用勾股定理求最短路径课件
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人教版八年级下册数学作业课件 第十七章 解题技巧专题：利用勾股定理解决最短路径问题
解：如图，作点 A 关于 CD 的对称点 A′， 连接 BA′交 CD 于点 O，点 O 即为水厂的位置． 由对称性得 AO＋BO＝A′B. 连接 AO，过点 A′作 A′E∥CD 交 BD 的延长 线于点 E，过点 A 作 AF⊥BD 于点 F， 则 AF＝A′E，DF＝AC＝1 km，DE＝A′C＝1 km. ∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)． 在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2－BF2＝( 13 )2－22＝9， ∴AF＝3 km.∴A′E＝3 km.
基本模型：立体图形的表面展开 圆柱：A→B
长方体：A→F
阶梯：A→B
1．如图，正方体的棱长为 2，B 为一条棱的中点．已知
蚂蚁沿正方体的表面从 A 点出发，到达 B 点，则它运
动的最短路程为
A. 10
B．4
C. 17
(C) D．5
2．如图，四边形 ABCD 是长方形地面，长 AB＝10 m， 宽 AD＝5 m，中间竖有一堵砖墙，高 MN＝1 m．一只 蚂蚱从点 A 爬到点 C，它必须翻过中间那堵墙，则它至 少要走 13 m.
5．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高 为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂 蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3 cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最 短路程是 13 cm.
6．如图，A，B 两个村在河 CD 的同侧，且 AB＝ km， A，B 两村到河的距离分别为 AC＝1 km，BD＝3 km.现 要在河边 CD 上建一水厂分别向 A，B 两村输送自来水， 铺设水管的工程费每千米需 3000 元．请 你在河岸 CD 上选择水厂位置 O，使铺 设水管的总费用最少，并求出铺设水管 的总费用 W(元)．
北师大版数学八年级上册 第1章 勾股定理 第2课时 巧用勾股定理求最短路径的长 习题课件
是80.
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11．如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm， 高AA′＝4 cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬 到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
解：有以下三种情况：
(1)如图①，连接AB′， AB′2＝AB2＋BB′2＝(2＋1)2＋42＝25； (2)如图②，连接AB′， AB′2＝AC2＋B′C2＝22＋(4＋1)2＝4＋25＝29；
返回
10 ．如图，一个正方体木柜放在墙角处 ( 与墙面和地 面均没有缝隙 ) ，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜 表面爬到柜角C1处．
(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最 快到达目的地的可能路径； (2)当正方体木柜的棱长为 4时，求蚂蚁爬过的最短路
径的长的平方．
解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能 路径为如图所示的AC′1和AC1. (2)如图，AC′12＝42＋(4＋4)2＝80. AC12＝(4＋4)2＋42＝80.
第一章 勾股定理
1.3勾股定理的应用
第2课时
巧用勾股定理求最短路径的长
1
5 9
2 6
3 7 11
4 8
10
题型
1
用计算法求平面中的最短问题
1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到 B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一 条“路”，他们仅仅少走了 4 ________ 步路(假设2步为 1 m)，却踩伤了花草．
A． 4
C． 6
B． 5
D． 7
返回
4 ．如图，在正方形 ABCD 中， AB 边上有一点 E ，
AE＝ 6， EB＝ 2，在AC 上有一点 P，使 EP＋ BP
最短．求EP＋BP的最短长度．
返回
11．如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm， 高AA′＝4 cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬 到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
解：有以下三种情况：
(1)如图①，连接AB′， AB′2＝AB2＋BB′2＝(2＋1)2＋42＝25； (2)如图②，连接AB′， AB′2＝AC2＋B′C2＝22＋(4＋1)2＝4＋25＝29；
返回
10 ．如图，一个正方体木柜放在墙角处 ( 与墙面和地 面均没有缝隙 ) ，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜 表面爬到柜角C1处．
(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最 快到达目的地的可能路径； (2)当正方体木柜的棱长为 4时，求蚂蚁爬过的最短路
径的长的平方．
解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能 路径为如图所示的AC′1和AC1. (2)如图，AC′12＝42＋(4＋4)2＝80. AC12＝(4＋4)2＋42＝80.
第一章 勾股定理
1.3勾股定理的应用
第2课时
巧用勾股定理求最短路径的长
1
5 9
2 6
3 7 11
4 8
10
题型
1
用计算法求平面中的最短问题
1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到 B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一 条“路”，他们仅仅少走了 4 ________ 步路(假设2步为 1 m)，却踩伤了花草．
A． 4
C． 6
B． 5
D． 7
返回
4 ．如图，在正方形 ABCD 中， AB 边上有一点 E ，
AE＝ 6， EB＝ 2，在AC 上有一点 P，使 EP＋ BP
最短．求EP＋BP的最短长度．
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
勾股定理在折叠问题和最短路径中的应用(精品)-完整版PPT课件
R
D A
S
F
C
B
小 结： 把几何体适当展开成平面图形， 再利用“两点之间线段最短”， 或点到直线“垂线段最短”等性
质来解决问题。
走的最短路程是多少？
F
3 2
A2
四、节节高升
例4、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距
离是多少？
B C 20
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况如图①② ,由勾股定理可求
得图1中AB最短
B
A
A
2 如图,一个圆柱的底面周长为60cm，高AB =18cm， AF=1cm，CD=1cm，蚂蚁从C点爬行到F点的最短路程
是多少？
A E
F.
