2019-2020学年陕西省西安市长安区第一中学高二第二学期期中考试数学(文)试题 Word版
第一中学高二数学下学期期中试题理
陕西省西安市长安区第一中学2019—2020学年高二数学下学期期中试题 理时间：120分钟选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）．1.设集合2{|430}A x xx =-+<，{|230}B x x =->，则=AB ( )A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(,3)2D ．3(1,)22.在复平面内，复数11i+的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3。
已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4)．若λ为实数， ()λ+∥a b c，则λ=( )A ． 14B ．12 C ．1 D ．24。
某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位:万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5。
下列叙述中正确的是（ ) A ．若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"bac -≤B ．若,,a b c R ∈，则22""abcb >的充要条件是""a c >C ．命题“对任意x R ∈，有2x≥”的否定是“存在x R ∈，有2x≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ6. 设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A 。
q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>7。
陕西省西安市长安区第一中学2020学年高二数学上学期第二次月考试题 文(实验班,无答案)
长安一中2020-2020学年度第二次月考高二数学试题（文科实验班）总分：150分 时间：120分钟第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．己知集合{}{}=|1,,|2A y y x x R B x x =-∈=≥，则下列结论正确的是（ ） A ．3A -∈ B ．3B ∉ C ．A B B =U D ．A B B =I 2．已知⎩⎨⎧∉+∈+=Rx x i Rx x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f （ ）A.2i -B.1C.3D.3i +3．若条件:p 2x ≤，条件:q x a ≤，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A.2a ≥ B.2a ≤ C.2a ≥- D.2a ≤-4.函数)2||00()sin(πφωϕω<>>+=，，A x A y 的图象如图所示，则函数的表达式为（ ）A ．)61110sin(2π+=x y C ．)62sin(2π-=x y B ．)61110sin(2π-=x y D ．)62sin(2π+=x y5．执行如图所示的程序框图，输出的M 的值为（ ）A ．17B ．53C ．161D ．4856.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+6π32π 2－2O y x开始M =1 k =0k = k +1M = 3M +2k < 3？否输出M 结束是7. 观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=A.()f xB.()f x -C. ()g xD. ()g x -8.在ABC ∆中，若2=++AB AB AC BA BC CA CB ⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 9. 若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为A ．034=--y xB ．034=--y xC ．034=-+y xD ．034=-+y x10.设{n a }为公比q >1的等比数列，若2009a 和2010a 是方程24830x x -+=的两根，则20112012a a +=（ ）A.18B.10C.25D.911.设椭圆的方程为222231(0)2x y b a a b +=≥>右焦点为(,0)(0)F c c >，方程20ax bx c +-=的两实根分别为12,x x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．3(0,]2B ．3(1,]2C ．3(1,]4D ．7(1,]412．若函数2()(,,,)df x a b c d R ax bx c=∈++的图象如图所示，则:::a b c d 等于（ ）A ．1:6:5:(8)-B ．1:(6):5:(8)--C ．1:(6):5:8-D ．1:6:5:8第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题含答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的（ ）A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定2、为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为nx x x ,...,,21，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A ．n x x x ,...,,21的平均数B ．n x x x ,...,,21的标准差C ．n x x x ,...,,21的最大值 D ．nx x x ,...,,21的中位数 3、若命题1tan ,4,0:≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀x x p π，则命题p 的否定为（ ）A ．1tan ,4,00≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x π B ．1tan ,4,00<⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x π C ．1tan ,4,00≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x π D ．1tan ,4,00>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x π4、椭圆14922=+y x 的离心率是（ ）A ．313B ．35C ．32D ．955、连续掷两次骰子,以先后得到的点数m ,n 为点),(n m P 的坐标,那么点P 在圆1722=+y x 内部的概率是（ ）西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学（文科）试题A ．31B ．52C ．92D ．946、执行右面的程序框图，当输出结果为8时，输入的n 值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77、设R y x ∈>,0，则“y x >”是“yx >”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8、如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ） A ．3,5 B ．5,5 C ．3,7 D ．5,79、抛物线281x y -=的准线方程是（ ）A ．321-=xB ．21=x C ．2=y D ．4=y10、已知条件3:=k p ；条件:q 直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切,则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件11、已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A ，B 两点，12=AB ，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ． 18B ． 24C ．36D ． 4812、已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上存在一点P ，使得213PF PF =，其中21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，则离心率的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡131，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、总体是由编号为01,02,…19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5第8题图个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．14、椭圆14222=+y x 的焦点坐标为_____________． 15、已知一组数据2019321,...,,,x x x x 的方差是9，则12,..,12,12,122019321++++x x x x 的方差为______．16、已知点P 到y 轴的距离比它到点)0,1(的距离小1，则点P 满足的方程是_______．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（10分）已知p ：“方程0222=+-m x x 有两个不相等的实数根”，q ：“421<+m ”．18、（Ⅰ）若p 为真命题,求实数m 的取值范围．19、（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18、（12分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ,B ,C ,D ,E ,F ．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．第20题图现从这6人中随机抽取2人接受采访．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．19、（12分）（Ⅰ）求以0222=-+y y x 的圆心为焦点的抛物线方程； （Ⅱ）若),(00y x P 为（Ⅰ）中所求抛物线上任意一点，求点P 到直线02=--y x 的距离的最小值，并写出此时点P 的坐标．20、（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)[)[]90,80,,40,30,30,20⋅⋅⋅，并整理得到频率分布直方图（如右图所示）．（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)50,40内的人数．（Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．21、（12分）设有关于x 的一元二次方程0222=++b ax x ．