圆中最值问题的常见解法
一道圆最值问题的十种解法
本题是一道数 学竞赛题， 适 合于初 中生与 高 中 生 ．初 审 此 题 ， 我 们 很 自然 地 想 到 要 用 到 圆的几何性质来解 决此题． 最 小值 问题 比较 简 单 ，当 点 Ｐ在 圆 上 运 动 的 时 候 ， 我 们 会 发 现 如 果 点 Ｐ异 于 、Ｂ两 点， 则Ｐ ＡＢ可组 成 一个 三角形， 此时 ＰＡ＋ Ｐ Ｂ＞Ａ Ｂ．因此最 小值是 当点 Ｐ在点 或者点 Ｂ时取 到， 长度 为 ６ ． 求 最大值是一个难 点， 是 我们 本次研究 的 主题 ． 笔者 就求 最大 值 问题给 出了 １ ０种 解 法 ． 这１ ０ 种 解 法 涉 及 到 了 平 面 几 何 、 三 角 、 解 析 几何 、函数 、微积分 、不等式等领域 ． 本题 是 个很 好 的载体， 有助于我ｔ ｒ Ｊ ） Ｊ ｎ 深对数学思想 及 方 法 的认 识 ． 几 何 方 法 解 法 一 ：由观 察 ，我 们 猜 想 点 Ｊ Ｆ ） 在 图１ 所 示 点 Ｑ位 置 （ 即弦Ａ Ｂ 的中垂 线与优 弧 Ａ召的 交 点） 时， Ｐ ＋Ｐ Ｂ取得 最大 值． 这样 猜想 的 直 观 依 据 是 点 Ｐ在 、Ｂ 时 取 得 最 小 值 ，由 圆
弧 ＡＱ且 Ｊ Ｆ ） Ａ ＜ ＱＡ ＝ ＱＢ ＜ Ｐ Ｂ 的情况 （ 不
满足 此 条 件 的Ｊ Ｆ ） 显然 无 需 考 虑） ． 延 长 Ｐ 到
点 ， 使得 Ｃ ＝ Ａ Ｑ， 连 结 Ｑ．在 ＢＰ上 取
一
一
、
点 Ｄ， 使得 ＢＤ ＝ Ｂ Ｑ． 连 结 ＤＱ．由辅助线
我ｆ 门有 尸Ａ ＋ Ｊ Ｆ ） Ｂ ＝ ＱＡ ＋ ＱＢ — ＣＰ ＋ ＤＰ，
数 学教 学
５ 一
线互相 垂直 的四边形．我们 知道， 这种 四边形 有 一 个 几 何 性 质 ：四边 的平 方 和等 于 ８ Ｒ２ 或 者 说对 角线 被分成 的四部 分 的平方 和等 于 ４ Ｒ ． 因此我们有 Ａ Ｃ ２ ＋ＢＣ２ ＋ｐ ｉ Ｃ２ ＋ｐＣ２ ：４ Ｒ２ ， 则
借助几何性质解决圆中的最值问题
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求xy－－21的最大、最小值； 解 法一 设 k＝xy－－21， 则 y－2＝kx－k，即 kx－y＋2－k＝0. ∵P(x，y)为圆 C 上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离 d＝|－2k1＋＋2k－2 k|＝|21－＋3kk2|≤1，
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∴3t＋＋1t＝－12.∴t＝－73， ∵CA＝ 1＋4＝ 5， ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2 9－5＝4.
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思维升华
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直 得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾 股定理解决问题.
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借助几何性质解决圆中的最值问题
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高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把 常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.
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类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
例 1 已知圆 C 经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心 C 在直线 y＝21x 上. (1)求圆 C 的方程； 解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为 y＝－x＋3，
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即|2－3k|≤ 1＋k2， 平方得 8k2－12k＋3≤0， 解得3－4 3≤k≤3＋4 3， 故xy－－21的最大值为3＋4 3，最小值为3－4 3；
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(2)求x－2y的最大、最小值.
