贵州省遵义市2018届高三上学期第二次联考数学(文)试题解析

贵州省遵义市2018届高三上学期第二次联考数学(文)试题解析贵州省遵义市2018届高三第二次联考文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}lg 0M x x =>，{}22N x x =-≤≤，则M N =I （ ）A.(1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]解：∵{}lg 0(1,)M x x =>=+∞， {}22N x x =-≤≤，∴(1,2]M N =I，故选C ．2．若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．6-B ．2-C ．32D ．6 解：∵3(3)(12)(6)(32)12(12)(12)5a i a i i a a ii i i ++-++-==++-，此复数是纯虚数， ∴60a +=，解得6a =-，故选A ．3．已知向量,a b r r的夹角为60°，且2a b ==r r ，则向量a b -r r 在向量ar方向上的投影为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3解：2()42||cos ,||12||||||a b a a a b a b a b a a b a b a a -⋅-⋅--<->=-⋅===-⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r ，故选B ．4．在一组样本数据()()()1122,,,,,,nnx y x y x y L （2n ≥，12,,,nx x x L 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,iix y i n =L 都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本 相关系数为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1 解：∵这组样本数据完全正相关，∴其相关系数为1，故选D ．5．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x=，则1x =”的否命题为“若21x=，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560xx --=”的必要不充分条件C ．命题“0x ∃∈R ，2010x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 解：对于选项A ，原命题的否命题为“若21x =，则1x ≠”，故A 不正确；对于选项B ，当1x =-时，2560xx --=成立；反之，当2560x x --=时，1x =-或6x =，故“1x =-”是“2560xx --=”的充分不必要条件，故B 不正确；对于选项C ，命题的否定是“x R ∀∈，210xx ++≥”，故C 不正确；对于选项D ，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题，则D 正确，故选D ． 6. 在正项等比数列{}n a 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2016201820152017a a a a --的值为（ ）A. 3或1-B. 9或1C. 3D. 9解：设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵13213,,22a a a 成等差数列，∴312232a a a =+，化为211123a q a q a =+，即2230q q --=，解得3q =．则22016201820162201520172015(1)3(1)a a a q q a a a q --===--，故选C ．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17解：第一次循环：221120loglog 123S +=+=+，2n =，不满足3S <-；第二次循环：22log 4S =，3n =，不满足3S <-； 第三次循环：22log 5S =，4n =，不满足3S <-；第四次循环：22log 6S =，5n =，不满足3S <-；… ；第十五次循环：22log17S =，满足3S <-；∴15n =，故选B ．8．函数()()sin f x A x B ωϕ=++的一部分图象如下图所示，则()()113f f -+=（ ）A ．3B ．32C ．2D ．12 解：由图形得1.50.5A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得0.51A B =⎧⎨=⎩．又函数的周期4T =，所以2πω=．∴()1sin()122f x x πϕ=++． 由题意得点3(1,)2在函数的图象上，∴31sin()1222πϕ=++，即sin()12πϕ+=．∴2,22k k Zππϕπ+=+∈，∴2,k k Z ϕπ=∈，∴1()sin122f x x π=+，∴1113(1)(13)sin()1sin()122222f f ππ-+=-+++=，故选C ． 9．考虑以下数列{}()na n N *∈，①21nan n =++；②21nan =+；③ln1n na n =+．其中，满足性质“对任意的正整数n，212n nn a a a +++≤都成立”的数列的序号有（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 解：①21n a n n =++中，22342n n a a n n ++=++，2133n a n n +=++，212n nn a a a +++>；②21nan =+中，2232n n a a n ++=+，123n a n +=+，212n nn a a a +++=，成立；③ln1n n a n =+中22222ln()ln 3143222n n n n n n a a n n n n +++⋅+++++==，11ln2n n a n ++=+，则212212ln 44n n n a n n +++=++，计算得212n nn a a a +++<，故选C ．10．已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ） A 35 B 35C ．32D 5解：由题意得216m=，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214y x +=，故离心率为2213114c b e a a ==-=-=；当4m =-时，曲线方程为2214y x -=，故离心率为221145c b e a a==+=+=35B ．11．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ）A. 230x y +-= B.230x y -+= C.230x y --=D.230x y -+=解：线段AB 的中点为M （1，2），k AB =﹣2，∴线段AB 的垂直平分线为：12(1)2y x -=-，即230x y -+=．∵AC=BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此△ABC 的欧拉线的方程为230x y -+=，故选D ． 