（Ⅰ）若a 是从3,2,1,0四个数中任取的一个数，b 是从2,1,0三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[]3,0任取的一个数，b 是从区间[]2,0任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 22、（12分）（Ⅰ）计算：①若21,A A 是椭圆14922=+y x 长轴的两个端点，)2,0(P ，则=⋅21PA PA k k ______； ②若21,A A 是椭圆14922=+y x 长轴的两个端点，)34,5(-P ，则=⋅21PA PA k k ______； ③若21,A A 是椭圆14922=+y x 长轴的两个端点，)324,1(-P ，则=⋅21PA PA k k ______． （Ⅱ）观察①②③，由此可得到：若21,A A 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则=⋅21PA PA k k ？并证明你的结论．一、选择题二、填空题13、 01； 14、⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,210,21和； 15、36； 16、)0(042≤==x y x y 或．三、解答题西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学（文科）试题参考答案17、（10分）解：（Ⅰ）若p 为真命题，则应有048>-=∆m ，解得2<m ．（Ⅱ）若q 为真命题，则有21<+m ，即1<m ，因为q p ∧为真命题，q p ∨为假命题．则q p ,应一真一假．18、（12分）解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人．（Ⅱ）①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为：共15种．②由表格知，符合题意的所有可能结果为，共11种．所以，事件发生的概率．19、（12分）（Ⅰ）0222=-+y y x 的圆心为)1,0(，抛物线焦点为)1,0(，抛物线方程为y x 42=；（Ⅱ）由已知，420x y =．从而点P 到直线02=--y x 的距离为 2221)2(412242020≥---=--=x x x d ，当)1,2(20P x 即=时，取到最小值22．20、（12分）（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为9.010)02.004.002.001.0(=⨯+++，分数在区间)50,40[内的人数为559.0100100=-⨯-．（Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(=⨯⨯+，所以样本中的男生人数为60230=⨯，女生人数为4060100=-，男生和女生人数的比例为2:340:60=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3． 21、（12分）详细分析：设事件A 为“方程0222=++b ax x 有实数根”．当0,0≥≥b a 时，方程有实数根的充要条件为b a ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：)2,3(),1,3(),0,3(),2,2(),1,2(),0,2(),2,1(),1,1(),0,1(),2,0(),1,0(),0,0(．期中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为43129)(==A P ．（Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为}20,30|),{(≤≤≤≤b a b a ．构成事件A 的区域为},20,30|),{(b a b a b a ≥≤≤≤≤，所求的概率为322342123)(=⨯⨯-⨯=A P 22、（12分）（Ⅱ）若21,A A 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则2221a b k k PA PA -=⋅．证明如下：由题意：a x y k a x y k PA PA --=+-=00000,021，则2202000000021a x y a x y a x y k k PA PA -=--⋅+-=⋅．又P 为椭圆上任意一点，满足1220220=+b y a x ，得)1(220220a x b y -=，代入22220222)1(21a b a x a x b k k PA PA -=--=⋅，得证．。
2020-2021学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．抛物线22x y =-的准线方程是（ ） A ．12yB ．12y =C ．18x =-D ．18x【答案】D【分析】把抛物线22x y =-化为212y x =-，得到抛物线的焦点在x 上，且14p =，即可求解.【详解】由题意，抛物线22x y =-，可化为212y x =-， 可得抛物线的焦点在x 上，且122p =，解得14p =， 所以抛物线的准线方程是18x . 故选：D【点睛】方法点睛：根据标准方程写出焦点坐标，准线方程：22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p F ，准线方程为:2pl x =-；22(0)y px p =->的焦点坐标为(,0)2pF -，准线方程为:2p l x =；22(0)x py p =>的焦点坐标为(0,)2p F ，准线方程为:2pl y =-；22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,)2p F -，准线方程为:2pl y =.2．已知命题p ：“[1,]x e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=””若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(1,4] B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．(4,)+∞【答案】A【分析】通过判断命题p 和q 的真假，从而求得参数的取值范围. 【详解】解：若命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >，为真命题， 则ln 1a e >=，若命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”为真命题，则1640a ∆=-≥，解得4a ≤， 若命题“p q ∧”为真命题， 则p ，q 都是真命题，则14a a >⎧⎨≤⎩，解得：14a <≤．故实数a 的取值范围为(1,4]． 故选A ．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．3．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．D ．【答案】D【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解．【详解】由基本不等式可得22a b +≥3a b +=，所以22a b +≥=32a b ==等号成立） 故答案为D【点睛】本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础．4．已知平面上的定点12,F F 及动点M ，甲：12MF MF m -=(m 为常数)，乙：点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，则甲是乙的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据双曲线的定义以及必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当120m F F <<时，点M 的轨迹才是双曲线. 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了必要不充分条件，属于基础题.5．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是2-28s t t =+，此物体在某一时刻的速度为0，则相应的时刻为． A ．0t = B ．1t = C ．2t = D ．4t =【答案】C【详解】480,2s t t =-+=='，选C.6．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线1y x =-的距离的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．22D ．3【答案】C【分析】求出平行于直线1y x =-且与曲线2ln y x x =-相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设平行于直线1y x =-且与曲线2ln y x x =-相切的切点为(,)P x y ，由2ln ,0y x x x =->，则12y x x'=-， 令121x x-=，整理得(1)(21)0x x -+=，解得1x =或12x =-（舍去），由1x =，可得21ln11y =-=，即切点坐标为(1,1)P ， 又由点到直线10x y --=的距离公式，可得2211121(1)d --==+-， 即点P 到直线1y x =-的距离的最小值为22. 故选：C.7．已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0,0,0,0a b c d >>><B ．0,0,0,0a b c d >><<C ．0,0,0,0a b c d <<>>D ．0,0,0,0a b c d >>>>【答案】C【分析】利用函数的图象经过的特殊点及单调性，判断a , b , c ，d 的范围即可.【详解】由函数的图象可知(0)0f d =>，排除选项A ，B;函数32()f x ax bx cx d =+++的导函数为232y ax bx c '=++，因为12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上函数是减函数， 即2320ax bx c ++<的解为1x x <或2x x >， 可知a <0，排除D. 故选：C8．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()ln f x xf e x '=+（其中e 为自然对数的底数），则()f e '=（ ） A ．1 B ．－1 C ．e - D ．1e --【答案】D【分析】对已知条件()2()ln f x xf e x '=+求导，然后代入()f e '即可.【详解】由已知得1()2()f x f e x ''=+ (0)x >， 令x e =，可得(e)2(1e e)f f ''=+，则1()f e e=-故选：D .【点睛】本题主要考查解函数方程，正确运用函数求导.9．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞为增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1[,)e+∞ B ．