直线与椭圆的综合应用
直线与椭圆的综合应用
直线0=++C By Ax 与椭圆122
22=+b
y a x 联立得：0)(2)(2222222222=-+++B b C a ACx a x B b A a 所以我们有，结论一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a B b C a x x B b A a AC a x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212
222221)
(2B b A a A a C b y y B b A a BC b y y 2
2222212212B b A a AB b a y x y x +=+ 结论二：2
2222222222))((2||B b A a C B b A a B A ab AB +-++= 结论三：0022222>-+⇒>∆C B b A a
焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C 交于不同两点A,B,且线段AB 的中点M 不在圆
椭圆的右顶点C,证明这样的直线l恒过定点,并求出该点坐标.
8.已知椭圆C 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,F 1、F 2分别为其左、右焦点,P 在椭圆上任意一点,且P F P F 21⋅的最大值为1,最小值为-2.
(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 为椭圆C 的右顶点,直线l 是与椭圆交于M 、N 两点的任意一条直线,若AN AM ⊥,证明直线l 过定点.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足0=⋅DB DA ,试判断直线l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
课后习题
1.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4 （1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N 两点，且MN =
l 的方程.
2.过椭圆
+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的面积.
3.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为√22,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C 的方程. (2)当△AMN 的面积为
√103时,求k 的值.
4.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=√32. (1)求椭圆C 的方程.
(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.求△PAB 面积的最大值.
6．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，且离心率e ＝223
. (1)求椭圆的方程；
(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为－12
，求直线l 斜率的取值范围．
7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√2
2,其中左焦点为F(-2,0).
(1)求椭圆C 的方程.
(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.
8.设椭圆C ：+=1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.
(1)求C 的方程. (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标.
9.已知点P 坐标为（4，2），椭圆方程为19
362
2=+y x ，问：是否存在过点P 的直线，使得直线与椭圆相交的交点的中点恰为P 点？
10.设椭圆E:x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)过M(2,√2),N(√6,1)两点,O 为坐标原点.
(1)求椭圆E 的方程.
(2)若直线y=kx+4(k>0)与圆x 2+y 2=83相切,并且与椭圆E 相交于A,B 两点,求证:OA →⊥OB →
.
11.(2016·烟台高二检测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为√33,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33. (1)求椭圆的方程.(2)设A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C,D 两点.若AC →·DB →+AD →·CB →
=8,求k 的值.
直线与椭圆综合应用(含答案)
1、（北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：y=x+2上， 且AB ∥l ． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积； （Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程． 解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y=x. 设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2). 由2234, x y y x ?+=?=? 得1,x =± 所以 12AB x -= 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离， 所以1 2.2 ABC h S AB h = = = （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y=x+m. 由2234,x y y x m ?+=?=+?得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上， 所以212640.m ?=-+＞ 设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）. 则21212334 ,,24 m m x x x x -+=-=
所以 12AB x =-= 又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即 BC = 所以2 2 2 22210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++ 所以当m=-1时，AC 边最长.（这时12640=-+＞） 此时AB 所在直线的方程为y=x-1. 2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文）） 已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求点B 的坐标和实数m 的值． 解：（Ⅰ）由2a ＝4，得a ＝2 离心率为a c ，c ＝3………………………2分 222c a b -=＝1
第3讲 直线与椭圆的综合问题
第3讲 直线与椭圆的综合问题 一、知识要点 (1)直线与椭圆位置关系的判断． 将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ＞0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ＜0时，直线和椭圆相离． (2)直线和椭圆相交的弦长公式：AB 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，直线AB 的倾斜角为α，则 ①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|； ②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0 a 2y 0 . ③α 2222 sin 2c b ab AB +=． (3)直线与椭圆相交时的常见处理方法． 当直线与椭圆相交时，涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“差分法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化． 二、典例剖析 1、既设又求 例1 1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且 MF 2与x 轴垂直；直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3 4 ，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
2．已知椭圆E ：x 2t ＋y 2 3＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交 E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 变式题 1．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF → ，则k 的值为________． 2．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为1 2. (1)求椭圆C 的方程； (2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB → ，求直线l 的方程． 2、弦长公式
直线与椭圆的综合应用
直线与椭圆的综合应用 直线0=++C By Ax 与椭圆122 22=+b y a x 联立得：0)(2)(2222222222=-+++B b C a ACx a x B b A a 所以我们有，结论一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a B b C a x x B b A a AC a x x ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212 222221) (2B b A a A a C b y y B b A a BC b y y 2 2222212212B b A a AB b a y x y x +=+ 结论二：2 2222222222))((2||B b A a C B b A a B A ab AB +-++= 结论三：0022222>-+⇒>∆C B b A a 焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C 交于不同两点A,B,且线段AB 的中点M 不在圆
椭圆的右顶点C,证明这样的直线l恒过定点,并求出该点坐标.
