等比数列的概念、性质(优质课)教案

等比数列的概念、性质（优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系教学过程：1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ()0q ≠表示。

2. 等比数列的通项公式11n n a a q -=3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中2G xy = 4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则m n p q a a a a = （3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n nn a a a qq q-==当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则nn a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数xy cq =的图像上的一群孤立的点。

根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论： （1） 等比数列{}n a 递增⇔{101a q >> 或{1001a q <<< （2） 等比数列{}n a 递减⇔{1001a q ><< 或{101a q <>（3） 等比数列{}n a 为常数列⇔1q = （4） 等比数列{}n a 为摆动数列⇔0q <类型一： 等比数列的判定及通项公式的求解例1.（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A.数列{}1n a +不可能是等比数列B.数列{}n ka （k 为常数） 一定是等比数列C.若0n a >，则{}ln n a 一定是等差数列D.数列{}2n a 是等比数列，其公比与数列{}n a 的公比相等解析：A 项，若数列{}n a 为非-1的常数列，则{}1n a +是非零的常数列，显然是公比为1的等比数列，故该选项不正确；B 项，若0k =，则0n ka =，此时数列{}n ka 不是等比数列，所以该选项不正确；D 项，因为22112n n n n a a a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以若数列{}n a 为等比数列，则数列{}2n a 是等比数列，其公比为数列{}n a 的公比的平方，所以该选项不正确，所以选C 答案：C练习1.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A.139,,a a a 成等比数列 B.236,,a a a 成等比数列 C.248,,a a a 成等比数列 D.369,,a a a 成等比数列 答案：D练习2.已知数列{}n a 中，()111,212n n a a a n -==+≥ （1） 证明：数列{}1n a + 是等比数列 （2） 求n a答案：（1）数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列（2）21nn a =-例2.已知等比数列{}n a 中，0,n a >且1322,4a a a ==+，求 n a 解析：设等比数列{}n a 的公比为q0,0n a q >∴>由1322,4,a a a ==+得2224,q q =+即220,q q --= 解得2q = 或1q =-（舍去），因此2q =所以{}n a 的通项公式为()1222n n n a n N -+=⋅=∈答案：()1222n n n a n N -+=⋅=∈练习3.已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，求7a 答案：748a =练习4.若等比数列{}n a 满足116,nn n a a += 则公比为 （）A.2B.4C.8D.16 答案：B类型二： 等比数列的性质例3.（2015广东梅州摸底）在等比数列{}n a 中，0,n a >且21431,9,a a a a =-=-则45a a += （） A.27 B.16 C.81 D.36解析：设公比为q 由已知得0q > 因为12341,9,a a a a +=+=所以234129,a a q a a +==+ 解得3q =或3-（舍），故 ()3451227a a a a q +=+⋅= 答案：A练习5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1237895,10,a a a a a a == 则456a a a = （）A. B.7 C.6 D. 答案：A练习6.已知数列{}n a 为等比数列，若4610,a a += 则1737392a a a a a a ++ 的值为（） A.10 B.20 C.60 D.100 答案：D例4.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122,a a a a e += 则12320ln ln ln ...ln a a a a ++++=解析：因为等比数列{}n a 中，1011912a a a a = 所以由510119122a a a a e += 可解得51011a a e = 所以()()()1051220122010111011ln ln ...ln ln ...ln 10ln 10ln 50a a a a a a a a a a e +++=⋅⋅⋅=⋅=⋅==答案：50练习7.若等比数列{}n a 满足241,2a a = 则2135a a a = ________________ 答案：14练习8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若28641,2,a a a a ==+ 则6a 的值是_________ 答案：4类型三：等比数列与指数函数的关系；等差数列与等比数列的结合 例5.已知等比数列{}n a 中，246,54,a a ==求5a解析：由24a a ≠知等比数列{}n a 的公比1q ≠，设其通项公式为nn a c q =⋅由已知得{2244654a c q a c q =⋅==⋅= 解得233c q ==⎧⎨⎩ 或233c q ==-⎧⎨⎩当3q =时()55231623a =⨯-=；当3q =-时()55231623a =⨯-=-；故5162a =或5162a =-答案：5162a =或5162a =- 练习9.已知{}n a 是等差数列，公差d ≠ 且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++ （）A.716B.916C.1116D.1316答案：D 练习10.设{}n a 为公比的等比数列，若2012a 和2013a 是方程24830x x -+=的两根，则20142015a a +=______________答案：18例6.（2015山西太原质检）设等差数列{}n a 的公差不为0，19,a d =若ka 是1a 与2ka 的等比中项，则k =（）A.2B.4C.6D.8解析：由题意得()()()()12118,2128k k a a k d k d a a k d k d =+-=+=+-=+又212k k a a a =⋅所以()()228928k d d k d +=+即2280k k --=解得4k =或2k =-（舍）答案：B练习11.各项均为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠且2311,,2a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++的值为（）A.12B.12C.12D.12或12答案：C练习12.已知,,a b c 成等比数列，如果,,a x b 和,,b y c 都成等差数列，则a cx y+= __________ 答案：21. 公差不为零的等差数列{a n }，a 2，a 3，a 7成等比数列，则它的公比为( ) A ．－4 B ．－14 C.14 D ．4答案：D2. 若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 答案：B3. 若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B4. 在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( )A ．90B ．30C ．70D ．40 答案：D5. 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 答案：D6. 等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝( ) A ．39 B ．310 C ．311 D ．312 答案：B7. 