高中数学选修1-2北师大版 复数的加法与减法 作业1(含答案)
高中数学选修1-2北师大版 4.2.1 复数的加法与减法课件(42张)
[答案] 8
[解析] 由条件知 z＝z1＋z2， ∴(1＋ai)＋(b－2i)＝3＋4i， 即(1＋b)＋(a－2)i＝－2＝4，
∴b＝2，a＝6，a＋b＝8．
3． 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， → → → 若向量OA、OB对应的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则CD对应的 复数是( ) B．－2＋4i D．4－2i A．2＋4i C．－4＋2i
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
数系的扩充与复数的引入
第四章 §2 复数的四则运算
第1课时 复数的加法与减法
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进
行化简、求值． 了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．
1．若z1＝3＋2i，z2＝－4＋i，则z1＋z2＝________，z1－z2
＝________．
[答案] －1＋3i 7＋i
2．在复平面内，复数 z1、z2、z 的对应点分别为 Z1、Z2、Z， → → → 已知OZ＝OZ1＋OZ2，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈ R)，则 a＋b＝________．
复数与复数相加减，相当于多项式加减
复数的加法的几个注意点 (1)复数的代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就按 规定进行运算． (2)复数加法中的规定，是实部与实部相加，虚部与虚部相
加．很明显，两个复数的和仍然是一个复数．
(3)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．
(4)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
高中数学北师大版选修1-2第4章《数系的扩充与复数的引入》导学案：复数代数形式的加减运算习题
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ． 4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i 6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学4.2.1复数的加法与减法课时训练北师大版选修1-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.2.1 复数的加法与减法课时训练 北师大版选修1-2一、选择题1．(3－4i)－(4－3i)等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i【解析】 (3－4i)－(4－3i)＝(3－4)＋[－4－(－3)]i ＝－1－i.【答案】 B2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4【解析】 由题意知，b ＋4＝0，a ＋3＝0，∴a ＝－3，b ＝－4.【答案】 A3．若|z －i|＝|z ＋i|，则复数z 对应的点在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限【解析】 ∵|z －i|＝|z ＋i|，∴点Z 到点(0,1)和(0，－1)的距离相等，故选A.【答案】 A4．在复平面内，A (－2,1)，B (－1,6)，则AB →表示的复数为( )A ．－5－iB ．5＋iC ．－1－5iD ．1＋5i 【解析】 由AB →＝(1,5)，得AB →表示的复数为1＋5i.【答案】 D5．若P ，A ，B ，C 四点分别对应复数z ，z 1，z 2，z 3，且|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则点P 为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 由|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|的几何意义可知，动点P 到△ABC 的三个顶点距离相等，所以P 为△ABC 的外接圆的圆心．【答案】 A二、填空题6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1＋z 2＝________，z 1－z 2＝________.【解析】 z 1＋z 2＝(2＋i)＋(1＋2i)＝3＋3i ，z 1－z 2＝(2＋i)－(1＋2i)＝1－i.【答案】 3＋3i 1－i7．方程|z |＝1＋3i －z 的解是________．【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝(1－a )＋(3－b )i ，∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝1－a ，3－b ＝0.解得a ＝－4，b ＝3.【答案】 z ＝－4＋3i8．若(1＋i)－z ＝－2＋3i ，则z ＝________.【解析】 z ＝(1＋i)－(－2＋3i)＝[1－(－2)]＋(1－3)i ＝3－2i.【答案】 3－2i三、解答题9．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋i)]．【解】 (1)原式＝[(1＋3)＋(2－4)i]－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝(4－5)＋(－2－6)i ＝－1－8i.(2)原式＝5i －[(3＋1)＋(4－1)i]＝5i －(4＋3i)＝(0－4)＋(5－3)i ＝－4＋2i.10．已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)B 点对应的复数．【解】 (1)AO →＝－OA →，∴AO →表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即B 点对应的复数为1＋6i.11．已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，求z 1，z 2.【解】 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝2i ， ∴z 2＝2i －z 1＝－a ＋(2－b )i.由已知，得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，a 2＋ 2－b 2＝2. 解得a ＝±3，b ＝1.故所求的复数为z 1＝3＋i ，z 2＝－3＋i 或z 1＝－3＋i ，z 2＝3＋i.。
