最新湘教版八年级数学(下)同步练习 试题及答案 解题技巧专题：矩形中的折叠问题
2020-2021学年湘教版数学八年级下册2.5.2《矩形的判定》同步练习(含答案)
湘教版数学八年级下册 2.5.2《矩形的判定》同步练习 一、选择题 1.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90° C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD 2.下列命题中，假命题是（ ） A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 3.下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对） 5.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC 6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：
①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD. 则不能使四边形ABCD成为矩形的是( ) A.①②③ B.②③④ C.②⑤⑥ D.④⑤⑥ 7.下列关于矩形的说法，正确的是( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且互相平分 8.如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA=OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．
八年级数学下册四边形 矩形 矩形的判定练习(新版)湘教版
2.5.2 矩形的判定要点感知1 三个角是__________角的四边形是矩形.预习练习1-1在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是__________形. 要点感知2 对角线__________的平行四边形是矩形.预习练习2-1如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，应添加的条件是_______(只填一个).知识点1 三个角是直角的四边形是矩形1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角2.如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).3.已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH为矩形.知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠1=∠2第4题图第5题图第6题图5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥6.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB 为__________度时，四边形ABFE为矩形.7.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.8.在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC9.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分10.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC第10题图第11题图第12题图11.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )12.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).13.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证:四边形BCDE是矩形.14.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.15.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.(1)求证：OE=OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.参考答案要点感知1直预习练习1-1矩要点感知2 相等预习练习2-1 答案不唯一，如∠BAD=90°或AC=BD等1.D2.①②③④3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°.又□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.∴∠BAF+∠ABF=90°，∠GBC+∠GCB=90°.∴∠GFE=∠AFB=90°，∠G=90°.同理可证∠GHE=90°，∠E=90°.∴四边形EFGH为矩形.4.C5.C6.607.证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD.∴AC=2CO，BD=2BO.∴AC=BD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.8.A 9.D 10.C 11.A 12.答案不唯一，如：∠ABC=90°或AC=BD13.证明：∵AC＝AB，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD-∠CAB＝∠CAE-∠CAB，即∠CAD=∠BAE.∴△ADC≌△AEB（SAS）.∴DC＝BE.又∵DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形.连接BD，CE.∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD＝CE.∴四边形BCDE是矩形.14.(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC.∵AE=CF，∴OE=OF.∵DF∥BE，∴∠OEB=∠OFD.又∵∠EOB=∠FOD，∴△BOE≌△DOF.(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD=OB.∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形.∵OD=12AC，OD=12BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.15.(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC，同理可证：OC=OE，∴OE=OF.(2)由(1)知：OF=OC，OC=OE，∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC，而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°，∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°，∴=13.∴OC=12EF=132.(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.理由：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时有OA=OC，∴四边形AECF为平行四边形.又∵∠ECF=90°，∴四边形AECF为矩形.。
2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步达标测试题(附答案)
