直线与椭圆的综合应用
2019_2020学年高中数学第2章2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版选修2_1
第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1．2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．思考：(1)(2)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 23＝1有怎样的位置关系？[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定C [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]2．直线x ＋2y ＝m 与椭圆x 24＋y 2＝1只有一个交点，则m 的值为( )A ．2 2B ．± 2C ．±2 2D ．±2C [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 并整理得 2x 2－2mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－4)＝0，得m 2＝8. ∴m ＝±2 2.]3．若点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．(－2，2) [∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.] 4．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________．－12 [设此弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1， 两式相减，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）36＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 即此弦所在直线斜率为－12.]【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆4＋y 2＝1的位置关系．思路探究：联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论[解] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1. ② 将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．1．(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0， 解得k ＝±63.] (2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5 [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P (1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m ≤1，即m ≥54，又0<m <5，故m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5.]【例2】 过椭圆16＋4＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 法二：点差法．(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用弦长公式求解．[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2－k ）4k 2＋1. 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4（2k 2－k ）4k 2＋1＝2， 解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2，1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝ （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，①②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.2．(1)已知点P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程为________．x ＋2y －8＝0 [由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝8k （4k －2）4k 2＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.](2)已知点P (4，2)是直线l ：x ＋2y －8＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．32 [设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)， 直线x ＋2y －8＝0与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）. 因为k AB ＝－12，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝4，y 0＝2，所以－12＝－2b 2a 2，即a 2＝4b 2.所以该椭圆的离心率为e ＝1－b 2a 2＝32.] (3)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.①试求动点P 的轨迹方程C ；②设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．[解] ①设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k PA ·k PB ＝－12.∴y x ＋2·yx －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．②设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0. ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝423， 整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意．∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.与椭圆有关的综合问题1．直线y ＝kx ＋1表示过点(0，1)且斜率存在的直线，即不包含直线x ＝0，那么直线x ＝ky ＋1表示什么样的直线？[提示] 直线x ＝ky ＋1，表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y ＝0. 2．如果以线段AB 为直径的圆过点O ，那么可以得到哪些等价的条件？ [提示] (1)设AB 的中点为P ，则|OP |＝12|AB |.(2)OA →·OB →＝0.【例3】 如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d >r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d <r ，则点G 在圆内．法二：只需判断GA →·GB →的符号，若GA →·GB →＝0，则点G 在圆上；若GA →·GB →>0，则点G 在圆外；若GA →·GB →<0，则点G 在圆内．[解] (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）>0， 所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外． 法二：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋25 16＝－3（m2＋1）m2＋2＋52m2m2＋2＋2516＝17m2＋216（m2＋2）>0，所以cos〈GA→，GB→〉>0.又GA→，GB→不共线，所以∠AGB为锐角．故点G⎝⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．[解] (1)由题意设椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，代入方程x 2b 2＋3＋y 2b2＝1，又∵椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 得1b 2＋3＋34b 2＝1， 解得b 2＝1，∴a 2＝4. 椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和曲线C 的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x 24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (－2，0)，y 1y 2＝－6425（k 2＋4），y 1＋y 2＝12k5（k 2＋4）， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，即可得∠MAN ＝π2.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．已知点(2，3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2，3)在椭圆外B ．点(3，2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上D [由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.] 2．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35.] 3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．x ＋2y －3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.]4．焦点分别为(0，52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．[解] 设y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，消去y 并整理，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. 因为x 1＋x 22＝12，所以6b 2a 2＋9b 2＝12.所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.。
高考真题与模拟训练 专题21 椭圆(试题版)
