微分几何练习题库及答案
1 《微积分几何》复习题 本科
第一部分：练习题库及答案
一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）
第一章
1．已知(1,1,1),(1,0,1)ab，则这两个向量的夹角的余弦cos=36
2．已知(0,1,1),(1,0,1)ab，求这两个向量的向量积ab(-1,-1,-1)．
3．过点)1,1,1(P且与向量(1,0,1)a垂直的平面方程为X-Z=0
4．求两平面0:1zyx与12:2zyx的交线的对称式方程为21131zyx
5．计算232lim[(31)]tttijk138ijk．
6．设()(sin)tttfij，2()(1)tttegij，求0lim(()())tttfg 0 ．
7．已知(,)(,,)uvuvuvuvr，其中2tu，tvsin，则ddtr(2cos,2cos,2cos)ttttvtut
8．已知t，2t，则d(,)dtr(sincos2cossin,sinsin2coscos,cos)aataata
9．已知42()d(1,2,3)ttr，64()d(2,1,2)ttr，求
4622()d()dttttarbar)5,9,3(，其中(2,1,1)a，(1,1,0)b
10．已知()tra（a为常向量），求()trtac
11．已知()ttra，（a为常向量），求()tr 212tac
12．已知()(2)(log)tttfjk，()(sin)(cos)tttgij，0t，则40d()ddttfg4cos62．
第二章
13．曲线3()(2,,)tttter在任意点的切向量为2(2,3,)tte
14．曲线()(cosh,sinh,)tatatatr在0t点的切向量为(0,,)aa
15．曲线()(cos,sin,)tatatbtr在0t点的切向量为(0,,)ab 2 16．设有曲线2:,,ttCxeyezt，当1t时的切线方程为2111zeeyeex
17．设有曲线tttezteytex,sin,cos，当0t时的切线方程为11zyx
第三章
18．设(,)uvrr为曲面的参数表示，如果uvrr0，则称参数曲面是正则的；如果:()GGrr是 一一的
，则称参数曲面是简单的．
19．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．(坐标网;易;3分钟)
20．平面(,)(,,0)uvuvr的第一基本形式为22dduv，面积元为dduv
21．悬链面(,)(coshcos,coshsin,)uvuvuvur的第一类基本量是2coshEu,0F,2coshGu
22．曲面zaxy上坐标曲线0xx，0yy的交角的余弦值是200222200(1)(1)axyaxay
23．正螺面(,)(cos,sin,)uvuvuvbvr的第一基本形式是2222d()duubv．
24．双曲抛物面(,)((),(),2)uvauvbuvuvr的第一基本形式是
2222222222(4)d2(4)dd(4)dabvuabuvuvabuv
25．正螺面(,)(cos,sin,)uvuvuvbvr的平均曲率为 0 ．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟）
26．方向(d)d:duv是渐近方向的充要条件是(d)0n或22d2ddd0LuMuvNv
27．两个方向(d)d:duv和(δ)δ:δuv共轭的充要条件是(d,δ)0IIrr或dδ(dδdδ)dδ0LuuMuvvuNvv
28．函数是主曲率的充要条件是0ELFMFMGN
29．方向(d)d:duv是主方向的充要条件是dddd0ddddEuFvLuMvFuGvMuNv
30．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d:d)uv是主方向，则ddnnr，其中n是沿(d)方向的法曲率
31．旋转极小曲面是平面 或悬链面
第四章
32．高斯方程是kijijkijkLrrn，,1,2ij，魏因加尔吞方程为,kjiikijkLgnr，,1,2ij
33．ijg用ijg表示为221212111()det()ijijgggggg． 3 34．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线()C在P点的测地曲率的绝对值等于()C在P点的切平面上的正投影曲线()C的曲率
35．,,gn之间的关系是222gn．
36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．
37．测地线的方程为22,ddd0,1,2dddkijkijijuuuksss
38．高斯-波涅公式为1dd()2kgiiGGKs
39．如果G是由测地线组成，则高斯-波涅公式为1d()2kiiGK．
二、单选题
第一章
40．已知(1,0,1)a，(1,2,1)b，则这两个向量的内积ab为（ C ）．（内积；易；2分钟）
A 2 B 1
C 0 D 1
41．求过点(1,1,1)P且与向量(1,0,1)a平行的直线的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟）
A 1yzx B 1321zyx
C 11zyx D
1zyx
42．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)abc，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟）
A 2 B 1 C 1 D 2
43.已知()(,,)ttteter，则(0)r为（ A ）．（导数；易；2分钟）
Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１)
Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)