2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中三个角是否都为直角C．测量对角线是否相等D．测量两组对边是否分别相等2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC 于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（）A．B．2C．D．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO4．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（）A．cm B．cm C．cm D．8cm5．如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A．B．C．D．6．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③S△AOB＝S△BOC；④S△AOE＝S△COE，其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则AE的长为（）A．B．C．D．68．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（）A．2B．3C．4D．6二．填空题（共4小题，满分20分）9．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，点P运动的时间为x秒．若x＞4，那么x＝秒时，△APE的面积等于5cm2．10．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝6，DF＝2FC，则BC＝．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，△P AB的面积为．12．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为．三．解答题（共8小题，满分60分）13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC、DF．求证：四边形AEFD是矩形；14．如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴，OC所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，已知A（a，0），C（0，b），其中a，b满足|a﹣4|+（b ﹣6）2＝0，点P从点O出发沿OA以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q从点B出发沿BA方向以1cm/s的速度向点A移动，设运动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）a＝，b＝．（2）当t＝2时，判断△PCQ的形状，并说明理由．15．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（I）求证：DF∥AC；（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．16．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．17．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；19．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．故选：B．2．解：∵AB＝2，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，∴BO＝CO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△BOC的面积为2，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，2＝CO×EO+BO×EF，∴2＝××EO+×EF，∴（EO+EF）＝4，∴EO+EF＝，故选：A．3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．4．解：∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD，∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，∵∠OBF＝∠ABD，∵BD＝＝10cm，∴BO＝5cm，∴FO＝5×cm＝cm，∴EF＝2FO＝cm．故选：C．5．解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴OE＝，即点B（，3），∴AF＝OE＝，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，∴点C（﹣，4）．故选：A．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，∵OD＝OC，∴△ODC是等边三角形，故①正确；∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝30°，∵∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，而AC＞BC，∴2AB＞BC，故②错误；∵OA＝OC，∴S△AOB＝S△BOC、S△AOE＝S△COE，故③、④正确；故选：C．7．解：如图，连接CE，∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，即AE的长为．故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，∵AE＝2，∴OE＝2，∴OD＝OB＝2OE＝4；故选：C．二．填空题（共4小题，满分20分）9．解：∵x＞4，∴点P在BC上时，∵△APE的面积等于5cm2，∴S长方形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝5，∴3×4﹣（3+4﹣x）×2﹣×2×3﹣×4×（x﹣4）＝5，∴x＝5；∴x＝5秒时，△APE的面积等于5cm2．故答案为：5．10．解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝6，∴直角三角形ABE中，BE＝＝6，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEF，∴∠BEG＝∠G，∴BG＝BE＝6，∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，设CG＝x，DE＝2x，则AD＝6+2x＝BC，∵BG＝BC+CG，∴6＝6+2x+x解得x＝2﹣2，∴BC＝6+2（2﹣2）＝4+2，故答案为：4+2．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由勾股定理得：AC＝＝＝5，有三种情况：①当AB＝BP＝3时，如图1，过B作BM⊥AC于M，∵S△ABC＝，∴＝，解得：BM＝，∵AB＝BP＝3，BM⊥AC，∴AM＝PM＝＝，∴AP＝AM+PM＝，∴△P AB的面积S＝＝××＝；②当AB＝AP＝3时，如图2，∵BM＝，∴△P AB的面积S＝＝＝；③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP＝BP，BN＝AN＝＝，∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AB，∴PN∥BC，∵AN＝BN，∴AP＝CP，∴PN＝BC＝＝2，∴△P AB的面积S＝＝2＝3；即△P AB的面积为或或3，故答案为：或或3．12．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故答案为：10．三．解答题（共8小题，满分60分）13．（1）证明：∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC．即EF＝BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°．∴四边形AEFD是矩形；14．（1）解：∵|a﹣4|+（b﹣6）2＝0，∵|a﹣4|≥0，（b﹣6）2≥0，∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，∴a＝4，b＝6；故答案为：4；6；（2）当t＝2时，△PCQ是等腰直角三角形，理由如下：设运动时间为t秒（0≤t≤4），∴OP＝t，AQ＝6﹣t，当t＝2时，OP＝2，AQ＝6﹣2＝4，∴AP＝OA﹣OP＝4﹣2＝2，∵四边形OABC是矩形，∴∠COA＝∠OAB＝∠B＝90°，在Rt△COA中，PC＝，在Rt△APQ中，PQ＝，在Rt△CBQ中，CQ＝，∴CQ＝PQ，PC2＝PQ2+CQ2，∴△CPQ是等腰直角三角形．15．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）证明：如图所示：由（1）得：DF∥AC，∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，∵G是CD的中点，∴DG＝CG，在△DFG和△CEG中，，∴△DFG≌△CEG（AAS），∴FG＝EG，∴四边形CFDE是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵2AB＝BF，∴2CD＝BF，又∵EF＝BE，∴CD＝EF，∴平行四边形CFDE是矩形．