育才中学高中数学第3章《三角恒等变形》3二倍角的三角函数导学案北师大版必修
高中数学 第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数 第2课时 半角公式及其应用课件 北师大版必修4
θ
sin 2 ，
θθ
cos 2 ，tan 2 的值分别为( B )
A．－255， 55，2
B．－255，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－255，－ 55，－2
(2)若 cosα＝－45，α 是第三象限的角，则11＋ －ttaannαα22＝( A )
A．－12
1 B.2
C．2
D．－2
(3)若1－sincoαs α＝2，则 cosα－sinα＝_－__75_____.
探究点一 给值求值
已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sinα＝45，sinβ＝1123，求 cosα－2 β的值． (链接教材 P127 例 6，例 7) [解]因为 α 为钝角，β 为锐角，sinα＝45，sinβ＝1123， 所以 cosα＝－35，cosβ＝153，
所以 cosα＝－35，cosβ＝153，
(4)若 α 是第一象限角，则 tanα2＝
1－cos α 1＋cos α.(
√
)
解析：(1)错误．只有当－π2 ＋2kπ≤α2≤π2 ＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ
≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cosα2＝
1＋cos α 2.
(2)正确．当 cosα＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用
tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
1－cos sin α
α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问
题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 siα计算．
(4)下结论．结合(2)求值.
1.(1)已知|cosθ|＝35，且5π 2 <θ<3π，则
北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 §3 二倍角的三角函数公式 (2)
y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一
个整体研究函数的性质.
因忽视角的范围致误
【典例】 化简: - + + (3π<α<4π).
错解:原式= - +
= - +
2.如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?
提示:(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两
个符号.
(2)若给出角 α 的具体范围(即某一区间),则先求角 所在范围,再
根据角 的终边所在象限确定符号.
3.求sin 22.5°,cos 22.5°的值.
解:sin 22.5°=
-°
2
α=2cos ,1-cos α=2sin ,则 + = , - =
,因此要根据 的终边所在象限确定 sin ,cos 的符号,从
而去掉绝对值符号.
2
∵α∈
,∴α+ ∈
故 α+=0 或 α+ = ,
即 α=-或 α=.
-,
,
=-.
(2)∵0<x< ,sin - = ,
∴-x∈ , ,cos - = ,
∴
+
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修
二倍角的三角函数表达式
表达式和公式
讨论二倍角的三角函数表达式和公式，帮助学生理解二倍角与三角函数之间的关系。
使用技巧
解释如何运用二倍角的三角函数表达式，加深学生对二倍角概念的理解。
高中数学第三章三角恒等 变换3.3二倍角的三角函 数1课件2北师大版必修
此课件介绍高中数学第三章内容，重点讲述三角恒等变换以及二倍角的三角 函数。通过北师大版必修教介
目的与目标
解释课件的使用目的和目标，帮助学生更好 地学习三角恒等变换和二倍角的三角函数。
教材版本
说明使用的教材为北师大版必修，引导学生 使用正确的教材进行学习。
三角恒等变换的概念和原理
定义
解释三角恒等变换的定义，以及在数学中的重要性。
原理和性质
探讨三角恒等变换的原理和性质，帮助学生理解其运作机制。
二倍角的概念和公式
定义和性质
介绍二倍角的概念和性质，以及在数学中的应用。
公式和推导过程
提供二倍角的公式和推导过程，帮助学生掌握运用二倍角的技巧。
高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)北师大版必修4
【迁移2】 在(1)中的条件下求tan α的值．
解 因为 sin 2α＝2sin αcos α ＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝－2245， 故ta2nt2aαn＋α1＝－2245， 解得 tan α＝－43或－34， 因为 α∈－π4，0，tan α＞－1， 故 tan α＝－34.
tan α＋tan β
2tan α
3．tan(α＋β)＝1－tan αtan β，令β＝α，得tan 2α＝1－tan2α .
