山东省泰安市2021-2022高二数学下学期期末考试试题

泰安市2021-2022高二下学期期末考试

数学试题

2021.7

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．若集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4,5S =，{}2,3,4T =，则()U S

T =（ ）

A ．{}1,4,5,6

B ．{}11,5

C ．{}4

D ．{}1,2,3,4,5

2．已知(1)i z i +=，i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知命题12:,p x x R ?∈，()()()()212

10f x f x x

x --，则命题p 的否定是（ ）

A ．12,x x R ?∈，()()

()()212

10f x f x x

x -- B ．12,x x R ?∈，()()()()212

10f x f x x x --

C ．12,x x R ?∈，()()(

)()212

10f x f x x

x --<

D ．12,x x R ?∈，()()()()212

10f x f x x

x --<

4．已知3log 5a =，0.2

3

b -=， 1.2

3c =，则（ ）

A ．b c a <<

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．a b c <<

5．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p ．某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X ．若()8D X =，(20)(30)P X P X =<=，则p =（ ） A ．0.16 B ．0.2 C ．0.8 D ．0.84

6．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当24x 时，()21f x x =-，则(2020)f =（ ）

A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

7．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式2

0x a -恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．9a B ．8a C ．9a D ．10a

8．若存在1,x e e ??∈????

，使得不等式2

2ln 30x x x mx +-+成立，则实数m 的最大值为（ ）

A ．

132e e +- B ．3

2e e

++ C ．4 D ．21e - 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列等式正确的是（ ）

A ．1

1(1)m m n n n A A +++= B ．

!

(2)!(1)

n n n n =--

C ．!m m

n n

A C n = D ．11m m

n n A A n m

+=-

10．设离散型随机变量X 的分布列为

若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（ ） A ．0.1q = B ．()2E X =，() 1.4D X = C ．()2E X =，() 1.8D X = D ．()5E Y =，()7.2D Y = 11．已知函数1

()ln ||f x x x x

=-+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 恰有2个零点

B ．()f x 在?

+∞????

上是增函数

C ．()f x 既有最大值，又有最小值

D ．若120x x >，且()()120f x f x +=，则121x x =

12．已知甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红1，2，3球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．2()5P B =

B ．()1511

P B A = C ．事件B 与事件1A 相互独立 D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()

2ln 23y x x =-++的定义域为________．

14．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种（用数字作答）．

第一列 第二列 第三列

第一行

第二行 第三行 15．已知函数1

121,12()log ,1x x f x x x -???

????=????，则(0)(2)f f +=________；若[()]2f f a =，则实数

a =________．（本题第一空2分，第二空3分）

16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知复数5

112z i i

=

+++，i 为虚数单位． （1）求z 和z ；

（2）若复数z 是关于x 的方程2

0x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值． 18．（12分）

请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3 ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55 ③2

2

110n n n

C C -+-=

已知在

n

的展开式中，________． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5

x 的项．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（12分）

为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访了男性、女性居民各50名，其中每人每天健身时间不少于1小时的称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：

（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”．已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？

（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“健身族”与“性别”有关系？

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

参考数据：

1.323

20．（12分） 已知函数2

()21

x

f x a =-

+为奇函数．

（1）求实数a 的值，并用定义证明函数()f x 的单调性；

（2）若对任意的t R ∈，不等式()()

2220f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）

某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理，历史这两门科目采用原始分计分；思想政治，地理，化学，生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，

B ，

C ，

D ，

E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换

赋分．

该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治，地理，化学，生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．

（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；

（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.8,36)N ．若()2~,Y N μσ，

令Y μ

ησ

-=，

则~(0,1)N η，请解决下列问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分约为多少分？（结果保留整数）

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值． 附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η≈，( 1.04)0.85P η≈． 22．（12分）

已知函数2

()2ln f x x ax x =-+．

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，若()12f x mx >恒成立，求实数m 的取值范围．

高二年级考试 数学参考答案及评分标准

2021.7

一、单项选择题：

二、多项选择题：

三、填空题：

13．(1,3)- 14．12 15．1，1 16．1ln2- 四、解答题： 17．（10分） 解：（1）5112z i i

=

+++5(12)

1(12)(12)i i i i -=

+++-2i =- 3分

∴||z =2z i =+ 5分 （2）由（1）知，2z i =-

∵复数z 是方程2

0x mx n ++=的一个根

∴2

(2)(2)0i m i n -+-+=

即(23)(4)0m n m i ++-+= 7分

∴23040m n m ++=??+=?

8分

解得4

5

m n =-??

=?

∴4m =-，5n = 10分 18．（12分）

解：方案一：选条件①

（1

）1r

r n r r n T C -+?= ?