16．证明：∵PQ∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF，∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF，∴DE＝DC，DF＝DC，∴DE＝DF，∵点D是边AC的中点，∴AD＝CD，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BCA+∠ACG＝180°，∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝×180°＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．17．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝＝＝13，∴BO＝OD＝AO＝CO＝，∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，∴S△AOP+S△POD＝15，∴××FP+××EP＝15，∴PE+PF＝．18．证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN．∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°．∴四边形ADCE为矩形．19．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．∴四边形ODEC是矩形．（2）解：20．（1）证明：∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，FB＝FD，BO＝DO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，∵∠DOE＝∠BOF，∴△EOD≌△FOB（AAS），∴DE＝BF，∴EB＝ED＝FB＝FD，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，CD＝AB＝6，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵四边形EBFD为菱形，∴FB＝FD，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴∠DFC＝60°，∴∠FDC＝30°，设CF＝x，则FD＝2x，根据勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62，解得：x＝2，∴FC的长为2．。
八年级数学下册2.5.1矩形的性质同步练习湘教版
2.5。
1矩形的性质同步练习一、选择题（本大题共8小题)1。
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )A.30°B.60° C。
90° D.120°2. 如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是( ）A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC。
△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC3. 如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB,则∠AOB的大小是（ )A。
30° B.45°C。
60° D.90°4。
如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°,AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．45。
如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b,∠1=60°，则∠2的度数为( ）A．30°B．45° C．60° D．75°6. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（)A． B． C． D．7. 如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA，AF⊥DE,垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF8。
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4。
8 B．5 C．6 D．7.2二、填空题（本大题共6小题）9. 已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．10。
如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 度．11. 如图,矩形ABCD中,对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．12. 如图,在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD 的长为．13。
八年级数学《矩形》同步练习含答案
八年级数学《矩形》同步练习随堂演练一、填空题1．矩形ABCD的边AB的中点为P，且∠DPC为直角，则AD：BA＝．2．已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，则AD= cm.3．如图矩形ABCD中，E是CD的中点，且AE⊥EB，若S EAB＝8cm2，则AD＝，AB＝ .4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长为，对角线的长 .5．在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是 .6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，如图，且四边形AFDE为矩形，若EF＝5，矩形AFDE的面积为12，则AC= .7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE交AB于点F，则AF= ．8．如图，宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在点C′位置，BC′交AD于G，再折叠一次使点D与点A重合．得折痕EN，EN交AD于点M，则点ME的长为 .二、选择题1．矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cmC．4cm和11cm D．7cm和8cm2．下列四边形中，不是矩形的是（）A．三个角都是直角的四边形B．四个角都相等的四边形C．一组对边平行且对角线相等的四边形D ．对角线相等且互相平分的四边形3．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠ADE ：∠EDC ＝3：2，则∠BDE 的度数（ ）A ．18°B ．36°C ．54°D ．72°4．已知矩形ABCD 对角线相交于O ，且AB ：BC=1：2，AC ＝3cm ，则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．（6+23）cmB ．5518cmC ．（6+556）cmD ．12cm5．矩形具有的特征而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）A ．对角线相等B ．对边相等C ．对角相等D ．对角线互相平分6．矩形的两条对角线与各边围成的三角形中，共有多少对全等的三角形（ ）A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对7．矩形的对角线所成的角是65°，则对角线与各边所成的角度是（ ）A ．57．5°B ．32．5°C ．57．5°，33．5°D ．57．5°，32．5°8．下面真命题的个数是（ ）（1）矩形是轴对称图形，又是中心对称图形（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段（3）两条对角线相等的四边形是矩形（4）有两个角相等的平行四边形是矩形（5）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个三、判断题1．两条对角线互相垂直并且相等的四边形是矩形（ ）2．两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形（ ）3．矩形是轴对称图形，而且有四条对称轴（ ）四、解答题1．