解 设b＝x－2y，即x－2y－b＝0. ∵P(x，y)为圆C上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线的距离 d＝ 12|＋－（2－－b2| ）2＝|b＋52|≤1，即|b＋2|≤ 5， 则－2－ 5≤b≤ 5－2，
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
与圆有关的最值问题
a 2 1 2b2 a 1 a 1 或 r 2 b 1 b 1 a b 2 2 所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB
2 2
是圆x y 2 x 2 y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x y 最大为100 5 5
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y
法二：x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 可看作圆 x ( y 1) 1上的点到坐标原点距离
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（3）法一：由（）知 1 : 3 sin k , 得 sin k cos k 3 1 cos
点评：在线性规划中，求形如 x a y b 的
2 2
最值问题，总是转化为求圆 x a y b r
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
人教版九年级上圆中常见最值问题解法探索
圆中常见最值问题解法探索最值问题成为中考的典型考题，也是各章创新考题之一.下面就把圆中常见的最值问题归纳一下，供学习时借鉴.一、直径最大弦型最大值模型1. 最值的源体是圆的弦例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=21AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大值为最大MN =225．所以应该填．点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.2.动点到定弦的最大值例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝23×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值. 跟踪专练（2019年杭州）如图3，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA 。
与圆有关的最值问题(1)
x2y24y10 y x
求: y
（1） 的取值范围；
x
（2）y－ 2 x的取值范围。
小 结：
最值问题常见的解法有两种:几何法 和 代数法。
若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形来解决,这就是几何法——数形结 合的方法;
已知圆的方程 x2 + y2 = 2及一点 P ( 2, 4 )，
设计问题：
问题 1：求圆上的动点与点P的连线的斜率的 最值? （参见例题）
问题 2：求圆上的点到点P 的距离的最大
值和最小值。
讨论问题 2：
已知圆的方程 x2 + y2 = 4 及一条直线 x－y－5 = 0，
试试看
根据以上条件，你能设计出与圆有关的 最值问题吗？
此最大值（O为坐标原点）。
与圆有关的最值问题
1、点与圆的位置关系及其充要条件(P ) 56
2、直线与圆的位置关系及其充要条件(P ) 56
3、圆与圆的位置关系及其充要条件(P ) 60
问题：
已知圆 x2 y2 8x 2 y 12 0 内
一点 A ( 3, 0 )，求经过点 A 的最长弦 和最短弦所在的直线方程.
例：(P )已知直线:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 62 圆C：（x-1)2 ( y 2)2 25
已知圆的方程 x2 + y2 = 4 及一条直线 x－y－5 = 0，
设计问题：
已知圆的方程 x2 + y2 = 4 及一条直线 x－y－5 = 0， 求圆上点到直线的距离的最大值和最小值。
练习：
1、从直线 y = 3 上任一点 向圆 (x + 2)2 + (y + 2)2 = 1 作切线, 问：所作切线中切线长最小值是多少?
初中圆的最值问题三种解法
在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。
以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。
然后，利用几何性质和定理来分析问题。
对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。
通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。
2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。
首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。
然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。
最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。
3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。
首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。
然后，将几何关系转化为代数方程或函数。
接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。
最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。
与圆有关的最值问题的解题策略例说
与抛物线## %#F" 交于不同的两点6)7!再以线段
67 为直径作圆 L%设 L 为该圆的圆心&!
试证抛物线顶点落在圆 L 的圆周上!并求出圆
L 的面积最小时这条直线67 的方程!
解析如 图 $!由 题 知!直 线
67 不可能与" 轴平行!于是可
设它的方程为*#%"&#F!再设
6%"6 !#6 &!7%"7 !#7 &! 则 由
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复习
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备考
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的最小值为0 槡!$!这时 !$
+
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点评本题的计 算 量 不 大但 学 生 的 思 维 要 求 比
% 函数或方程法
函数与方程思想是数学中最基本的思想方法之
一!圆 的 方 程 本 身 就 是 方 程!而 方 程 又 可 以 向 函 数 转
化!最 终 转 化 为 函 数 的 最 值 问 题!函 数 与 方 程 之 间 的
相互转化!体现了它们之间的对立统一关系!