【预习评价】
1．计算 1－2sin215°的结果为( )
1 A.2
3 C. 2
2 B. 2 D．1
答案 C
2．sin 105°cos 105°的值为( 1
A.4
) B．－14
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.
【训练 1】 求下列各式的值．
(1)cos
72°cos
36°；(2)sin150°＋cos
3 50°.
解
(1)cos
72°cos
36°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
高中数学第三章三角恒等变换第1节两角和与差的正弦余弦和正切公式第3课时二倍角的正弦余弦正切公式教案含解
第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P132～P134的内容，回答下列问题．(1)在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．(2)在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos2α－sin2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan2α. 2．归纳总结，核心必记[问题思考](1)S 2α，C 2α，T 2α中角α的取值范围分别是什么？提示：S 2α，C 2α中α∈R ，T 2α中α≠k π＋π2且α≠k π2±π4.(2)能应用tan α表示sin 2α，cos 2α吗？提示：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[课前反思](1)二倍角的正弦公式： ；(2)二倍角的余弦公式： ；(3)二倍角的正切公式： .知识点1化简求值讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[尝试解答] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.类题·通法化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．练一练1．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解：(1)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan θ1＋tan θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. (2)原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.知识点2条件求值讲一讲2．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[尝试解答] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.类题·通法解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．练一练2．(1)已知cos α＝13，则cos 2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79(2)设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247 B.2425，725，247C ．－2425，－725，247 D.2425，－725，－247(3)已知tan α＋1tan α＝52，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，求cos 2α和sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：(1)cos 2α＝2cos 2α－1＝29－1＝－79.(2)因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247.(3)由tan α＋1tan α＝52，得sin αcos α＋cos αsin α＝52， 则2sin 2α＝52，即sin 2α＝45.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2α·cos π4＋cos 2α·sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：(1)C (2)A知识点3倍角公式的综合应用讲一讲3．已知向量a ＝(sin A ，cos A )，b ＝(3，－1)，a ·b ＝1，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R )的值域． [尝试解答] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3， 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.类题·通法二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.练一练3．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4，即4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用． 2．要掌握二倍角公式的三个应用 (1)解决化简求值问题，见讲1； (2)解决条件求值问题，见讲2； (3)倍角公式的综合应用，见讲3. 3．要牢记二倍角公式的几种变形 (1)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； (3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .课下能力提升(二十四)[学业水平达标练]题组1 化简求值 1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D．sin 215°＋cos 215° 解析：选B cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°＝( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34解析：选C 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.3．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 题组2 条件求值4．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 5．已知sin 2α＝23，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16B.12C.23D.56解析：选D sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋sin 2α2＝56.6．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－43 B.34 C ．7 D ．－17解析：选D 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝55，所以cos α＝－255，所以tan α＝－12，由二倍角公式得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋11－tan 2α＝－17. 7．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.25B.75C.145 D ．－25解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝45.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.8．已知π2<α<π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．解：(1)因为cos α＝－45，π2<α<π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－2425.cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725. 题组3 倍角公式的综合应用9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 解析：f (x )＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )的最小值为1－ 2. 答案：1－ 210．