已知，如图在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AD=DC=BD ，DF ，DE 分别是∠ADC ，∠BDC 的平分线．求证：四边形DECF 是矩形．2．已知：如图AC 、BD 的交点O 是四边形ABCD 的对称中心，且∠A ＝90°．求证：四边形ABCD 是矩形．3．已知：如图△ABC中，CE⊥AD于点E，BD⊥AD于点D，M是BC的中点．求证：ME=MD.4．已知：如图，矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE＝15°.求∠COD与∠COE的度数．5．如图：多边形ABCDEFGH相邻两边都互相垂直，若要求出其周长，那么最少要知道多少条边的长度？参考答案一、填空题1．1：2 2．12 3．8cm m 32 4．5，105．15° 6．7 7．10 8．127 二、选择题1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C三、判断题1．× 2．× 3．×四、解答题1．证明：因为AD ＝CD ＝DB ，所以∠DCA ＝∠A ，∠BCD ＝∠B所以∠ACB=∠DCA+∠BCD ＝∠A+∠B又因为∠ACB+∠A+∠B ＝180°所以2∠ACB ＝180°，即∠ACB ＝90°因为DF 平分∠ADC ，DE 平分∠BDC又AD ＝CD ＝DB所以DE ⊥BC ，DF ⊥AC所以∠DEC ＝∠DFC ＝90°所以四边形DECF 是矩形点拨：要判断DECF 是矩形，除了根据定义判断外，还可用有三个角是直角的四边形，或者对角线相等的平行四边形．由题设AD ＝CD ＝BD 知△ADC ，△BDC 都是等腰三角形．又DF ，DE 是角平分线，所以DF ⊥AC ，DE ⊥BC.2．证明：因为四边形ABCD 是关于O 的中心对称图形，则相对的顶点是关于O 点的对称点，所以OA ＝OC ，OB ＝OD ，即AC ，BD 互相平分于点O ，所以四边形ABCD 是平行四边形．又因为∠A ＝90°,所以四边形ABCD 是矩形．点拨：由O 是对称中心，易知OA ＝OC ，OB ＝OD ，可得四边形为平行四边形，根据定义，只要有一个角为90°，即可．3．证法一：延长DM 交CE 于点N ，延长EM 交BD 延长线于点H ，连结HN.因为CE ⊥AD ，BD ⊥AD ，所以CE ∥BD ，所以∠NCM ＝∠DBM,又∵CM ＝BM ，∠CMN=∠BMD ，所以△CMN ≌△BMD ，所以NM ＝DM ，同理可证EM ＝HM.所以四边形EDHN 是平行四边形，又因为CE ≌AD ，所以EDHN 是矩形．所以EH ＝DN 所以ME ＝MD ．证法二：延长DM 交CE 于点N ，同证法一△CMN ≌△BMD ，所以NM ＝MD ，即M 为DN 的中点，所以ME ＝MD点拨：注意到CE ⊥AD ，BD ⊥AD ，提示构造矩形EDNH ，使它的对角线交于点M 来证． 另若延长DM 交CE 于点N ，则构成直角三角形，可设想到利用直角三角形斜边上的中线性质来证．4．解：因为DE 平分∠ADC ，所以∠ADE ＝45°,所以∠ADB ＝∠ADE-∠ODE ＝45°-15°＝30°．所以∠ODC ＝∠ADC-∠ADB ＝90°-30°＝60°.因为ABCD 为矩形，所以△OCD 为等腰三角形．所以∠COD ＝180°-2∠ODC ＝60°,所以△OCD 是等边三角形．所以OC ＝CD ．又在Rt △ECD 中∠EDC ＝45°,所以CE ＝CD ．所以OC ＝CE ．又因为ABCD 是矩形，所以∠OCE ＝∠ADB ＝30°．所以△CEO 中，∠COE=21（180°-∠OCE ）＝21（180°-30°）＝75°．点拨：由于ABCD 为矩形，求∠COD 的度数，只要先求出∠CDO 或∠DCO 的度数，由图及题设条件可知．由于DE 平分∠ADC ，∠BDE=15°，可求出∠ADB ＝30°，从而可求出∠ODC ＝60°，故∠DOC ＝60°显然△COD 是等边三角形，△CED 是等腰直角三角形，从而可知△CEO 中CE ＝CO,∠OCE ＝30°,则∠COE=21（180°-∠OCE ）＝21（180°-30°）＝75°． 5．解：至少需要知道三条边的长度．。
(新课标)最新湘教版八年级数学下册《矩形的判定》课时训练及答案解析
湘教版2017—2018学年八年级数学下学期2.5.2 矩形的判定要点感知1 三个角是__________角的四边形是矩形.预习练习1-1 在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD 是__________形.要点感知2 对角线__________的平行四边形是矩形.预习练习2-1 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，应添加的条件是_______(只填一个).知识点1 三个角是直角的四边形是矩形1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角2.如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).3.已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH为矩形.知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠1=∠25.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥6.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.7.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.8.在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的条件是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC9.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分10.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC11.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )A.23B.33C.4D.4312.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).13.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证:四边形BCDE 是矩形.14.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.(2)若OD=1215.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN 交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.(1)求证：OE=OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.参考答案要点感知1 直预习练习1-1 矩要点感知2 相等预习练习2-1 答案不唯一，如∠BAD=90°或AC=BD等1.D2.①②③④3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°.又□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H. ∴∠BAF+∠ABF=90°，∠GBC+∠GCB=90°.∴∠GFE=∠AFB=90°，∠G=90°.同理可证∠GHE=90°，∠E=90°.∴四边形EFGH为矩形.4.C5.C6.607.证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD.∴AC=2CO，BD=2BO.∴AC=BD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.8.A 9.D 10.C 11.A 12.答案不唯一，如：∠ABC=90°或AC=BD 13.证明：∵AC＝AB，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD-∠CAB＝∠CAE-∠CAB，即∠CAD=∠BAE.∴△ADC≌△AEB（SAS）.∴DC＝BE.又∵DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形.连接BD，CE.∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD＝CE.∴四边形BCDE是矩形.14.