专题24 椭圆第一部分 真题分类21．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤； 当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ． 【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．22．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【答案】B 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解. 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．98．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 【答案】25555【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出122tan 55k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率． 【解析】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，122222tan 5532PF F ∠==- 所以255k =, 由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21121125=sin 5PF PF PF F ⨯=∠，于是12452PF a PF +==，即25a =，所以25525c e a ===． 故答案为：255；55．63．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为63.（1）证明：3a b ；（2）若点93,1010M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）①330x y --=；②2213x y +=.【分析】 （1）由21be a=-可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； ②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【解析】（1）222222613c c a b b e a a a a -⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，33b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当93,1015⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部时，22293331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得3310b >. 设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则121292103210x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以，121239y y x x +=-+， 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212193333y y x x x x y y -+⎛⎫=-=-⨯-= ⎪-+⎝⎭， 所以，直线l 方程为3931010y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33y x =-. 所以，直线l 的方程为330x y --=；②联立()2223331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，()()()1212121212123131433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=+-⋅-=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==， 因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.64．（2021·天津高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且5BF =． （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）60x y -+=.【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =-=， 因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215x y +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+， 在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MP BFk k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故066y =，0566x =-， 所以，直线l 的方程为66166x y -+=，即60x y -+=. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切. 65．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F ，且离心率为63． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得3a =，进而可得2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证3MN =； 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得222241313k k k+⋅=+，进而可得1k =±，即可得解. 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距2c =且63c e a ==，所以3a =， 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线():2MN y k x =-即20kx y k --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得2211k k =+，解得1k =±，联立()22213y x x y ⎧=±-⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122,3243x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =+⋅+-⋅=,所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++， 所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=+⋅+-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22224113k k k =+⋅+3=， 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:2MN y x =-或2y x =-+，所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =． 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 66．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求. 【解析】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N x x y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.67．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值． 【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【解析】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=. (2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m kmkm k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边， 故12223DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.68．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得 5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =， BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【解析】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且 ||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为 N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或 (3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=， PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -, (6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -, (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()22831114055185185811d ⨯--⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=，∴APQ 面积为： 15518522185⨯⨯=， 综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于难题.69．（2020·全国高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =. 【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值； （2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x yc c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点， 则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c=⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12； （2）由（1）知2a c =，3b c =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c +=， 联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=， 曲线2C 的标准方程为212y x =.