窄带随机过程1

4S X (ω ) ω ≥ 0 ~ S X (ω ) = ω<0 0
例题解析
设低频信号a(t)的频谱为：
A(ω ), A(ω ) = 0,
证明当ω 0〉 ω 2时， ∆
H [a (t ) cos ω0t ] = a (t ) sin ω0t H [a (t ) sin ω0t ] = −a(t ) cos ω0t
Ω
ω0 ± Ω
ω0 + Ω
(或ω0 − Ω)
ω0
希尔伯特变换应用及实现
相移法（难点在移相网络）
v1 =V0 sin Ωt sin ω0 t
V0 sin Ωt
V0 sin ω0 t
v3
V0 cos ω0 t
v 2 =V0 cos Ωt cos ω0 t
实信号、复信号、 实信号、复信号、解析信号
为何引入复信号 实信号与复信号的关系 如何得到，有何特点，与之间存在什么关系
| ω |< ∆ω / 2 其它
窄带随机过程
信息与通信工程学院 叶方
希尔伯特变换
定义
在区间 ( −∞ < t < ∞)内给定实值函数 x(t ) ，它的希 ˆ ) 尔伯特变换记作 x(t （或者记作 H [ x(t )]） 1 ∞ x (τ ) ˆ H [ x (t )] = x (t ) = ∫ dτ π −∞ t − τ
τ = t +τ '
90 o
ω
ω
− 90 o
ω
希尔伯特变换逆变换
ˆ x(t ) = H −1[ x(t )] ˆ 1 ∞ x(t − τ ) 1 dτ = =− ∫ ˆ = h(t ) ∗ x(t )
π
−∞
τ
π∫
∞
ˆ x(t + τ )
−∞
τ
dτ
1 h(t ) = − πt
希尔伯特变换应用及实现
滤波法（难点在于滤波器设计）
ˆ RXX (τ ) = RX (τ ) ˆ
解析过程性质
R XX ( 0 ) = 0 ˆ
ˆ ~ RX (τ ) = 2[ RX (τ ) + jRXX (τ )] = 2[ RX (τ ) + jR(τ )] ˆ
− jS X (ω ) ω ≥ 0 S XX (ω ) = ˆ + jS X (ω ) ω < 0
ˆ x(t ) = −
π∫
1
∞
x(t + τ )
−∞
τdτ =π∫1∞x(t − τ )
−∞
τ
dτ
希尔伯特变换性质
希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。
1 ˆ x (t ) = x (t ) ∗ πt
H (ω )
x(t )
h(t ) =
1 πt
ˆ x(t )
H (ω ) = − j sgn(ω )
| H (ω ) | H (ω )
解析过程性质
ˆ 若X (t ) 为实平稳随机过程，则 X (t )也是实平稳 过程，且联合平稳 。 实函数与其希尔伯特变换的相关函数（功率谱） RXˆ (τ ) = RX (τ ) S Xˆ (ω ) = S X (ω ) 相同
ˆ RXX (τ ) = − RX (τ ) ˆ
RXX (τ ) = − RXX (τ ) ˆ ˆ RXX ( −τ ) = − RXX (τ ) ˆ ˆ
解析过程
定义
% 给定任实随机过程 X (t ) ，定义复随机过程X (t )为
% ˆ X (t ) = X (t ) + jX (t )
ˆ (t ) = H [ X (t )] = 1 X
π
∫
∞
−∞
X (τ ) dτ t −τ
~ 称 X (t ) 为实随机过程X (t ) 的复解析过程，简称
解析过程。