(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC.∵AE=CF，∴OE=OF.∵DF∥BE，∴∠OEB=∠OFD.又∵∠EOB=∠FOD，∴△BOE≌△DOF.(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD=OB.∵OA=OC，∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵OD=12AC ，OD=12BD ， ∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形.15.(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF=∠FCD=∠CFO. ∴OF=OC ，同理可证：OC=OE ， ∴OE=OF.(2)由(1)知：OF=OC ，OC=OE ， ∴∠OCF=∠OFC ，∠OCE=∠OEC. ∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC ， 而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°， ∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°， ∴EF=22CE CF +=22125+=13. ∴OC=12EF=132. (3)当点O 移动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形.理由：由(1)知OE=OF ，当点O 移动到AC 中点时有OA=OC ， ∴四边形AECF 为平行四边形. 又∵∠ECF=90°， ∴四边形AECF 为矩形.。
2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题(附答案)
2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点．若AB＝8，OE＝3，则线段OC的长为（）A．3B．4C．5D．62．如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（）A．10B．25C．50D．753．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC 于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（）A．B．2C．D．24．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（）A．1或3B．2C．2或4D．1或25．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．对角线相等C．两组对边分别平行D．对角线互相平分二．填空题6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝°时，四边形AEDF是矩形．7．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上（不与A，B重合），过P 作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连接EF，M为EF的中点，则CM的最小值为．8．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为．9．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝°．10．如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当△DMN是等腰三角形时，线段BN的长为．11．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，对角线AC与BD相交于点O，AN⊥BD，垂足为N，BN＝3DN，则AN长为．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝．13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，GE＝5，则FO的长是．14．如图，在矩形ABCD中，E为边AD延长线上一点，DE＝AC，连结BE，BD．若∠CAD ＝54°，则∠E＝度．15．在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，与此同时点Q从点C出发，以acm/秒的速度沿CD向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，当a＝时，△ABP与△PQC 全等．三．解答题16．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F．（1）求证：四边形OEFB是矩形；（2）若AD＝6，S矩形OEFB＝12，求AB的长．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，∠BAC＝30°，求DE的长．20．如图，在▱ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连结BE、CE．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若DE＝AB，∠ABC＝130°，求∠DEC的度数．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠BCD＝90°，DO＝OB，∵E是AB边的中点，∴OE是△ADB的中位线，∴AD＝2OE＝6，∵AB＝8，∴BD＝，∴OC＝BD＝5，故选：C．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，∵BD⊥DE，点F是BE的中点，∴DF＝BF＝EF＝5，∴CF＝5﹣y，∴DF2＝DC2+CF2＝x2+（y﹣5）2＝25，故选：B．3．解：∵AB＝2，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，∴BO＝CO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△BOC的面积为2，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，2＝CO×EO+BO×EF，∴2＝××EO+×EF，∴（EO+EF）＝4，∴EO+EF＝，故选：A．4．解：当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12﹣8＝4（cm），∴2t＝4，解得：t＝2，故选：B．5．解：矩形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分且相等，平行四边形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分，故选：B．二．填空题6．解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形．故答案为45．7．解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°，又∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，如图，连接CP，则CP＝EF，∵M为EF的中点，∠ECF＝90°，∴Rt△CEF中，CM＝EF，∴CM＝CP，如图，当CP⊥AB时，CP最短，此时，×AC×BC＝×AB×CP，∴CP＝＝，∴CM＝CP＝1.2，即CM的最小值为1.2．故答案为：1.2．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∵∠OAD＝55°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°，故答案为：35°．9．解：∵MN是AC的垂直平分线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，故答案为：40．10．解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝9，AD＝12，∴BC＝12，DC＝9，DC⊥BC，①如图1中，当NM＝ND时，∴∠NDM＝∠NMD，∵∠MND＝∠CBD，∴∠BDN＝∠BND，∴BD＝BN＝＝15；②如图2中，当DM＝DN时，易知M与B重合，此时BC＝CN＝12，BN＝24，③如图3中，当MN＝MD时，∵MN＝MD，∴∠MND＝∠MDN，∵∠DNM＝∠DBC，∴∠DBC＝∠MDN，∴BN＝ND，设BN＝DN＝x，在Rt△DNC中，∵DN2＝CN2+CD2，∴x2＝（12﹣x）2+92，∴x＝，故答案为15或24或．