重积分的定义与性质
三重积分的定义及性质
0
f x, y, z f x, y, z
Байду номын сангаас
2
1
f
x,
y, z dv
f x, y, z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
4、设积分区域 关于原点对称，则
f x, y, z dv
0
1、设积分区域 关于 xoy 坐标面对称，则
f x, y, z dv
0
2
1
f
x,
y, z dv
f x, y,z f x, y, z f x, y,z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
2、设积分区域 关于 yoz 坐标面对称，则
n
并作和： f i ,i , i vi , i 1
设 是各小区域的直径中的最大值. 如果极限：
n
lim f
0 i1
i ,i , i
vi 存在,
则称此极限为函数 f x, y, z 在区域 上的三重积分.
记作： f x, y, z dv
i ,i , i
vi
定义 设 f x, y, z 是有界闭区域 上的有界函数.将
闭区域 任意分成 n 个小闭区域： v1 , v2 , …, vn ，其中 vi 也代表第 i 个小块的体积.
在每个 vi 上任取一点 i ,i , i ,作乘积：
f i ,i , i vi ( i 1, 2, , n ),
例 计算
重积分的计算方法及应用
重积分的计算方法及应用重积分是多元函数积分的一种形式，应用广泛。
本文将介绍重积分的计算方法和应用。
一、重积分的计算方法1. 重积分的定义重积分是对多元函数在一个具有面积的区域上进行的积分，它可以看作是对一个平面上的区域进行积分。
假设在二元函数f(x,y)的定义域D上选择了一个面积为S的区域R，那么多元函数f(x,y)在区域R上的重积分为∬Rf(x,y)dxdy。
2. 重积分的计算方法重积分的计算方法与一元函数积分类似，可以使用曲线积分或者换元法进行求解。
特别的，对于二元函数f(x,y)，可以通过极坐标系进行重积分的计算，在极坐标系中，面积可以用rdrdθ表示，积分公式为f(x,y)dxdy=rdrdθ∫∫Rf(rcosθ,rsinθ)drdθ。
如果要计算三元函数的重积分，则需要使用球坐标系，积分公式为f(x,y,z)dxdydz=r^2sinθdrdθdϕ∫∫∫Rf(x,y,z)r^2sinθdxdydz。
二、重积分的应用重积分在实际生活中有许多应用，比如：1. 计算物体的质量和重心物体的质量可以看作是物体密度分布的加权平均值，因此可以使用重积分的概念来计算物体的质量。
同样的，对于一个平面图形，可以通过将图形分割为若干个小面积来计算它的面积和重心。
2. 计算物体的体积重积分还可以用于计算物体的体积。
假设在三元函数f(x,y,z)的定义域D上选择了一个体积为V的区域S，那么多元函数f(x,y,z)在区域S上的重积分为∭Sf(x,y,z)dxdydz。
3. 计算动量和角动量在物理学中，物体的动量和角动量可以通过积分的方式计算。
物体的动量可以看作是物体质量与运动速度的乘积，因此可以通过对速度的积分来计算动量。
同样的，物体的角动量可以看作是物体质量、运动速度和距离的乘积，因此可以通过对速度和距离的积分来计算角动量。
4. 计算电荷量和电场强度在电磁学中，电荷量可以通过积分来计算。
同样的，电场强度也可以通过积分来计算。
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
(整理)第九讲重积分
精品文档第九章 重积分一、学习目的与要求1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。
2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。
3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。
4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。
二、学习重点二重积分和三重积分的计算法三、内容提要1、重积分的定义⎰⎰∑=→∆=Dni iiif d y x f 1),(lim ),(σηξσλ（与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i ni i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。
⎰⎰⎰∑Ω=→∆=ni i iiiV f dV z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ（与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i ni i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。
2、重积分的几何意义当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体体积。
当1),(≡y x f 时，⎰⎰Dd σ表示平面区域D 的面积。
当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰ΩdV表示空间区域Ω的体积。
3、重积分的可积性若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。
4、重积分的性质二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。
（Ⅰ）线性性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g k d y x f k d y x g k y x f kσσσ),(),()],(),([2121，其中k 1,k 2为常数。