高中数学 5.2.1-2.2 复数的加法与减法 复数的乘法与除法课时作业 北师大版选修2-2
§2 复数的四则运算2．1 复数的加法与减法2．2 复数的乘法与除法 课时目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.3.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．1．复数加法与减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝____________，z 1－z 2＝____________.2．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.3．复数的除法a ＋b ic ＋d i＝____________________________ (c ＋d i≠0)．一、选择题1．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3 C.12D ．－1或3 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i3．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－344．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i5．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z z －1等于( ) A ．2i B ．－2iC ．2D ．－26．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题7．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝________.8．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．三、解答题10．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .11.已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .能力提升12．复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知复数z 1＝i(1－i)3，(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．1．复数代数形式的四则运算类似于多项式的运算．2．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化答 案知识梳理1．(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i2．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i3.a ＋bc －dc ＋d c －d ＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2作业设计1．C [z ＝(2m 2＋m －1)＋(3＋2m －m 2)i.令⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1＝03＋2m －m 2≠0，得m ＝12.] 2．B [z ＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.]3．A [∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i.z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.] 4．A [∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2＝3＋2i ＋1＝4＋2i.]5．A [z 2－2z z －1＝＋2－＋1＋i －1＝2i －2－2i i ＝－2i ＝－2i i 2＝2i.] 6．D [∵23<m <1，则3m －2>0，m －1<0， ∴点在第四象限．]7．1解析 由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1. 8．1解析 ∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1. ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.9．4解析 复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.10．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－42x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2， 所以复数z ＝1＋2i.11．解 方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i. ∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15b ＝8.∴z ＝－15＋8i.方法二 原式可化为：z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝－|z 2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i 得：z ＝－15＋8i.12．A [∵z ＝i 1＋i ＝－＋－＝1＋i 2＝12＋12i ， ∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．]13．解 方法一 (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2－2i ，∴|z 1|＝22＋－2＝2 2.方法二 |z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3＝1×(2)3＝2 2.(2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ，|z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝θ－2＋θ＋2 ＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值 9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.。
数学北师大版选修1-2同步测控 4.2复数的四则运算 含解