44．已知()()ttrr，为常数，则()tr为（ C ）．（导数；易；2分钟）
Ａ ta Ｂ a Ｃ tea Ｄ ea
上述a为常向量．
45.已知(,)(,,)xyxyxyr，求d(1,2)r为（ D ）．（微分；较易；2分钟）
Ａ (d,d,d2d)xyxy Ｂ (dd,dd,0)xyxy
第二章 4 46．圆柱螺线(cos,sin,)tttr的切线与z轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)
Ａ 平行 Ｂ 垂直
Ｃ 有固定夹角4 Ｄ 有固定夹角3
47．设有平面曲线:()Csrr，s为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C ）．
Ａ α为单位向量 Ｂ αα
Ｃ αβ Ｄ βα
48．直线的曲率为（ B ）．（曲率；易；2分钟）
Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２
49．关于平面曲线的曲率:()Csrr不正确的是（ D ）．（伏雷内公式；较易；2分钟）
Ａ ()()ssα Ｂ ()()ss，为()sα的旋转角
Ｃ ()sαβ Ｄ ()|()|ssr
50．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ D ） ．（曲率；易；2分钟)
Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件
Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件
51．下列论述不正确的是（ D ）．（基本向量；易；2分钟）
Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ αβ
Ｃ βγ Ｄ //αβ
52．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（ D） ．（曲率；易；2分钟)
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 既不充分也不必要条件 D 充要条件
53．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（挠率；易；2分钟)
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 既不充分也不必要条件
D 充要条件
54．2sin4),cos1(),sin(taztayttax在点2t的切线与z轴关系为（ D ）．
Ａ 垂直 Ｂ 平行
Ｃ 成3的角 Ｄ 成4的角
第三章
55．椭球面2222221xyzabc的参数表示为（C ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(coscos,cossin,sin)xyz B (,,)(coscos,cossin,sin)xyzab 5 C (,,)(coscos,cossin,sin)xyzabc D (,,)(coscos,sincos,sin2)xyzabc
56．以下为单叶双曲面2222221xyzabc的参数表示的是（D ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(coshsin,coshcos,sinh)xyzauvbuvu B (,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzuvuvu
C (,,)(sinhcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcu D (,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzauvbuvcu
57．以下为双叶双曲面2222221xyzabc的参数表示的是（A ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(sinhcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcu B (,,)(coshcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcu
C(,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzauvbuvcu D (,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzuvuvu
58．以下为椭圆抛物面22222xyzab的参数表示的是（B ）．（参数表示；易；2分钟）
A 2(,,)(cos,sin,)2uxyzuvuv B 2(,,)(cos,sin,)2uxyzauvbuv
C 2(,,)(cosh,sinh,)2uxyzauvbuv D (,,)(cos,sin,)xyzavbvv
59．以下为双曲抛物面22222xyzab的参数表示的是（C ）．（参数表示；易；2分钟）
微分几何考试题及答案
微分几何考试题及答案
一、单项选择题（每题2分，共10分）
1. 曲面上的一条曲线，若其切线与曲面的法线垂直，则该曲线称为：
A. 测地线
B. 等温线
C. 子午线
D. 法线
答案：A
2. 黎曼曲率张量描述的是：
A. 曲面的内在性质
B. 曲面的外在性质
C. 曲面的局部性质
D. 曲面的全局性质
答案：B
3. 以下哪个概念不是微分几何中的？
A. 度量张量
B. 联络
C. 流形
D. 向量场
答案：D
4. 曲面的第一基本形式是用于描述曲面的：
A. 内在性质 B. 外在性质
C. 局部性质
D. 全局性质
