高中数学 圆锥曲线综合 板块五 定比分点问题完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：圆锥曲线综合.板块五.定比分点问题.学生版
【例1】 设双曲线C ：2
221(0)x y a a
-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B ． ⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围：
⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且512
PA PB =u u u r u u u r ，求a 的值．
【例2】 已知椭圆的中心在原点，离心率为
12，一个焦点是(0)F m -，（m 是大于0的常数）． ⑴求椭圆的方程； ⑵设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ．若2MQ QF =u u u u r u u u r ，求直线l 的斜率．
【例3】 已知12F F ，分别为椭圆22
132
x y +=的左、右焦点，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为D ，线段2DF 的垂直平分线交2l 于点M ．
⑴求动点M 的轨迹C 的方程； ⑵过点1F 作直线交曲线C 于两个不同的点P 和Q ，设11F P F Q λ=u u u r u u u r ，若[]23λ∈，，求22F P F Q ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围．
【例4】 已知点(30)，R -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，
且满足230PM MQ +=u u u u r u u u u r r ，0RP PM ⋅=u u u r u u u u r ．
⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；
⑵设1122()()，，，A x y B x y 为轨迹C 上两点，且1110，x y >>，(10)，N ，求实数λ，
使AB AN λ=u u u r u u u r ，且16|3
AB |=
【例5】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点()22A ，，其焦点F 在
x 轴上．
⑴求抛物线C 的标准方程；
典例分析
⑵求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
⑶设过点()0M m ，
()0>m 的直线交抛物线C 于D E ，两点，2=ME DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式．
【例6】 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y
轴上，离心率e ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1e -，直线l 与y 轴交于P 点()0m ，，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，
且AP PB λ=u u u r u u u r
⑴求椭圆方程；⑵若4,OA OB OP m λ+=u u u r u u u r u u u r 求的取值范围．
【例7】 给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．
⑴设l 的斜率为1，求OA u u u r 与OB u u u r 夹角的余弦值； ⑵设FB AF λ=u u u r u u u r ，若[49]λ∈，，求l 在y 轴上截距的变化范围．
【例8】 设A B ，
分别是直线y =
和y =上的两个动点，
并且AB u u u r 动点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ．记动点P 的轨迹为C ，
⑴求轨迹C 的方程；
⑵若点D 的坐标为(016)，，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=u u u u r u u u r ，求实数λ的取值范围．。