例! 设F ,(且为常数!过点C%#F!(&的直线
所以2TB94B4+!=B4+:%
B44+(B=4+ 4B4+ ( B=4+
"$2TB!&槡$B6@! %
槡#($&%2TB!&槡$B6@!&
圆上有动点的几何最值问题及其解法
圆上有动点的几何最值问题及其解法
几何最值问题是数学中一类常见的问题，它涉及到求解几何图形中的最大值或最小值。
而圆上有动点的几何最值问题又是一类比较特殊的几何最值问题，它涉及到圆内某点的最大值或最小值的求解。
圆上有动点的几何最值问题可以用三种不同的方法来解决：
利用微积分的技术，利用极坐标系来求解。
利用简单几何的方法，求解圆上最大值或最小值的位置。
利用几何图形的性质，求解圆上最大值或最小值的位置。
首先，利用微积分的技术，利用极坐标系来求解圆上有动点的几何最值问题，即求解圆上点的最大值或最小值的位置。
极坐标系的定义是：以原点O为圆心，以极轴为半径的圆绕极轴旋转，经过极轴的曲线形成的极坐标系。
在极坐标系中，点P(x,y)在极轴上的投影为点P’，其坐标为(r,θ)，其中r表示点P到原点O的距离，θ表示点P与极轴的夹角。
接着，利用简单几何的方法，求解圆上最大值或最小值的位置。
首先，将圆分成若干个等份，即将圆分成N等份，每等份的弧度为2π/N。
然后，在每个等份的弧段上，取一点，并计算这些点的值，最后取最大值或最小值所在的点，即得到最大值或最小值的位置。
最后，利用几何图形的性质，求解圆上最大值或最小值的位置。
例如，若圆上的动点的值满足某种函数关系，则可以利用函数的导数来求解最大值或最小值的位置；若圆上的动点的值满足某种几何关系，则可以利用几何图形的性质来求解最大值或最小值的位置。
以上就是圆上有动点的几何最值问题及其解法的介绍。
总的来说，圆上有动点的几何最值问题可以利用微积分的技术，简单几何的方法和几何图形的性质来求解，从而得到最大值或最小值的位置。
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分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
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例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.
解：设点 ，则
，对称轴是 ，所以，当 时，
当 时， .
评析：涉及多动点问题，可以分步完成，转化为一个动点问题，再用几何三角形性质与函数法解决，这常常是行之有效的方法.值得一提的是，求 的最值时，如果用观察图形的方法求解，容易误入歧途，求得错误答案 .由此可见：用图形解题时，一定要有充分的依据，不能只凭直觉.否则常会被图形所蒙蔽.
分析：由于四边形ADBE的对角线垂直，所以，其面积为 ,需要求弦 的长，可以将这两条弦表示为弦心距 的函数，由于 ，由此可想到用均值不等式求最大值.
解：设弦AB、CD的弦心距分别为 ，则有 ，所以
，当且仅当
时，四边形ADBE面积取得最大值6.
例4.过点( ，0)引直线l与曲线y＝ 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()．
，设点 ，显然点 在圆
上，所以 表示的几何意义是圆 上动点 与定点 的连线斜率，先算直线 ： 与圆 相切时的斜率：由 ，解得：
，所以 ，所以 的最大值是 ，最小值是 .
评析：若此题用求导等其它方法求解，难度较大，而通过配方等变形手段获得了比较简单的解题思路，解决的关键有两处：一是通过配方变形，找到了几何意义；二是通过圆的参数方程构造一个单位圆，然后直线与圆的相切关系，求出了两个极端斜率，从而求出原函数的最值.
A． B． C． D．
分析：由于曲线y＝ 是半圆，弦长 与弦心距 都可以表示为直线l的斜率k的函数.然后根据函数的结构特点确定解决方法.
解：由题意可知：直线l的斜率k存在，可设直线l方程为： ，弦心距 ，所以
，当且仅当 ，由题可知： ，所以
评析：通过例3、例4的解答过程看出：利用均值不等式求最值，关键在于凑出定值，根据结构特点，凑和为定值，凑积为定值，当然还需要满足正数条件与等号成立.还值得一提的是，例4有更简单的解法： ，当 此时 是等腰直角三角形， .