重积分的高斯积分和狄利克雷积分
重积分的高斯积分和狄利克雷积分重积分是微积分中的重要分支之一，它可以用来求解在三维空间中的体积、质量、重心、转动惯量等问题。
而其中的高斯积分和狄利克雷积分是重积分中比较常见的两种类型。
在本文中，我们将详细讨论这两种积分的定义、性质以及应用。
一、高斯积分高斯积分也称为三重积分，它是一种在三维空间中对于标量或矢量场的积分。
它的表达式为：$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$其中，$\Omega$是积分区域，$dV$表示三维空间中的体积元素，$f(x,y,z)$是被积函数。
高斯积分在物理学、工程学以及数学分析等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解电场、磁场等问题；在工程学中，它可以用来求解流体动力学、结构力学等问题。
在数学分析中，它则可以用来求解曲面积分、体积积分等。
由于高斯积分的计算比较复杂，常常需要利用公式或特殊性质进行简化。
以下是一些常用的高斯积分公式：1.球面高斯积分公式$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{ 2\pi}f(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)r^2\sin\thetad\phi d\theta dr$其中，$R$是球的半径。
2.柱面高斯积分公式$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\int_{a}^{b}\int_{0}^{2\pi}\int_{h(x, y)}^{g(x,y)}f(x,y,z)rdzd\theta dr$其中，$a$和$b$表示柱体的上下底面，$h(x,y)$和$g(x,y)$分别表示左右侧面的方程，$r=\sqrt{x^2+y^2}$是柱体的半径。
二、狄利克雷积分狄利克雷积分是一种对于无限积分的形式变换。
它的定义为：$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\pi e^{-a}f(i a)+\pi e^{a}f(-i a)$其中，$a$是常数，$f(x)$是定义在实数轴上有界的连续函数。
7-2 1三重积分定义及计算修改1
f ( x , y , z )dv
a dx y ( x ) dy z ( x , y )
b y2 ( x )
1 1
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的
直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0 所确定. x2 y2 z2 3、 ( 2 2 2 )dxdydz , a b c x2 y2 z2 ( x , y , z ) 2 2 1 . 其中 2 a b c z 5 x 2 y 2 及 x 2 y 2 4 z 所围成的立 三、求曲面 体的体积. 2 2 2 2 2 2 四、曲面 x y az 4a 将球体 x y z 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面 z x 2 y 2 , x y a , x 0, y 0, z 0 所围成立体的重心(设密度 1 ).
B(0,1/2,0)
x A(1,0,0)
在D内任意取一点(x,y),过此点作平行于z轴的直线, 该直线先通过平面z=0,再通过平面z=1-x-2y.于是由 公式得
xdxdydz dx
0
1
1 x 2 0
dy
1 x 2 y
0 1
xdz
1 x 2 0
xdx
所围的立体.
x r cos 解 由 y r sin , zz
r 2 z 2 4 2 r 3z
知交线为
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
高等数学(II)(第十章、重积分)
27
Z
A ( x )
(x)
z f ( x, y)
2
1
(x)
f ( x , y ) dy
y
1( x )
所以：
2(x)
2 (x)
D
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
a
[
a
b
f(x .y ) dy ]dx
1 (x)
3-12
28
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定 积分计算;
2）积分次序: X-型域 3）积分限确定法: 先Y后X;
域中一线穿—定内限， 域边两线夹—定外限
为方便，上式也常记为：
b
dx
a
2 (x)
f(x .y ) dy
1 (x)
29
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理：
d
x 1( y)
D
x 2( y)
c
D
f ( x, y )d
6
得 (3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，
到原曲顶柱体体积的近似值，即
V
i1
n
V i f ( i , i ) i .
i1
n
(4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋 向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体
积， 即
V lim
0
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作
则称 f ( x , y )
可积 , 称 I 为 f ( x , y ) 在D上的二重积分.