.C D
三、长方体中的最值问题
例3、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
2点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分
全等性
折
轴对称 本 质 折叠问题
对称性
重结果 叠
精 髓
利用方程思想
折叠问题
1、两手都要抓：重视“折”，关注“叠” 2、本质：轴对称（全等性，对称性） 3、关键：根据折叠实现等量转化 4、基本方法：构造方程：
（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）根据面积得方程。
D1 A1 D
A
4
C1
B1
1 C
2 B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情 况如图①②③ ,由勾股定理可求得图1中AC1爬
初中数学华东师大八年级上册勾股定理圆柱的最短路径问题PPT
3、思想方法：分类讨论、转化思想、建模思想
博观 约取 厚积 薄发
实际问题
利用勾股定理
直角三角形的问题
数学问题
抽象
归类
解决
博观 约取 厚积 薄发
拓展提高： 如图，一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，高AB＝5dm，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线。小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC。如下图（2）所示： 路线2：高线AB + 底面直径BC。如上图（1）所示：
？
？
把圆柱体的侧面沿着它的一条高展开， 得到一个_______ ，这个_______的一边等于圆柱 的________ ，另一边等于圆柱的_____ 。
长方形
底面圆周长
高
长方形
导入：展开圆柱的侧面
博观 约取 厚积 薄发
2
1
B
A
C
博观 约取 厚积 薄发
如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm， 在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F 处有一苍蝇， 试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走侧面的最短路线的长度.
博观 约取 厚积 薄发
学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了___ 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。
4
复习： 在同一平面内， 两点之间，线段最短
3
4
“路”
A
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
┏
芳草青青，足下留情!
博观 约取 厚积 薄发
1. 展 （圆柱侧面——长方形）
3. 连 （两点之间线段最短）
博观 约取 厚积 薄发
实际问题
利用勾股定理
直角三角形的问题
数学问题
抽象
归类
解决
博观 约取 厚积 薄发
拓展提高： 如图，一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，高AB＝5dm，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线。小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC。如下图（2）所示： 路线2：高线AB + 底面直径BC。如上图（1）所示：
？
？
把圆柱体的侧面沿着它的一条高展开， 得到一个_______ ，这个_______的一边等于圆柱 的________ ，另一边等于圆柱的_____ 。
长方形
底面圆周长
高
长方形
导入：展开圆柱的侧面
博观 约取 厚积 薄发
2
1
B
A
C
博观 约取 厚积 薄发
如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm， 在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F 处有一苍蝇， 试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走侧面的最短路线的长度.
博观 约取 厚积 薄发
学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了___ 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。
4
复习： 在同一平面内， 两点之间，线段最短
3
4
“路”
A
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
┏
芳草青青，足下留情!
博观 约取 厚积 薄发
1. 展 （圆柱侧面——长方形）
3. 连 （两点之间线段最短）
勾股定理解题技巧专题勾股定理中的最短路径问题作业ppt
06
解题技巧总结
技巧一：直接运用勾股定理
直接运用勾股定理计算最短路 径
根据题目中给定的三角形三边 长度，利用勾股定理求出最短
路径
特别适用于已知三角形三边长 度的情况
技巧二：构造直角三角形
通过构造直角三角形，将一般三角形转化为直角三角形 利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再根据题目要求计算最短路径
练习二：进阶应用
总结词
考虑特殊情况
详细描述
在进阶题目中，往往需要考虑到一些特殊情况，例如点与线之间、线与线之 间的位置关系。学生需要运用勾股定理，计算出各个路径的长度，并排除掉 一些不符合条件的路径，选择最短的路径作为答案。
练习三：挑战应用
总结词：综合运用
详细描述：在挑战题目中，通常会涉及到多个知识点，例如 角平分线、中垂线等。学生需要综合运用多个知识点，找出 最短路径。有些题目还会涉及到无向图或有向图的概念，需 要学生灵活运用所学知识解题。
在直角三角形ABC中，已知两条直角边分别 为a和b，斜边长为c，则根据勾股定理有
a^2 + b^2 = c^2。当需要求两条直角边 之间的距离时，可以将两直角边的长度相加 再取平均值，即(a+b)/2。这个值即为最短
路径。
案例二：利用勾股定理求最大距离
总结词
在等腰直角三角形中，利用勾股定理可以 求出两直角边之间的距离，即为最大距离 。
间接法
总结词
间接比较，适用于复杂图形
详细描述
间接法是通过比较不同路径长度来确定最短路径的一种方法。在复杂图形中，由于直接法很难求解，因此可以 通过间接比较不同路径长度来求得最短路径。此方法需要借助其他辅助线或图形来进行比较，适用于复杂图形 中的最短路径问题。