临界力计算公式
临界力及临界应力的计算.
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
第九章 压杆稳定
实际的受压杆件由于： 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。
2 EI z 3.142 10103 28.8 106 P 178KN lj 2 2 l 0.5 8000
比较计算结果可知：第一种情况临界压 力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳 （即绕y轴，在xoz平面内失稳）。 此例说明，当最小刚度平面和最大刚度平面 内支承情况不同时，压杆不一定在最小刚度 平面内失稳，必须经过计算才能最后确定。
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3 压杆的临界应力 压杆横截面上的临界应力为
2 Fcr EI E E cr 2 2 2 A ( l ) A l l i i 2 2A I I i 惯性矩 I可写成 其中 i 为惯性半径
2
2
l 称为柔度（或细长比） i
第九章 压杆稳定
压杆的截面形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的
弯曲刚度应尽可能大；
图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面， 图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改 善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性）
of Trusses ）
压杆稳定
材料力学10压杆稳定_2经验公式
这类杆称为中长杆（或中柔度杆），亦即直线公式适用于中长杆 （或中柔度杆）
说明： 当 ≤ s，称为粗短杆，则应按强度问题处理。
三、临界应力总图
压杆的临界应力 cr 可视作压杆柔度 的分段函数，即
π2E 2
cr
查表得 a = 461 MPa、b = 2.567 MPa
临界应力 临界力
cr a b 461 2.567 64.7 294.9 MPa Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比
π 2 EI min
0.7l 2
870 kN
2）两端固定但可沿轴向相对移动
长度因数 = 0.5， 立柱柔度
3600
zz
s
l
imin
0.5 3600 24
75 p
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算其临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa
临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210×109 GPa， 屈服极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的 设计是否合理。
解： 由于连杆在两 个方向上的约束情 况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面即为失稳平面
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
细长压杆的临界力公式—欧拉公式.
细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。
图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。
瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。
从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。
⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。
如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。
()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。
表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。
已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。
2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。
压杆的临界载荷
细长压杆的临界载荷——欧拉公式
确定临界力可以从研究杆的微弯曲变形的挠曲线着手。对两端为铰支座的 细长杆，当它处于弯曲平衡的临界状态时，若杆内应力不超过材料的比例极 限，则压杆任一截面 m-n 处的弯曲变形与截面弯矩的关系仍为
其弯矩 M(x)是在轴向力 P 作用下因有弯曲变形 y 而产生的，即
最后可以推得欧拉（Euler）公式：
