2022年人教版《平行线分线段成比例》公开课教案

27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
1．了解相似比的定义；(重点) 2．掌握平行线分线段成比例定理的根本领实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点) 3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)
一、情境导入
如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．
二、合作探究
探究点一：相似三角形的有关概念
如以下图，△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求： (1)△OAC 和△OBD 的相似比； (2)BD 的长．
解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．
解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，那么△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝2
1
；
(2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA
OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24
＝1.
方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法． 变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞 第1题
探究点二：平行线分线段成比例定理
【类型一】 平行线分线段成比例的根本领实
如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线
l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.
(1)求CB
AB 的值；
(2)求AB 的长．
解析：(1)根据l 1∥l 2∥l 3推出CB AB ＝EF DE ；(2)根据l 1∥l 2∥l 3，推出EF DF ＝BC AC ＝5
8，代入AC
＝24求出BC 即可求出AB .
解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴CB AB ＝EF DE .又∵DF ∶DF ＝5∶8，∴EF ∶DE ＝5∶3，∴CB AB ＝5
3；
(2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24，∴EF DF ＝BC AC ＝5
8，∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC
＝24－15＝9.
方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置． 变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞 第3题 【类型二】 平行线分线段成比例的根本领实的推论
如以下图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．
解析：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE
AC ，然后根据比例的性质可计算出AE 的长．
解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即22＋5＝AE 5
，∴AE ＝10
7.
方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式． 变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第4题
探究点三：相似三角形的引理
【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似
如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，
请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．
解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB
∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.
方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序． 变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第5题 【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长
如图，AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O . (1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；
(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．
解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，那么AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.
解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，那么FO EO ＝AF
EB .
又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，那么FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝2
3，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋
FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；
(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴
OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝7
4EF ，即CD 的长是10.5. 方法总结：运用平行线分线段成比例的根本领实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．
变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第6题 三、板书设计
1．相似三角形的定义及有关概念； 2．平行线分线段成比例定理及推论； 3．相似三角形的引理．
本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在缺乏时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习气氛.
第2课时 比例线段
1．知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点)
2．理解成比例线段的概念；(重点) 3．掌握成比例线段的判定方法．(难点)
一、情境导入
请观察以下几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
这些例子都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．
二、合作探究
探究点一：线段的比
【类型一】根据线段的比求长度
如下列图，M 为线段AB 上一点，AM ∶MB ＝3∶5，且AB ＝16cm ，求线段AM 、
BM 的长度．
解：线段AM 与MB 的比反映了这两条线段在全线段AB 中所占的份数，由AM ∶MB ＝3∶5可知AM ＝38AB ，MB ＝5
8
AB .
∵AB ＝16cm ，∴AM ＝38×16＝6(cm)，MB ＝5
8
×16＝10(cm)．
方法总结：此题也可设AM ＝3k ，MB ＝5k ，利用3k ＋5k ＝16求解更简便，这也是解这
类题常用的方法．
【类型二】比例尺
在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，那么甲、乙两地
的实际距离是________m.
解析：根据“比例尺＝图上距离
实际距离〞可求解．设甲、乙两地的实际距离为x cm ，那么有1∶
50 000＝3∶x ，解得x ＝150 000cm ＝1500m.
方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化．
探究点二：成比例线段
【类型一】判断线段成比例
以下四组线段中，是成比例线段的是( ) A ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm B ．4cm ，8cm ，3cm ，5cm C ．5cm ，15cm ，2cm ，6cm D ．8cm ，4cm ，1cm ，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例．四个选项中，只有C 项排列后有25＝6
15
.应选C.
方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：
(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作出判断；
(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断．
【类型二】由线段成比例求线段的长
三条线段的长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面
三条线段的长能够组成一个比例式．
解：因为此题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论．设要求的线段长为x ，假设x ∶1＝2∶2，那么x ＝
2
2
；假设1∶x ＝2∶2，那么x ＝2；假设1∶2＝x ∶2，那么x ＝2；假设1∶2＝2∶x ，那么x ＝2 2.
所以所添加的数有三种可能，可以是
2
2
，2，或2 2. 方法总结：假设使四个数成比例，那么应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也
可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积．
三、板书设计
比例
线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段
AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两 条线段的比就是它们长度的比， 即AB ∶CD ＝m ∶n 或写成AB CD ＝
m n 成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比
等于c 与d 的比，即a b ＝c d
，那么这 四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段
从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括．在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识．并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．。