随机系统均方稳定性的一个注记

应用概率统计　第十八卷　第三期　２００２年８月　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　

ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　Ｖｏｌ，１８　Ｎｏ．３　Ａｕｇ．２００２　

随机系统均方稳定性的一个注记冰　张维海　（山东轻工业学院，　华玉爱　济南，２５０１００）　

摘　要　本文研究随机定常系统ｄｘ＝Ｆｘｄｔ＋ＧｘｄＷ的稳定性，给出了该方程均方稳定性的几个充分必要条件，最后　给出了所得结果的两个应用．　关键词：均方稳定性，Ｗｉｅｎｅｒ过程，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积．　学科分类号：０１７５．１３．　

考虑下列随机定常系统　§１．　引言及主要结论　

如＝Ｆｘｄｔ＋Ｇｘｄ　ｘ（ｔｏ）＝Ｘｏ，０　ｔｏ＜。。　这里，Ｆ　Ｇ是ｎ　Ｘ　ｎ的常数阵，　∈Ｒ“是状态变量，Ｗ（ｔ）是标准的Ｗｉｅｎｅｒ过程，不妨假设其是一维的　随机微分方程（１）的均方稳定性定义如下：　定义１方程（１）称为均方稳定的，如果对于任何　。∈Ｒ“，都有ｔｌ＿＋ｉｍ

ｏ。Ｅｌｘ（ｔ）［　＝０・当（１）是均方稳定时　

我们后面亦简称（　Ｇ）是稳定的．　在［１】中我们证明了，在一定条件下，方程（１）的均方稳定性等价于下列Ｌｙａｐｕｎｏｖ一型方程　

ＰＦ＋Ｆ｜Ｐ＋Ｇ｜ＰＧ＝一Ｑ　Ｑ　２　０　有正定解Ｐ，其中Ｆ　表示矩阵Ｆ的转置，Ｑ　０表示矩阵Ｑ是半正定矩阵．　均方稳定性的概念在无限时间随机最优控制的研究中发挥了重要的作用．本文将通过算子或矩阵的谱，　给出（１）的均方稳定性的几个充分必要条件．为此，首先注意到，若令ｘ（ｔ）＝Ｅ［ｘ（ｔ）ｘ　）】，则用Ｉｔ６公式，从　方程（１）可以得到　■　＝ＦＸ＋ＸＦ　＋ＧＸＧ　，ｘ（ｏ）＝ｘ（ｏ）ｘ　（０）．　（２）　

用矩阵的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积理论，　（２）式可以写成　－－４．：（Ｆ　＋　Ｆ＋Ｇ　Ｇ）　－－４．

，　－－（４．０）

：　，　

其中符号　表示两矩阵的ＫｒＯｎｅｃｋｅｒ积，　－－４，表示对矩阵　的拉直运算．即若Ｘ＝（　）　，则　

－－＋：（　１１，．一，　ｈ　；　２１，．一，　２　；．．．；　１，．一，　）　．　

（３）　

方程（３）是一个确定性的常微分方程，易见ｔｌ

＿＋ｉｍｏ。ＥＩｘ（ｔ）ｌ。＝０等价于ｔｌ＿＋ｉｍ

ｏ。　（￡）＝０・熟知，对于确定性常微分　

方程　未＝Ａｘ，ｘ（ｔ０）＝　０∈Ｒ　：　

山东省自然科学基金资助课题（项目编号Ｑ９９Ｇ０１）　本文２０００年５月２５日收到．　

维普资讯 http://www.cqvip.com ２５６　应用概率统计　第十八卷　ｌｉｍ　ｘ（ｔ）＝０的充分必要条件是ｏ（Ａ）ｃ　Ｃ一．即　的谱都在左半复平面．［２】，［３】由此得到：　定理Ａ系统（１）均方稳定的充分必要条件是ｏ（Ｆ　Ｉ－Ｉ－Ｉ　Ｆ－Ｉ－Ｇ　Ｇ）ｃ　Ｃ一．　文献［４］也利用了定理Ａ的结论．但是定理Ａ在Ｇ≠０时必要性部分的正确性是值得怀疑的，或者说，　即使其正确，必须给出相应的证明，而不能从定常系统渐近稳定性理论直接得到．因为　是对几阶实对称　矩阵的拉直而成的，所以（３）的状态空间不是ｎ。维的，而是［ｎ（ｎ＋ｉ）］／２维的，即等于实对称矩阵所形成的　空间的维数．请看下例：　例１令　