已知0<x <π2，sin 2 x 2＋3sin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解：∵sin 2x 2＋3sin x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝1－cos x 2－3sin x 2cos x2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴由已知得12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－110，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35.∵0<x <π2，结合sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35易知π6<x ＋π6<π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π61－tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2×341－916＝247. [能力提升综合练]1.sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°2tan 22.5°＝( )A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2tan 22.5°＝1tan 45°＝1.2．已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α等于( )A ．1B ．2C ．4D ．3解析：选D tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝112sin 2α＝3.3．已知cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( )A ．－2425B ．－45 C.2425 D.255解析：选A ∵cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.4．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24时，f (x )的值域为( )A ．[1,2]B ．[2， 3 ]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D f (x )＝a 2sin 2x －1＋cos 2x 2＋1－cos 2x2＝a2sin 2x －cos 2x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，所以a ＝23， 所以f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，f (x )∈[2，2]．故选D. 5．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知cos 2α＝13，π<2α<2π，求1＋sin α－2cos 2α23sin α＋cos α的值．解：原式＝sin α－cos α3sin α＋cos α，又∵cos 2α＝13，∴2cos 2α－1＝13，∴cos 2α＝23，3π2<2α<2π，∴3π4<α<π，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－63，sin α＝33，∴原式＝5＋427.7．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3，∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数课后导练北师大版
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课后导练基础达标1.若角α满足条件sin2α<0,cos α-sin α<0,则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：⎩⎨⎧<>⇔⎩⎨⎧<<⇔⎩⎨⎧<-<.0cos ,0sin ,sin cos ,0cos sin ,0sin cos ,02sin ααααααααα ∴α在第二象限.答案：B2.sin15°sin30°sin75°的值等于（ ） A.43 B.83 C.81 D.41 解析：原式=sin15°·sin30°·cos15° =21sin 230°=81. 答案：C3.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于（ ） A.34 B.34- C.43 D.43- 解析:tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-，而tan2x=344122-=-⨯,∴原式=43.答案：C 4.已知sin2α=54，cos 2α=53-，则角α所在的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析:sin α=2sin2α·cos 2α=2524-<0,cos α=cos 22α-sin 22α=257-<0. 答案：C5.(2006全国高考卷Ⅱ,理2) 函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A.2π B.4π C.4π D.2π 解析：化简，得y=21sin4x,∴T=2π.故选D. 答案：D6.cos5πcos 52π的值为___________.解析：cos 5πcos 52π=5sin254sin 215sin 252cos 52sin 5sin 252cos 52cos 5sin 2πππππππππ===41. 答案：417.已知sin α=cos2α,α∈(0,2π),则sin2α=_________.解析：∵sin α=1-2sin 2α,即2sin 2α+sin α-1=0, ∴sin α=-1或sin α=21. 又∵α∈(0,2π),∴sin α=21,α=6π.∴cos α=23. ∴sin2α=2×21×23=23.答案：238.求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值.解析：原式=21·cos80°·cos40°·cos20°︒︒20sin 220sin 2 =41·cos80°·cos40°·︒︒20sin 240sin 2 =16120sin 16160sin 20sin 80sin 80cos 81=︒︒=︒︒∙︒∙. 9.求证：ααα2sin 2cos 112sin +++=21(tan α+1).证明：左=s ααααααααααααααcos 2cos sin )sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin 2sin 2222+=++=∙+++ =21(tan α+1)=右边. 10.已知cos(α+4π)=53,2π≤α<23π，求cos(2α+4π)的值.解析：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π =22(cos2α-sin2α). ∵2π≤α<23π,∴43π≤α+4π<47π47π.又∵cos(α+4π)>0,∴23π<α+4π<47π.∴sin(α+4π)=54)4(cos 12-=+--πα.∴cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π)=2524-,sin2α=-cos(2π+2α)=1-2cos 2(α+4π)=257.∴原式=22×(2524--257)=50231-. 综合运用11.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=53,那么cos2β的值为（ ） A.257 B.2518 C.257- D.2518- 解析：由已知可得sin ［(α-β)-α］=53,即sin β=53-.则cos2β=1-2sin 2β=1-2×257259=. 答案：A 12.若α∈［25π,27π］,则ααsin 1sin 1-++的值为（ ） A.2cos 2αB.-2cos2αC.2sin2αD.-2sin2α解析：∵25π≤α≤27π， ∴45π≤2α≤47π.∴cos2α≥sin 2α. 如右图所示，在单位圆中当45π≤2α≤47π时，|sin 2α|≥|cos 2α|, ∴sin2α+cos 2α≤0, ∴22)2sin 2(cos )2cos 2(sinsin 1sin 1αααααα-++=-++=-(sin2α+cos2α)+(cos 2α-sin 2α)=-2sin 2α. 答案：D13.若sin （2π+α）=53,则cos2α=____________-.