11．解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝AD＝4，∴BO＝OD＝OA＝OC，∵BN＝3DN，∴ON＝DN，∵AN⊥BD，∴△OAD是等腰三角形，∴OA＝AD，∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴OD＝AD＝BC＝4，∴AN＝，故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵BO＝BE，∴AB＝BO＝OA，∴△BAO是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，故答案为：15°．13．解：∵矩形ABCD，AB＝8，AE＝4，∴∠A＝90°，∴BE＝，∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，∴EO＝，∵G是CD的中点，∴DG＝GC，在△EDG与△FCG中，∴△EDG≌△FCG，∴EG＝GF＝5，∴EF＝10，∴在Rt△EFO中，OF＝．故答案为：414．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵DE＝AC，∴BD＝DE，∴∠E＝∠DBE，∵∠BDA＝∠CAD＝54°，∴∠E+∠DBE＝∠BDA＝54°，∴∠E＝27°．故答案为：27．15．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，有两种情况：①当BP＝CQ，AB＝PC＝6cm时，△ABP≌△PCQ，此时BP＝CQ＝10﹣6＝4（cm），∵点P运动的速度是2cm/s，∴运动的时间是＝2（秒），即2a＝4，解得：a＝2；②当BP＝PC，AB＝CQ＝6cm时，△ABP≌△PQC，此时BP＝PC＝10＝5（cm），∵点P运动的速度是2cm/s，∴运动的时间是2.5秒，即2.5a＝6，解得：a＝2.4；故答案为：2或2.4．三．解答题16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AF＝CE，∴FB＝ED．∴四边形DFBE是平行四边形，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°．∴四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形，∴DE＝BF，∵CF平分∠DCB，∴∠DCF＝∠BCF，∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴BF＝BC＝5，∴DE＝BF＝5，∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AD∥BC，AB∥CD．∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线．∴，OE∥BC．∵EF∥BD，OE∥BC，∴四边形OEFB是平行四边形．∵AD⊥BD，AD∥BC，∴BC⊥BD，∴∠CBD＝90°．∴四边形OEFB是矩形．（2）解：∵，S矩形OEFB＝OB×OE＝12，∴OB＝4．∴BD＝2OB＝8．∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得，．即AB的长为10．18．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°，四边形ABCD是矩形，∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD，∴∠FDC＝30°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°，∵AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝60°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．19．（1）证明：∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（AAS），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝6，∴OA＝3，∵OE⊥AC，∴∠AOE＝90°，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA＝，∴AE＝2OE＝2，∴DE＝＝＝．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴ED∥BF．∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，∴ED＝BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°．∴四边形BFDE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ADC＝∠ABC＝130°，∵DE＝AB，∴DE＝CD，∴。
八年级数学下册《矩形的折叠问题》PPT
C
活动四
（2）证明：四边形BFB′E为菱形．
A
E
B＇ D
M
A＇
N
B
图F2
C
A、4 3 B、3 3 C、4 2 D、8
A
D
E
B 图2Байду номын сангаас
FC
活动三
将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别
落在A’、B’处，线段FB’与AD交于点M．将纸 条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别 落在C’、D’处，且使MD’经过点F，
试判断四边形MNFE的形状，并说明你的理由；
A’ D B’ M E A
人教版义务教育课程标准实验教材
（八年级下册第18章数学活动）
矩形的折叠问题
折纸游戏： 将手中的矩形纸片任意折叠一次
1、观察重叠部分的图形的形状，是几边形？
02
折纸游戏： 将手中的矩形纸片任意折叠一次
1、观察重叠部分的图形的形状，是几边形？ 2、观察重叠部分的三角形形状，是一般的三 角形还是什么特殊的三角形？猜想：该三角形 一定是什么三角形？你能否说明理由？ 3、请把你的发现和想法，与小组同学交流。 找出解决问题的方法，组长负责总结小组的交 流成果，准备分享(提前将需要的图形画好， 利用展台展示分享)
得到线段BA’，EA’,展开，
AE
D
M
A′
N
B
图1
C
33
AE
M
A′
B
图1
F
D N
C
35
活动四
第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在AD 上的点B’处，得到折痕EF，同时得到线段
B’F’，展开，如图2．
A
八年级数学下册《图形的折叠问题》练习题与答案(人教版)
八年级数学下册《图形的折叠问题》练习题与答案(人教版)一、选择题1.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.55°2.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3.如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE.若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝( )A.2B.3C.4D.54.在△ABC中，AB＝10，AC＝12，BC＝9，AD是BC边上的高，将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )A.9.5B.10.5C.11D.15.55.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E.如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为( )A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm6.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5 2 cmC.5.5 cmD.1 cm二、填空题7.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为.8.如图，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2 cm，∠BAD＝120°，则EF的长为 .9.