8.已知椭圆C 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,F 1、F 2分别为其左、右焦点,P 在椭圆上任意一点,且P F P F 21⋅的最大值为1,最小值为-2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设A 为椭圆C 的右顶点,直线l 是与椭圆交于M 、N 两点的任意一条直线,若AN AM ⊥,证明直线l 过定点.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足0=⋅DB DA ,试判断直线l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
椭圆问题的类型与解法
椭圆问题的类型与解法 椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有椭圆问题。从题型上看，可能是选择题或填空题，也可能是大题，难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答椭圆问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： D 1、如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹 平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 圆 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点的轨迹方程的基本方法。 【解题思路】设点P （x ，y ），运用椭圆的定义与性质，结合问题条件可知点P 的轨迹是一个椭圆，从而得出选项。 【详细解答】设点P （x ，y ），纸片折叠后M 与F 重合，折痕为CD ，CD 与OM 相交于点P ，∴|PM|=|PF|，⇒|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆O 的半径为一个定值，∴点P 的轨迹是以2c=|OF|，2a=|OM|的椭圆，⇒A 正确，∴选A 。 2、根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）焦点在x 轴上，且过点（2,0）和点（0,1）； （2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于2； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； （4）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A （3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法。 【解题思路】（1）由题意设椭圆的标准方程为：22x a +2 2y b =1（a >b >0），根据问题条件得到关 于2 a ，2 b 的方程组，求解方程组求出2 a ，2 b 的值就可求出椭圆的标准方程；（2）由题意 设椭圆的标准方程为：22y a + 2 2x b =1（a >b >0），根据问题条件得到关于a ，c 的方程组，求解 方程组求出a ，c 的值，运用椭圆的性质求出b 的值就可求出椭圆的标准方程；（3）问题没 有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，应该分焦点在X 轴上或在Y 轴上两种情况考虑，分别求出相应椭圆的标准方程；（4）问题没有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，可设椭圆的方程为： A 2 x +B 2y =1，（A ＞0，B ＞0，A ≠B ），根据问题条件得到关于A ，B 的方程组，求解方程
直线与椭圆的位置关系典型例题及答案
直线与椭圆的位置关系典型例题 1.设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB = . （1） 求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-. 联立22223(),1 y x c x y a b ?=-? ?+=??得22224(3)2330a b y b cy b ++-= 解得22123(2)3(2) ,b c a b c a y y -+--== 因为2AF FB = ，所以122y y -=. 即 223(2)3(2) 2b c a b c a +--=? 得离心率 2 3 c e a = =. ……6分 （Ⅱ）因为21113AB y y =+-，所以2224315 343ab a b ?=+. 由23c a =得5 b a = .所以51544a =，得a=3，5b =. 椭圆C 的方程为22 195 x y +=. ……12分 2、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 92 2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中 m>0,0,021<>y y 。（1）设动点P 满足42 2=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3 1 ,221= =x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.