重积分的定义和基本概念
重积分的定义和基本概念重积分，是计算空间中某个区域内函数值的一种数学工具。
重积分可以理解成是对三维空间中的物体进行划分，并将每个小立方体的体积和函数值相乘，最终将乘积总和加起来。
这个加总过程称为三重积分。
三重积分是重积分的一种形式，二重积分是它的特殊情况。
在教学中，会先深入学习二重积分，再逐步学习三重积分。
重积分的定义用双重积分的思想，可以扩展到三重积分（即重积分）的概念。
在二元函数方程 $f(x,y)$ 的平面区域 $D$ 上，已经学习了如何用双重积分求其平面积。
而在曲面 $z=f(x,y)$ 的三维空间区域$G$ 上，将区域 $G$ 分解成很多小的部分，每个小部分$V_{i}$ 的体积为 $\Delta V_{i}$，则重积分的式子可以表示为：$$\iiint\limits_{G}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\lim_{\Delta V_{i}\rightarrow 0}\sum f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta V_{i}$$其中 $\Delta V_{i}$ 表示体积元素，$\lim_{\Delta V_{i}\rightarrow 0}$ 表示等式右侧的求和式的迭代极限。
基本概念在学习重积分时，需要了解一些基本概念。
1. 曲面 $z=f(x,y)$ 的方程曲面 $z=f(x,y)$ 是三重积分的重要对象。
它可以用来描述物体在三维空间中的形状。
2. 积分区域积分区域是曲面区域 $G$ 在空间内的一个划分。
可以通过网格方法将空间划分为很多小的体积元素 $V_{i}$，然后对每个体积元素 $V_{i}$ 进行积分求和。
3. 坐标轴和方向在重积分中，由于需要考虑的区域有三个方向，因此需要使用$x,y,z$ 三个坐标轴来描述区域。
同时还需要确定积分的方向，顺或逆，这通常与曲面的法向有关。
4. 变量变换变量变换是重积分中常用的一种技巧，它可以将一个不易计算的积分转换成易于计算的积分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重积分的定义与性质
重积分是高等数学中的一个重要概念，是对多元函数在空间内的积分运算。
在实际应用中，经常需要对物理量、几何量等进行多个变量的积分运算，这时就需要用到重积分。
本文将对重积分的定义和性质进行详细阐述。
一、连续函数的重积分
对于连续函数$f(x,y)$，其中$(x,y)$为定义域内的任意一个点，其重积分定义如下：
$$\iint_D f(x,y) dxdy$$
在上式中，$D$为定义域。
这个式子的含义是在二维平面上对函数$f(x,y)$从定义域$D$内的每个点$(x,y)$到坐标轴正方向的区域进行积分。
其中，$dxdy$表示微元，用来表示积分的范围。
重积分也可以用极坐标系进行表示：
$$\iint_D f(x,y) dxdy=\iint_D f(r\cos\theta,r\sin\theta) rdrd\theta$$
这里，$r$和$\theta$分别表示极坐标系下的径向坐标和角度坐标。
二、重积分的性质
对于重积分，我们要了解一些基本的性质。
1. 线性性：若$f(x,y)$和$g(x,y)$是$D$上的可积函数，$k_1$和$k_2$为常数，则：
$$\iint_D (k_1f(x,y)+k_2g(x,y)) dxdy=k_1\iint_D f(x,y)
dxdy+k_2\iint_D g(x,y) dxdy$$
也就是说，重积分运算具有线性性。
2. 绝对可积性：如果$\iint_D |f(x,y)| dxdy$有定义，则称
$f(x,y)$是$D$上的绝对可积函数。
3. 积分中值定理：如果$f(x,y)$在$D$上连续，则存在一点$(\xi,\eta)\in D$，使得：
$$\iint_D f(x,y) dxdy=f(\xi,\eta) Area(D)$$
这个公式的含义是，若在平面上将定义域$D$分成许多小的矩形，则在每个小矩形上，函数$f(x,y)$的大小是近似相等的。
因此，整个定义域上的积分值与函数的平均值在某个点上相等。
4. 保号性：若$f(x,y)\ge 0$，则$\iint_D f(x,y)dxdy\ge 0$。
5. 改变积分次序：如果$f(x,y)$在$D$上可积，则重积分可改写
为两个单积分的积：
$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b[\int_c^d
f(x,y)dy]dx=\int_c^d[\int_a^b f(x,y)dx]dy$$
这个性质的实际含义是，如果每个物理量与$x$和$y$的关系是
独立的话，可以通过改变积分次序来简化计算。
综上所述，重积分在数学和物理学领域中有着广泛的应用。
通过对其定义和性质的理解和掌握，可以更好地应用于实际问题的解决中。