32，且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差
数列，若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，说明理由．
解：(1)当点N为圆C2与x轴不是坐标原点的另一交点时，|MN|的长度最大，为
3
2
p，∴32p＝3⇒p＝2.
∴抛物线C1的方程为y2＝4x；
圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为my＝x－1，A(x1，y1)，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)．
由 my＝x－1，y2＝4x，⇒y2－4my－4＝0，
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∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝y21y2216＝1，
∴kOA＋kOD＝y1x1＋y2x2＝x2y1＋x1y2x1x2＝y1y2y1＋y24x1x2
＝－4 m，
由 my＝x－1，x－12＋y2＝1，
解得 x1＝1＋m1＋m2，y1＝11＋m2，或 x2＝1－m1＋m2，y2＝－11＋m2.
∴B1＋m1＋m2，11＋m2，C1－m1＋m2，－11＋m2，
∴kOB＋kOC＝y3x3＋y4x4＝x3y4＋x4y3x3x4＝－2m，
∵kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝32，∴－6m＝32，
∴m＝－22，此时直线l：－22y＝x－1.
由 －22y＝x－1，y2＝4x，得y2＋22y－4＝0，
|AD|＝1＋m2|y1－y2|＝6，
|AB|＋|CD|＝2|BC|⇔|AD|＝3|BC|＝6，
∴|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，
∴存在直线l，它的方程为2x＋y－2＝0.
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(二)
限时：20分钟 满分：28分
1．(满分14分)已知椭圆C：
x2a2＋y
2
b
2
＝1(a>b>0)的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短
轴的一个端点构成等边三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴
的对称点为A
1
.
①求证：直线A
1
B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
②求△OA
1
B面积的取值范围．
解：(1)易得a＝2c，c＝1，则b＝3，
所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)①证明：不妨设直线方程为l：x＝my＋4，
代入x24＋y23＝1，
得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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则有y1＋y2＝－24m3m2＋4，(*)
y1y2＝363m2＋4，(**)
由A关于x轴的对称点为A1，得A1(x1，－y1)，
根据题设条件设定点为Q(t,0)，得kQB＝kQA1，
即y2x2－t＝y1t－x1，整理得t＝x1y2＋x2y1y1＋y2＝4＋my1y2＋4＋my2y1y1＋y2＝4＋2my1y2y1＋y2，
将(*)(**)代入得t＝1，则定点为Q(1,0)．
②由①中判别式Δ>0，解得m>2或m<－2，
而直线A1B过定点Q(1,0)，
所以S△OA1B＝12|OQ||yA1－yB|＝12|y1＋y2|
＝12|m|3m2＋4＝4|m|＋43|m|.
记t＝|m|，f(t)＝4t＋43t，易得f(t)在(2，＋∞)上为单调递减函数，得S△OA1B∈
0，
3
2
.
2．(满分14分)设函数f(x)＝x
2
，g(x)＝aln x＋bx(a>0)．
(1)若f(1)＝g(1)，f′(1)＝g′(1)，求F(x)＝f(x)－g(x)的极小值；
(2)在(1)的条件下，是否存在实常数k和m，使得f(x)≥kx＋m和g(x)≤kx＋m？若
存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由；
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(3)设G(x)＝f(x)＋2－g(x)有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究
G′(x0)值的符号．
解：(1)由 f1＝g1，f′1＝g′1⇒ b＝1，a＋b＝2⇒ a＝1，b＝1.
F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－ln x－x，
利用导数的方法求得F(x)的极小值为F(1)＝0.
(2)因为f(x)与g(x)有一个公共点(1,1)，而函数f(x)＝x2在点(1,1)的切线方程为y＝
2x－1，
下面验证： fx≥2x－1，gx≤2x－1，都成立．
由于x2－(2x－1)＝(x－1)2≥0，
知f(x)≥2x－1恒成立；
设h(x)＝g(x)－(2x－1)＝ln x－x＋1，
h′(x)＝1x－1＝1－xx，
由h′(x)＝0得x＝1.
在(0,1)上，h′(x)>0，h(x)单调递增；
在(1，＋∞)上，h′(x)<0，h(x)单调递减．
又因为h(x)在x＝1处连续，所以h(x)≤h(1)＝0，
所以g(x)≤2x－1.
故存在k和m，使得f(x)≥kx＋m，g(x)≤kx＋m，
且k＝2，m＝－1.
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(3)g′(x0)的符号为正，
因为G(x)＝x2＋2－aln x－bx有两个零点x1，x2，
则有 x21＋2－aln x1－bx1＝0，x22＋2－aln x2－bx2＝0，②－①得
x22－x21－a(ln x2－ln x1)－b(x2－x1)＝0，
即x2＋x1－b＝aln x2－ln x1x2－x1.
于是G′(x0)＝2x0－ax0－b＝(x1＋x2－b)－2ax1＋x2
＝aln x2－ln x1x2－x1－2ax1＋x2
＝ax2－x1lnx2x1－2x2x1－1x2x1＋1.
当0
G′(x0)＝ax2－x1ln t－2t－2t＋1.
设u(t)＝ln t－2t－2t＋1，则u′(t)＝1－t2t1＋t2>0，
所以u(t)在(1，＋∞)上为单调增函数，而u(1)＝0，
所以u(t)>0，
又因a>0，x2－x1>0，所以G′(x0)>0，
同理，当0
综上所述，G′(x0)的符号为正．
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