同步测控我夯基 我达标1.(5-i)-(3-i)-5i 等于( )A5i B.2-5i C.2+5i D.2 解析:利用复数的加、减法运算法则,实部与实部加减、虚部与虚部加减运算.答案:B2.已知z=11-20i,则1-2i-z 等于( )A.z-1B.i+1C.-10+18iD.10-18i 解析:将z 的值代入运算.答案:C3.(1+i)4等于( )A.4B.-4C.4iD.-4i 解析:(1+i)2=2i,∴(1+i)4=(2i)2=-4.答案:B4.(1+2i)÷(3-4i)等于( ) A.51+52i B.51-52-i C.51-+52i D.5152-i解析:按除法运算法则改写为分式,分子、分母同乘3+4i 化简.答案:C5.方程9x 2+16=0的根是___________.解析:方程化为x 2=916-,即x 2=(±34i)2.∴x=±34i.答案:±34i我综合 我发展6.(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)等于___________.解析:互为共轭复数之积为模的平方.答案:(a 2+b 2)2 7.(21i+)4n +(21i-)4n =___________(n 为奇数).解析:∵(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,∴(1+i)4=-4,(1-i)4=-4.∴(21i +)4n +(21i -)4n =n n 22)4(-+n n 22)4(-=n n 22)4(2-∙=n n22222∙-=-2.答案:-28.已知z 1=1-2i,z 2=3+4i,求满足z 1=11z +21z 的复数z.分析:分别求出11z 与21z ,再求和z 1,再求z. 解:z 1=11z +21z =i 211-+i431+=521i ++2543i -=2543105i i -++=2568i +, ∴z=468100)68(256825i i i -=-=+=223-i. 9.复数z=a+bi,满足z 2=3+4i,求z.分析:先进行乘法运算,再利用复数相等的定义求解a 、b 的值.解:∵z 2=3+4i,∴(a+bi)2=3+4i.∴a 2-b 2+2abi=3+4i.∴⎩⎨⎧==-.42,322ab b a ∴⎩⎨⎧==1,2b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,2b a ∴z=2+i 或z=-2-i.10.已知复数z 1且|z 1|=5,z 2=3+4i,z 1z 2是纯虚数,求z 1.分析:求复数z 1可先设成z 1=a+bi(a 、b ∈R ),再确定a 、b.解:设z 1=a+bi(a 、b ∈R ),∵|z 1|=5,∴a 2+b 2=25.∵z 1z 2=(a+bi)(3+4i)=(3a-4b)+(3b+4a)i 为纯虚数,∴3a-4b=0且3b+4a≠0.由⎩⎨⎧=+=-,25,04322b a b a ∴⎩⎨⎧==3,4b a 或⎩⎨⎧-=-=.3,4b a ∴z 1=4+3i 或z 1=-4-3i.11.已知关于x 的方程x 2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求这个实根以及实数k 的值. 分析:方程有实根,可先设出实根x 0,再代入方程利用复数相等的定义求解. 解:设方程的实根为x 0,则x 02+(k+2i)x 0+2+ki=0.即(x 02+kx 0+2)+(2x 0+k)i=0.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=++.02,020020k x kx x ∴x 02=2,x 0=±2.∴⎪⎩⎪⎨⎧-==22,20k x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=.22,20k x 我创新 我超越12.已知z=1+i,如果122+-++z z b az z =1-i,求实数a 、b 的值. 分析:可先求出z 2,化简分母,将除法转化为乘法. 解:∵z=1+i,∴z 2=2i.∴z 2-z+1=2i+1-(1+i)=i. 由122+-++z z b az z =1-i,得z 2+az+b=i(1-i)=1+i. ∴2i+a(1+i)+b=1+i,即(a+b)+(a+2)i=1+i. ∴⎩⎨⎧=+=+.12,1a b a ∴⎩⎨⎧=-=.2,1b a。
高中数学选修1-2北师大版 复数的加法与减法、复数的乘法与除法 课件(25张)
①|z|=|������|;②|z1z2|=|z1||z2|;③ ������1 = |������1|(z2≠0).
2 2
������
|������ |
【做一做 3】 已知复数 z 对应的点在第二象限,它的模是 3,实 部是- 5,则������=( ) A.- 5+2i B.- 5-2i C. 5+2i D. 5-2i 解析: 设 z=- 5+bi(b∈R,且 b>0), 则|z|= 5 + ������ 2 =3,且 z 对应的点在第二象限, 即 b=2,z=- 5+2i.故������=- 5-2i. 答案: B
【做一做 4】
1 2 1 C. 1 + i 2 1+2i
1+2i (1-i)
2 =(
)
A.-1- i
B.-1+ i D.1- i
=
1+2i -2i
1 2
1 2
解析:
(1-i)2
=
(1+2i)i 2
=
-2+i 1 =-1+ i. 2 2
答案: B
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. ( ) (2)两个互为共轭复数的复数的和与积都是实数.( ) (3)若两个复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1=z2=0. ( ) (4)两复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)÷(c+di)
维
脉
络
一、复数的加法、减法 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R, 1.运算:z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.法则:两个复数的和或差仍然是一个复数,它的实部是原来两个 复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差). 名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法 的逆运算; 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致. 2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的 移项法则在复数中仍然成立. 3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 4.适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算. 5.虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母, 然后去括号,合并同类项即可.