高考数学题型归纳,直线和椭圆综合应用
第二课时 直线与椭圆的综合问题 考点一 弦中点问题 [典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦 的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A.1 2 B.22 C.32 D.55 [解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)， 所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1＝1.由⎩ ⎨⎧ x 21a 2 ＋y 21 b 2＝1，x 22a 2＋y 2 2 b 2 ＝1，两式相减得， (x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝ －b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝1 4，于是椭圆的离心率 e ＝c a ＝ 1－b 2a 2＝3 2 ，故选C. [答案] C [解题技法] 1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点 对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 1．已知椭圆：x 29＋y 2 ＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．9x ＋y －5＝0 B ．9x －y －4＝0 C ．x ＋9y －5＝0 D ．x －9y ＋4＝0 解析：选C 设A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )，则有⎩⎨⎧ x 2 1 9＋y 21＝1，x 22 9＋y 22 ＝1， 两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1) 9 ＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1) ＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1 ＝k AB ，代入后求得k AB ＝－19，所以弦所在的直线方程为y －1 2＝
椭圆综合题总结[附答案及解析]
一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；〔提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别 2.设交点坐标；〔提醒:之所以要设是因为不去求出它,即"设而不求" 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；〔提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①"以弦AB 为直径的圆过点0"〔提醒：需讨论K 是否存在 ②"点在圆内、圆上、圆外问题" ⇔"直角、锐角、钝角问题" ⇔"向量的数量积大于、等于、小于0问题" ⇔12120x x y y +>>0； ③"等角、角平分、角互补问题" ⇔斜率关系〔1 20K K +=或12K K =； ④"共线问题" 〔如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法； 〔如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤"点、线对称问题"⇔坐标与斜率关系； ⑥"弦长、面积问题"⇔转化为坐标与弦长公式问题〔提醒：注意两个面积公式 的 合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、"常规求值"问题：需要找等式,"求范围"问题需要找不等式； 2、"是否存在"问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,
直线与椭圆联立练习题
直线与椭圆联立练习题 直线与椭圆联立练习题 直线与椭圆是数学中的两个基本概念，它们在几何学和代数学中有着广泛的应用。本文将通过一些练习题来探讨直线与椭圆的关系，帮助读者更好地理解它 们之间的联系。 练习题一： 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，直线的方程为y = mx + c。求解直线与椭圆的交点坐标。 解答： 将直线的方程代入椭圆的方程中，得到x^2/a^2 + (mx + c)^2/b^2 = 1。将方 程化简，得到(a^2 + b^2m^2)x^2 + 2bcmx + b^2c^2 - a^2b^2 = 0。这是一 个二次方程，通过求根公式可以求得x的值。将x的值代入直线的方程，可以 求得对应的y值。这样就得到了直线与椭圆的交点坐标。 练习题二： 已知直线的方程为y = mx + c，椭圆的焦点坐标为(-ae, 0)和(ae, 0)，离心率为e。求证直线与椭圆的交点到焦点的距离之和为常数。 解答： 设直线与椭圆的交点坐标为(x1, y1)和(x2, y2)。根据直线的方程，可以得到y1 = mx1 + c和y2 = mx2 + c。根据椭圆的方程，可以得到x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1和x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1。将直线的方程代入椭圆的方程中，得到 x1^2/a^2 + (mx1 + c)^2/b^2 = 1和x2^2/a^2 + (mx2 + c)^2/b^2 = 1。将方 程化简，得到(a^2 + b^2m^2)x1^2 + 2bcmx1 + b^2c^2 - a^2b^2 = 0和(a^2
+ b^2m^2)x2^2 + 2bcmx2 + b^2c^2 - a^2b^2 = 0。这是两个关于x1和x2的二次方程。 根据二次方程的性质，可以知道二次方程的根之和等于系数b的相反数除以系数a，即x1 + x2 = -2bc / (a^2 + b^2m^2)。根据交点坐标的定义，可以知道交点到焦点的距离之和等于x1 + x2的绝对值，即|x1 + x2| = 2bc / (a^2 + b^2m^2)。由于离心率的定义为e = c / a，可以将式子进一步化简为|x1 + x2| = 2be / (1 + b^2m^2)。这个式子是一个常数，与直线的斜率m和截距c无关，因此证明了直线与椭圆的交点到焦点的距离之和为常数。 通过以上两个练习题，我们可以看到直线与椭圆之间的关系是多样且有趣的。通过了解和掌握这些关系，我们可以更好地理解和应用直线和椭圆在数学和几何学中的概念。希望读者通过这些练习题的解答，能够对直线与椭圆的联立问题有更深入的认识和理解。
椭圆与直线相交的万能公式
椭圆与直线相交的万能公式 椭圆与直线相交的万能公式 随着科技的不断发展，椭圆与直线相交的问题越来越受到人们的关注。在实际应用中，椭圆与直线相交的问题具有广泛的应用，如地图制作、航空航天等领域。在这篇文章中，我们将介绍椭圆与直线相交的万能 公式，希望对读者有所帮助。 一、椭圆的定义 椭圆是指平面上到两个点的距离之和等于定值的所有点的轨迹。这两 个点称为焦点，它们的连线称为椭圆的主轴，主轴的一半长度称为椭 圆的半长轴，垂直于主轴过焦点的直线称为椭圆的次轴，次轴的一半 长度称为椭圆的半短轴。 二、直线的定义 直线是一种没有弯曲的几何图形，它在平面上由一组点构成，这些点 在无限地延伸。直线可以用斜率截距式、一般式、点斜式等多种方式 表示。 三、椭圆与直线相交的情况 当一条直线与椭圆相交时，可以分为以下三种情况：