1(,]e-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【答案】C【分析】求出函数()ln f x kx x =-的导数，由于函数()f x 在区间(1,)+∞为增函数，可得()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】()ln f x kx x =- ∴1()f x k x'=-∵函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞为增函数 ∴()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立()0f x '≥1k x∴≥又1yx=在区间(1,)+∞上单调递减 ∴101x<< 要保证()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立，只需1k∴k 的取值范围是[1,)+∞故选：C.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求参数问题，解题关键是掌握函数导数的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A ．6B C ．6D ．56【答案】C【详解】试题分析：因为已知实数4，m ，9构成一个等比数列，所以可得236,6,6m m m =∴==-.所以圆锥曲线为椭圆时即221x y m+=的方程为2216x y +=.所以222226,1,5a b c a b ==∴=-=.所以离心率6c e a ===.当是双曲线时.故选C.【解析】1.数列的思想.2.圆锥曲线的性质.3.离心率的计算.4.分类的思想.11．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48【答案】C【详解】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P 在准线上 ∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．12．如图所示，已知点()()()3,0,3,0,1,0M N B -，动圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为（ ）A ．()22118yx x -=>B ．()22118yx x -=<-C ．()22118yx x +=>D ．()221110yx x -=>【答案】A【分析】根据直线与圆相切的性质可得2PM PN -=，从而判断P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支，即可求出方程.【详解】由题可得,,MB ME NB NF PE PF ===， 则422PM PN PE ME PF NF ME NF MB NB MN-=+--=-=-=-=<，则可得P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支， 可得3,22c a ==，则2221,8a b c a ==-=，则P 点的轨迹方程为()22118yx x -=>.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是能根据已知条件得出2PM PN -=，判断出P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支.13．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞【答案】B【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可．【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．14．已知24y x =的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交24y x=于,A B ，060AFB ∠=，则||AB = A．6B．3C ．4D ．3【答案】B【分析】首先设出,A B 两点坐标，又,,A B Q 三点共线，可以找出其坐标间的关系，然后利用060AFB ∠=可以用余弦定理列出关系式，进而求出,A B 两点坐标，即可求出弦长AB .【详解】设((12,A x B x ，210x x >>， 因为QA QB k k =21=121x x =， ()(22221||AB x x =-+，11AF x =+，21BF x =+，代入余弦定理2220||||2cos60AB AF BF AF BF =+-整理化简得：12103x x +=，又因为121x x =，所以113x =，23x =，AB ==，选B. 【点睛】圆锥曲线题目要注意题中几何关系，利用余弦定理是解决本题的关键．二、填空题15．若曲线()sin 1f x x x =+在2x π=处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则实数a =_______ 【答案】2【详解】试题分析：由题意得，函数的导数为()sin cos f x x x x +'=，则()sin cos 12222f ππππ='+=，即曲线()f x 在2x π=处的切线的斜率为1k =，又切线与直线210ax y ++=垂直，所以1122aa -⨯=-⇒=．【解析】利用导数研究曲线在某点的切线方程；两直线的位置关系．16．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有()()()12n f x f x f x n+++≤f(12nx x x n+++)，已知函数y＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值为________．【详解】∵f(x)="sin" x 在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C ∈(0,π), ∴()()()3f A f B f C ++≤f 3A B C ++⎛⎫⎪⎝⎭=f π3⎛⎫⎪⎝⎭,即sin A+sin B+sin C≤3sinπ3,∴sin A+sin B+sin C 的最大值为2. 17．已知点P 到y 轴的距离比它到点(1,0)的距离小1，则点P 满足的方程是_______．【答案】24y x =或()00y x =<【分析】设出P 的坐标，由题意列式，对x 分类化简得答案；【详解】设(,)P x y ，则||1x +=若0x ≥，则1x +=24y x =；若0x <，则1x -，两边平方并整理得0y =．P ∴点轨迹方程为0(0)y x =<或24y x =；故答案为0(0)y x =<或24y x =【点睛】本题考查轨迹方程的求法，需注意分类讨论，属于一般题．三、双空题18．已知双曲线22:163x y C -=，则C 的渐近线方程为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】0x ±=【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=故答案为：0x ±=四、解答题19．已知命题p ：lg （x 2－2x －2）≥0；命题q ：0<x <4．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数x 的取值范围．【答案】{1xx ≤-∣或03x <<或4}x ≥ 【分析】先根据题p 是真命题，求出x 的取值范围，再由p 且q 为假，p 或q 为真知p 、q 一真一假，分别列出不等式组，求解即可． 【详解】由()2lg 220x x --≥，得2221x x --≥，∴3x ≥，或1x ≤-． 即:3p x ≥，或1x ≤-， ∴非:13p x ．又∵:04q x <<， ∴非:4q x ≥，或0x ≤，由p 且q 为假，p 或q 为真知p 、q 一真一假．当p 真q 假时，由3,14,0x x x x ≥≤-⎧⎨≥≤⎩或或，得4x ≥或1x ≤-．当p 假q 真时，由1304x x -<<⎧⎨<<⎩，得03x <<．综上知，实数x 的取值范围是{1xx ≤-∣或03x <<或4}x ≥． 20．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos Ca sin C －b －c ＝0. （1）求A ；（2）若a ＝2，ABCb ，c . 【答案】（1）A ＝3π.；（2）b ＝c ＝2. 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ； （2）面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c【详解】解：（1）由a cos Csin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos CA sin C －sinB －sinC ＝0. 因为B ＝π－A －C ，A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin 1()62A π-=. 又0<A <π，故A ＝3π. （2）ABC 的面积S ＝12bc sin A，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.【点睛】本题考查正弦定理、面积公式和余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 21．已知函数21()(1)? (1)2f x x a x alnx a =-++≥． （1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）230y +=；（2）当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，函数在(1,)a 单调递减，在(,)a +∞，(0,1)上单调递增．【分析】（1）先把1a =代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性． 【详解】解：（1）1a =时，21()22f x x x lnx =-+，1()2f x x x '=-+，3(1)2f ∴=-，(1)0f '=，故()f x 的图象在点1x =处的切线方程230y +=； （2）函数的定义域(0,)+∞，(1)()()(1)ax x a f x x a xx--'=-++=， 当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当1a >时，(1,)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(,)x a ∈+∞，(0,1)时，()0f x '>，函数单调递增，综上：当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，函数在(1,)a 单调递减，在(,)a +∞，(0,1)上单调递增．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题. 22．（Ⅰ）计算：①若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(0,2)P ，则12PA PA k k ⋅=______；②若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，4()3P ，则12PA PA k k ⋅=______；③若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(1,P ，则12PA PA k k ⋅=______．（Ⅱ）观察①②③，由此可得到：若12,A A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则12PA PA k k ⋅=？