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.70．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y +=，2C ： 28y x =. 【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【解析】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中22c a b =-.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，(0,3)c ，(0,3)c -，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y+=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.71．（2019·北京高考真题（文））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．72．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标． 【答案】（1）22143x y +=； （2）3(1,)2E --.【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.73．（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3||2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=. 【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c+=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.第二部分 模拟训练一、单选题1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．55B ．33C ．22D ．32【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，∴直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， ∵124AF F π∠=，∴14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， ∴2224a c c -=，即225a c =， ∴21555e e =⇒=， 故选：A2．已知点(),A m n 在椭圆22142x y +=上，则22m n +的最大值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由题意可得22142m n +=，则2242m n =-，故2224m n n +=-．因为22n -≤≤，所以202n ≤≤，所以2244n ≤-≤，即2224m n ≤≤+．因此，22m n +的最大值4. 故选：B.3．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[2,1]k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即为(2)10k x y -+-=，可得直线恒过定点(2,1)， 圆222:(2)(1)1C x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，且C ，D 为直径的端点， 由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式相减可得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，由124x x +=．122y y +=， 可得2122122y y b k x x a-==--，由21k --，即有22112b a， 则椭圆的离心率221(0c b e a a==-∈，2]2． 故选：C4．椭圆22145x y +=上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．25D ．6【答案】D【解析】椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为2226a b +=. 故选：D5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．11e e +-r +21e e-R B ．11e e +-r +1ee-R C ．11e e +-r +21ee+R D ．11e e -+r +1ee+R 【答案】A【解析】由题意，椭圆的离心率(0,1)ce a=∈，（c 为半焦距；a 为长半轴） 地球半径为R ，卫星近地点离地面的距离为r ，可得a c R r -=+ 联立方程组1r R a e +=-，1r Rc e e+=-， 如图所示，设卫星近地点的距离为m ，远地点的距离为n ， 所以远地点离地面的距离为11r R r R n a c R e R e e ++=+-=+-=--11ee +-r +21e e- 故选：A ．6．已知椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为23，则实数m =（ ） A ．2± B ．5±C ．7±D ．3±【答案】B【解析】解：椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为23， 可得2222422()43m m m +--=+，解得5m =±． 故选：B ．二、填空题7．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________. 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF = 故答案为：28．能说明“若()20m n +≠，则方程2212x ym n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.9．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.【答案】22. 【解析】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，22c e a ∴==， 故答案为：22. 三、解答题10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点43,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率32e =.所以2222312b e a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，即224a b =， 又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得223114a b+=， 联立方程组可得222231144a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+，122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，121212120343434343333AQ BQ y y kx m kx mk k x x x x +++=+=+=----， 即()()1221434333kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121243832033kx x m k x x m ⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭得()()224383244814033k m km m k m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简得3m k =-，直线l 的方程为()3y k x =-， 所以，直线l 恒过定点)3,0.11．已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，P 是椭圆E 的上顶点，O 为坐标原点且3tan 3PFO ∠=. （1）求椭圆的离心率e ；（2）已知()1,0M ，()4,3N ，过点M 作任意直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点.设直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若122k k +=，求椭圆E 的方程.【答案】（1）32；（2）2214x y +=.【解析】（1）由题可得OF c =，OP b =，3tan 3OP b PFO OF c ∴∠===，即3=c b ， 22+2a b c b ∴==，3322c b e a b ∴===； （2）由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆()2222114y k x x y b b⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22222148440k x k x k b +-+-=， 则()()422264414440k kkb ∆=-+->，即222240k b k b -+>，则2122814k x x k +=+，221224414k b x x k-=+， ()()12121212121313334444k x k x y y k k x x x x ------+=+=+-∴---()()()121212122538242416kx x k x x k x x x x -++++==-++，()2222222222448253824141424484161414k b k k k k k k k b k k k -⋅-+⋅++++∴=--⋅+++， 即()()2110b k --=对任意k 成立，即21b =，则椭圆方程为2214x y +=，当直线斜率不存在时，则直线方程为1x =，则()()121,,1,A y B y ，且120y y += 此时12121233662141433y y y y k k --+--+=+===----，满足题意， 综上，椭圆方程为2214x y +=.。
高二数学人选修课件椭圆的简单几何性质
通过分割多边形为多个三角形，利用椭圆性质求解三角形面积，进 而求得多边形面积。
在解析几何中应用举例
椭圆的标准方程和一般方程
01
掌握椭圆的标准方程和一般方程，能够灵活应用它们解决解析
几何中的相关问题。
椭圆的焦点和准线
02
了解椭圆的焦点和准线的概念和性质，能够应用它们解决与椭
圆相关的解析几何问题。
焦点在X轴时，标准方程为
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)
椭圆标准方程
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标 轴
焦点在Y轴时，标准方程为
y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1 (a>b>0)
焦点、焦距和长短轴
01 02
焦点