2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法(1)
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。
高中复数加减法练习题及讲解
高中复数加减法练习题及讲解 ### 高中复数加减法练习题及讲解 复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，形式为 \( a + bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。在高中数学中，复数的加减法是基础运算之一。下面是一些复数加减法的练习题，以及相应的讲解。
#### 练习题 1. 计算 \( (3 + 4i) + (1 - 2i) \)。 2. 求 \( (2 - 3i) - (1 + i) \)。 3. 给出 \( (-1 + 2i) + (-2 - i) \) 的结果。 4. 计算 \( (5 + 7i) - (3 - 4i) \)。 5. 求 \( (-3 - 2i) + (4i - 3) \)。
#### 讲解 复数的加减法遵循与实数加减法相同的规则，即分别对实部和虚部进行运算。
1. 加法： - 将两个复数的实部相加，得到新的实部。 - 将两个复数的虚部相加，得到新的虚部。
例如，对于 \( (3 + 4i) + (1 - 2i) \)： \[ 3 + 1 = 4 \] \[ 4i - 2i = 2i \] 结果为 \( 4 + 2i \)。 2. 减法： - 将第一个复数的实部减去第二个复数的实部，得到新的实部。 - 将第一个复数的虚部减去第二个复数的虚部，得到新的虚部。
例如，对于 \( (2 - 3i) - (1 + i) \)： \[ 2 - 1 = 1 \] \[ -3i - i = -4i \] 结果为 \( 1 - 4i \)。
#### 答案解析 1. \( (3 + 4i) + (1 - 2i) = 4 + 2i \) 2. \( (2 - 3i) - (1 + i) = 1 - 4i \) 3. \( (-1 + 2i) + (-2 - i) = -3 + i \) 4. \( (5 + 7i) - (3 - 4i) = 2 + 11i \) 5. \( (-3 - 2i) + (4i - 3) = -6 + 2i \)
北师大版高中数学选修(1-2)-4.2名师点拨：复数的加法与减法
看做 Z、Z0 两点间的距离．
◎复数z满足|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．
【错解】
复数 z 对应的点的轨迹是以点(－1，－1)为
圆心，以 1 为半径的圆，|z＋1＋i|表示圆上的点到复数 1＋i 对应的点(1,1)的距离， 所以 |z ＋ 1 ＋ i| 的最小值为 －1－12＋－1－12 － 1 ＝ 2 2－1.
【错因】
本题错用了复数减法的几何意义，其实|z－1－i|
表示复数z对应的点到复数1＋i对应的点的距离，而|z＋1＋i|表示 复数z对应的点与－1－i对应的点之间的距离．
【正解】 因为|z－1－i|＝1，所以由复数减法的几何意 义可知，z 对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心，1 为半径的 圆，而|z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离， 所以|z＋1＋i|min＝ 1＋12＋1＋12－1＝2 2－1.
从几何意义上理解， 复数的加减运算同平面向量的加减 运算是一样的，这为我们利用数形结合解题提供了条件， 如|z－(1＋i)|＝1 表示以(1,1)为圆心，以 1 为半径的圆； → → |z1 ＋ z2|＝ |z1 － z2|表示以 OZ1 和 OZ2 为邻边的四边形为矩 形等．
[特别提醒]
在利用复数的几何意义解题时， 常把|z－z0|
1．加法法则的合理性，可从下面几点理解 (1)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致． (2)可以验证加法运算的交换律、结合律在复数集中仍然成 立． (3)符合向量加法的平行四边形法则．
2．法则的记忆：可以类比同类项的合并或记为：实部与实
部相加减，虚部与虚部相加减．
3．复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或 混合运算．
高中数学 5.2.1-2.2 复数的加法与减法 复数的乘法与除法课时作业 北师大版选修2-2
高二数学 §2 复数的四则运算2．1 复数的加法与减法2．2 复数的乘法与除法 课时目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.3.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．1．复数加法与减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝____________，z 1－z 2＝____________.2．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.3．复数的除法a ＋b ic ＋d i＝____________________________ (c ＋d i≠0)．一、选择题1．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3 C.12D ．－1或3 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i3．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－344．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i5．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z z －1等于( ) A ．2i B ．－2iC ．2D ．－26．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题7．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝________.8．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．三、解答题10．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .11.已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .能力提升12．复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知复数z 1＝i(1－i)3，(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．1．复数代数形式的四则运算类似于多项式的运算．2．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化答 案知识梳理1．(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i2．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i3.a ＋bc －dc ＋d c －d ＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2作业设计1．C [z ＝(2m 2＋m －1)＋(3＋2m －m 2)i.令⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1＝03＋2m －m 2≠0，得m ＝12.] 2．B [z ＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.]3．A [∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i.z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.] 4．A [∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2＝3＋2i ＋1＝4＋2i.]5．