式中 Pcr 一压杆的临界力；E 一压杆材料的弹性模量；I 一压杆横截面的最小惯 矩；l 一压杆的长度。依此式可计算两端铰支压杆的临界力。 杆端约束对临界力的影响
在工程实践中，压杆除两端铰支的约束形式外，还存在其他各种不同的端 部约束情况，这些压杆的临界力计算公式，可以仿照上述方法，由挠曲线近似 微分方程式及边界条件求得，也可利用挠曲线相似的特点将两端铰支压杆的结 果推广得到： Pcr =
π 2 EI ( μl ) 2
F
F
F
F
F
μl=l
μl=0.5l
μl=0.7l μl=2l μl=l
F
F 两端固支
F 一端铰支 一端固定 μ=0.7 一端自由 一端固定 μ=2.0 二端不能转动 但可相对移动 μ=1.0
பைடு நூலகம்两端铰支
μ=1.0
μ=0.5
材料力学2
解：画出杆的扭矩图如图所示。
可知最大弯矩为6kN ·m。
分别根据强度条件和刚度条件选择杆件直径，取其大者。
（1）根据强度条件τmax =M n,maxW p=163.14d3M n,max ≤[]τ得：[]d ≥316M n,max3.14=0.091m=91mm（2）根据刚度条件θ=M n GI p=323.14d 4M n ≤[]θG得：[]d ≥32M n3.14=0.078m=78mmθG由以上计算结果可知，杆所需的直径d=91mm 。
4、起重吊车AB 行走于CD 梁上，CD 梁是由两个同型号的工字钢组成。
已知吊车的自重为5kN ，最大起重量为10kN ，钢材的容许应力[σ]=160MPa ， CD 梁长L=12m ，根据正应力强度条件确定工字钢的截面系数（设荷载平均分配在二工字钢上）。
解：吊车及其起重物的重量由吊车的前后轮承担，各受7.5kN 的力。
13.75kN6.25kN1.25kN当吊车行驶到梁中部时，梁有最大弯矩，从附图的弯矩图可知，最大弯矩值为：M max = 37.5 kN.m当吊车行驶到梁的一端时，梁端有最大剪力，从附图的剪力图可知，最大剪力值为： Q max = 13.75kN先以正应力强度选择工字钢型号。
由正应力强度条件（由于梁是由两个工字钢组成）[]M maxσσmax =2W z≤ 得：[]M max σ≥=W z 2117cm 45、平行杆系列化、2、3悬吊着刚性横梁AB 如图（a ）所示。
在横梁上作用着荷载G 。
如杆菌、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A 、I 、E 。
试求：三根杆的轴力N 1，N 2，N 3。
6、已知圆轴受外力偶矩m=2KN ，材料的许可切应力[τ]=60MP 。
（1） 试设计实心圆轴的直径D 1；（2） 若该轴改为α=d/D=0.8的空心圆轴，试设计空心圆轴的内、外径d 2、D 2。
7、用钢板制成的工字形截面梁其尺寸及梁上荷载如图所示，已知P=90kN ，钢材的容许应力[σ]=160MPa ，[τ]=100MPa ，试全面校核梁的强度(按第三强度论)。
土木工程结构力学重点公式速记
土木工程结构力学重点公式速记在土木工程结构力学中，掌握和记忆各类重要公式是非常重要的。
这些公式在分析和设计土木结构时起到了至关重要的作用。
下面是一些结构力学中的重点公式，供大家参考和学习。
1. 应力和应变1.1 线弹性应力-应变关系：σ = Eε其中，σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。
1.2 泊松比：ν = -εt/εl其中，ν是泊松比，εt是横向应变，εl是纵向应变。
2. 梁的基本公式2.1 弯矩和剪力：弯矩： M = -EI(d^2y/dx^2)剪力： V = -EI(d^3y/dx^3)在上述公式中，M表示弯矩，V表示剪力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，y表示位移，x表示距离。
2.2 梁的挠度：δ = (F*l^3)/(3EI)其中，δ表示挠度，F表示外力，l表示梁的长度，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩。
3. 柱和压杆的公式3.1 柱的稳定性：Pcr = π^2EI/[(KL)^2]其中，Pcr表示临界压力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示杆件的有效长度系数，L表示柱的长度。
3.2 压杆的最小截面面积：Amin = (Fcr*S)/σy其中，Amin表示最小截面面积，Fcr表示临界力，S表示长度，σy表示材料屈服应力。
4. 桁架结构的公式4.1 桁架成员的力：F = (PL)/(AE)其中，F表示力，P表示外力，L表示成员长度，A表示横截面面积，E表示弹性模量。
4.2 桁架的稳定性：Ncr = (π^2EI)/[(KL)^2]其中，Ncr表示临界力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示杆件的有效长度系数，L表示桁架的长度。
5. 地基基础的公式5.1 承载力：q = cNc + q'Nq + 0.5γBNγ其中，q表示承载力，c表示黏土的凝聚力，Nc表示凝聚力系数，q'表示黏聚力的有效张力，Nq表示摩擦系数，γ表示土的重度，B表示基础底面积，Nγ表示重度系数。