解析：sin(2π+α)=cos α=53.cos2α=2cos 2α-1=257-.答案：257-14.已知α为锐角，且sin αcos α=21,则ααcos 11sin 11+++=__________. 解析：α为锐角，且由sin αcos α=21⇒sin2α=1⇒2α=2π⇒α=4π,∴原式=4-22. 答案：4-2215.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1,α∈(0,2π)，求sin α,tan α. 解析：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.又α∈(0,2π),∴sin α+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0，得sin α=21,∴α=6π.tan α=33.拓展探究16.已知f （x ）=xx x 2cos 4sin 5cos 624-+，求f （x ）的定义域，判定它的奇偶性并求其值域.解析：（1）∵cos2x≠0，∴2x≠k π+2π，k∈Z . ∴其定义域为{x|x≠2πk +4π，k∈Z }，即定义域关于原点对称. （2）f （-x ）=)2cos(4)(sin 5)(cos 624x x x ---+-=f （x ），则y=f （x ）对于定义域内任意自变量恒成立.故y=f （x ）为偶函数.（3）f （x ）=1cos 2)1cos 3)(1cos 2(sin cos 1cos 5cos 62222224---=-+-x x x x x x x =3cos 2x-1. {x|x≠2πk +4π，k∈Z }. 其值域为{y|-1≤y≤2且y≠21}.。
高中数学第三章三角恒等变形3第1课时倍角公式及其应用教学案北师大版
第1课时 倍角公式及其应用[核心必知]二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)[问题思考]1．倍角公式成立的条件是什么？提示：在公式S 2α，C 2α中，角α为任意角，在T 2α中，只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )及α≠k π2＋π4(k ∈Z )时，才成立． 2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°；(2)12－sin 2π8；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. [尝试解答] (1)原式＝12(2sin 75°cos 75°)＝12sin 150°＝12×12＝14. (2)原式＝12(1－2sin 2π8)＝12cos π4＝12×22＝24.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.二倍角公式的“三用”： (1)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的． (2)公式逆用要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (3)公式的变形用主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α(升幂公式)，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2(降幂公式)．练一练 1．求值：(1)sin π64cos π64cos π32cos π16cos π8＝________；(2)2sin 50°＋cos 10°（1＋3tan 10°）1＋cos 10°＝________．解析：(1)原式＝12sin π32cos π32cos π16cos π8＝14sin π16cos π16cos π8＝18sin π8cos π8 ＝116sin π4＝232. (2)原式＝2sin 50°＋cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）2cos 25° ＝2sin 50°＋cos 10°＋3sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2（12cos 10°＋32sin 10°）2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos 50°2cos 5°＝22（22sin 50°＋22cos 50°）2cos 5°＝22sin 95°2cos 5°＝2.答案：(1)232(2)2讲一讲2．已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin （α＋π4）cos （2α＋4π）的值．[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝513，∴sin α＝1213.原式＝22（sin α＋cos α）cos 2α＝22·sin α＋cos αcos 2α－sin 2α ＝22·1cos α－sin α＝22×1513－1213＝－13214.当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．练一练2．已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）的值．解： (1)∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－13或tan α＝－3.∵3π4<α<π， ∴－1<tan α<0， ∴tan α＝－13.(2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）＝5（sin 2α2＋cos 2α2）＋4sin α＋61＋cos α2－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.讲一讲3．(湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域．[尝试解答] (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－2，故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．解决此类问题的步骤：(1)运用倍角公式进行恒等变形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，转化为a sin α＋b cos α＋k 的形式；(2)运用和(差)正(余)弦公式进行恒等变形时，通常是逆用两角和与差的正余弦公式，转化为y ＝a 2＋b 2sin(ωα＋φ)＋k 或y ＝a 2＋b 2cos(ωα＋φ)＋k 的形式．(其中φ可由a ，b 的值唯一确定)(3)利用f (x )＝sin x 或f (x )＝cos x 的性质进行研究，求得结果． 练一练3．(山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力． (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.已知cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x 的值．[解] 法一：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，由cos x ＋sin x ＝2sin (π4＋x )，cos x －sin x ＝2cos(π4＋x )，∴原式＝sin 2x tan(π4＋x )．又∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， ∴sin(π4＋x )<0，∴sin(π4＋x )＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43.而sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos 2(π4＋x )，∴原式＝－43sin 2x ＝43cos(2x ＋π2)＝43cos2(x ＋π4) ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1＝－2875.法二：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x ＝sin 2x ＋2sin x cos xsin xcos x 1－tan x＝sin 2x 1＋tan x1－tan x＝sin 2x tan(π4＋x )．(*)又∵17π12<x <7π4.