椭圆的两个焦点位于长轴上，且关于原点对称。对于标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)，焦点坐标为(±c,0)；对于标准方程 y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1 (a>b>0)，焦点坐标为(0,±c)。
内切圆定义
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其半径称为内切圆半径。
求解方法
利用三角形的面积和半周长，通过公式求得内切圆的半径。在椭圆中，可以通过 设定椭圆上的两个动点来确定三角形的边长，进而求得内切圆的半径。
三角形外接圆半径求解
外接圆定义
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形 的外接圆，其半径称为外接圆半径。
椭圆在工程中的应用
在机械、建筑等工程领域中，经常需要利用椭圆的性质进行设计和计算。例如，在机械设计中，可以利 用椭圆的性质设计凸轮轮廓；在建筑设计中，可以利用椭圆的性质设计优美的建筑造型。
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.已知椭圆过和点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由已知将已知两点的坐标代入椭圆Ｇ的方程中，可得到关于的方程组，解此方程组就可求得的值，进而就可写出椭圆Ｇ的方程．（２）首先注意到由题意可得到直线的斜率存在，且．从而可用斜截式设出直线的方程，代入椭圆Ｇ的方程消元得到一个一元二次方程，则此方程一定有两个不同的解，所以，可得到的取值范围；再由，得到，结合韦达定理可用的代数式表示出线段ＭＮ的中点的坐标，然后由就可求出的值，从而求得直线的方程．试题解析：（1）因为椭圆过点和点．所以，由，得．所以椭圆的方程为 4分（2）显然直线的斜率存在，且．设直线的方程为．由消去并整理得， 5分由， 7分设，，中点为，得， 8分由，知，所以，即．化简得，满足．所以 12分因此直线的方程为 14分【考点】１．椭圆的的方程；２．直线与椭圆的位置关系．2.已知椭圆的两个焦点分别为，且，点在椭圆上，且的周长为6.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于不同两点，设线段的中点为，且三点共线．设点到直线的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题中为焦点三角形，其周长为，又，两式组成方程组从而易求出，即可写出椭圆方程；（2）本小题中直线的方程可设为（其中不存在是不可能的），与椭圆方程联立消y,利用韦达定理与中点坐标公式，可得M点坐标（用k,m表示），当三点共线，则有即可解出k的值，又消y后的方程的可得m的范围，而点到直线的距离可用m表示，利用函数观点可求出的取值范围．试题解析：（1）由已知得，且，解得，又，所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知：点在轴上，且与原点不重合，显然三点不共线，不符合题设条件．所以可设直线的方程为，由消去并整理得：①则，即，设，且，则点，因为三点共线，则，即，而，所以，此时方程①为，且因为，所以.【考点】椭圆的定义及标准方程，性质，直线与椭圆相交问题，设而不解思想，韦达定理，方程与函数思想，化归思想.3.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆焦点为，又，则，所以，焦点在x轴上，故选C.【考点】椭圆与双曲线的标准方程与几何性质.4.若点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，设，则又因为，所以因为对称轴，而，因此当时，的最大值为.【考点】二次函数最值5.若椭圆上有个不同的点为右焦点，组成公差的等差数列，则的最大值为（）A．199B．200C．99D．100【答案】B【解析】椭圆上的点到右焦点最大距离为：a+c=3，到右焦点最小距离是a-c=1，2=（n-1）d，要使，且n最大，有d=，由此能求出n的最大值．【考点】（1）椭圆的定义；（2）等差数列.6.已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），椭圆的右顶点为，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)；（2）.【解析】(1)本小题通过待定系数法列出两个关于的方程，通过解方程组求出椭圆的方程，包含着二次方的运算需掌握；(2)本小题是直线与椭圆的位置关系的问题，这类题目的常用思路就是联立直线方程和椭圆方程通过消元得到一个一元二次方程，确定判别式的情况，正确书写、利用韦达定理，由，两点(不是左右顶点)，椭圆的右顶点为，且满足，根据向量的数量积为零，可得到关于两个根的等式，再利用韦达定理可得关于的等式，从而就可得出相应的结论.试题解析：（1）即∴椭圆方程为 4分又点在椭圆上，解得∴椭圆的方程为 6分(2)设，由得，8分所以，又椭圆的右顶点，，解得 10分，且满足当时，，直线过定点与已知矛盾 12分当时，，直线过定点综上可知，当时，直线过定点，定点坐标为 14分.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.韦达定理；3.平面向量的数量积；4.过定点的问题；5.直线与椭圆的综合问题.7.已知点分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将点代入：，得，∴，∵过点作直线的垂线交直线于点，，设，得，解得，∴．∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴，即，整理，得，解得，故选C．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的性质．8.椭圆的焦距等于（）A．20B．16C．12D．8【答案】B【解析】椭圆中的关系是，，焦距是，题中，所以，所以焦距为16，故选B．【考点】椭圆的几何性质（椭圆的焦距）.9.如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程。
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}， 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值． 解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0， 解得k =−12， 故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果． 解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ， 所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题． 判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可． 解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ， 当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围． 解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4， 即c 2a 2>4，∴e >2， 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题． 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可． 解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0， 所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+， 要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目． 对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法， 上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法． 故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，， 在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33． 故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ， 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2． 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53， 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66． 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增， 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立． 从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。
直线与椭圆的位置关系之中点问题
直线与椭圆的位置关系之中点问题一、知识点1） 已知弦的中点坐标，利用点差法求弦所在直线的斜率；2） 利用点差法求证：22AB OM b k k a⋅=-； 3） 利用点差法解决有关中点的问题．二、教学过程1 点差法 引例：已知椭圆22:143x y C +=，求以(1,1)P 为中点的弦所在的直线方程． 分析1：设直线1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-入椭圆方程22143x y +=，得到 222(43)8(1)4(1)120k x k k x k ++-+--=，设弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ，则1228(1)243k k x x k -+==+，得34k =- 所以所求的直线方程为3470x y +-=分析2：设设弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ，则22113412x y +=，22223412x y +=，两式相减得： 121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=，所以121234y y k x x -==--，下同上 一般： 若椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的弦AB 的中点为00(,)M x y ，则仿上可知2020AB x b k a y =-⋅，这种方法称为点差法；说明：1） 通过点差法，我们可有弦的中点坐标直接求出弦的斜率，进一步我们可以发现关系：22AB OM b k k a⋅=-，揭示了两个斜率的关系。