答案：A
5. 测地线是曲面上连接两点的最短路径，这种说法是：
A. 正确
B. 错误
答案：B
二、填空题（每题3分，共15分）
1. 在微分几何中，曲面上的一个点的邻域可以与______同胚，这个局部性质称为曲面的局部欧几里得性质。
答案：欧几里得空间
2. 曲面的高斯曲率是该点的主曲率的______。
答案：乘积
3. 曲面上的一条曲线，如果其切向量沿曲线的变化率与曲线的曲率向量平行，则该曲线称为______。
答案：测地线
4. 曲面的第二基本形式是描述曲面的______性质的。
答案：外在
5. 黎曼曲率张量是描述曲面______性质的。
答案：外在
三、简答题（每题10分，共20分）
1. 简述微分几何中联络的概念及其作用。
答案：联络是微分几何中描述流形上向量场平行传输的数学工具。它允许我们定义向量场沿曲线的协变导数，从而研究向量场在流形上的几何性质，如曲率和挠率等。
2. 描述曲面的第一基本形式和第二基本形式，并说明它们在微分几何中的意义。
答案：第一基本形式是描述曲面内在度量的数学工具，它通过度量张量定义了曲面上点的邻域内向量的长度和角度。第二基本形式描述了曲面的外在性质，即曲面如何嵌入到更高维的空间中，通过主曲率和高斯曲率等量来表征曲面的弯曲程度。
微分几何练习题
微分几何练习题
一 判断题
1 曲线}sin,cos,{cos2
r
不是正则曲线。 ( )
2 圆柱螺线},sin,cos{
baar
的切线与z轴成固定角。( )
3 空间曲线r = r (t),
当)(tr
常数时,该空间曲线是圆。 ( )
4 若两个曲面间的变换是保角变换,则该变换也是等距变换。 ( )
5 曲线(c)是曲线(c*)的渐缩线,则曲线(c*)是曲线(c)的渐伸线。 ( )
6 22
64dvdudvdu
可作为曲面的第一基本形式。( )
7 若0ndr
则方向)();(
d
是正交方向。( )
8 罗德里格定理实际上是主方向判定定理。( )
9 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是0
l
。( )
10 曲面的欧拉公式为2
22
1sincoskkk
n
。( )
11 等距交换一定是保角变换。( )
12 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定。( )
13 曲面之间的一个变换，如果伎曲面上对应曲线的交角相等则称为变换。( )
14 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一成比例。( )
15 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。( )
二 填空题
1 向量函数r (t)具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，)('tr
都与r (t)___________。
2 设r ( t )为可微分的向量函数，且atr)('
（a为常向量，0a
），则曲线r = r ( t )的图
形是___________。
3 螺线r = { cost , sin t , t}上点（1，0，0）的切线方程是___________。
4 正螺线r = {u cos v , u sin v , b v }坐标曲线的方程是___________。
5 仅由曲面的第一基本形式出发所能建立的几何性质，称为曲面的___________性质。
6 已知
20},2cos,sin,{cos33
微分几何_陈维桓_习题答案2
习题答案2
p. 58 习题3.1
2. 在球面2222
{(,,)|1}Sxyzxyz上，命
(0,0,1)N，
(0,0,1)S. 对于赤道平
面上的任意一点
(,,0)puv，可以作为一的一条直线经过
,Np两点，它与球面有唯
一的交点，记为
p.
(1) 证明：点
p的坐标是
222
1u
x
uv
，
222
1v
y
uv
，22
221
1uv
z
uv
，
并且它给出了球面上去掉北极
N的剩余部分的正则参数表示；
(2) 求球面上去掉南极S的剩余部分的类似的正则参数表示；
(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；
(4) 证明球面是可定向曲面.
证明. (1) 设(,)ruvOp
. 如图，
,,Npp三点共线，故有tR
使得
(1)OptOptON
. (1)
由于2
1
Op
ON
，2
22
uv
Op
，0OpON
，0t
，取上式两边的模长平方，
得22
2/(1)tuv. 从而
22
222221
(,,)(,,0)(0,0,1)
11uv
xyzOpuv
uvuv
22
222222221
,,
111uvuv
uvuvuv
，2
(,)uvR. (2)
由(1)可知
(,,1)(0,0,1)(,,1)rOptNpONtuvtutvt
，
又2
()dttuduvdv，所以
2
(,,1)(1,0,0)
urtuuvt
，2
(,,1)(0,1,0)
vrtvuvt
， N
pp
O
q
S 332
(1,0,)(0,1,)(0,0,1)
uvrrtuutvvt
22222
(,,()1)(,,1)0ttutvtuvttutvttr
. (3)
因此
(,)rruv
给出了2
微分几何_陈维桓_习题答案
1 习题答案1
p.41 习题2.3
1. 求下列曲线的曲率：
(2) ()
323
()3,3,3rtttttt=−
+；(4) ()
33
()cos,sin,cos2rtttt
=.
解. (2) ()
22
()31,2,1rtttt
=−
+
，()
2
|()|
3
21rtt
=+,
()
()6,
1,rttt
=−, ()
22
()()181,2,1rtrttt
t
=−−+,
()
2
|()()|
18
21rtrtt
=+,
221
3(1)t
=
+.
