七年级数学暑假班讲义：第15讲 整式的乘除法综合(教师版)

1 / 19在整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是对整式运算的延展和补充．整式的乘除法的基础是同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算．通过这节课的学习，一方面加强对整式乘除运算的进一步理解，另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++． 4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷=（m 、n 都是正整数且m n >，0a ≠）．整式的乘除法综合知识结构知识精讲内容分析5、规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）． 6、单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． （1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项． （2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对． 一、选择题1. 下列运算中结果正确的是（）．A 、336x x x ⋅=；B 、224325x x x +=；C 、()325x x =；D 、()222x y x y +=+．【难度】★ 【答案】A【解析】B 正确答案为：222325x x x +=； C 正确答案为()326x x =；D 正确答案为()2222y xy x y x ++=+．【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．2. 在下列的计算中正确的是（ ）． A 、255x y xy += B 、()()2224a a a +-=+ C 、23a ab a b ⋅=D 、()22369x x x -=++【难度】★ 【答案】C【解析】A 的两个单项式不能合并； B 正确答案为()()2224a a a +-=-；D 正确答案为()22369x x x -=-+．【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．3. 下列运算中正确的是（ ）． A 、()()632632x x x ÷= B 、()()826842x x x ÷=C 、()()233xy x y ÷=D 、()()222x y xy xy ÷=【难度】★ 【答案】B【解析】A 正确答案为()()633632x x x ÷=；C 正确答案为()()22333xy x xy ÷=；D 正确答案为()()2221x y xy ÷=．【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．4. 计算()()()224a b a b ab ⎡⎤+--÷⎣⎦的结果是（）． A 、4a b + B 、4a b- C 、1D 、2ab【难度】★ 【答案】C【解析】原式=()[]()()1444222222=÷=÷-+-++ab ab ab ab b a ab b a ． 【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用．5. 如果()24343a ab M a b -÷=-+，那么单项式M 等于（ ）．A 、abB ．ab -C ．a -D ．b -【难度】★ 【答案】C【解析】∵()()b a a b a a ab a 3434342+--=-=-， ∴a M -=． 【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．4/ 196. 设M 是一个多项式，且22453232M x y x y x ÷=-+，那么M 等于（ ）．A 、454369510x y x y -+B 、36552y xy -+C 、45310532x y x y -+D 、45310532x y x y - 【难度】★★ 【答案】C【解析】242242245335535105222332332M x y x x y x y x y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=-+⋅=-⋅+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．7. 已知2264x kxy y -+是一个完全平方式，则k 的值是（ ）．A 、8B 、±8C 、16D 、±16【难度】★★ 【答案】D【解析】()()()222222648=288x kxy y x kxy y x xy y -+=-+±-⨯±+±． 【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．8. 如下图（1），边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（ ）． A 、()2222a b ab a b -=-+B 、()2222a b ab a b ++=+； C 、()()22232a ab b a b a b +=---D 、()()22a b a b a b =-+-【难度】★★ 【答案】D【解析】图1中，阴影部分的面积为22b a -，图2中，阴影部分为长方形，长为()b a +，宽为()b a -，面积为()()b a b a +-．【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解．5 / 199. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①()()2a b m n ++；②()()2a m n b m n +++；③()()22m a b n a b +++； ④22am an bm bn +++， 你认为其中正确的有（ ）A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④【难度】★★ 【答案】D【解析】图中①②③④中各个代数中表示图中长方形的面积． 【总结】本题主要是通过图形的面积加强对整式乘法的理解． 10. 已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）A 、P Q >B 、P Q =C 、P Q <D 、不能确定【难度】★★★ 【答案】C【解析】0432111157158222>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-m m m m m m P Q ．【总结】本题主要考查通过作差法来比较两个数的大小．二、填空题11. 若5320x y --=，531010x y ÷= ． 【难度】★ 【答案】100【解析】∵5320x y --=，∴532x y -=，∴535321010=1010100x y x y -÷==． 【总结】本题主要考查对同底数幂相除的法则的逆用．12. 已知2m n +=，2mn =-，则()()11m n --=___ ____． 【难度】★ 【答案】-3【解析】()()()()11111223m n m n mn m n mn --=--+=-++=-+-=-． 【总结】本题一方面考查整式的乘法，另一方面考查整体代入思想的运用．