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后端点D恰好落在边OC 上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为10.把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上)，折痕分别为BH、DG．若AB＝6cm，BC＝8cm，则线段FG的长为11.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF面积为________.12.把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处(如图二)．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为______．三、解答题13.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已AB＝32cm，BC＝40cm，求CE的长.14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F 处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.15.如图①，将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A′处，然后将矩形展平，如图②沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长.16.如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，点B的坐标为_________，点E的坐标为_________；(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上?若能，请求出m的值；若不能，请说明理由.17.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.(1)求证：四边形AFHG为正方形；(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.18.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积.19.在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．(1)如图1，求证：AE⊥BF；(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4求QF的值.20.如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．21.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12 cm，AD＝20 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.图1 图2参考答案1.A.2.A3.B.4.D.5.C.6.A7.答案为：36°.8.答案为：3(cm).10.答案为：3cm.11.答案为：2.12.答案为：28.8.13.解：∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝40cm，DC＝AB＝32cm；∠B＝90°由题意得：AF＝AD＝40cm；DE＝EF(设为x)，EC＝40﹣x；由勾股定理得：BF2＝402﹣322＝576∴BF＝24，CF＝40﹣24＝16；由勾股定理得：x2＝162＋(40﹣x)2，解得：x＝23.2∴EC＝32﹣23.2＝8.8.14.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.∵在Rt△ACD中，AC＝10∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2即(8﹣x)2＝42＋x2解得x＝3，即：EF＝3.(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5∴S梯形ABCE＝(5＋8)×6÷2＝39.15.解：(1)证明：由折叠知△AEF≌△GEF，△BCE≌△HCE∵AE＝A′E＝BC，∠AEF＝∠BCE∴△AEF≌△BCE∴△GEF≌△HCE∴EG＝CH；(2)∵AF＝FG＝2，∠FDG＝45°∴FD＝2，AD＝2＋2；∵AF＝FG＝HE＝EB＝2，AE＝AD＝2＋ 2∴AB＝AE＋EB＝2＋2＋2＝2＋2 2.16.解：(1)(3，4)；(0，1)(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下：∵四边形OABC为长方形∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°由折叠的性质可得DE＝BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3，AE＝AB＝OC＝m.如图，假设点E恰好落在x轴上.在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝22，则有OE＝OC﹣CE＝m﹣2 2.在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m﹣22)2＝m2，解得m＝3 2.17.证明：(1)∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°；由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°；∴四边形AFHG是正方形解：(2)∵四边形AFHG是正方形∴∠BHC＝90°又GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；设AD的长为x则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去) ∴AD＝12∴AB＝6 5.18.证明：(1)由题意可得，△BCE≌△BFE∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE∵FG∥CE∴∠FGE＝∠CEB∴∠FGE＝∠FEG∴FG＝FE∴FG＝EC∴四边形CEFG是平行四边形又∵CE＝FE∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10∴AF＝8∴DF＝2设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x∵∠FDE＝90°∴22＋(6﹣x)2＝x 2，解得，x ＝103 ∴CE ＝103∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝103×2＝203. 19.证明：(1)∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点 ∴CF ＝BE在△ABE 和△BCF 中∴Rt △ABE ≌Rt △BCF(SAS)∴∠BAE ＝∠CBF又∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°∴∠BGE ＝90°∴AE ⊥BF ；(2)解：∵将△BCF 沿BF 折叠，得到△BPF∴FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC ，∠FPB ＝90°∵CD ∥AB∴∠CFB ＝∠ABF∴∠ABF ＝∠PFB∴QF ＝QB设QF ＝x ，PB ＝BC ＝AB ＝4，CF ＝PF ＝2∴QB ＝x ，PQ ＝x ﹣2在Rt △BPQ 中∴x 2＝(x ﹣2)2＋42解得：x ＝5，即QF ＝5．20.解：(1)∵在△OAB 中，∠OAB ＝90º，∠AOB ＝30º，OB ＝8 ∴OA ＝43，AB ＝4.∴点B 的坐标为(43，4).(2)∵∠OAB ＝90º∴AB ⊥x 轴∴AB ∥EC.又∵△OBC 是等边三角形∴OC ＝OB ＝8.又∵D 是OB 的中点，即AD 是Rt △OAB 斜边上的中线∴AD ＝OD∴∠OAD ＝∠AOD ＝30º∴OE ＝4.∴EC ＝OC －OE ＝4.∴AB ＝EC.∴四边形ABCE 是平行四边形.(3)设OG ＝x ，则由折叠对称的性质，得GA ＝GC ＝8－x. 在Rt △OAG 中，由勾股定理，得GA 2=OA 2+OG2 即，解得，x ＝1. ∴OG 的长为1.21. (1)证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ∴点B 与点E 关于PQ 对称∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF.又∵EF ∥AB∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ∴四边形BFEP 为菱形.(2)解：①∵四边形ABCD 是矩形∴BC ＝AD ＝20，CD ＝AB ＝12，∠A ＝∠D ＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称∴CE ＝BC ＝20.在Rt △CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝16∴AE ＝AD －DE ＝20－16＝4.在Rt △APE 中，AE ＝4，AP ＝12－PB ＝12－PE∴EP 2＝42＋(12－EP)2.解得EP ＝203∴菱形BFEP 的边长为203cm. ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝4. 当点P 与点A 重合时，如图点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝12 ∴点E在边AD上移动的最大距离为8 cm.。