1. 直线与椭圆相切。 2. 直线截取椭圆的一条弧。 3. 直线截取椭圆的两条弧。 四、万能公式 假设椭圆的标准方程为： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 直线的一般式为： $$Ax+By+C=0$$ 则椭圆与直线相交的判别式为： $$D=A^2b^2+B^2a^2-C^2a^2b^2$$ 如果$D>0$，即椭圆与直线相交，则可以根据以下公式求解交点坐标： $$\begin{cases}x_1=\frac{-a^2B\pm ab\sqrt{A^2+b^2- C^2}}{D}\\y_1=\frac{-b^2A\pm ab\sqrt{A^2+b^2- C^2}}{D}\end{cases}$$ 如果$D=0$，即直线与椭圆相切，则可以根据以下公式求解切点坐标：$$\begin{cases}x_1=\frac{-a^2B}{Aa^2+Bb^2}\\y_1=\frac{-
直线与椭圆专题讲义
直线与椭圆专题讲义 题型一：直线与椭圆的位置关系 1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m >0 C ．0
直线和椭圆练习题10道大题
直线和椭圆位置关系 1.已知椭圆22 :143 x y M +=，点1F ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点. （Ⅰ）求M 的离心率及短轴长； （Ⅱ）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作斜率为 12 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求证：22||||PB PA +为定值． 3.已知椭圆C ：22 11612 x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件|||| FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12|||| S PM S PN =. 4.已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>> 过点(1,2 ，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14 -的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由． 5.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点(01)B ，. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围.
解析几何专题直线与椭圆综合问题(学案)
解析几何专题05 直线与椭圆综合问题学习目标 (1)能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系； (2)能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长，并在此基础上解决相关三 角形的面积问题； (3)能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题； (4)初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。 知识回顾及应用 1．椭圆中的定值或定点问题此类问题的一般解题思路2．椭圆中的最值或范围问题 此类问题的一般解题思路3．椭圆中的其它综合问题4．应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率 e 6，过点C( 1,0)的3直线l交椭圆于A, B两点，且满足CA 2BC .试用直线l的斜率k表示OAB 的面积。 【变式1】已知椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e 6，过点C( 1,0) 3 的直线l交椭圆于A, B两点，且满足CA 2BC .当OAB 的面积最大时，求椭圆 E 的方程。 变式2】*已知椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e 6，过点C( 1,0) 3斜率为k的直线l交椭圆于A, B两点。若CA BC ( 2)，且k2 1 。试问：实 数,k 分别为何值时，椭圆 E 的短轴长最大？求此时椭圆E的方程。 问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】椭圆中的定值或定点问题
例1．已知定点C（－1,0）及椭圆x2＋3y2＝5，过点 C 的动直线与椭圆相交于A，B 两点，在x 轴上是否存在点M，使M → A·M → B为常数？若存在，求出点M 的 坐标；若不存在，请说明理由． 练习：椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点P 1，32且离心率为 1 1 2 ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
椭圆与直线
一、直线和椭圆的交点问题 1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数 m的取值范围。 解法一：由可得， ∴即∴且 解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短 半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则即 当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有 交点，即综述：且 解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证 定点（0,1）在椭圆内部，即∴且 二、直线截椭圆所得弦长问题 2．已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB 的长. 解法一：设A 、B两点坐标分别为和 将直线方程代入椭圆方程 得关于的方程 ∴ 又 。 ∴AB长为。 解法二：∵直线过（1，0）点，即椭圆的右焦 点∴ ∴AB 长为。 评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦 点的距离分别为和。 三、直线截椭圆所得弦中点有关问题 3．已知椭圆方程为，求： （1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程； （2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹； （3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。 ①② ①－②得③ （1）∵弦中点坐标为（4，1），∴，， 则由③式得直线斜率为 ∴直线方程为，即。 （2）设弦中点坐标为，则由③式可得 ④又∵∴，即轨迹方程为。 （3）同（2），可知轨迹上的点是方程④的解 而，∴⑤ 将⑤代入④可得 当时，直线与椭圆相交于和,中点为（4，0）， 经验证，也在上述椭圆上∴轨迹方程为。 4．已知焦点分别为、的椭圆与直线有公 共点。求：长轴长的最小值。 解析： 设A为直线与椭圆的公共点，则由椭圆定义 为使最小，即在直线上找一点A使最小 作关于直线的对称点，可求坐标为（－5，4） 此时最小 ∴长轴长最短为。 5．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为 、，动点P满足，求证：线段PF1的中垂直线与椭圆C 相切。 证明：如图， 设直线是PF1的中垂线，则F1，P关于直线对称，