13. 若226m n -=，且3m n -=，则m n += ．【难度】★ 【答案】2．【解析】∵()()226m n m n m n -=+-=，3m n -=，∴2m n +=．【总结】本题主要考查对平方差公式的运用．14. 方程()()()()32521841x x x x +--+-=的解是_______． 【难度】★ 【答案】3=x ．【解析】∵()()()()32521841x x x x +--+-=， ∴()4181621565222=-+---+-x x x x x x ，即4816=x ， ∴3=x ．【总结】本题通过利用整式的乘法来进行方程的求解．15. 已知251x x -=，那么221x x +=_______． 【难度】★★ 【答案】27【解析】∵251x x -=， ∴51=-x x ． ∴2512=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x , ∴252122=-+xx ． ∴22127x x +=． 【总结】当两个数互为倒数时，已知它们的和或者差，都可以利用完全平方公式求出它们的平方和．16. 设()2423121x m x -++是一个完全平方式，则m =_______． 【难度】★ 【答案】19或-25【解析】∵()()()()22242312122311x m x x m x -++=-++，∴()4432±=+m ，∴m 为19或-25．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．17. 计算()()32223x xy x y ⋅-⋅-的结果是．【难度】★★ 【答案】5918y x -【解析】()()()322226395232918x xy x y x x y x y x y ⋅-⋅-=⋅⋅-=-．【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用．18. 已知5x -与一个整式的积是234251520x x y x +-，则这个整式=_________________． 【难度】★★【答案】32435x y x x +--．【解析】()()234232515205534x x y x x x x y x +-÷-=--+． 【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用．19. 若一三角形的底为2142a +，高为4211624a a -+，则此三角形的面积为 ． 【难度】★★★【答案】161326+a ． 【解析】16132818864214121621421624246242+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅a a a a a a a a a ．【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解几何图形的面积．20. 已知223x x +-能整除3249x x mx n +++，求m ，n 的值． 【难度】★★★【答案】10-=m ，3-=n ．【解析】∵()()()322492331x x mx n x x A x x A +++=+-⋅=+-⋅，∴3-=x 和1=x 满足09423=+++n mx x x ．则()()⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯+⨯=+--⨯+-⨯019140339342323n m n m ， ∴⎩⎨⎧-=-=310n m ． 【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择．三、简答题21. 计算：()()()2x y x y x y --+-． 【难度】★【答案】xy y 222-．【解析】原式=()xy y y x xy y x 22222222-=---+． 【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用．22. 计算：（1）()()()()233322222x y xy x y x ⋅-+-÷； （2）()()222226633m n m n m m --÷-．【难度】★【答案】（1）736x y -；（2）．【解析】（1）原式=()()()()233322222x y xy x y x ⋅-+-÷()()()629324282x y xy x y x =⋅-+-÷737373246x y x y x y =--=-；（2）原式=()()()2222222636333m n m m n m m m ÷--÷--÷-2221n n =-++．【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用．1222++-n n23. 计算：()()2566x x x +-÷+． 【难度】★ 【答案】1-x【解析】()()()1616-=+÷-+x x x x ．【总结】本题主要是利用因式分解进行多项式除以多项的计算．24. 计算：（1）()()423()x y x y x y --+-； （2）()()56423333632a b c a b c a b c ÷-÷．【难度】★【答案】（1）y x y xy x +---221252；（2）-1．【解析】（1）原式=2223812x xy xy y x y +---+222512x xy y x y =---+；（2）原式=()122333333-=÷-c b a c b a ．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．25. 计算：（1）()221a b +- ；（2）()()222341323x x x x x -+--； （3）()()()22322a b a b a b +--+； （4）()()2282x y y x y x x ⎡⎤+-+-÷⎣⎦． 【难度】★【答案】（1）1424422+--++b a b ab a ；（2）x x 22+；（3）ab b 12102+；（4）421-x ．【解析】（1）原式=()()142441222222+--++=++-+b a b ab a b a b a ；（2）原式=()x x x x x x x x x x x x 29628696286223232323+=+-+-=--+-； （3）原式=()ab b b a ab b a 12104129422222+=--++； （4）原式=()[]()4212828222222-=÷-=÷-+-++x x x x x x y xy xy y x ． 【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．26. 计算下列各题：（1）()()()253nnm m mn a a a ⋅-÷；（2）323322227533x y xy y y ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）mn a 2；（2）y xy x +-221533．【解析】（1）原式=mn mn mn mn a a a a 256=÷⋅；（2）原式=()y xy x y y y xy y y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛221533232327325232323223．