A [z 2－2z z －1＝＋2－＋1＋i －1＝2i －2－2i i ＝－2i ＝－2i i 2＝2i.] 6．D [∵23<m <1，则3m －2>0，m －1<0， ∴点在第四象限．]7．1解析 由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1. 8．1解析 ∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1. ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.9．4解析 复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.10．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－42x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2， 所以复数z ＝1＋2i.11．解 方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i. ∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15b ＝8.∴z ＝－15＋8i.方法二 原式可化为：z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝－|z 2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i 得：z ＝－15＋8i.12．A [∵z ＝i 1＋i ＝－＋－＝1＋i 2＝12＋12i ， ∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．]13．解 方法一 (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2－2i ，∴|z 1|＝22＋－2＝2 2.方法二 |z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3＝1×(2)3＝2 2.(2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝θ－2＋θ＋2 ＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值 9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.。
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复数的加法与减法 同步练习
一、选择题
1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i
[答案] D
[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2
b ＝－1
， ∴a ＋b i ＝－2－i.
2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
[答案] C
[解析] z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限． 3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )
A ．充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] z 是纯虚数⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－1＝0，
x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A.
4．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →
对应的复数为( )
A ．1＋5i
B ．3＋i
C ．－3－i
D ．1＋i
[答案] B
[解析] 向量OA →
对应的复数即为A 点对应的复数， 又因为BA →＝OA →－OB →
， 而(2＋3i)－(－1＋2i)＝3＋i ， 故BA →
对应的复数为3＋i ，故选B.
5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－3
4＋i
B ．3
4－i
C ．－3
4－i
D ．－34
＋i
[答案] D
[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，
因此有⎩⎨⎧
x ＋x 2＋y 2＝2
y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝34y ＝1
，
故z ＝3
4
＋i ，故选D.
[点评] ∵|z |∈R ，z ＝2－|z |＋i ，
∴z 的虚部为1，因此可设z ＝a ＋i(a ∈R )，由此得a ＋i ＋a 2＋1＝2＋i 解出a . 6．复数z ＝sin1 000°－icos1 000°在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
[答案] C
[解析] z ＝sin(－80°)－icos(－80°) ＝－sin80°－icos80°， ∴－sin80°<0，－cos80°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题
7．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →
对应的复数为________．
[答案] －1－5i
[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →
对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.
8．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.
[答案] －1
[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0
，解得a ＝－1.
9．在复平面内，O 是原点，O A →、OC →、A B →
对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，
那么B C →
对应的复数为________．
[答案] 4－4i
[解析] B C →＝O C →－O B →
＝O C →－(O A →＋A B →
) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题
10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →
对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．
(1)求A D →
对应的复数； (2)求D B →
对应的复数； (3)求△APB 的面积．
[答案] (1)－2＋2i (2)5 (3)5
2
[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →
对应的复数，先求出向量P A →、P B →
对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．
[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →
，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，
即A D →
对应的复数是－2＋2i.
(2)由于D B →＝A B →－A D →
，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即D B →
对应的复数是5.
(3)由于P A →＝12C A →＝－12
A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， P
B →＝12
D B →＝⎝⎛⎭⎫
52，0， 于是P A →·P B →＝－54，
而|P A |→
＝172，|PB |→＝52，
所以
172·52·cos ∠APB ＝－54
，。