直线和椭圆位置关系专题经典讲义
直线与椭圆的位置关系专题讲义 知识点1：直线与椭圆位置关系、弦长问题： 将直线方程b kx y +=〔或b my x +=代入椭圆方程：122 22=+b y a x )0(>>b a , 整理得到关于x 〔或y 的一个一元二次方程02 =++C Bx Ax 〔或02=++C By Ay 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相交； 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相切； 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相离。 若直线l ：b kx y +=与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A,B 两点, 弦长公式： =||AB ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 或=||AB ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴,此时焦点弦叫通径。通径公式为：__________ . 例1.当m 为何值时,直线y=x+m 与椭圆19 162 2=+y x 相交？相切？相离？ 练习、直线y =mx +1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点,则m 2=〔 2132
【一等奖教案】 椭圆与直线的位置关系
课 题：椭圆与直线的位置关系 教学目的：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系，能利 用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.从而培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力. 教材分析：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解 题。 重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题. 难点：有选择地运用适当技巧解题. 教学过程：一、课引 1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆 ①.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程； ②.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值； ③.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。 这里有一个弦长公式： |P 1P 2|＝ ( )()|| 1 1||121212 1 2 212 2 2 y y k x x k y y x x -+ =-+= + -- 2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长短轴的长相等（离心率为0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）. 3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视. 下面略举几例来说明此类问题的分析与解答.
2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--直线与椭圆的位置关系及其应用
2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--第2课时直线与椭圆的位置关 系及其应用 基础过关练 题组一直线与椭圆的位置关系 1.直线y=x+1与椭圆x 2 5+y2 4 =1的位置关系是 () A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 2.若直线y=kx+2与椭圆x 2 3+y2 2 =1有且只有一个交点,则斜率k的值是() A.√6 3 B.−√6 3 C.±√6 3 D.±√3 3 3.椭圆x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为√3 3 ,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横 坐标为b,则k的值为() A.±1 B.±√2 C.±√3 3 D.±√3 4.(2020山东聊城高二上期末)直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆x 2 16+y2 b2 =1(b>0) 恒有两个公共点,则实数b的取值范围是. 题组二直线与椭圆的相交弦问题 5.直线y=x+1被椭圆x 2 4+y2 2 =1所截得的线段的中点的坐标是() A.(2 3,5 3 ) B.(4 3 ,7 3 ) C.(-2 3,1 3 ) D.(-13 2 ,-17 2 ) 6.过原点的直线l与曲线C:x 2 3 +y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于√6,则直线l的斜率k的可能取值是() A.√3 3 B.−√3 3 C.√3 D.1
7.经过椭圆x 2 2 +y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点.设O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-3 B.-1 3 C.−1 3 或−3 D.±1 3 8.过椭圆 x 25 + y 24 =1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为 . 9.(2021江西南昌二中高二上月考)在平面直角坐标系中,已知动点P 到定点 F 1(-1,0)、F 2(1,0)的距离之和为2√2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程; (2)若直线l :y =x +t 与曲线C 交于A 、B 两点,|AB |=4√2 3 ,求t 的值. 题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用 10.设椭圆C : x 29 + y 24 =1的左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象 限的交点为P ,则直线PF 1的斜率为 ( ) A.1 3 B.1 2C. √33D.√3 2 11.(2020北京清华大学附中高二上期中)已知椭圆C :x 216 + y 24 =1的右顶点为A ,上 顶点为B.点E 在椭圆C 上,且不在直线AB 上. (1)求椭圆C 的离心率和直线AB 的方程; (2)若以AE 为直径的圆经过点B ,求点E 的坐标.