356

(1)n r

r r n C x -=- 2分

由题知，4

422

(1)14

(1)3

n n C C -=-， ∴

!2!(2)!14

4!(4)!!3

n n n n -?=-

整理得(3)(2)56n n --=，即2

5500n n --=，解得10n =或n =-5（舍去）． 4分 ∴10n =

∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，

5555

66

610

(1)252T C x x =-=-

∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，56

6252T x =- 6分 （2）由（1）知，10n =， ∴556

110

(1)r r

r

r T C x -+=- 9分

令5556

r

-

=，解得0r =，51T x = ∴展开式中含5x 的项是第1项，5

1T x = 12分

方案二：选条件② （1）由题意得，21212552

n n

n

n

n

n n

C C

C C -++=+==

整理得2

1100n n +-= 解得10n =或11n =-（舍）

∴10n = 4分 ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，

5555

66

610

(1)252T C x x =-=-

∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，56

6252T x =-． 6分 （2）同方案一（2） 方案三：选条件③

（1）22

2211110n n n

n n n C C C C C -++-=-==

∴10n =， 4分 ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，

5555

66

610

(1)252T C x x =-=-．

∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，5

6

6252T x =- 6分 （2）同方案一（2） 19．（12分）

解：（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为

1.2400.810 1.5300.720

1.15100

?+?+?+?=小时 3分

由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时， ∵1.15小时=69分钟<70分钟

∴该社区不可称为“健身社区” 6分 （2）根据列联表中的数据，得到

22

()100(40203010) 4.762 3.841()()()()70305050

n ad bc k a b c d a c b d -??-?==≈>++++??? 9分

∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“健康族”与“性别”有关系． 12分 20．（12分）

解：（1）函数()f x 的定义域为R

122()2121

x x x f x a a +--=-=-++

∵函数()f x 为奇函数 ∴()()f x f x -=-恒成立

即1222121

x x x a a +-=-+++恒成立 ∴()2212021

x x a +-

=+恒成立

∴1a = 2分

∴2

()121

x f x =-

+ 设12,x x R ∈，且12x x <，则

()()12

1222112121x x f x f x ?

???-=--- ? ?++????

4分 ()()(

)

12

1

2

2222

121

x x x x -=

++

∵2x

y =是R 上的增函数 ∴12

22

0x

x -<

∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <

∴函数()f x 是R 上的增函数． 6分 （2）∵()f x 是奇函数

∴()()

2220f t f t tk ++->对任意的t R ∈恒成立等价于

()()222f t f tk t +>-对任意的t R ∈恒成立 9分

又()f x 在R 上是增函数

∴2

2

2t tk t +>-对任意的t R ∈恒成立

即2220t kt -+>对任意的t R ∈恒成立 10分 ∴2160k ?=-<，即44k -<<

∴实数k 的取值范围是(4,4)- 12分 21．（12分）

解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3

35310101(0)12012C P X C ====，12

55310505

(1)12012

C C P X C ====，

2155310505(2)12012C C P X C ====，35310101

(3)12012

C P X C ==== 3分

所以，随机变量X 的分布列为

∴1()0123121212122

E X =?+?+?+?= 4分 （2）①由~(75.8,36)Y N 得75.8μ=，6σ= 令75.8

6

Y Y μ

ησ

--=

=

，则675.8Y η=+ 设该划线分为m ，则()0.85P Y m ≈ ∴75.8(675.8)0.856m P m P ηη

-??

+=≈ ???

∵当~(0,1)N η时，( 1.04)0.85P η≈ ∴( 1.04)0.85P η-≈ 6分

∴

75.8

1.046

m -≈- ∴69.56m ≈

∴70m = 7分 ②由①知

(71)(675.871)(0.8)(0.8)0.788P Y P P P ηηη=+=-=≈

即事件“每个学生生物统考成绩不低于71分”的概率约为0.788

∴~(800,0.788)B ξ，8008000()0.788(10.788)k

k k P k C ξ-==- 9分

由()(1)

()(1)

P k P k P k P k ξξξξ==-??

==+?得

80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788)0.788(10.788)

0.788(10.788)k k k k k k

k k k k k k

C C C C -----++-?--?--? 10分 解得630.188631.188k 又k N ∈，∴631k =

∴当631k =时，()P k ξ=取得最大值． 12分 22．（12分）

解：（1）由题知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞

222

()(0)x ax f x x x

-+'=>

令2

()22g x x ax =-+，则216a ?=-

当0?即44a -时，()0g x ，即()0f x '

∴函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ 2分 当0>即4a <-或4a >时，令()0g x =解得

x =x =

若4a <-，则

044

a a -+<< ∵0x >

∴()0g x >，即()0f x '>

∴函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ 4分

若4a >，则

044a a +->>，令()0f x '>，即()0g x >，

解得04a x <<或4

a x >；

令()0f x '<，即()0g x

∴函数()f x 的单调递增区间为0,

4a ? ???，4a ??

+∞ ? ???；

单调递减区间为44a a ?+

???

． 综上，当4a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；

当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为0,

4a ?? ? ???，,4a ??

++∞ ? ???

．

单调递减区间为?? 6分 （2）222

()(0)x ax f x x x

-+'=

> 若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，则

1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两不等正实根

由（1）知，4a >， ∴1222

a

x x +=

>，121x x = ∴1201x x <<< 8分

()12f x mx >恒成立，即

()

12

f x m x >恒成立 ()22213111111

111122

1

2ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+ 10分

令3()22ln h t t t t t =--+，则2

()32ln h t t t '=-+

当01t <<时，()0h t '< ∴()h t 在(0,1)上为减函数 ∴当01t <<时，()(1)3h t h >=-

∴

()

12

3f x x >- ∴3m -

∴实数m 的取值范围(,3]-∞- 12分