（并且可以发现与“若P 为椭圆上任意一点，,M N 为椭圆上关于原点对称的两个定点，则22PM PNb k k a ⋅=-”道理想通） 2）点差法，先设弦端点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，两式相减，利用两点的斜率公式，中点的坐标公式综合得到，这是一种与求弦长不同的处理方式，一般直线与椭圆位置关系的处理上一种是设直线方程，与椭圆联立方程的方法我们称为“线参数法”，一种是设点的坐标不联立方程的方法称为“点参数法”．2 应用练习1 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的弦AB 的中点为(1,1)M ，又34AB k =-，求椭圆的离心率． 分析：利用点差法可知2234b a =，所以2214c a =，12e = 2 椭圆22:143x y C +=上的动弦AB 的中点为M ，又34AB k =-，求中点M 的轨迹方程． 解：设(,)M x y ，利用点差法可知：3344y x -⋅=-，所以0x y -=，检验可知：必须||7x <说明，利用极限思想可以发现，过点(,77，斜率为34-的直线恰好为椭圆的切线 . 3椭圆22:143x y C +=上的动弦AB 过定点(1,1)N ，中点为M ，求中点M 的轨迹方程． 解：利用点差法可知：34AB y k x ⋅=-，又11AB y k x -=-，所以2234340x y x y +--=， 即2211()()221771216x y --+=（含在椭圆内部分） 配套练习：1、已知椭圆22:12x C y +=，求以21(,)33P -为中点的弦的弦长． 解答：根据点差法知1k =，利用弦长公式||3AB =2、已知椭圆：221ax by +=，与直线l ：10x y +-=与椭圆交于,A B 两点，C 为,A B中点，又||2OC AB k ==，求椭圆方程答案：22113x y +=。
高中数学人教A版选修2-1第二章椭圆及其标准方程精讲讲义
当 PF1 PF 2 2a F1F 2 时, P 的轨迹为 以 F1、F2 为端点的线段
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
x2 y 2 1(a b 0) a2 b2
参数关系
性
焦点
(c,0), (c,0)
质
焦距
范围
| x | a,| y | b
a2 b2 c2 2c
y2 a2
x2 b2
举一反三：【变式 1】两焦点的坐标分别为 0,4，0，- 4，且椭圆经过点（5,0）。
【变式 2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 x 2 y 2 1有相同的焦点，并且经过点（3， 94
－2），求此椭圆的方程。
2
类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 例 3．椭圆 x 2 y 2 1(a>b>0)的半焦距为 c，若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标为 c，求 a2 b2
(Ⅰ)求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程;
5：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
弦长公式：若直线 l : y kx b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点， A（x1, y1), B(x2 , y2 ) 则
弦长 AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 1 k 2 x1 x2
5
举一反三【变式 1】已知直线 l：y=2x+m 与椭圆 C： x2 y2 1 交于 A、B 两点 54
(1) 求 m 的取值范围
(2) 若|AB|= 5 15 ，求 m 的值 6
例 9、已知椭圆 C： x2 y2 1 ，直线 l:y=kx+1,与 C 交于 AB 两点，k 为何值时，OA⊥OB. 4
椭圆专题复习讲义
椭圆专题考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用[例1 ] (湖北部分重点中学高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4aB ．2(a －c)C ．2(a+c)D ．以上答案均有可能【变式训练】1.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ）A.3B.6C.12D.242.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ． 5B ． 7C ．13D ． 15题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.【变式训练】3. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【变式训练】5.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A .45 B .23 C .22D .216.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值【变式训练】7.已知点B A ,是椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）上两点,且BO AO λ=,则λ=8.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F PF P F P F P F P F ++++++=________________考点3 椭圆的最值问题[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．【变式训练】9.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 10. P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值11.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP 3=． （1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．[例7 ]、从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点1F ,A 为椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点,且(0)AB OP λλ=>.⑴、求该椭圆的离心率.⑵、若该椭圆的准线方程是25x =±，求椭圆方程.【变式训练】题型：椭圆与直线的综合问题[例8 ]、设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点。
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为A．B．C．D．1【答案】B【解析】设点，所以，由此可得，，所以【考点】向量数量积以及二次函数最值．2.已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为，，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由椭圆的左右顶点分别为可得，，又由双曲线是为顶点，故可设双曲线的方程为，再由条件中双曲线离心率为，可建立关于的方程，从而得到双曲线的方程为；（2）根据题意可设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立求，，消去后可得：，解得或，因此，同理，将直线方程与双曲线方程联立，消去后可得，从而得证． .试题解析：（1）依题意可得，，∴设双曲线的方程为，又∵双曲线的离心率为，∴，即，∴双曲线的方程为；（2）设点，（，，），设直线的方程为，联立方程组，整理得：或，∴，同理可得，联立方程组，∴． .【考点】1.双曲线的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交综合题.3.已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）的最小值为，最大值为1.【解析】（1）先以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系，以与的大小关系进行分类讨论，从而即可得到动点所在的曲线；（2）当时，其曲线方程为椭圆，设，，的斜率为，则的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），求得△AOB面积，最后求出面积的最大值即可，从而解决问题．（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为.……4分(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且设，，的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组，得，同理可求得，面积=令则令所以，即当时，可求得,故，故的最小值为，最大值为1.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.4.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆焦点为，又，则，所以，焦点在x轴上，故选C.【考点】椭圆与双曲线的标准方程与几何性质.5.已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.【答案】(1)；(2)对称.【解析】(1)由圆方程可知圆心为，即，又因为离心率为，可得，根据椭圆中关系式，可求，椭圆方程即可写出；(2)由椭圆方程可知，将代入椭圆方程可得，可得，设直线，设，，然后和椭圆方程联立，消掉(或)得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理得出根与系数的关系，可得两直线的斜率.若直线是关于直线对称时两直线倾斜角互补，所以斜率互为相反数，把求得的两直线斜率相加若为0，则说明两直线对称，否则不对称.试题解析：（1）由题意得, 由可得, 所以所以椭圆的方程为. 4分（2）由题意可得点所以由题意可设直线,设由得由题意可得,即且6分因为 8分， 10分所以直线关于直线对称 12分.【考点】1.椭圆的基础知识；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次方程根与系数的关系.6.如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.(1)求椭圆的方程；(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2).【解析】（1）将点代入椭圆的方程得到，结合离心率且，即可求解出，进而写出椭圆的标准方程即可；（2）依题意知，直线的斜率存在，先设直线的方程为，并设，联立直线的方程与椭圆的方程，消去得到，根据二次方程根与系数的关系得到，由直线及的方程确定点的坐标（含），进而得到，进而整理出（注意关注并应用共线得到），从而可确定的取值.试题解析：(1)由在椭圆上得，①依题设知，则②②代入①解得故椭圆的方程为(2)由题意可设的斜率为，则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设，则有④在方程③中令得，的坐标为从而注意到共线，则有，即有所以⑤④代入⑤得又，所以.故存在常数符合题意.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.7.