直线与椭圆
§8.6 直线与椭圆 考试要求 1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题． 知识梳理 1．直线与椭圆的位置判断 将直线方程与椭圆方程联立，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝1＋1 k 2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭ ⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]，k 为直线斜率且k ≠0. 常用结论 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． (1)通径的长度为2b 2 a . (2)过左焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则焦点弦|AB |＝2a ＋e (x 1＋x 2)；过右焦点弦CD ，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则焦点弦|CD |＝2a －e (x 3＋x 4)．(e 为椭圆的离心率) (3)A 1，A 2为椭圆的长轴顶点，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，则212 2· PA PA k b k a =-. (4)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2 a 2. (5)过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，则k P A ·k PB ＝－b 2 a 2. (6)点P (x 0，y 0)在椭圆上，过点P 的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．( √ ) (2)直线y ＝x 与椭圆x 22 ＋y 2 ＝1一定相交．( √ )
专题三直线与椭圆综合讲解
专题三 直线与椭圆综合 1．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a +=>>椭圆C 的长轴长为4． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线:l y kx =C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 2．（本小题满分14分） 已知椭圆G 的离心率为 ，其短轴的两个端点分别为A （0,1）,B （0,-1）． （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由． 3．（本小题满分12分）已知直线l ： 323-=x y 过椭圆C ：2221x a b 2 y ＋＝（a ＞b ＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为3 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值． 4．已知椭圆2222:1x y C a b +=（a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为8． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值． 5．已知椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴分别交于点E F 、． （1）求椭圆标准方程； （2）求m 的取值范围； （3）证明MEF ∆是等腰三角形．
专题13 圆锥曲线中的定点问题(解析版)-2021年高考数学二轮复习之解答题专题
高考冲刺 专题13 圆锥曲线中的定点问题 1．如图，已知椭圆C ：()2 2211x y a a +=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点， 且0FA FB ⋅= 时，3 k = . （1）求a 的值； （2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1 （2 ）过定点，定点为⎛⎫ ⎪⎝⎭ . 【分析】 （1）联立直线()0y kx k =>与椭圆()22211x y a a +=>，求出A 的坐标，再利用0FA FB ⋅= 时，k = 可求出a 的值； （2）由（1 ）知，() F ，椭圆C ：2 213 x y +=，设出直线AD 的方程与椭圆方程联立解得D 的坐 标，同理得E 的坐标，再求出直线DE 的方程，令0y =，可得x 为定值，从而可知直线DE 过定点. 【详解】 （1）设()00,A x y ，则()00,B x y -- ，由题意得焦点为() F 所以，( )( ) 222 0000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-. 当0FA FB ⋅=时，有222 001x y a +=-. 联立222,1, y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而2222 2222 111a k a a k a k a +=-++ .
将k =222413a a a =-+，即42230a a --=， 所以23a =或21a =-（舍） ，故a = （2）由（1 ）知，() F ，椭圆C ：2 213 x y +=. 设AD ：00 x x y y += C ：2233x y +=， 消去x 并整理得( 2 002200 310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 所以2222 000000(32)0y x y x y y y +++--=， 而22 0033x y += ，所以( ) 2 2 000050y x y y y +--=， 由韦达定理得20D y y = ，所以D y = . 同理BE ：00x x y y -=-- 00 x x y = E y = 所以00 20 258E D y y y x += = -， 20 10258E D y y y x -= -=- 所以00 2 00 2 258105258E D E D y x y y y y y x -+== --， 于是 0000000000055E D DE E D E D E D E D y y y k k x x x y y y y y y -= ====⋅=--所 以直线DE ：()0 5D D y y y x x x -= -.