湘教版八年级下册数学第2章 四边形 矩形的判定
湘教版8年级下册数学2.5.2矩形的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题)1. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角2. 下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠1=∠24. 已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH的形状是（）.A.平行四边形B.矩形C.任意四边形D.不能判断其形状5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥6. 在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC7. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC8. 如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )二、填空题(本大题共6小题)9. 如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB 为__________度时，四边形ABFE为矩形.10. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．11. 在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．若DE=BC，则判断四边形BFCE是形．12. 如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).13. 如图所示，折叠矩形纸片ABCD，•先折出折痕（•对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG．若AB=2，BC=1，则AG的长是．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．三、计算题(本大题共3小题)15. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．16. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．17. 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1. D分析：根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选D．2. B分析：根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．3. C分析：根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．解：A、是邻边相等，不能判定平行四边形ABCD是矩形；B、是对角线互相垂直，不能判定平行四边形ABCD是矩形；C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D、是对角线平分对角，不能判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．4. B分析：可利用角的变化来证明所形成的图形形状。
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解题技巧专题：矩形中的折叠问题
——找准方法，快准解题
◆
类型一 折叠中求角度
1．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕
为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
第1题图 第2题图
2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD，使AD和BC重合，
得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，
得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
◆
类型二 折叠中求线段长【方法9】
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC＝23，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD
沿AE所在的直线折叠，使B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝________．
第3题图 第4题图
4．(郴州桂阳县期末)如图，一块矩形纸片的宽CD为2cm，点E在AB上，如果沿图中
的EC对折，B点刚好落在AD上的B′处，此时∠BCE＝15°，则BC的长为________．
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使A点恰好落在对角线BD
上的点A′处，折痕为DG，则AG的长为( )
A．1 B.43 C.32 D．2
第5题图 第6题图
◆
类型三 折叠中求面积
6．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C落
在点C′处，BC′交AD于点E，则△BDE的面积为( )
A.754 B.214 C．21 D．24
7．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB
边上，折痕为AE，再将△ADE沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为
( )
A.12 B.98 C．2 D．4
8．★(福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM
沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
参考答案与解析
1．B 2.B 3.3 4.4cm 5.C 6.A 7.C
8．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，
∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，
∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，
即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝3.
(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，
∴∠DMA＝∠MAQ.由(1)知△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN
＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋
NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，
即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，
AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.