如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.(1)求椭圆的方程；(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2).【解析】（1）将点代入椭圆的方程得到，结合离心率且，即可求解出，进而写出椭圆的标准方程即可；（2）依题意知，直线的斜率存在，先设直线的方程为，并设，联立直线的方程与椭圆的方程，消去得到，根据二次方程根与系数的关系得到，由直线及的方程确定点的坐标（含），进而得到，进而整理出（注意关注并应用共线得到），从而可确定的取值.试题解析：(1)由在椭圆上得，①依题设知，则②②代入①解得故椭圆的方程为(2)由题意可设的斜率为，则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设，则有④在方程③中令得，的坐标为从而注意到共线，则有，即有所以⑤④代入⑤得又，所以.故存在常数符合题意.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.8.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，直线x－y－1＝0，x－y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B，C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝．【答案】8【解析】椭圆的左焦点为，右焦点为，所以直线x－y－1＝0过右焦点，直线x－y＋1＝0过左焦点，由对称性得,因此【考点】椭圆定义9.如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e＝, M, N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.（1）求椭圆的方程；（2）求MN的最小值；（3）以MN为直径的圆C是否过定点？【答案】（1）＝1；（2）；（3）(4－，0)和(4＋，0) .【解析】（1）因为：，且过点P(1, )，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；（2）设点M（4，m），N（4，n）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到mn=-15，又|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥，结合基本不等式即可求得MN的最小值；（3）利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程，再令y=0，得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点．试题解析：（1）由已知可得∴椭圆的方程为＝1 4分（2）设M（4，m），N（4，n），∵F1(－1，0)，F2(1，0)＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0 6分∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2∴|MN|的最小值为2 10分（3）以MN为直径的圆C的方程为：(x－4)2＋(y－)＝()2 12分令y＝0得(x－4)2＝－＝－mn＝15x＝4±所以圆C过定点(4－，0)和(4＋，0) 14分【考点】1.圆与圆锥曲线的综合；2.椭圆的简单性质．10.点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆和上运动，则的最小值为【答案】【解析】因为两圆和的圆心为，正好为椭圆的左右焦点，所以【考点】椭圆定义11.已知椭圆上一点到右焦点的距离是1，则点到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据椭圆的定义，点P到两个焦点距离和等于2a=即可.【考点】椭圆的定义.12.已知椭圆：（）和椭圆：（）的离心率相同，且.给出如下三个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】设椭圆、的离心率分别为、，则依题意有即，所以，所以即，从而有，所以②正确；假设两椭圆有公共点，则方程组有解，两式相减可得，一方面由与可得，所以，从而，即不存在使得成立，所以假设不成立，故①正确；由与可得即，也就是，故③错误，综上可知，正确结论的序号是①②.【考点】椭圆的标准方程及其性质.13.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合.所以椭圆的c=1，又因为与轴垂直，所以交点T的坐标为（1,2）代入椭圆方程即可得，又因为c=1，所以（舍去）.所以.通过计算四个选项可得应该选 B.本题由抛物线的焦点坐标，再列出一个关于的一个方程.即可求出e,但计算稍微复杂些，含根号式子的开方不熟练，可以通过把答案平方来求的结果.【考点】1.抛物线的知识.2.椭圆中三个基本量的方程.3.离心率的概念.4.双二次方程的解法.14.已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵椭圆，∴且，直线恒过定点，欲使其与椭圆恒有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即：，∴，选C.【考点】1、过定点的直线系；2、直线与椭圆的位置关系.15.设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若△是直角三角形，则△的面积等于（）A．48/5B．36/5C．16D．48/5或16【答案】A【解析】由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F1M|=m、|MF2|=n，由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt△中，由勾股定理可得n2－m2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△的面积是=故选A。
圆锥曲线中的弦长问题(含解析)
圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ）A ．2B C ．72D ．42．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．83．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．B ．4C ．2D ．14．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．,3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．,48⎣⎦D ．816⎣⎦5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52二、填空题6．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB 的最小值为_______.7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为32，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ．12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值.14．已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为43.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB 15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长.16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ） A ．3 B ．3C ．72D ．4【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时，，而,所以,故选C.考点：椭圆的性质2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A 【分析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．2B ．4C ．2D ．1【答案】A 【分析】过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2EFP π∠=，即可求得PE 的值. 【详解】如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ，设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知sin sin PF PEPEF EFP=∠∠，即cos sin 2sin m FEP FEP FEP∠=∠∠，所以2cos 2FEP ∠=，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=，则sin 21EFP FEP ∠=∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2EFP π∠=，在直角EFP △中，2EF =，4FEP π∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题.4．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．45,253⎡⎢⎣B ．85453⎡⎢⎣C ．535,48⎣⎦D ．535816⎣⎦【答案】B【分析】先利用等面积法可得：12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-，求解出12y y -的值，然后根据弦长公式12AB y =-的取值范围. 【详解】设内切圆半径为r ，由题意得12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-得1228,43y y e ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，1212AB y y y =-=-∈⎣. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52【答案】B 【分析】设点()1,P t -，利用4PF FQ =求得点Q 的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF . 【详解】抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.设点()1,P t -、(),Q x y ，则()2,PF t =-，()1,FQ x y =-，4PF FQ =，可得()412x -=，解得32x =， 由抛物线的定义可得35122QF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、填空题6．已知P为椭圆221 164xy+=上的一个动点，过点P作圆()2211x y-+=的两条切线，切点分别是A，B，则AB的最小值为_______..【答案】422.