并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）①、②、③均为49-．（Ⅱ）1222PA PA b K K a⋅=-,证明见解析【分析】（Ⅰ）根据题意分别计算出1PA k 、2PA k 从而得出12PA PA k k ⋅的值．（Ⅱ）首先不妨设0(P x ，0)y ，再由直线的斜率公式得到12PA PA k k ⋅的表达式；根据椭圆的标准方程得到0y 关于0x 的表达式，进而得出最终答案．【详解】（Ⅰ）①由题意12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点则取()()123,0,3,0A A -(0,2)P()1202033PA k ∴-==--，2202033PA k -==--1249PA PA k k ⋅=-∴②同①取()()123,0,3,0A A -4(5,)3P -140PA k -==∴，(14033PA k --==∴ 1249PA PA k k ⋅=-∴③同①取()()123,0,3,0A A -4(1,3P-()101333PA k ---==∴，133013PA k ∴-==- 1249PA PA k k ⋅=-∴∴①、②、③均为49-． （Ⅱ）若12,A A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则1222PA PAb k k a⋅=-．证明如下：设P 点的坐标为()00,P x y 则由题意：12000000,PA PA y y k k x a x a --==+-，则1220002200000PA PA y y y k k x a x a x a--⋅=⋅=+--．又P 为椭圆上任意一点，满足2200221x y a b +=，得222002(1)x y b a=-，代入1222222220(1)PA PA x b b a k k x a a -⋅==--，得证．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，由特殊得到一般性的结论，属于一般题． 23．设函数()ln mf x x x=+，m R ∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数. 【答案】（1）极小值()ln 2ef e e e=+=； （2）①当23m >时，()g x 无零点， ②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点， ③当203m <<时，()g x 有两个零点.【详解】试题分析：（1）要求()f x 的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对()f x 求导，可知()221e x ef x x x x-'=-=，再通过列表即可得当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e =+=；（2）令()0g x =，可得313m x x =-+，因此要判断函数()()3xg x f x '=-的零点个数，可通过画出函数31()3h x x x =-+的草图来判断，同样可以通过求导判断函数31()3h x x x =-+的单调性来画出函数图象的草图：()()()2111h x x x x =-+=-+-'，通过列表可得到()h x 的单调性，作出()h x 的图象，进而可得①当23m >时，()g x 无零点，②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点， ③当203m <<时，()g x 有两个零点.试题解析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+，其定义域为()0,∞+，()221e x ef x x x x-'=-=，令()0f x '=，x e =，故当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=； （2）()()322133333x m x x m x g x f x x x x --=-=--='，其定义域为()0,∞+，令()0g x =，得313m x x =-+， 设()313h x x x =-+，其定义域为()0,∞+.则()g x 的零点为()h x 与y m =的交点， ()()()2111h x x x x =-+=-+-'，故当1x =时，()h x 取得最大值()213h = 作出()h x 的图象，可得①当23m >时，()g x 无零点， ②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点，③当203m <<时，()g x 有两个零点.【解析】导数的运用.。
陕西省西安市长安区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷Word版含解析
陕西省西安市长安区第一中学2019-2020学年上学期期末考试高二数学（文）试卷一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1.复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A. B. C. D.3.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5,10]内的频数为( )A. 50B. 40C. 30D. 204.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A. B. C. D.5.下列命题中正确的个数是( )①命题“任意”的否定是“任意；②命题“若，则”的逆否命题是真命题；③若命题为真，命题为真，则命题且为真；④命题“若，则”的否命题是“若，则”.A. 个B. 个C. 个D. 个6.曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为( )A. 35B. 20C. 18D. 98.已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，，则9.“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件10.在同一直角坐标系中，函数f（x）＝（x≥0），g（x）＝的图象可能是（）A. B. C. D.11.从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A. B. C. D.12.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )A. -2019B. 0C. 2D. 201913.已知＞＞0，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.14.设直线分别是函数图象上点处的切线，垂直相交于点，且分别与轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (0,2)C. (0,+∞)D. (0,1)二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）15.一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是__________，方差是__________．16. 甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.17.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．18.已知正方体的棱长为1,则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.19.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ dm.20.【2018年全国卷Ⅲ文】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．三、解答题：（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3这三张卡片除标记的数字外完全相同。
陕西省西安市长安区第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题Word版含答案
陕西省西安市长安区第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一个正确选项.1.函数2()log f x =（x+3）） A ．(3,1)- B ．(3,1]- C ．[3,1)- D ．[3,1]- 2.下列说法正确的是( )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 3.下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）A．2=y与=y B ．lg =y x 与21lg 2=y x C ．=y x 与,0,0>⎧=⎨-≤⎩x x y x x D ．211-=+x y x 与1=-y x4.球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ）A ．80π3B ．32π C. 42π D ．48π5.已知函数2()1f x ax x a =-++在()-,2 ∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．[]0,4B ．[)+∞,2 C.10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦6.如图在三棱锥A-BCD 中,E ､F 是棱AD 上互异的两点,G ､H 是棱BC 上互异的两点,由图可知： ①AB 与CD 互为异面直线；②FH 分别与DC ､DB 互为异面直线 ； ③EG 与FH 互为异面直线； ④EG 与AB 互为异面直线. 其中叙述正确的是( )A.①③B.②④C.①②④D.①②③④7.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()()()114116f g f g -+=+-=，， 则()1g 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．38.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π+．2π+3 C. 2π．π+39.函数2()(3)ln()=-f x x x 的图象大致是（ ）10.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B. 若l α⊥，l m //，则m α⊥ C. 若l α//，m α⊂，则l m // D. 若l α//，m α//，则l m //11.已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于E 点，将ACD ∆沿对角线折起，使得平面ABC ⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是（ ）A.直线AB ⊥直线CD ，且直线AC ⊥直线BDB.直线AB ⊥平面BCD ，且直线AC ⊥平面BDEC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDED.平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ACD ⊥平面BDE12.