∴5π3<π4＋x <2π， ∵cos(π4＋x )＝35，∴sin(π4＋x )＝－1－cos 2（π4＋x ）＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43，又sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos2(π4＋x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝1－2×925＝725，将上述结果代入(*)式有，原式＝725×(－43)＝－2875.法三：原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝sin 2x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，①由cos(π4＋x )＝35，得22(cos x －sin x )＝35，即cos x －sin x ＝325.②平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725③∴(cos x ＋sin x )2＝1＋sin 2x ＝3225.又∵17π12<x <3π2，∴cos x ＋sin x <0.则cos x ＋sin x ＝－425.④将②③④代入①有原式＝725×（－452）352＝－2875.1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：选B 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．(江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.4．cos2π8－sin 2π8＝________． 解析：cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 答案：225．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 012答案： 2 0126．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解：法一：由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0. ∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－179.tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 法二：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝13×(－173)＝－179. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.一、选择题1．(全国大纲)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225C.1225D.2425解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425. 2．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.3．(江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.43解析：选A 由已知条件得tan α＋1tan α－1＝12⇒tan α＝3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝eq \f (\r (3),4)，θ∈(34π，π)，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62 B ．－62C ．－22 D.22 解析：选C cos(π4＋θ)×cos(π4－θ) ＝sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝12sin(π2－2θ) ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈(34π，π)，∴2θ∈(32π，2π)， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12， ∴sin θ＋cos θ＝－22. 二、填空题5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________．解析：f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos(2x ＋π3)． ∴T ＝2π2＝π. 答案：π6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝sin 20°＋2sin 40°cos 20°＝sin 20°＋2sin （60°－20°）cos 20° ＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20° ＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝2sin 60°＝ 3. 答案： 37．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan x tan 2x的值为________． 解析：∵tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x＝2， ∴tan x ＝13. 又∵tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x， ∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12(1－19)＝49.答案：498．化简：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 答案：1三、解答题9．已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值． 解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4. ∵cos(α＋π4)>0，∴3π4<α＋π4<7π4. ∴sin(α＋π4)＝－ 1－cos 2（α＋π4） ＝－ 1－（35）2＝－45. ∴cos 2α＝sin(2α＋π2) ＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4) ＝2×(－45)×35＝－2425， sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4) ＝1－2×(35)2＝725. ∴cos(2α＋π4)＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×(－2425－725)＝－31250. 10．(四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值． 解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35. 所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4) ＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.。
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数(2)课件2北师大版必修4
3.计算tan22.5°=________. 【解析(jiě xī)】tan22.5°= 答案: -1
第五页，共50页。
4.若
=________.
【解析】因为(yīn wèi)
所以
答案:
第六页，共50页。
5.化简:
=________.
【解析(jiě xī)】原式=
答案:
第七页，共50页。
答案:-cos 2
第二十四页，共50页。
2.(变换条件(tiáojiàn))典例1中若将条件(t3iáojiàn)“ <θ<2π”改为“π<θ< ” 3
结果如何?
2
2
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【解析( jiě xī)】原式= 因为 故 又 故原式= 答案:2cos
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【方法技巧(jìqiǎo)】利用半角(倍角)公式化简三角函数的要求及方法 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求: ①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量 少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法: ①弦切互化,异名化同名,异角化同角.②降幂或升幂.