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．27. 若36,92m n ==求2413m n -+的值． 【难度】★★ 【答案】27【解析】()()222412422333339362327m n m n m n -+=÷⋅=÷⋅=÷⨯=．【总结】本题是对幂的运算的综合运用．28. 解不等式：()()()()138552x x x x x +++>+--． 【难度】★★【答案】25->x【解析】22583322-->++++x x x x x ，3012->x ，25->x ．【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解不等式的解集．29. 已知：230x -=，求代数式()()2259x x x x x ---＋的值． 【难度】★★ 【答案】0【解析】∵230x -=．∴原式=322325949(23)(23)0x x x x x x x -+--=-=+-=． 【总结】本题主要是对整体代入思想的运用．30. 先化简，再求值：()()222224xy xy x y xy ⎡⎤+--+÷⎣⎦（其中x =10，125y =-）． 【难度】★★【答案】52【解析】原式=()xy xy y x xy y x y x -=÷-=÷+--222222424．当x =10，125y =-时，原式=5225110=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-． 【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．31. 先化简，再求值：()()()()222111a b a b a b a --+-++++，其中12a =，2b =-． 【难度】★★ 【答案】13【解析】原式=()[]()ab b a a b a ab b a 42411442222222-+=++-+--+，当12a =，2b =-时，原式=()()1322142221422=-⨯⨯--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯．【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．32. 先化简，再求值：()()2––a b b a b +，其中2a =，12b =-． 【难度】★★ 【答案】5【解析】原式=ab a b ab b ab a -=-++-22222，当2a =，12b =-时，原式=521222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-． 【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．33. 先化简，再求值：()()()()232325121x x x x x +-----，其中13x =-．【难度】★★ 【答案】-8【解析】原式=()()591445549222-=+-----x x x x x x ，当13x =-时，原式=85319-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯．【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．34. 先化简，再求值：()()()231332222x y x y y x ⎡⎤⎡⎤-÷-÷-⎣⎦⎣⎦，其中2,1x y ==-【难度】★★ 【答案】5【解析】原式=()()()y x y x y x y x -=-÷-÷-22226613，当2,1x y ==-时，原式=()5122=--⨯．【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．35. 一个多项式除以223x x -+，得商为1x +，余式为25x -，求这个多项式． 【难度】★★【答案】2323-+-x x x ．【解析】()()()223125x x x x -+++-322223325x x x x x x =+--+++-3232x x x =-+-． 【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．36. 已知一个三角形的面积是()32234612a b a b ab -+，一边长为2ab ，求该边上的高． 【难度】★★【答案】221264b ab a +-．【解析】()3223246122a b a b ab ab -+÷322382122242a b ab a b ab ab ab =÷-÷+÷ 224612a ab b =-+．即该边上的高为221264b ab a +-．【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．37. 若()03210x y +-无意义，且25x y +=，求,x y 的值． 【难度】★★【答案】0=x ，5=y ．【解析】由题意可知：01023=-+y x ．又∵25x y +=， ∴0=x ，5=y ．【总结】本题主要考查0a 有意义的条件．38. 若()()228 3x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值． 【难度】★★【答案】3=m ，17=n ．【解析】原式=432322338248x x nx mx mx mnx x x n -++-+-+-()()()432338248x m x n m x mn x n =+-+--++-．∵展开式中不含2x 和3x 项， ∴03=-m ，083=--m n ， ∴3=m ，17=n ．【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．39. 若a =2005，b =2006，c =2007，求222a b c ab bc ac ++---的值． 【难度】★★ 【答案】3 【解析】原式=()()()[]362121222=⨯=-+-+-b c c a b a ． 【总结】本题主要是对完全平方公式的综合运用．40. 说明代数式()()()2()2x y x y x y y y ⎡⎤--+-÷-+⎣⎦的值，与y 的值无关．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】原式=()[]()()()x y x y y y xy y y y y x xy y x =++-=+-÷-=+-÷---+2222222222，∴此代数式的值与y 的值无关．【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．15 / 1941. 一个正方形的边长增加3cm ，它的面积增加了45cm 2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm ，它的面积减少了45cm 2，这时原来边长是多少呢？ 【难度】★★ 【答案】6cm ；6cm ．【解析】设原来正方形的边长为x cm ．则()45322+=+x x ，解得：6=x ．∴正方形原来的边长为6 cm ．设原来正方形的边长为y cm ，则()45322-=-y y ，解得：6=y ．∴正方形原来的边长为6 cm ．【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．42. 