【分析】连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，求得圆心和半径，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，运用勾股定理和三角形面积公式可得AB，设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，运用两点的距离公式和同角的平方关系，结合配方和二次函数的最值求法，可得所求最小值.【详解】如图，连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，圆()2211x y-+=的圆心为()1,0C，半径1r=，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，则21PA PB PC==-又222121221PCPA ACAB AHPC PC PC-⋅====-设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，可得()()2 2222111 4cos12sin12cos8cos512cos33PCθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭，当1cos 3θ=时，2PC 取得最小值为113，此时AB 取得最小值为11=.故答案为：11. 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，涉及圆的相切问题，属于中档题7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 【答案】10 【分析】首先根据已知条件得到抛物线方程为28xy ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-，再求焦点弦长即可. 【详解】由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28xy .设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，其中2118x y =-，2228x y =-. 由28x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，化简得21148x x y x =-+①，同理可得在点B 处的切线方程为22248x x y x =-+②.联立①②得122M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，12k ∴=-，()1212144462y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-，1210AB p y y ∴=--=.故答案为：10 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.【分析】由题意可得PF 2平行y 轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵原点O 是F 1F 2的中点，∴PF 2平行y 轴，即PF 2垂直于x 轴， ∵c =3，∴|F 1F 2|=6，设|PF 1|=x，根据椭圆定义可知2PF x =，∴22)36x x +=，解得2x =.. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.【答案】（1）22193x y +=；（232. 【分析】（1）由12:3e e =可得得42243840c a c a -+=，化为2232a c =，从而3a b ，2c b =， )2,0Ab ，()0,B b -，则直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得3b =（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ，利用韦达定理、弦长公式表示出弦长，结合配方法可得答案. 【详解】（1）由题意知1c e a =，222222c b c ae --==， 因为12:3e e =22232c c a a c-=⋅，222223a c a c -=，将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a cac --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b，c =，所以),0A，()0,B b -，所以直线AB的方程为y x b =-， 与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ， 得()222124260kxknx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m k m∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=，将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=，由()*式可得()()()22222223641339129336k m kmk m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以M N MN x =-==设213k t +=，则1t >，2MN ==22<，所以当4t =，即1k =±时，MN 最大，且最大值为322. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为22. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值 【答案】（1）2212x y +=；（2）1t =±.【分析】（1）求出,a b 可求椭圆的方程.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和弦长公式公式可得关于t 的方程，解方程后可得t 的值.【详解】解：（1）因为1222PF PF +=P 轨迹为椭圆，并且长轴长222a =， 因为焦点坐标分别为()1,0-，()1,0，所以22c =，又因为222a b c =+，所以1b =，所以P 点运动轨迹椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，因为22220x y y x t⎧+-=⎨=+⎩，消元化简得2234220x tx t ++-=，所以()2221612222480t t t ∆=--=->，1221243223t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以3AB ==又因为3AB =3=， 解得1t =±，满足>0∆，所以1t =±. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ． 【答案】（1）28y x =；（2）30. 【分析】(1)根据椭圆离心率的关系可得2a =，进而根据抛物线的性质求出方程即可. (2) 设直线:AB x my n =+，联立28y x =得出韦达定理，再结合抛物线的方程与20OA OB ⋅=化简可得10n =，再根据抛物线的焦半径公式以及弦长公式求得2m =±，进而求得||AB . 【详解】解析：（1）因为椭圆222:1x E y a +=22134a a -=， 解得24a =，所以2a =， 而22p=，所以4p =， 从而得抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立28y x =得2880y my n --=， 设()()1122,,,A x y B x y （其中120y y <） 所以12128,8y y m y y n +=⋅=-，且0n >，因为20OA OB ⋅=，所以22121212122064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，2820n n -=，所以(10)(2)0n n -+=，故10n =或2n =-（舍）， 直线:10AB x my =+， 因为PAB △的周长为2||4AB + 所以||||||2||4PA PB AB AB ++=+. 即||||||4PA PB AB +=+，因为()21212||||424824PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12||AB y y =-=所以2820m +=解得2m =±，所以||30AB ==.【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理与弦长公式、焦半径公式求解的问题，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.【答案】（1）22143x y +=（2）257【分析】（1）由已知条件推导出1c =，12c a =，由此能求出椭圆的方程． （2）依题意可得直线1MF 的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求出两交点的横坐标，再根据弦长公式计算可得； 【详解】 解：（1）椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限），1c ∴=，12c a =，解得2a =， 2223b a c ∴=-=，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）依题意可得()11,0F -，31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1MF ：3344y x =+ 联立方程得223344143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得22118390x x +-=，则()()121390x x -+=解得11x =，2137x =-所以121325177MN x ⎤⎛⎫=-=--= ⎪⎥⎝⎭⎦【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）245. 【分析】（1）求出椭圆的右集合，即抛物线的焦点，从而可得p 值，得抛物线方程，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，由切点设出切线方程11:()PA y y k x x -=-，由相切求出斜率k ，得切线PA 方程，同理得PB 方程，代入P 点坐标后可得过,A B 两点的直线方程，得证其过焦点；（2）由（1）中直线AB 方程与抛物线方程联立后消元应用韦达定理，然后可证得PA PB ⊥，又可证得PF AB ⊥，这样由直角三角形性质可得PF【详解】（1）证明：因为椭圆222:198x y C +=的右焦点()1,0F ，所以12p=，即2p =.所以抛物线1C 的方程为24y x =. 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，设()111:PA y y k x x -=-， 联立()1112,4,y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩消x 得211114440yy y x k k -+-=， 由0∆=得2111110k y k x -+=.又2114y x =，故2211111104k y k y -+=，故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为()1112y y x x y -=-， 即1122yy x x =+.