对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在0(,)-∞x 和0(,)+∞x 上与x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ） A ．2()2=-xf x x B ．2()2()R =+-∈f x x bx bC ．()12=--f x xD ．3()=f x x二、本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.13.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45,腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．14.设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________．15.已知集合1A={x|x=(21),}9k k Z +∈，41B={x|x=,}99k k Z ±∈，则集合A ，B 之间的关系为________． 16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于点E ，交1CC 于点F . ①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②四边形1BFD E 有可能是正方形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ．以上结论正确的为________．（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共5小题，共66分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算过程.（注意：在试卷上作答无效）17.（本小题12分）已知集合+11={|216}8≤≤x A x ，={|+13-1}≤≤B x m x m . （1）求集合A ；（2）若⊆B A ，求实数m 的取值范围.18.（本小题12分）设()log (1)log (3)(1,1)a a f x x x a a =++->≠,且(1)2f =. (1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.19.（本小题14分）如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M,N 分别为AB,PC 的中点，平面PAD平面PBC ＝l .(1)求证：BC ∥l ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．20.（本小题14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．21.（本小题14分）已知定义域为R 的函数2()21x x a f x -+=+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 的单调性并用定义证明；（3）已知不等式3(log )(1)04mf f +->恒成立, 求实数m 的取值范围.陕西省西安市长安区第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题参考答案一、选择题1-5： BBCDC 6-10：ABDAB 11-12：CD 二、填空题13. 22+ 14.(]-8∞，15. A=B 16. ①③④三、解答题 17解：（1）由已知：，，.（2）若时符合题意；若时有，即；综上可得：的取值范围为.18解：解 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.19(1)证明 因为BC ∥AD ，AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD. 又平面PAD ∩平面PBC ＝l ，BC 平面PBC ，所以BC ∥l. (2)解 MN ∥平面PAD.证明如下： 如图所示，取PD 中点E.连接EN 、AE 、MN.∵N 为PC 中点，∴EN 12AB ，∴EN AM ，∴四边形ENMA 为平行四边形，∴AE ∥MN. 又∵AE 平面PAD ，MN 平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.20．（Ⅰ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥．（Ⅱ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（Ⅰ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ． 所以平面BDE ⊥平面PAC ．（Ⅲ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥．因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC == 由（Ⅰ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ． 所以三棱锥E BCD -的体积111363DBC V S DE BD DC DE ∆=⨯⨯=⋅⋅= 21解： （1）()f x 是R 上的奇函数()00f ∴=，得1a =（2）()f x 减函数，证明如下：设12,x x 是R 上任意两个实数，且12x x <，()()12121221212121x x x x f x f x -+-+-=-++ ()()()()()()211212211221122121x x x x x x +--+-=++()()()21122222121x x x x -=++12x x <2122x x ∴>，即21220x x ->，1210x +>，2210x +>()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >()f x ∴在R 上是减函数（3）不等式()3log 104mf f ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立 ()3log 14m f f ⎛⎫∴>-- ⎪⎝⎭()f x 是奇函数 ()()11f f ∴--=即不等式()3log 14m f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立又()f x 在R 上是减函数∴不等式3log 14m<恒成立 当01m <<时，得34m < 304m ∴<<当1m >时，得34m > 1m ∴>综上，实数m 的取值范围是()30,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。
陕西省西安中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题理[含答案]
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知 f x x3 3x ．作出曲线 y x3 3x 的草图，所求面积为阴
影部分的面积．
由 x3 3x 0 得曲线 y x3 3x 与 x 轴的交点坐标是 3, 0 ， 0, 0和
3, 0
，
而 y x3 3x 是 R 上的奇函数,函数图象关于原点中心对称. 所以 y 轴右侧阴影面积与 y 轴左侧阴影面积相等. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
A．a，b，c 都是奇数
B．a，b，c 都是偶数
C．a，b，c 中至少有两个偶数
D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数
6．函数
f
(x)
x2
1在区间
1,
m 上的平均变化率为
3，则实数
m
的值为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
7．如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 的部分图像如图所示，则以下关于函数
∴ h(x) 在区间 , x0 上为增函数，在区间 x0 , 上为减函数，
∴ h(x) h(x0 ) 0 ，即 f (x) g(x) ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
由已知得 f (x) 0 对 x , 2恒成立，
故 x 1 a 对 x , 2恒成立，
∴1 a 2 ，
∴ a 1 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（Ⅱ）证明：当
a
0
时，
f
(x)
x ex
函数 f (x) 的图像在 (x0 , f (x0 )) 处的切线方程为 y g(x) f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 令 h(x) f (x) g(x) f (x) f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) ， x R
2019-2020学年陕西省西安市长安区第一中学高二下第一次质量检测数学(理)(解析版)
2019-2020学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期第一次质量检测数学（理）试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，10【答案】B【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.3．已知0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若函数()xf x a =在R 上是减函数，则01,a <<这样函数()()32g x a x =-在R 上单调递增；若函数()()32g x a x =-在R 上是增函数，则20, 2.a a -><故选A.【考点定位】本题结合函数的单调性考查充分必要条件的判定，从基础知识出发，通过最简单的指数函数()xf x a =入手，结合熟知的三次函数()3t x x =设计问题，考查了综合解决问题的能力 【详解】请在此输入详解！4．已知具有线性相关关系的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是ˆ0.95 2.6yx =+，则t =（ ） A ．2.5 B ．3.5C ．4.5D ．5.5【答案】C【解析】 由题意得，根据表中的数据，可知0123425x ++++==，且 2.2 4.3 4.8 6.71855t ty +++++==，所以180952265t+=⨯+，解得 4.5t =，故选C. 5．已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是 A ．1q ，3q B ．2q ，3qC ．1q ，4qD ．2q ，4q【答案】C【解析】1p 是真命题，2p 是假命题，∴1q ：12p p ∨，4q ：()12p p ∨⌝是真命题. 选C.6．对任意非零实数，定义的算法原理如下侧程序框图所示．设a 为函数2sin cos y x x =-的最大值，b 为双曲线221412x y -=的离心率，则计算机执行该运算后输出的结果是（ ）A ．75B ．74C ．73D ．72【答案】B【分析】根据三角函数的性质和双曲线的性质求得a 、b 的值，再模拟程序的运行过程，即可求得a b ⊕的值.