．　１　０　０、　

Ｘｌ＝（Ｘｌｌ　２，　２２）　，　Ａ１＝ｌ　０　—１　０　ｌ，　０　０　—１　则容易看出系统Ｘ＇ｌ＝Ａ１　１是渐近稳定的，　ｌｉｍ　１（　）＝０；其次，令　

。＝ｃ　，　。，　。，　。　，　＝（　ｌ１　１　｝　０　ｌ０—１／　

则容易看出系统　＝　２　２的解亦满足　ｌｉｍ　Ｘ２（　）＝０，但Ａ２不是稳定矩阵．　文献［２］同时断言矩阵（Ｆ　Ｉ＋Ｉ　Ｆ＋Ｇ　Ｇ）一定具有重的特征值，这个断言是错误的，见下面的反　例：　例２取　

Ｆ＝（二；　），　Ｇ＝（：：），　

则容易验证ｏ（Ｆ　Ｉ＋Ｉ　Ｆ＋Ｇ　Ｇ）＝｛－３＋ｉ，一３一ｉ，一２，一４）没有重的特征值．　本文将对定理Ａ的正确性给出严格的证明，并且给出另外几个充分必要条件，所得结论可以在随机控制　中给出一些新定义．　

§２．　定理及其证明　定理１随机定常系统（１）均方稳定的充分必要条件是　（Ｆ＠Ｉ－ｂ　Ｉ　Ｆ＋Ｇ　Ｇ）ｃ　Ｃ一　为证定理１，我们引入下列记号和算子：　设　是札阶方阵构成的线性空间，　是札阶实对称方阵构成的线性空间．　是　上的线性算子：　Ｔ（Ｘ）＝Ｆ　＋　Ｆ　＋ＧＸＧ　，Ｘ∈　Ｔｏ是　在　上的限制，即Ｔｏ＝　ｌｃ，０．Ｔｏ是　上的线性算子．　是札　维向量空间Ｒ　上的线性算子：Ｌ（Ｘ）＝Ｘ，Ｘ∈Ｕ．显然，　可逆，Ｌ（ＦＸ＋　Ｆ　＋ＧＸＧ　）＝Ａ　Ｘ，　Ｊ４：Ｆ　Ｉ＋Ｉ　Ｆ＋Ｇ　Ｇ．　引理１在　上，ｏ（Ａ）＝ｏ（Ｔ）．　证明：　对Ｖ　∈ｏ（Ｔ），３Ｘ∈Ｕ，使Ｔ（Ｘ）＝　，即　

Ｆｘ＋ｘ　Ｆｉ＋ＧＸＧｉ＝）、Ｘ　Ｌ（ＦＸ＋ｘ　Ｆ　＋ＧＸＧ｜、）＝Ｌ１）、ｘ、　从而Ａ　：　，即　∈　（　），从而　（　）ｃ　（　）．反过来，对ｖ　∈　（　），３Ｘ∈Ｒｎ。，使　：　，即　Ｌ（ＦＸ＋ＸＦ　＋ＧＸＧ　）＝　（　），Ｘ：　一　（灵）∈　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第三期　张维海华玉爱：随机系统均方稳定性的一个注记　从而有Ｔ（　）：　（因为Ｌ可逆），即　∈　（Ｔ），所以　（Ａ）ｃ　（　）．综上，有　（Ａ）＝盯（　）・　类似于引理１的证明可得：　引理２　在　上，　【，０（　）：　（　），这里　【，０（　）＝｛　：　－－｝＝　－－｝，　∈ｇｏ｝　