同理22PB k y =，直线PB 的方程为2222yy x x =+. 又点P 在直线PA ，PB 上，所以112222,22,ay x ay x =-+⎧⎨=-+⎩故()11,A x y ，()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+，令0y =，得1x =，所以直线AB 过焦点F .（2）解：由（1）知联立222,4,ay x y x =-+⎧⎨=⎩消x 得2240y ay --=，故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=-， 故直线PA 与直线PB垂直，从而10AB ==.因为2AB k a =，0112PF a ak -==---，所以1PF AB k k ⋅=-， 故PF AB ⊥，所以6824105PF ⨯==. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，解题方法是设而不求的思想方法，本题中设出两切点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，由直线AB 方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后代入PA PB k k ⋅可得垂直．这是直线与圆锥曲线相交问题常用的方法．14．已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【分析】（1）由点到直线的距离得12b a =，再由长轴长可求得,a b 得椭圆方程；（2）直线AB 的斜率一定存在，设方程为()12y k x +=-，代入椭圆方程整理，设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，由中点坐标公式求得k ，再由弦长公式求得弦长． 【详解】解：（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a =b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =-- 设()()1122,,,A x y B x y 联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k +-⋅==+所以12AB x =-==【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查求直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理，得1212,x x x x +，由弦长公式得弦长．15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长. 【答案】（1）8；（2）6. 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，求出12x x +的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段AB 的长； （2）设直线l 的方程为32x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，可得出129y y =-，由2AF =求得1x 的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得2x 的值，利用抛物线的定义可求得BF 的长. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 由于直线l 过点F ，且该直线的倾斜角为60，则直线l的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，联立2326y x y x⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，消去y 并整理得29504x x -+=，259160∆=-=>， 由韦达定理可得125x x +=，由抛物线的焦点弦长公式可得123538AB x x =++=+=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线l 不可能与x 轴重合，设直线l 的方程为32x my =+， 联立2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y my --=，()23610m ∆=+>，由韦达定理可得126y y m +=，129y y =-，1322AF x =+=，可得112x =，21163y x ∴==，129y y ∴=-，则22218127y y ==，222962y x ∴==，因此，2362BF x =+=.【点睛】有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.【答案】（1）2214y x +=；（2【分析】（1）设M 、P ，利用相关点法即可求解.（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，()00,Q y ∴，点M 是线段PQ 中点，002,x x y y ∴==，又()00,P x y 在圆224x y +=上，()2224x y +=， 即点M 的轨迹方程为2214y x +=. （2）联立22114y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，25230x x --=， ()22600∆=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1225x x +=，1235x x =，12AB x ∴=-===. 【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解. （2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解. （3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.。
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直线与椭圆的综合应用
直线0=++C By Ax 与椭圆122
22=+b
y a x 联立得：0)(2)(2222222222=-+++B b C a ACx a x B b A a 所以我们有，结论一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a B b C a x x B b A a AC a x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212
222221)
(2B b A a A a C b y y B b A a BC b y y 2
2222212212B b A a AB b a y x y x +=+ 结论二：2
2222222222))((2||B b A a C B b A a B A ab AB +-++= 结论三：0022222>-+⇒>∆C B b A a
焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C 交于不同两点A,B,且线段AB 的中点M 不在圆
椭圆的右顶点C,证明这样的直线l恒过定点,并求出该点坐标.
8.已知椭圆C 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,F 1、F 2分别为其左、右焦点,P 在椭圆上任意一点,且P F P F 21⋅的最大值为1,最小值为-2.
(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 为椭圆C 的右顶点,直线l 是与椭圆交于M 、N 两点的任意一条直线,若AN AM ⊥,证明直线l 过定点.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足0=⋅DB DA ,试判断直线l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
课后习题
1.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4 （1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N 两点，且MN =
l 的方程.
2.过椭圆
+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的面积.
3.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为√22,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C 的方程. (2)当△AMN 的面积为
√103时,求k 的值.
4.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=√32. (1)求椭圆C 的方程.
(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.求△PAB 面积的最大值.
6．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，且离心率e ＝223
. (1)求椭圆的方程；
(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为－12
，求直线l 斜率的取值范围．
7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√2
2,其中左焦点为F(-2,0).
(1)求椭圆C 的方程.
(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.
8.设椭圆C ：+=1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.
(1)求C 的方程. (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标.
9.已知点P 坐标为（4，2），椭圆方程为19
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2=+y x ，问：是否存在过点P 的直线，使得直线与椭圆相交的交点的中点恰为P 点？
10.设椭圆E:x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)过M(2,√2),N(√6,1)两点,O 为坐标原点.
(1)求椭圆E 的方程.
(2)若直线y=kx+4(k>0)与圆x 2+y 2=83相切,并且与椭圆E 相交于A,B 两点,求证:OA →⊥OB →
.
11.(2016·烟台高二检测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为√33,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33. (1)求椭圆的方程.(2)设A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C,D 两点.若AC →·DB →+AD →·CB →
=8,求k 的值.。