【2022高考数学一轮复习(步步高)】第二章 §2.1 第1课时 函数的概念及其表示

§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的概念一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．微思考1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？提示0个或1个．2．函数定义中，非空数集A ，B 与函数的定义域、值域有什么关系？ 提示 函数的定义域即为集合A ，值域为集合B 的子集．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的函数．( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)y ＝x －3＋2－x 是一个函数．( × )(4)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭的曲线．( × )题组二 教材改编 2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为________． 答案 [0,2)∪(2，＋∞)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0解得x ≥0且x ≠2，∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (2)＝________.答案 2解析 f (2)＝f (1)＝21＝2.4．函数f (x )＝x －1x 在区间[2,4]上的值域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤32，154解析 f (x )＝x －1x 在区间[2,4]上单调递增，又f (2)＝32，f (4)＝154，故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤32，154.题组三易错自纠5．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()答案 C解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．6．已知f(x)＝x＋x－1，则f(x)＝________.答案x2＋x－1，x≥0解析令t＝x，则t≥0，x＝t2，∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.第1课时函数的概念及其表示题型一函数的概念1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案 C2．(多选)下列各组函数相等的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1 B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 ③中，f ：x →y ＝23x ，x ∈[0,4]时，y ＝23x ∈⎣⎡⎦⎤0，83⊈Q ，故不满足函数的定义． 思维升华 (1)函数的定义要求第一个非空数集A 中的任何一个元素在第二个非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．题型二 求函数的解析式例1 求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式． 解 (1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]， 则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]． 即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17. 即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7. (4)(方程组法)∵2f (x )＋f (－x )＝3x ，①∴将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 跟踪训练1 (1)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则f (x )＝________. 答案1x －1(x ≠0且x ≠1) 解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．(2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (3)已知f (x )满足f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________. 答案 －2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，①以1x 代替①中的x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x －2f (x )＝2x ，② ①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x ，∴f (x )＝－2x 3－43x .题型三 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为( ) A.12 B ．－12 C ．－1 D ．1 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫43－1＋1＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＝cos π3＋1＝32， f ⎝⎛⎭⎫－43＝cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＝cos 2π3＝－12， ∴f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝32－12＝1.命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 (1)(2021·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 ∵f (1)＝21＝2，∴f (a )＋2＝0，∴f (a )＝－2， 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，∴a ＝－3， 当a >0时，f (a )＝2a ＝－2，方程无解， 综上有a ＝－3.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，11－x ，x <1，则不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 ∵当x ≥1时，log 2x ≤1，∴1≤x ≤2. 当x <1时，11－x ≤1，解得x ≤0，∴f (x )≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2]． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2 (1)(2021·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 当x >12时，2x ＋122x ->1恒成立，∴x >12，当0<x ≤12时，2x ＋x －12＋1>1，即2x ＋x >12恒成立，∴0<x ≤12，当x ≤0时，x ＋1＋x －12＋1>1，解得－14<x ≤0，综上有x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 课时精练1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 图象①关于x 轴对称，x >0时，每一个x 对应2个y ，图象②中x 0对应2个y ，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (8))等于( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．2答案 C解析 ∵f (8)＝1－log 28＝1－3＝－2， ∴f (f (8))＝f (－2)＝2－2＋1＝12. 3．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x 1－x(x ≠－1) B.1＋x x －1(x ≠－1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．4.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个选项中的图象，只有选项A 符合条件．5．(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (a )＝12的a 的值为( )A ．－1B ．1 C.22D. 2 答案 ACD解析 由题意知，若a ≤0，则2a ＝12，解得a ＝－1；若a >0，则|log 2a |＝12，解得a ＝122或a ＝122-.即a ＝2或a ＝22.故选ACD. 6．(多选)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝ln 1－x1＋xC ．1ex xy -=D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意； 对于B ，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于C ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝111ex x-＝ex －1，－f (x )＝1exx--≠f ⎝⎛⎭⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD. 7．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝________. 答案 15lg 2解析 令x 5＝2，则x ＝152，∴f (2)＝15lg 2＝15lg 2.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x <1，2x －1，x ≥1，若f (f (－1))＝3，则b ＝______.答案 3解析 ∵f (－1)＝b －1， ∴f (b －1)＝3，当b －1≥1即b ≥2时， 2b －1－1＝3，解得b ＝3，当b －1<1即b <2时，b －1＋b ＝3，解得b ＝2(舍)，综上有b ＝3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋1，x <0，2x ，x ≥0，则满足f (a )>1的实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,0)∪(0，＋∞)解析 因为f (a )>1，①⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，2a >1，解得a >0， ②⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a 2－2a ＋1>1，解得－2<a <0. 由①②知－2<a <0或a >0.10．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________，f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 72 94解析 令x ＝2，可得f ⎝⎛⎭⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，② 联立①②解得f (－2)＝72，f ⎝⎛⎭⎫12＝94. 11．已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5，x ≤0，x ＋5，0<x ≤1，－2x ＋8，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫1π，f (－1)的值； (2)画出这个函数的图象；(3)求f (x )的最大值．解 (1)∵32>1， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×32＋8＝5. ∵0<1π<1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π. ∵－1<0，∴f (－1)＝－3＋5＝2.(2)这个函数的图象如图．在函数f (x )＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分，在函数f (x )＝x ＋5的图象上截取0<x ≤1的部分，在函数f (x )＝－2x ＋8的图象上截取x >1的部分．图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象．(3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )取最大值6.12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m ，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， 所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2， 得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 画出f (x )的图象如图所示，由图知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>2x ，2x <0， 解得x <0，故x 的取值范围是(－∞，0)．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a ＝0时，显然不成立．当a >0时，不等式a [ f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [ f (a )－f (－a )]>0等价于－a 2－2a <0，解得a <－2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．15．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x ，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a b的取值范围为________． 答案 (2e ，＋∞)解析 因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＋4＝(2)2f ⎝⎛⎭⎫12＝2e b ，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋2＝2f ⎝⎛⎭⎫－12＝2⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＝2(a －1)，因为f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫32， 所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b ＝2e b ＋1b ＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)， 故a b的取值范围为(2e ，＋∞)． 16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)与f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)与f ⎝⎛⎭⎫13； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系？证明你的发现；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 021)＋f ⎝⎛⎭⎫12 021的值． 解 (1)由f (x )＝x 21＋x 2＝1－1x 2＋1， 所以f (2)＝1－122＋1＝45，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－114＋1＝15. f (3)＝1－132＋1＝910，f ⎝⎛⎭⎫13＝1－119＋1＝110. (2)由(1)中求得的结果发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 021)＋f ⎝⎛⎭⎫12 021＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 021)＋f ⎝⎛⎭⎫12 021＝2 020.。