细长压杆的临界压力欧拉公式
(2)
Fc r正 Fc r圆
π2EI正
( l)2
π2 EI圆
I正 I圆
a4
12 πd 4
( l)2
64
πd 2 4
2
12 πd 4
64
π 3
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和F2 分别为这两个
桁架稳定的最大载荷，则
(A) F1 = F2；
π2EI
( l )2
称为长度因数，l 称为相当长度
π2EI (0.5l ) 2
0.5
Fc r
π2EI (0.7l ) 2
0.7
Fc r
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2EI (2l ) 2
2
Fc r
π2EI l2
1
Fc r
例1：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的
直径缩小一半，则其临界力为原压杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面
积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？
解：(1)
Fc r
π2EI
(l)2
π2E πd 4 64
第一讲 基本概念与欧拉公式
一：压杆稳定的概念
钢板尺：一端固 定 一端自由
Fcr ：临界压力
二：细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M (x) F w
EI w M (x) F w
压杆临界力的计算公式[整理版]
![压杆临界力的计算公式[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/ebde4309192e45361166f520.png)
压杆临界力的计算公式：悬臂梁端部的最大位移为：5抗震概念设计：（1）选择对抗震有利的场地，开阔平坦密实均匀中硬土地段；（2）建筑物形状力求简单、规则，质量中心和刚度中心靠近，以免地震发生扭转和应力集中而形成薄弱环节；（3）选择技术先进经济合理的抗震结构体系；（4）保证结构整体性，结构和连接部位具有较好的延性；（5）选择抗震性能较好的材料；（6）非结构构件应与承重结构有可靠的连接以满足抗震要求。
1）多层砌体房屋设构造柱；设圈梁，并与构造柱相连；加强墙体的连接，楼板和梁应有足够的长度和可靠连接；加强楼梯间整体性。
（2）框架结构①把框架设计成延性框架，遵守强柱、强节点、强锚固，避免短柱、加强角柱，框架沿高度不宜突变，避免出现薄弱层；②控制最小配筋率，限制配筋最小直径；③受力筋锚固适当加长，节点处箍筋的适当加密。
1楼梯的梯段净宽应根据建筑使用的特征，一般按每股人流为0.55+（0～0.15）m的人流股数确定，并不应少于两股人流。
2住宅套内楼梯的梯段净宽，当一边临空时，不应小于0.75m；当两侧有墙时，不应小于0.9m。
套内楼梯的度不应大于0.20m，扇形踏步转角距扶手边0.25m处，宽度不应小于0.22m。
3楼梯休息平台宽度应大于或等于梯段宽度；楼梯踏步的宽度b和高度h的关系应满足：2h+b=600～620mm；每个梯段的踏步一般不应超过18级，亦不应少于3级。
4楼梯平台上部及下部过道处的净高不应小于2m，梯段净高不应小于2.20m。
5室内楼梯扶手高度自踏步前缘线量起不宜小于0.90m。
楼梯水平段栏杆长度大于0.50m时，其扶手高度不应小于1.05m。
7、建筑工程质量不符合要求时的处理：（1）经返工重做或更换器具、设备的检验批，应重新进行验收；（2）经有资质的检测单位检测鉴定能够达到设计要求的检验批，应予以验收；（3）经有资质的检测单位鉴定达不到设计要求，但经原设计单位核算认可能够满足结构安全和使用功能要求的检验批，可予以验收；（4）经返修或加固处理的分部、分项工程，虽然改变外形尺寸但仍能满足安全使用要求，可按技术处理方案和协商文件进行验收。
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临界力计算公式
临界力计算通常在结构工程和材料力学中指的是细长压杆的失稳临界载荷。
对于两端受不同约束条件的细长压杆，其临界力（也称为欧拉临界载荷）可以通过欧拉公式来计算：
欧拉公式如下：P_c=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}Pc=(KL)2π2EI
其中：
P_cPc是临界力或临界载荷。
EE是材料的弹性模量。
II是截面关于主轴的转动惯量。
KK是长度因数或临界应力系数，其值取决于杆件两端的约束条件（例如两端固定时K=1K=1，两端铰接时K=\muK=μ，其中\muμ是长度系数，根据边界条件取0.5、0.7、1或2等）。
LL是杆件的无支长度。
具体的长度系数μ值对应不同的边界条件如前所述：
两端固定：\mu=0.5μ=0.5
一端固定另一端铰支：\mu=0.7μ=0.7
两端铰支：\mu=1μ=1
一端固定另一端自由：\mu=2μ=2
使用欧拉公式计算临界力的前提是该压杆满足细长杆假设（即其长度远大于横截面尺寸，并且工作时处于小应变范围内），且临界应力不超过材料的比例极限。