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x ∀∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，若函数()()()log 1a g x f x x =-+（0,1a a >≠）在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)(3,7)95UB ．1(,1)3)9UC ．1(0,)(7,)9+∞UD ．11(,)(5,3)73U解：由()()22f x f x -=+可得函数()f x 的图象关于2x =对称，即(4)()f x f x +=-．又函数()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， ∴(4)()f x f x +=，即函数()f x 的周期是4． 当[0,2]x ∈时，[2,0]x -∈-，此时2()()2x f x f x --=-=，由()()()log 1ag x f x x =-+得()log (1)af x x =+．令()log (1)ah x x =+．∵函数()()()log 1ag x f x x =-+在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，∴函数()f x 和()log (1)ah x x =+的图象在区间(1,9]-内有三个不同的公共点．作出函数()f x 的图象如图所示．①当1a >时，函数()log (1)ah x x =+为增函数，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足()h x 在点A 处的函数值小于2， 在点B 处的函数值大于2，即1(2)log 32(6)log 72a a a h h >⎧⎪=<⎨⎪=>⎩，解得y 32D 37a <<②当01a <<时，函数()log (1)ah x x =+为减函数，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足()h x 在点C 处的函数值小于1-， 在点B 处的函数值大于1-，即01(4)log 51(8)log 91a a a h h <<⎧⎪=>-⎨⎪=<-⎩，解得1195a <<．综上可得实数的取值范围是11(,)(3,7)95U ，故选A ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM⋅uu r uuu r 的取值范围是 ． 解：∵OA OM x y⋅=-+u u r u u u r，在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由图可知，当目标函数OA OM x y⋅=-+u u r u u u r经过点可行域内点(0,2)C 时有最大值，即max ()022OA OM ⋅=-+=uu r uuu r；当目标函数OA OM x y⋅=-+u u r u u u r经过点可行域内点(1,1)D 时有最小值，即min ()110OA OM ⋅=-+=uu r uuu r，∴OA OM⋅uu r uuu r 的取值范围为[]0,2．14．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a b c 、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若a b c>>，则2222221()22c a b S c a ⎡⎤+-=-⎢⎥⎣⎦现有周长为1027+ABC ∆满足sin :sin :sin 2:7A B C =，则用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为 ．解：∵sin :sin :sin 2:7A B C =，∴::2:7a b c =又ABC ∆的周长为1027+4,6,7a b c === ∴2222221()6322c a b S c a ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎣⎦ABC ∆的面积为315．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在半径R 的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面ABCD 经过球心O ，E 是AB 的中点，PE ⊥底面ABCD ，则该四棱锥P ABCD -的体积等于 ．解：画出如下图形，连接,OP OE ，则OP R =，22OE R =，∴222222()22PE OP OE R R R =-=-=．又∵22ABCDSR =，∴23112223323P ABCDABCD VS PE R R R -=⋅=⨯⨯=．16．已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若||||6AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 ．解：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴6=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a ，∴a =3． 取M （0，b ），∵点M 到直线的距离不小于45，45916≥+，解得b ≥1．∴221221193c b e a a ==--=．故椭圆E 的离心率的取值范围是220e <≤．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos a c A =，51A =．（Ⅰ）求sin C ； （Ⅱ）求b c． 解：（Ⅰ）∵2cos a c A =，∴sin 2sin cos A C A =，∴tan 2sin 0A C =>．51A =，则1tan 2A =，从而1sin 4C =． （Ⅱ）∵1sin sin 45C A =<=，∴C 为锐角，则15cos C =，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+1512553442055==，故sin 2553sin bB c C+==．18．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n N ∈）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：（1）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； （2）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：（Ⅰ）当日需求量17n ≥时，利润85y =；当日需求量17n <时，利润1085y n =-， ∴y 关于n 的解析式为()1085,17,85,17.n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩*N ；（Ⅱ）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76.4．②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7．…12分19．如图，四棱锥P ABCD-的底面ABCD是边长为2的菱形，60∠=o．BAD已知2PA=．==，6PB PD（Ⅰ）证明：PC BD⊥；（Ⅱ）若E为PA上一点，记三棱锥P BCE-的体积和四棱锥P ABCD-的体积分别为1V和2V，当12:1:8V V=时，求EP AE的值．