引理３　ａ（Ｔ）＝　（Ｔｏ）．　证明：　显然盯（　）ｃ　（　）．下证　（　）Ｃ　（　）．对Ｖ　∈　（　），３Ｘ∈Ｕ，使　

Ｔ（　）：入　，Ｔ（Ｘ　）＝ＦＸ　＋Ｘ　Ｆ　＋ＧＸ　Ｇ　，Ｔ（Ｘ＋Ｘ　）＝　（　＋Ｘ　）　

２５７　

这说明　∈ａ（Ｔｏ），故ａ（Ｔ）ｃ　ｚ（Ｔｏ），因而ａ（Ｔ）＝ａ（Ｔｏ）．　徉　由以上三个引理立即可得：　引理４　ａｇｏ（Ａ）＝　（　）．　定理１的证明：　设ｅ１，…，ｅ　（ｒ：（１／２）ｎ（ｎ＋１））为Ｕｏ的一个基，则ｅ　ｌ，…，ｅ　ｒ是Ｌ（Ｖｏ）．的一个基，　

Ｌ（Ｕｏ）＝｛　（　）：Ｘ∈　）Ｃ　Ｒｎ　．对ＶＸ∈Ｕｏ，Ｘ＝Ｘｌｅｌ＋…＋　ｒｅｒ，则　

＿÷：　＿÷＋．．．＋　ｅ－－　｝Ｘ　Ｘｌ　ｅｌ　＝（ｅ＿÷ｉ，．一，　）（　１，・－．，　）　，＝　＋‘‘‘＋　ｒ　ｅｒ＝【　，‘一，ｅｒ八　１，’。‘，　ｒ　Ｊ’　

：‘　＋．．．＋　＝（　，．一，ｅ　ｒ）（ｘ‘ｌＸ　２；１　ｅｌ ）＝　＋‘・‘＋　ｒ　ｅｒ＝（ｅ１，‘一，　，…，　ｒ）　

设（　，…，　ｅ－－　｝）：（　，．一，　）日，贝０由　－－｝＝　－－｝知　（　，…，　）（矗，…，　）　＝（　，．一，ｅ＜）Ｈ（ｘｉ，…，　）　，　从而有（矗，…，　）　＝Ｈ（ｘｉ，…，ｘｒ）　．　现证　（日）：　【，０（　）．事实上，对ＶＡ∈　（日），　＝（　１，…，　）　，使Ｈ（ｘ１，…，　ｒ）　＝　（　１，…，　ｒ）　・令　

交：ｚ１　ｅ－÷ｌ＋．．．＋　ｒ　ｅ－－ｒ｝，则　

Ａ　－－｝：Ａ（　，…，　）（　，…，　）　＝（　，…，ｅ￣）Ｈ（ｘｉ，・一，　）　

：　（　，…，　）（ｚ　，…，　），＝Ａ　－－４．　

由此可知　∈ａｇｏ（　），从而ａ（Ｈ）Ｃ　ａｇｏ（　）．　反之，Ｘ，ｆ　ｖ　∈　【，０（　），弓　：　１　＋…－ｔ－Ｘｒ　ｅ－－　｝∈Ｌ（Ｕｏ），使得　－－｝＝　－－｝，即　

（　，…，　）日　，…，　）　＝　（　，・．．，　）（　，・一，　）　，　于是有日（　１，…，　），：　（　１，…，　），，故知　∈　（日），ａｇｏ（Ｈ）Ｃ　（　）．综上有　（日）＝　【，０（　）．由引理４，对　ＶＸ∈　，Ｘ　：　１　ｅ　ｌ＋…＋　，即　

Ｘ＿÷０营　＿÷０甘（　１，．一，　）　＿÷０甘　（日）Ｃ　Ｃ一甘　（　）Ｃ　Ｃ一，　定理１得证．　社　从定理１的证明过程可以看出，ａ（Ｆ０　＋　０Ｆ＋Ｇ０Ｇ）＝　（　）＝ｏ（ＴＯ），所以我们也有：　定理２方程（１）均方稳定的充分必要条件是　）Ｃ　Ｃ一或者ａ（ＴＯ）ｃ　Ｃ一．　注记１　由于　（Ｆ　０　＋　０　Ｆ＋Ｇ　０　Ｇ）＝　（　）＝ａ（Ｔｏ），所以我们可以将算子Ｔ或Ｔｏ或者矩阵　（Ｆ　０　＋　０　Ｆ＋Ｇ　０　Ｇ）的谱定义为随机系统（１）的谱，他们都刻划了（１）的均方稳定性・　