在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3 答案：D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：C2. 在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于( )A.32B.23C.16 D ．6 答案： A3. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12答案：D4. 已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．243 答案：A5. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝±3，ac ＝9 答案：B6. 已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝__________. 答案： 3·2n －37. 已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是________．答案：－12568. 已知等比数{a n }中，a 1＝127，a 7＝27，求a n .答案：由a 7＝a 1q 6，得27＝127·q 6， ∴q 6＝272＝36，∴q ＝±3. 当q ＝3时，a n ＝a 1q n －1＝127×3n －1＝3n －4； 当q ＝－3时，a n ＝a 1q n －1＝127×(－3)n －1＝－(－3)－3·(－3)n －1＝－(－3)n －4. 故a n ＝3n －4或a n ＝－(－3)n －4.9. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案：410. 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于________．答案：－311. 已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 答案：(1)∵a 1a 2a 3＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1、a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.能力提升12. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215 答案： B13. 如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n}是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列 答案：A14. 在等比数列{a n }中，公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．当q >1时，{a n }为递增数列 B ．当0<q <1时，{a n }为递增数列 C ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2>0成立 D ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2a n ＋4>0成立 答案：C15. 等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( ) A ．(－2)n－1B ．－(－2)n－1C ．(－2)nD ．－(－2)n答案： A16. 各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12答案： C17. 在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81答案：B18. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x ( ) A ．依次成等差数列 B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列答案：C19. 在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________． 答案：64820. 从盛满20 L 纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1 L 混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)． 答案：15.521. 已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( ) A ．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列答案：A22.公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.答案：1623.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．答案：3或2724. {a n}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.答案：∵{a n}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4.当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝54，∴q4＝14.∴a11＝a3q8＝64或1.25.设{a n}是各项均为正数的等比数列，b n＝log2a n，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式a n.答案：由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1· a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵a22＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，设等比数列{a n}的公比为q，得log2(2q)·log2(2q)＝－3.∴1－(log2q)2＝－3，∴log2q＝±2.解得q＝4或14，∴所求等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .26. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式． 答案：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.27. 在等比数列{a n }中， (1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7； (2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q ； (3)若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3. 答案：(1)∵a 4＝a 1q 3，∴a 1＝a 4q 3＝27－27＝－1.∴a 7＝a 1q 6＝－(－3)6＝－729.(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27q ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27q ＝－23. (3)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15， ①a 1q 3－a 1q ＝6. ②由①÷②，得q 2＋1q ＝52，所以q ＝12，或q ＝2. 当q ＝12时，a 1＝－16，a 3＝a 1q 2＝－4； 当q ＝2时，a 1＝1，a 3＝a 1q 2＝4.28. 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 答案：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3a 1q 4＝81， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2. 29. 设数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3…)． 求证：数列{S n n}是等比数列． 答案：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n. ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2S n n . 故{S n n}是以2为公比的等比数列．。