如图所示，长方形ABCD 是“阳光小区”内一块空地，已知AB =2a ，BC =3b ，且E 为AB边的中点，13CF BC =，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．【难度】★★【答案】ab 2．【解析】ab b a b a 22213221=⋅⋅-⋅⋅．【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．43. 如图，某市有一块长为()3a b +米，宽为()2a b +米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当3a =，2b =时的绿化面积．【难度】★★【答案】ab a 352+；63． 【解析】()()()232a b a b a b ++-+ ()22226322a ab ab b a ab b =+++-++253a ab =+．当3a =，2b =时，原式=63233352=⨯⨯+⨯．【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．44. “光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽． 【难度】★★★【答案】场地的长为12米，宽为10米．【解析】设正方形的边长为x ，则场地的长为()8+x 米，宽为()6+x 米． 则()()104682=-++x x x ，解得：4=x∴场地的长为12米，宽为10米．【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．45. 某城市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过a 吨，每吨m 元；若超过a 吨，则超过的部分以每吨2m 元计算．现有一居民本月用水x 吨，则应交水费多少元？【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】当a x ≤，应交水费为am ；当a x >，应交水费为()am mx m a x am -=⋅-+22． 【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．46. 求证：无论x 、y 为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】∵()()222241293035=233+510x x y y x y -+++-++>，∴无论x 、y 为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【总结】本题主要利用配方来说明代数式的正负性．四、解答题47. 已知：2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++-+⎛⎫-⋅=÷ ⎪⎝⎭，且正整数x 、z 满足：12372x z -⋅=，求m 的值． 【难度】★★【答案】527．【解析】∵2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++-+⎛⎫-⋅=÷ ⎪⎝⎭， ∴32322215191z y x m z y x =⋅．∴xz z y x z y x m 5391151222323=÷=．∵正整数x 、z 满足：12372x z -⋅=， ∴3=x ，21=-z ．∴3=x ，3=z ，∴5273353=⨯⨯=m ．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．48. 已知()5329812f x x x x =-+，()6545476912g x x x x =-+．求：()()()25318f x x g x x ⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭的值．【难度】★★【答案】x x x 4301435823-+-．【解析】()()()25318f x x g x x ⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭()()⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷+-=2456235185127946531289x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+-=2342410215834383x x x x x xx x x 4301435823-+-=．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．49. 已知关于x 的三次多项式除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式． 【难度】★★【答案】831133523-++-x x x ．【解析】设关于x 的三次多项式为：32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，且()f x 除以21x -与除 以24x -后，所得的商式分别为：ax m +与ax n +． 则()()3221()25ax bx cx d x ax m x +++=-⋅++-①()()3224()34ax bx cx d x ax n x +++=-⋅++-+②∴把1±=x 代入①可得：3-=+++d c b a ，7-=+-+-d c b a ． 把2±=x 代入②可得：2248-=+++d c b a ，10248=+-+-d c b a ．解得：35-=a ，3=b ，311=c ，8-=d ．∴ 关于x 的三次多项式为831133523-++-x x x ．【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择．50. 阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244c a c b a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 解：222244c a c b a b -=-问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：； （2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）（C ）；（2）因为()22b a -不能确定能不能为零． （3）ABC △为直角三角形或等腰三角形．∵222244c a c b a b -=-，∴()()()2222222b a b a b a c -+=-． ∴()()()02222222=-+--b a b a b a c ． ∴()[]()022222=-+-b a b a c ． ∴()0222=+-b a c 或22b a =． ∴222b a c +=或b a =或b a -=． ∵a 、b 、c 为ABC ∆的三边，∴222b a c +=或b a =．∴ABC △为直角三角形或等腰三角形．【总结】本题主要是对等式的基本性质的考查，等式两边同除的数一定不为零．2222222222()()()()()ABC c a b a b a b B c a b C ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形。