人教版必修3第二章统计知识点

人教版高中数学必修三第二章统计知识点总结

2.1随机抽样

2.1.1简单随机抽样

教学目标：1．结合实际问题情景，理解随机抽样的必要性和重要性

2．学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本

教学重点：学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本

1．总体和样本

在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．

把每个研究对象叫做个体．

把总体中个体的总数叫做总体容量．

为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，

研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．

2．简单随机抽样

一般地，设总体中有Ｎ个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本

(n≤N),如果每次抽取时总体中的各个个体被抽到的机会都相等就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

特点：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

简单随机抽样常用的方法：

（1）抽签法；

例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

（2）随机数表法：

例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

例题

例1 为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有；

①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；

④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等。

例2 下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗？为什么？

（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；

（2）箱子里共有100个零件，从中选取10个零件进行检验，从中任取一个零件进行检验后，再把它放回箱子里；

（3）从50个个体中，一次性抽取5个个体作为样本；

（4）从某班45名同学中指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动；

1.从60个产品中抽取6个进行检查,则总体个数为______,样本容量为______.

2.要检查一个工厂产品的合格率,从1000件产品中抽出50件进行检查,检查者在其中随意取了50件,这种抽法为____________________．

3.福利彩票的中奖号码是由1～36个号码中,选出7个号码来按规则确定中奖情况,这种从36个选7个号的抽样方法是__________.

4．对于简单随机抽样,个体被抽到的机会 ( )

A.相等

B.不相等

C.不确定

D.与抽样次数有关

5. 抽签中确保样本代表性的关键是 ( )

A.制签

B.搅拌均匀

C.逐一抽取

D.抽取不放回

6.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽取20人进行某项活动,某男生被抽到的几率是

A.

1

100

B.

1

25

C.

1

5

D.

1

4

( )

7.从某批零件中抽取50个,然后再从50个中抽出40个进行合格检查,发现合格品有36个,则该批产品的合格率为 ( )

A.36﹪

B. 72﹪

C.90﹪

D.25﹪

8．某校有40个班,每班50人,每班选项派3人参加学代会,在这个问题中样本容量是.

A. 40

B.50

C. 120

D. 150 ( )

9.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性是（）

A.与第几次抽样有关，第1次抽中的可能性要大些

B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些

D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样

10.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100

名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是﹙﹚

A.1000名学生是总体

B.每个学生是个体

C.100名学生的成绩是一个个体

D.样本的容量是100

11. 对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，

则N为﹙﹚

A. 150

B.200

C.100

D.120

12.已知总容量为160,若用随机数表法抽取一个容量为10的样本.下面对总体的编号正确的

是 ( )

A. 1,2,…,106

B. 0,1,…,105

C.00,01,…,105

D. 000,001,…,105

13.某地有2000人参加自学考试,为了了解他们的成绩,从中抽取一个样本,若每个考生被抽

到的概率都是0.04,则这个样本的容量是_______________.

14.从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体,假定其中每个个体被抽到的概率相等,那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_________.

15. 要从某汽车厂生产的100辆汽车中随机抽取10 辆进行测试，请选择合适的抽样方法，

写出抽样过程。

16.从个体总数N=500的总体中,抽取一个容量为n=20的样本,使用随机数表法进行抽选,要

取三位数,写出你抽取的样本,并写出抽取过程.(起点在第几行,第几列,具体方法)

2.1.2 系统抽样

教学目标：1．结合实际问题情景，理解系统抽样的必要性和重要性

2．学会用系统抽样的方法从总体中抽取样本

教学重点：学会用系统抽样的方法从总体中抽取样本

1．系统抽样

当总体中的个体数较多时,将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从

每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样.

步骤：

（1)先将总体中的N个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码.

（2）确定分段间隔K 。对编号均衡地分段，N

n 是整数时，N n K =； N

n 不是整数时，从N 中剔除一些个体，使得其为整数为止。 （3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l 。

（4）按照规则抽取样本：l ；l ＋k ；l ＋2k ；……；l ＋nk

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究

变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的

特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距

离重合。

系统抽样时，将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时，采用简单随机抽样；系统抽

样每次抽样时，总体中各个个体被抽取的概率也是相等的;如总体的个体数不能被样本容量

整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行。需要说明

的是整个抽样过程中每个个体被抽到的概率仍然相等。

2．例子：

（1）某工厂平均每天生产某种机器零件大约10000件，要求产品检验员每天抽取50

件零件，检查其质量情况。假设一天的生产时间中生产的机器零件数是均匀的，请你设计一

个调查方案

（2）某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检

查其质量状况，请你设计一个调查方案.

（3）调查某班学生的身高情况，利用系统抽样的方法样本容量为40，这个班共分5个

组，每个组都是8名同学，他们的座次是按身高进行编排的。李莉是这样做的，抽样距是8，

按照每个小组的座次进行编号。你觉得这样做有代表性么？

（4）在（3）中，抽样距是8，按身全班身高进行编号，然后进行抽样，你觉得这样做

有代表性么？

例1 下列抽样中不是系统抽样的是（ ）

A. 从号码为1~15的15个球中任选3个作为样本，现在1~5号球中用抽签法抽出0i 号，

再将号码为50+i ，100+i 的球也抽出

B. 工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每

5min抽取意见产品进行检验

C. 搞某项市场调查，规定在商场门口随机地抽取一个人进行询问，知道调查到事先规定

的调查人数为止

D. 某电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来

座谈

例2 某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是（）

A. 简单随机抽样

B. 系统抽样

C. 分层抽样

D. 先从老年人中剔除1人，再用分层抽样

3.1.3 分层抽样

教学目标：1．结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性

2．学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本

教学重点：学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本

通常，当总体是由个体差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法。

1．分层抽样：

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。步骤：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

2. 两种方法：

1）先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

2）先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。

例题

例1 某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有多少学生？

1.一般地,在抽样时,将总体分成________的层,然后按一定的比例,从各层独立地_______,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫做___________.