【延伸探究】典例2中f(x)在区间 上的最大值和最小值是什么?
【解析】因为(yīn wèi)
所以
所以f(x)在区间
上的最大值为2,最小值为-1.
[0, ] 2
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【方法技巧】较复杂三角函数性质(xìngzhì)问题研究流程
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【变式训练】函数y=-acos2x- as3in2x+2a+b,x∈ 值域是[-5,1],求常数(chángshù)a,b的值. 【解析】y=-a( s3in2x+cos2x)+2a+b
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修 (2)
二倍角的定义
一个角的两倍称为二倍角。
二倍角的正弦
正弦函数的二倍角公式：$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta$。
二倍角的余弦
余弦函数的二倍角公式：
1 $cos2\theta =
cos^2\theta sin^2\theta$
2 $cos2\theta =
2cos^2\theta - 1$
3 $cos2\theta = 1-
2sin^2\theta$
二倍角的正切
正切函数的二倍角公式：
1 $tan2\theta = \frac{2tan\theta}{1-的三角函数变换公式可用于简化三角函数表达式。 通过掌握二倍角的三角函数公式，可以更好地应对数学考试中的计算题目。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 §3 二倍角的三角函数公式
(2)cos =±
(3)tan
=±
-
.
+
.
-
(无理式)
+
=+(有理式)
-
=
(有理式).
2.如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?
提示:(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两
(4)
=-cos(2×22°30')- =-cos 45°- =-
− .
探究二 给值求值、给值求角问题
【例 2】 (1)已知 α∈
- ,
,且 sin 2α=sin −
小;
(2)已知 sin
-
=
,0<x< ,求
+
的值.
+ +
证明:因为左边= +
(+)
=(+)
+
= = tan
所以原等式成立.
α+=右边,
探究四 三角恒等变换的综合应用
【例 4】 已知函数 f(x)=(3 sin x+cos x)cos x-2sin
间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和
角之间的二倍关系.
(2)当遇到±x
这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将
条件与结论沟通.
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陕西省榆林育才中学高中数学第3章《三角恒等变形》3二倍角的三角函
数（1）导学案北师大版必修4
【学习目标】
1．探索、发现并推导二倍角公式，了解公式之间的内在联系．
2．掌握二倍角公式的特征，灵活应用公式解决与二倍角有关的求值问题．
【重点难点】
重点：二倍角公式的推导及其应用.
难点：二倍角公式的灵活应用.
【使用说明】
复习回顾两角和的正弦、余弦和正切公式，利用由一般到特殊的思想推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，注意公式之间的内在联系；熟记二倍角公式及其特征，灵活应用公式解决与二倍角有关的问题．
【自主学习】
1．复习回顾：
()
+= ；()
sinαβ
+= ；
cosαβ
()
+= ．
tanαβ
2．探索新知：
α=，则tan2α=________．
3．若tan2
【合作探究】
1．设α是第二象限角，已知3cos 5
α=-
，求sin 2,cos 2αα和tan 2α的值．
【课堂检测】
1． 求下列各式的值：
(1) 2sin15cos15； (2) 22cos 22.5sin 22.5-； (3) 212sin 15-； (4) 212cos 15-； (5) sin cos
88π
π
； (6) 2tan 751tan 75-． 2．已知73cos ,2,82
πααπ=<< 求sin 2,cos 2αα和tan 2α的值．
3．已知等腰三角形一个底角的正弦值为3,5求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值．
【课后训练】
1． 求下列各式的值： (1) 22sin cos 1212π
π
-； (2) 2'
12sin 6730-； (3) sin15sin 75； (4) 25tan
125tan 112π
π-．
2．已知83cos ,(,2),172
πααπ=∈ 求cos2α和tan 2α的值．
3．把图中的一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料, 怎样截取才能使横截面面积最大?。