【详解】解：函数12sin cos 2sin 22y x x x =-=-，最大值是15222a =+=， 双曲线221412x y -=的离心率4122b +==，模拟程序的运行过程是：5,22a b ==，且a b >， 5117224a ab b ++∴⊕===.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的性质与双曲线的性质，也考查了程序框图的应用问题，是基础题.7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A 8．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.【解析】椭圆的简单几何性质.9．从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4nmB．2n mC ．4mnD ．2mn【答案】C【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ．10．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：36363A ⨯=种．故选D.11．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）A ．3131255y x x =-B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+ 【答案】A【解析】试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为32()y f x ax bx cx ==++，则2()32y f x ax bx c ''==++，由题得：(5)2f -=，(5)2f =-，(5)0f '=即1252552{125255275100a b c a b c a b c -+-=++=-++=，解得1125{035a b c ===-，所以3131255y x x =-，故选A. 【解析】函数的解析式.12．设函数()()()000f x R x x f x ≠的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤B ．()0x f x --是的极小值点C ．()0x f x --是的极小值点D ．()0x f x ---是的极小值点【答案】D【详解】对于A 选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B 中的()f x -是将()f x 的图象关于y 轴对称，所以0x -是其极大值点,错误；对于C 中的()f x -是将()f x 的图象关x 轴对称，所以0x 才是其极小值点，错误；而对于D 中的()f x --是将()f x 的图象关原点对称，故0x -是其极小值点，正确.故选D.13．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若OP mOA nOB =+（m ，n R ∈），且29mn =，则该双曲线的离心率为（ ） A．2BCD ．98【答案】C【解析】试题分析：由题意可知(,)bcA c a ,(,)bcB c a-，代入OP mOA nOB =+得：((),())bc P m n c m n a +-，代入双曲线方程22221x y a b -=整理得：241e mn =，又因为29mn =，即可得到e C ．【解析】1、双曲线的简单几何性质；2、向量的运算．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，属于中档题．本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP mOA nOB =+求出点((),())bc P m n c m n a +-，因为点P 在双曲线上，及ce a=，代入整理及得241e mn =，又已知29mn =，即可求出离心率e =a ，b ，c 的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围．14．给出定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x 、()212x a x x b <<<，满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称实数1x 、2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为在[],a b 上的“对望函数”.已知函数()3213f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,3C ．3,2⎛⎝ D ．(2,【答案】A【分析】由题意分析得出方程22123x x m m -=-在区间()0,m 上有两个解，令()22123g x x x m m =--+，()0,x m ∈，利用二次函数零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】()3213f x x x m =-+，由题：()()2013f m f m m m -=-，()22f x x x '=-，根据题意函数()3213f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，即22123x x m m-=-在区间()0,m 上有两个解，令()22123g x x x m m =--+，()0,x m ∈，由题意可知，函数()y g x =在区间()0,m 有两个不等的零点，()()2224440311003203m m m g m m g m m m ⎧∆=+->⎪⎪>⎪⎪⎨=-+>⎪⎪⎪=->⎪⎩，解得332m <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的新定义，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，考查了导数的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题15．在二项式11(1)x -的展开式中，系数最小的项的系数为______. 【答案】462-【详解】11(1)x -展开式的通项为：()111111rr rr T C x -+=⋅-，系数的绝对值等于二项式系数，第六项与第七项的二项式系数相等且最大，第六项为负，即第六项的系数最小为511462C -=-.故答案为：462-.【点睛】本题考查了二项展开式中系数的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =____________．【答案】1.96【分析】根据二项分布()~100,0.02X B ，由公式得到结果. 【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布()~100,0.02X B ，1000.020.98 1.96DX npq ==⨯⨯=,填1.96【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．设12,F F 分别为椭圆22+13x y =的左,右焦点，点,A B 在椭圆上.若125F A F B =,则点A 的坐标是______.【答案】(01)±，【详解】椭圆23x +y 2=1焦点在x 轴上，b=1，∴焦点坐标F 1（﹣，0）F 2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则1F A =（x 1，y 1），2F B =（x 2，y 2），∵125F A F B =，2121212555x x x y y y y ⎧=⎪⎧+=-⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩，由点A ，B在椭圆上，221121221135135x y x y ⎧+=⎪⎪⎪⎛+⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得：x 1=0，y 1=±1，∴点A 的坐标是（0，±1，）． 故答案为（0，±1）．18．设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】1，3，4，5【解析】令3()f x x ax b =++，求导得2'()3f x x a =+，当0a ≥时，'()0f x ≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以3()f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，易知，()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在[1,1]-上单调递减，所以()=(1)132f x f b b -=-++=+极大，()=(1)132f x f b b =-+=-极小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320f x f b b -=-++=+<极大或者()=(1)1320f x f b b =-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.【解析】1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.三、解答题19．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．2≥0.050.01P K k()k 3.841 6.635附22112212211212(),n n n n n K n n n n ++++-=【答案】见解析【详解】由频率分步直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(30104515)1003.0307525455533n n n n n n n n n K ++++-⨯⨯-⨯===≈++⨯⨯⨯ 因为3.030 3.841<，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分步直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为{}12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω=（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中i a 表示男性，1,2,3.i =j b 表示女性，1,2.j =Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则{}11122122313212,,,,,,,,,,,,,A a b a b a b a b a b a b b b =（）（）（）（）（）（）（）事件A 由7个基本事件组成，因此7()10P A =【点睛】本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法以及线性相关问题.第二问求概率关键是把 “从“超级体育迷”中任意选取2人”的所有情况找清楚20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝ M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【答案】(1)见解析；(2) 33．【分析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD.又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解: 在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分别是PB、PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A MN Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==.所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为.21．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单n ）的函数解析式；位：枝，N（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【答案】（1）()1080,16N 80,16n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩；（2）①分布列详见解析，()76E X =，()44D X =；②都有道理，理由详见解析.【分析】（1）利润y 关于当天需求量n 的函数是分段函数，考查了分类讨论思想； （2）①X 可取60，70，80，进而求得X 的分布列、数学期望及方差；②花店一天应购进16枝还是17枝玫瑰取决于哪个利润更大，在利润相同的情况下，需要再比较方差，方差小的说明其更稳定.【详解】（1）当日需求量16n ≥时，利润80y =.当日需求量16n <时，利润1080y n =-.所以y 关于n 的函数解析式为()1080,16N 80,16n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩. （2）①X 可能的取值为60，70，80，并且()600.1P X ==，()700.2P X ==，()800.7P X ==.X 的分布列为X 的数学期望为()600.1700.2800.776E X =⨯+⨯+⨯=.X 的方差为()()()222()60760.170760.280760.744D X =-⨯+-⨯+-⨯=. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润（单位：元），那么Y 的分布列为Y55 65 75 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为()550.1650.2750.16850.5476.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. Y 的方差为()()()()2222()5576.40.16576.40.27576.40.168576.40.54112.04D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=由以上的计算结果可以看出，()()D X D Y <，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外，虽然()()E X E Y <，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花. 答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利涧（单位：元），那么Y 的分布列为Y55 65 75 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为()550.1650.2750.16850.5476.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.由以上的计算结果可以看出，()()E X E Y <，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.【点睛】本题考查的是概率相关知识，是随机变量的概率分布的综合题.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：判断取值、探求概率、写分布列、求期望值. 22．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围；（II ）求·PA PQ 的最大值【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 【详解】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|P A1)2x +1)k +， |PQ|=2)Q x x -=，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．23．已知函数()()32113f x x a x x =-++． （1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点．【答案】（1）f （x ）在（–∞，3-，（3++∞）单调递增，在（3-3+单调递减． （2）见解析.【解析】分析：（1）将3a =代入，求导得2()63f x x x '=--，令()0f x '>求得增区间，令()0f x '<求得减区间；（2）令321()(1)03f x x a x x =-++=，即32301x a x x -=++，则将问题转化为函数32()31x g x a x x =-++只有一个零点问题，研究函数()g x 单调性可得. 详解：（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --． 令f ′（x ）=0解得x=3-x=3+当x ∈（–∞，3-∪（3++∞）时，f ′（x ）>0； 当x ∈（3-3+ f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，3-，（3++∞）单调递增，在（3-3+单调递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231xa x x -++，则g ′（x ）=()()2222231x x x xx ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=221116260366a a a ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()f x 的定义域；②求导数()'f x ；③由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的取值范围，当()0f x '>时，()f x 在相应区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数()g x 有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.。
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长安一中2019～2020学年度第二学期期中考试高二数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设复数z 1＝1－i ，z 2i ，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） ABCD2.“m ＞0”是“函数f （x ）＝m ＋2log x （x ≥1）不存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3.已知双曲线221x y k －＝（k >0）的一条渐近线与直线x －2y －3＝0平行，则双曲线的离心率是（ ）A．4．给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。
在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.05.《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?( ) A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺6．用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本，将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号，14～26号，…，118～130号），若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是( ) A ．36 B ．37 C ．38 D ．39 7．已知f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可由函数y=cos x 的图象(纵坐标不变)如何变换得到( ) A.先把各点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位 B.先把各点的横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位8. A 和B 两个人约定在9点到10点之间在学校门口见面，并约定先到的一个人等另一个人20分钟，请问两个人能够见面的概率为（ ） A. B. C. D. 9.已知命题p ：0832,2<-+∈∀mx mx R x ，命题q ：121>+m ．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，则实数m 的取值范围是( ) A. （-3，-1）∪[0，+∞） B. （-3，-1]∪[0，+∞） C. （-3，-1）∪（0，+∞）D. （-3，-1]∪（0，+∞）10.若P(A)+P(B)=1，则事件A 与B 的关系是（ ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上都不对11.如果椭圆22142x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦中垂线所在的直线方程是( )A. 230x y +-= B . 230x y --= C. 230x y +-=D. 230x y ++=12. 设函数F(x)=是定义在R 上的函数，其中f(x)的导函数f '(x)满足f '(x)<f(x)对于x R 恒成立，则（ ）A.f(2)>f(0),f(2020)>2020e f(0)B.f(2)<f(0),f(2020)<2020e f(0)C.f(2)<f(0),f(2020)>2020e f(0)D.f(2)>f(0),f(2020)<2020e f(0)第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上。