2.为了解1200名学生对学校教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采用系统抽样,则分段的间隔k为 ( )

A.40

B.30

C.20

D.12

3.从N个编号中要抽取n个号码入样,若采用系统抽样方法抽取,则分段间隔应为( )

A.N

n

B. n

C.

N

n

??

??

??

D.1

N

n

??

+

??

??

4.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况,若用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )

A . 3,2 B. 2,3 C. 2,30 D. 30,2

5.某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是( ).

A.简单随机抽样

B.系统抽样

C.分层抽样

D.其它抽样方法

6.一个年级有12个班,每个班有50名学生,随机编号为1～50,为了了解他们在课外的兴趣,要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是 ( ).

A. 分层抽样

B.抽签法

C.随机数表法

D.系统抽样法

7.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①；在丙地区有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②,则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( ).

A.分层抽样法,系统抽样法

B.分层抽样法,简单随机抽样法

C.系统抽样法,分层抽样法

D.简单随机抽样法,分层抽样法

8.我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采

取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为

A.45,75,15

B. 45,45,45

C.30,90,15

D. 45,60,30 ( )

9.某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,

需从他们中间抽取一个容量为36的样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数

是

A. 6,12,18

B. 7,11,19

C. 6,13,17

D. 7,12,17 ( )

10.某班的78名同学已编号1,2,3,…,78,为了解该班同学的作业情况,老师收取了学号能被

5整除的15名同学的作业本,这里运用的抽样方法是 ( ).

A.简单随机抽样法

B.系统抽样法

C.分层抽样法

D.抽签法

11.一单位有职工80人,其中业务人员56人,管理人员8人,服务人员16人,为了解职工的

某种情况,决定采用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本,每个管理人员被抽到的频

率为 ( ).

A. 1/80

B. 1/24

C. 1/10

D. 1/8

12.一个年级共有20个班，每个班学生的学号都是1～50，为了交流学习的经验，要求每个

班学号为22的学生留下，这里运用的是. ﹙ ﹚

.A 分层抽样法 .B 抽签法 .C 随机抽样法 .D 系统抽样法

13.为了保证分层抽样时每个个体等可能的被抽取，必须要求. ﹙ ﹚

.A .不同层次以不同的抽样比抽样

.B 每层等可能的抽样

.C 每层等可能的抽取一样多个个体，即若有K 层，每层抽样0n 个，0n n k =。

D.每层等可能抽取不一样多个个体，各层中含样本容量个数为i i N n n N

=﹙1,2,....i k =﹚，即按比例分配样本容量，其中N 是总体的个数，i N 是第i 层的个数，n 是样本总容量.

14.某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部

门为了解决学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，若用分层抽样法，则行

政人员应抽取＿＿人，教师应抽取＿＿人，后勤人员应抽取＿＿人

15.某校高一、高二、高三，三个年级的学生人数分别为1500人，1200人和1000人，现采

用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三

个年级共抽查了＿＿＿人。

16.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产

品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取＿＿、＿＿、＿＿辆。

17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2 ：3 ：5.现用分层抽

n

样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件,那么此样本的容量=

18.某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人,40岁及以上的有140人,为了解普通

话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中不到40岁的教师中应抽取的人数是___________. 19．某地区有农民、工作、知识分子家庭共计2004户，其中农民家庭1600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的

．（将你认为正确的序号都写上）

①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．

20．一个总体中共有100个个体，随机编号012399

L

，，，，，，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为12310

，，，，．现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1 L

组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m k

+的个位数字相同．若m=，则在第7组中抽取的号码是．

6

21.从含有100个个体的总体中抽取10个个体，请用系统抽样法给出抽样过程

22.一个单位的职工有500人,其中不到35岁的有125人,35～49岁的有280人,50岁以上的有95人.为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽取100名职工作为样本,应该怎样抽取？

2.2 用样本估计总体

2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布

重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。

1．频率分布的概念：

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：

1)计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差

2)决定组距与组数

3)将数据分组

4)列频率分布表

5)画频率分布直方图

(1)列出样本频率分布表﹔

(2)一画出频率分布直方图;

(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。

分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。

解：（１）样本频率分布表如下：

（２）其频率分布直方图如下：

cm）

（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所

以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.

例2：为了了解高一学生的体能情

绳次数次测试，将所得数据整理后，

画出频率分布直方图(如图)，图中从

左到右各小长方形面积之比为2：4：

17：15：9：3，第二小组频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本

容量是多少？

(2)若次数在110以上（含110次）

为达标，试估计该学校全体高一

学生的达标率是多少？

(3)在这次测试中，学生跳绳次数的

中位数落在哪个小组内？请说

明理由。

分析：在频率分布直方图中，各小长

方形的面积等于相应各组的频率，小

长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

2、频率分布折线图、总体密度曲线

频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线

图。

总体密度曲线：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑

曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值

的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。

3、茎叶图

（１）茎叶图的概念：

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边

的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物

茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。

（2）茎叶图的特征：

a、用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数

据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记

录与表示。

b、茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个

以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。

例题

1.在频率分布直方图中,小矩形的高表示 ( )

A.频率/样本容量

B.组距×频率

C.频率

D.频率/组距