解：（Ⅰ）证明：连接,BD AC 交于O 点． ∵PB PD=，∴PO BD⊥．又∵ABCD是菱形，∴BD AC ⊥， 而AC PO O=I ，∴BD ⊥面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥PC ；（Ⅱ）由条件可知：ABD PBD ∆≅∆，∴3AO PO ==∵6PA =222PAOA OP =+，∴PO AC ⊥．由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， ∴PO ⊥BD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 点作EF ⊥AC ，交AC 于F ，则EF ⊥平面ABCD ，∴EF// PO ，∴EF ，PO 分别是三棱锥E －ABC 和四棱锥P －ABCD 的高．又11()3P ABC E ABC ABC V V V S PO EF --∆=-=⋅-，213ABCD V S PO=⋅⋅菱形，由1218V V =，得4()PO EF PO-=，所以43PO EF =． 又由AEF APO∆∆:，同时，PO AP AE EPEF AE AE+==，∴13EP AE =． (2013安徽文改编)20．设抛物线()240ymx m =>的准线与x 轴交于1F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为26(,33E ；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ=uuu r uuu r ．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若1[,1)2λ∈，求PQ 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题设，得22424199a b+=①2212a b -=②由①、②解得24a=，23b=，椭圆的方程为22143x y +=，易得抛物线的方程是24yx=．（Ⅱ）记()11,P x y ，()22,Q x y ，由11FQ FQ λ=uuu r uuu r得12yy λ=③设直线PQ 的方程为()1y k x =+，与抛物线的方程联立，得：2440ky y k -+=（*）124y y =④ 124y y k+=⑤ 由③④⑤消去12,y y 得()2241k λλ=+，21211PQ y y k=+-．由方程（*）得：22116161k PQ k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简为：4241616k PQ k -=，代入λ：()()2422222111616PQ λλλλλ+++=-=-21(2)16λλ=++-．∵1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴12λλ+>， 同时，令()1f x x x=+，则()222111x f x x x-'=-=，当1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，所以()1522f x f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，因此1522λλ<+≤，于是21704PQ<≤，那么17PQ ∈．21． 已知函数2()()xf x xax a e =--．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若(0,2)a ∈，对于任意12,[4,0]x x∈-，都有212|()()|4af x f x e me --<+恒成立，求m 的取值范围．解：（Ⅰ）求导得()(2)()xf x x x a e '=+-．①若2a <-，则()f x 在(,)a -∞，(2,)-+∞上单调递增，在(,2)a -上单调递减；②2a =-，则(,)-∞+∞在上单调递增；③若2a >-，则()f x 在(,2)-∞-，(,)a +∞上单调递增，在(2,)a -上单调递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,2)a ∈时，()f x 在(4,2)--上单调递增，在(2,0)-单调递减，所以2max()(2)(4)f x f a e -=-=+，4(4)(316)(0)f a ea f --=+>-=，故22212max|()()||(2)(0)|(4)(1)4f x f x f f a e a a e e ----=--=++=++，212|()()|4af x f x e me --<+恒成立， 即222(1)44aa ee e me ---++<+恒成立，即2(1)aa m ee ->+恒成立，令(),(0,2)xx g x x e =∈，则1(),(0,2)xxg x x e -'=∈，易知()g x 在其定义域上有最大值1(1)g e =， 所以231e m e+>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，且14AB =求直线l 的倾斜角α的值． 解：（Ⅰ）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=．∵222xy ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2240xy x +-=，即()2224x y -+=；（Ⅱ）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=，化简得22cos 30tt α--=．设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩， ∴()21212124AB t tt t t t =-=+-24cos 1214α+=∴24cos 2α=，则2cos 2α=±，故4πα=或34π．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()32f x a x x =--+． （Ⅰ）若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数x ，使得不等式()122f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．- - 21 --解：（Ⅰ）不等式()3f x ≤化为2323x x --+≤，则22323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩，或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩，或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---≤⎩， 解得3742x -≤≤，所以不等式()3f x ≤的解集为3742x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）不等式()122f x a x ≥-++等价于3321a x x a --+≥-， 即3361x a x a --+≥-，由三角不等式知 ()()3363366x a x x a x a --+≤--+=+． 若存在实数a ，使得不等式()122f x a x ≥-++成立， 则61a a +≥-，解得52a ≥-， 所以实数a 的取值范围是5[,)2-+∞．。