维普资讯 http://www.cqvip.com ２５８　应用之一：下列Ｌｙａｐｕｎｏｖ一型方程　应用概率统计　

§３．　应　用　

ＰＦ＋Ｆ　Ｐ＋Ｇ　ＰＧ＝一Ｑ　

第十八卷　

在随机稳定性的理论中有重要应用，下列定理给出了方程（４）有解的充分条件．　定理３若（Ｆ＇Ｇ）是稳定的，则对任何适当维数的实矩阵Ｑ，（４）有唯一的解Ｐ．　证明：　用Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积理论，（４）有解等价于下列拉长后的方程　

—　（Ｉ　Ｆ　＋Ｆ　＠Ｉ＋Ｇ　＠Ｇ　）Ｐ‘＝一ｅ　（５）　

有解　．由定理１知，　ｏ（Ｆ＠Ｉ＋１　Ｆ＋Ｇ＠Ｇ）Ｃ　Ｃ一．所以　（，＠Ｆ　＋Ｆ　Ｉ＋Ｇ　＠Ｇ　）＝　（（Ｆ＠Ｉ＋Ｉ＠Ｆ＋Ｇ　Ｇ）　）ｃ　ｃ一，　这就是说（ｉ＠Ｆ　＋Ｆ　＠Ｉ＋Ｇ　＠Ｇ　）是非奇异阵，因此（５）式有解　’Ｐ　＝一（　＠Ｆ　＋Ｆ’＠Ｉ＋Ｇ’　Ｇ’）一　Ｑ．　定理３由此得证．　应用之二：下列代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程　

Ｐ　＋　Ｐ—ＰＢＲ一　Ｂ　Ｐ＝一Ｑ，　Ｑ≥０，Ｒ＞０　（６）　在确定性二次最优控制中有重要应用，见［５】．对方程（６）的反馈能稳解和强解的研究尤其引起了众多学者的　兴趣，见［６】．为介绍这两个定义，考虑下列确定性定常控制系统　

：Ａ　＋Ｂｕ．　这里Ａ∈Ｒｎד，Ｂ∈Ｒ似　，　∈Ｒ“为状态变量，ｕ∈Ｒ　为控制变量．　定义Ａ［８】方程（６）的一个实对称解Ｐ称为反馈能稳解，如果经过状态反馈ｕ＝一Ｒ　Ｂ’Ｐ　后，闭环　系统　＝（Ａ—ＢＲ一　Ｂ　Ｐ）　的谱都在复的左半平面上，即ａ（Ａ—ＢＲ一　Ｂ　Ｐ）Ｃ　Ｃ一；Ｐ称为一个强解，如果　

＝（Ａ—ＢＲ一　Ｂ　Ｐ）　的谱都在闭的左半复平面内，即ａ（Ａ—ＢＲ＿１Ｂ　Ｐ）Ｃ　Ｃ一，ｖ．　在【１】中，我们证明了下列广义代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程　

Ｐ　＋　Ｐ＋Ｃ　ＰＣ一（ＰＢ＋Ｃ　ＰＤ）（Ｒ＋Ｄ　ＰＪ［））一　（Ｂ　Ｐ＋Ｄ　ＰＣ）＋Ｑ：０　（７）　在随机线性二次最优控制中发挥着与（６）在确定性二次最优控制中类似的作用．那么，如何定义方程（７）的　反馈能稳解与强解呢？考虑随机定常控制系统　

如：（Ａｘ＋Ｂｕ）ｄｔ＋（Ｃｘ＋Ｄｕ）ｄＷ，　，Ｃ∈Ｒ　“，Ｂ，Ｄ∈Ｒ　，ｚ∈Ｒ“，ｕ∈Ｒ　借助定理１，我们给出下列定义：　定义２（７）的一个实对称解Ｐ称为一个反馈能稳解，如果经过状态反馈　

“（ｔ）＝ｋｘ（ｔ）＝－（Ｒ＋Ｄ　ＰＤ）一　（Ｂ　Ｐ＋Ｄ　Ｐ　）　（￡），　闭环系统　ｄｘ＝（Ａ＋Ｂｋ）ｘ（ｔ）ｄｔ＋（Ｃ＋Ｊ［）　）　（ｔ）ｄＷ　

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