(新)高数二重积分习题解答

第9章 重积分及其应用

1．用二重积分表示下列立体的体积：

(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥；

(2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体

解答：(1) 222d ,{(,)|}D

V x y D x y x y R ==+≤；

(2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D

V x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰

所属章节：第九章第一节 难度：一级

2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

(1) D σ，其中D 为222x y a +≤；

(2)

(D

b σ⎰⎰

，其中D 为222,0x y a b a +≤>>

解答：(1)

32

π3

D

a σ=；

(2)

2

32(ππ3D

b a b a σ=-⎰⎰ 所属章节：第九章第一节

难度：一级

3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且

(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D

Q x y μσ=⎰⎰

所属章节：第九章第一节 难度：一级

4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D

p g x ρσ=⎰⎰

所属章节：第九章第一节 难度：一级

5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小

(1) 21()d D

I x y σ=+⎰⎰与32()d D

I x y σ=+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域；

(2) 1ln(1)d D

I x y σ=++⎰⎰与222ln(1)d D

I x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；

(3) 21sin ()d D

I x y σ=+⎰⎰与22()d D

I x y σ=+⎰⎰，其中D 是任一平面有界闭区域；

(4) 1e d xy D

I σ=⎰⎰与22e d xy D

I σ=⎰⎰，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1；

解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2；

(2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1

(4) 在区域D 内部，0xy <，故2xy xy e e >，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级

6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4)

D

I D x y x y x y σ

==≤≤≤≤++⎰⎰

；

(2) 2222π3πsin()d ,(,)44D

I x y D x y x y σ⎧

⎫=+=≤+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；

(3) 221

d ,{(,)|||||1}100cos cos D

I D x y x y x y

σ==+≤++⎰⎰

；

(4) 2

2

221e d ,(,)4x

y D

I D x y x y σ+⎧

⎫==+≤⎨⎬⎩

⎭⎰⎰

解答：(1) 由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111

ln16ln(4)ln 4

x y ≤≤++，而等号不恒成立，故

816ln 2ln 2

I <<；

(2) 由于22π3π(,)44D x y x y ⎧

⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭的面积为212π，在其中22sin()12x y ≤+≤，而等号不

恒成立，故22

π42

I <<；

(3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111

102100

100cos cos x y ≤≤++，而等号不恒成立，故

11

5150

I <<

； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为

{(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为

100

251

I << (4) 由于221(,)4D x y x y ⎧

⎫=+≤⎨⎬⎩

⎭的面积为14π，在其中1

2241sin()x y e ≤+≤，而等号不恒成立，

故

14

ππe

44

I <<． 所属章节：第九章第一节 难度：二级

7．设f (x ，y )是连续函数，试求极限：222

2

1

lim (,)d πr x y r f x y r σ+

→+≤⎰⎰

解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得

222

2

20

01

1

lim (,)lim (,)lim (,)(0,0)r r r x y r f x y d f f f r r

σξησξηππ+

+

+

→→→+≤=⋅==⎰⎰

． 所属章节：第九章第一节

难度：二级

8．设f (x ，y )在有界闭区域D 上非负连续，证明： (1) 若f (x ，y )不恒为零，则(,)d 0D

f x y σ>⎰⎰；

(2) 若(,)d 0D

f x y σ=⎰⎰，则f (x ，y )≡0

解答：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则存在00(,)x y D ∈，00(,)0f x y >，利用连续函数的保号性，存在00(,)x y 的一个邻域1D D ⊂，在其上恒有(,)0f x y >，于是

1

(,)d 0D f x y σ>⎰⎰，而

1

(,)d 0D D f x y σ-≥⎰⎰

，所以

1

1

(,)d (,)d (,)d 0D

D D D f x y f x y f x y σσσ-=+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰

；

(2) 假若f (x ，y )不恒为零，则由上题知(,)d 0D

f x y σ>⎰⎰，矛盾，故f (x ，y )≡0．

所属章节：第九章第一节 难度：二级