13.1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_______. 14.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为________.15.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为________. 16.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（bi ē n ào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面，，且 2=AB ， 1==CD BC ，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分） 已知f(x)=cos 2x+2sinsin(π-x),x ∈R .(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;(2)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且f(A)=3-,a=3,求BC 边上的高的最大值.18．（本小题满分12分）如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点. (1)证明:BC 1∥平面A 1CD; (2)设AA 1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A 1DE 的体积.19.（本小题满分12分）有甲、乙两个班进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表：已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为7．（1）请完成上面的2×2列联表；（2）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．附：22()()()()(n ad bc a b c d a c b χ-=++++，其中n a b c d=+++.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C b a a b +=<<的离心率为2，且经过点(1,2（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在经过点1(1,)2-的直线l ，它与椭圆C 相交于,A B 两个不同点，且满足13(22OM OA OB O =+为坐标原点）关系的点M 也在椭圆C 上，如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知函数()e xf x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时，关于x 的不等式()ln 1f x x mx --≥恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点,极轴为x 轴正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C 的参数方程为(α为参数),直线l 过点(-1,0),且斜率为,射线OM 的极坐标方程为θ=.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程;(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O,P,与直线l 的交点为Q,求线段PQ 的长.23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知f(x)=|x+1|+|x-m|. (1)若f(x)≥2,求m 的取值范围;(2)已知m>1,若∃x ∈(-1,1), f(x)≥x 2+mx+3成立,求m 的取值范围.数学答案（文科）一、选择题（5×12=60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D C A C C A B C D D A B二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. 14.y=2x+1 15.f16.4三、解答题17.解析(1)f(x)=cos 2x+2sin sin(π-x)=cos 2x-2cos x·sin x=cos 2x-sin2x=-2sin,∴f(x)的最小正周期为π.令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+,k∈Z.∴f(x)的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).(2)由f(A)=-得sin=,∴2A-=+2kπ(k∈Z)或+2kπ(k∈Z),又A∈,∴A=.由a2=b2+c2-2bccos A及已知得9=b2+c2-bc≥bc,即bc≤9(当且仅当b=c时取等号).设BC边上的高为h,由ah=bcsin A,得3h=bc≤,∴h≤,即h的最大值为.18.解析(1)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.由D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA 1=AC=CB=2,AB=2得∠ACB=90°,CD=,A 1D=,DE=,A 1E=3,故A 1D 2+DE 2=A 1E 2,即DE ⊥A 1D. 所以=××××=1.19. 解：（1）由题意得甲、乙两个班级优秀人数之和为2210607⨯=，又甲班有20人，故乙班有40人.所以2×2列联表如下表所示：（222210(20604090)67212.218 6.6351101006015055χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ (10分) 因此有99%的把握认为“成绩与班级有关系”. （12分）20.【答案】(1) 2214x y +=； (2)存在，220x y【解析】（132a b =，将点3代入椭圆方程，即可求解； （2）分类讨论当斜率不存在时和斜率存在时直线是否满足题意，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理用点的坐标代入运算即可求解. 【详解】解：（13，得2a b =，再由点3(1,2在椭圆上，得 22131,42a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）因为点1(1,)2-在椭圆内部，经过点1(1,)2-的直线l 与椭圆恒有两个交点，假设直线l 存在，当斜率不存在时，经过点1(1,)2-的直线l 的方程1x =-，与椭圆交点坐标为33(1,(1,22A B ---或33(1,(1,22B A ---， 当33(1,(1,22A B ---时， 优秀 非优秀 总计 甲班 20 90 110 乙班 4060 100 总计 60 150210131(1,(22OM OA OB =+=--=，所以(M ，221(214+-+=≠， 点M 不在椭圆上；当(1,(1,22B A ---时， 13113(1,(1,(22222224OM OA OB -=+=--+-=-，同上可得：13(,)24M -不在椭圆上， 所以直线1x =-不合题意；当斜率存在时：设221(1)1:(1),22440y k x l y k x x y ⎧=++⎪-=+⇒⎨⎪+-=⎩222(14)4(21)4430k x k k x k k ⇒+++++-=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，由韦达定理得2121222224(21)42443442,114141414k k k k k k x x x x k k k k +-+--⎛⎫+=-=-+==+⎪++++⎝⎭()221212122111322144k y y k x x k k x x k k +⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 因为点1122(,),(,)A x y Bx y 在椭圆C 上，因此得2222112244,44x y x y +=+=，由12120013,,2222x y OM OA OB x y +=+⇒==， 由于点M 也在椭圆C 上，则221212()4()422x y ++=，整理得， 2222112212124434442x y x y x x y +++⨯++=，即121240,x x y y +=所以2224413114()0(21)0141442k k k k k k -+++-=⇒-=⇒=++因此直线l 的方程为11(1),22022y x x y -=+-+=即21.（本小题满分12分）【答案】（1）极小值为1e-，无极大值；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由题可得函数()f x 的定义域为R ，e e (e )(1)x x xx x f x =+=+'，（2分）令()0f x '<，可得1x <-；令()0f x '>，可得1x >-，所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，（4分）所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，极小值为1e-，无极大值．（5分） （2）()ln 1f x x mx --≥即e ln 1x x x mx --≥，即ln 1e (0)xx m x x x≤-->， 因为当0x >时，关于x 的不等式()ln 1f x x mx --≥恒成立， 所以当0x >时，min ln 1(e )xx m x x≤--．（7分） 令ln 1()e xx g x x x =--，0x >，则22e ln ()x x xg x x '+=， 设2()e ln xh x x x =+，易知函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，又1e 21()e 10eh -=-<，(1)e 0h =>，所以存在01(,1)ex ∈，使得0()0h x =，即0020e n 0l xx x +=，（8分） 所以当00x x <<时，()0g x '<；当0x x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，由0020e ln 0x x x +=可得00ln 0000ln e =(ln )e xx x x x x --=-， 所以00()(ln )f x f x =-，01(,1)ex ∈，0ln (0,1)x -∈，（10分）由（1）知，函数()f x 在在(1,)-+∞上单调递增，所以00ln x x =-，01e xx =，所以00min 000ln 1()()e 1x x g x g x x x ==--=，所以1m ≤， 故实数m 的取值范围为(,1]-∞．（12分） 22.解析 (1)∵曲线C 的参数方程为(α为参数),∴曲线C 的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入整理得ρ+2cos θ-2sin θ=0, 即曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin.∵直线l 过点(-1,0),且斜率为, ∴直线l 的方程为y=(x+1),∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ-2ρsin θ+1=0. (2)当θ=时,|OP|=2sin=2, |OQ|==, 故线段PQ 的长为2-=.23.解析 (1)∵f(x)=|x+1|+|x-m|≥|m+1|, ∴只需|m+1|≥2,∴m+1≥2或m+1≤-2,∴m 的取值范围为m ≥1或m ≤-3. (2)∵m>1,∴当x ∈(-1,1)时, f(x)=m+1, ∴f(x)≥x 2+mx+3,即m ≥x 2+mx+2, ∴m(1-x)≥x 2+2,m ≥,令g(x)===(1-x)+-2(-1<x<1).∵-1<x<1,∴0<1-x<2, ∴(1-x)+≥2(当且仅当x=1-时取“=”),∴g(x)min =2-2, ∴m ≥2-2.- 11 -。