相关问题：（1）设圆满足:(1)截 轴所得弦长为2，（2）被 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线 距离最小的圆的方程.
（2）已知圆C过点A（0,2），且在 轴上截得的弦MN的长为4.设 .
（3）已知圆 ，过 正半轴上动点 作圆 的两切线 ，切点是 ，求
的最小值.
三、构造点线距离求最值
根据距离的最小性求最值，又是一个重要求最值的方法，因为直线外的点和直线上的点之间的连线中垂线段最短，所以两点之间的距离最小，即需求点线距离为两点之间的距离最小值.
例5.已知P是直线 上的动点，PA,PB是圆C： 的两切线，A、B为切点，C为圆心。求四边形PACB面积最小值.
分析：四边形PACB面积可分割为两个全等的直角三角形面积之和，即 ,所以即需求 的最小值， 的最小值即为点 到直线 的距离.
上的点，则 的最大值为.9
二、利用均值不等式求最值
利用均值不等式是解决圆中最值问题的重要方法，使用的要点是：凑和为定值或者凑积为定值.特别是面对多元最值问题，首先考虑是否具有用均值不等式的时机，其次再考虑其它方法.
例3.已知圆C： ，过点P（2,4）作两条相互垂直的直线分别交于圆C于点A、B、D、E，求四边形ADBE面积的最大值.
相关问题：（1）已知点 ，点 在圆 上运动，求 的最大值和最小值.88,72.
（2）已知实数 满足 ，不等式 对任意满足条件的实数 恒成立，求实数 的取值范围.
总之，圆中最值问题的解决，思路丰富多彩，每种思路各有利弊，在解决问题时，关键在于具体问题具体分析，根据各种方法的使用时机，做出选择，在选择的徘徊路口时，需要做尝试与体验，在体验中增长解题智慧，不断积累解题经验，才能达到优化解题思路的目的.
解：设 ，要求 ，即需求半径 的最小值，当圆 与直线 相切时，半径 取最小值.此时， 的最小值就是圆心 到直线 的距离.所以
评析：解决的关键在于构造辅助圆，将求目标函数的最值转化为半径最小值，进而转化为求点到直线的距离.
相关问题：（1）若 满足 ，则代数式 的最小值为. .(2)已知点 求 面积的最大值.20
分析：将圆方程配方为标准方程，再用三角换元，可以将目标函数化为正弦型函数，利用三角函数有界性解决.
解：将已知圆方程配方得： ，令 ，则
所以当 时， ，当
时， .
评析：面对圆方程问题时，需要消元降次时，可以首先考虑三角换元，将问题转化为三角函数问题，借助三角变形解决.值得一提的是，这种方法主要适用于整式型函数的最值问题.如果是求分式函数最值，采取三角换元，将会带来麻烦，所以用这样的方法不是最佳选择.
相关问题：（1）点 在曲线 上运动，求 的最大值与最小值.
最小值是 ,最大值是 .
（2）求 的最大值与最小值.最小值是 ,最大值是 .
五、利用三角换元求最值
众所皆知：任何一个圆的标准方程都能化归为 ，对比三角函数的同角关系： ，可以采取三角换元：令 ，则 .
这样可以达到消元降次的目的.
例8.已知圆 ，求 的最大值与最小值.
四、构造斜率求最值
如果已知直线上两点的坐标是 ，则直线 的斜率是 ，根据这样的结构，可以解决有关分式函数的最值问题.解决思路是将分式函数构造出斜率意义，在求斜率的最值，即可得到目标函数最值.
例7.求函数 的最大值与最小值.
分析：配方，将原函数转化为一个斜率表达式，构造辅助圆解决.
解：将原函数配方得：
解：由圆方程 ，所以圆心为C（1,1），半径r=1,所以 ，所以 .
评析：解决此题的关键在于将四边形面积转化为两点之间的距离，最后利用点线距离求最小值.
例6.已知点 在直线 ，其中 分别是双曲线 的半实轴、半虚轴、半焦距长，求 的最小值.
分析：求二元函数最值，首先可以考虑消元变成二次函数求，但是参数太多，运算比较复杂.所以再考虑构造辅助圆，将最小值转化为点线距离.