(4) ()1
()sin23cos,3sin,4
2rtttt
=−
−，5
|()||sin2|
2rtt
=,
()()1
()cos23cos,3sin,4sin
23sin,3cos,0
2rttttttt
=−−+,
()()
21
()()sin23cos,3sin,43sin,3cos,0
4rtrtttttt
=−−
()
23
sin24cos,4sin,34ttt=−−，
25
|()()|sin2
4rtrtt
=，2
25|sin2|t
=，(2(21)tk
+).
4. 求曲线222
229,
3xyz
xz
++=
−=
在()
2,2,1处的曲率和密切平面方程.
解. 设曲线的弧长
参数方程为()()(),(),()rsxsyszs=, ()
(0)
2,2,1r=，
0(0)r
=，
00(0)r
=. 则(),(),()xsyszs满足题给的方程组，所以有
2222
212,26xyyz+=+=.
对上式求导得
222
20,20,1xxyyyyzzxyz+=+=++=. (1)
再求导，得
22
2
2
2(2),2(2),0xxyyxyyyzzyzxxyyzz+=−++=−+++=. (2)
在()
2,2,1处，由(1)解出2xyz=−
=
，1
3x=. 不妨设122
333,,xyz==−=. 所以
()
()
01
,,1,2,2
3xyz
==
−.
代入(2)得
微分几何习题解答（曲面论一）
0 / 15 第二章 曲面论
§1曲面的概念曲面的概念
1.1.求正螺面求正螺面rr
={ uv
cos ,u v
sin, bv }的坐标曲线的坐标曲线. .
解 u-曲线为r
={u
0cosv
,u
0sinv
,bv
0 }=｛0,00,0，，bv
0｝＋u {
0cosv
,
0sinv
,0},0}，，
为曲线的直母线；为曲线的直母线；v-v-v-曲线为曲线为rr
={
0uv
cos,
0uv
sin,bv }为圆柱螺线．为圆柱螺线．为圆柱螺线．
２．证明双曲抛物面rr
＝｛＝｛aa（u+vu+v））, b（u-vu-v））,2uv,2uv｝的坐标曲线就是它的直｝的坐标曲线就是它的直
母线。母线。
证 u-曲线为rr
={ a（u+
0v
）, b（u-
0v
）,2u
0v
}={ a
0v
, b
0v
,0}+ u{a,b,2
0v
}
表示过点表示过点{ a{ a0v
, b0v
,0},0}以以{a,b,20v
}为方向向量的直线为方向向量的直线; ;
v-曲线为曲线为rr
=｛a（
0u
+v+v））, b（
0u
-v-v））,2
0u
v｝=｛a
0u
, b
0u
,0,0｝｝+v{a,-b,2
0u
}
表示过点表示过点(a(a
0u
, b
0u
,0),0)以以{a,-b,2
0u
}为方向向量的直线。为方向向量的直线。
3．求球面rr
=}sin,sincos,sincos{aaa
上任意点的切平面和法线方程。
解
r
=}cos,sinsin,cossin{aaa
，
r
=}0,coscos,sincos{aa
任意点的切平面方程为0
0coscossincoscossinsincossinsinsincoscoscos
aaaaaazayax
即 xcos
cos
+ ycos
sin
+ zsin
- a = 0 ；
法线方程为法线方程为
sinsin
sincossincos
微分几何_陈维桓_习题答案 2
1 习题答案1
p.41 习题2.3
1. 求下列曲线的曲率：
(2) ()
323
()3,3,3rtttttt=−
+；(4) ()
33
()cos,sin,cos2rtttt
=.
解. (2) ()
22
()31,2,1rtttt
=−
+
，()
2
|()|
3
21rtt
=+,
()
()6,
1,rttt
=−, ()
22
()()181,2,1rtrttt
t
=−−+,
()
2
|()()|
18
21rtrtt
=+,
221
3(1)t
=
+.
(4) ()1
()sin23cos,3sin,4
2rtttt
=−
−，5
|()||sin2|
2rtt
=,
()()1
()cos23cos,3sin,4sin
23sin,3cos,0
2rttttttt
=−−+,
()()
21
()()sin23cos,3sin,43sin,3cos,0
4rtrtttttt
=−−
()
23
sin24cos,4sin,34ttt=−−，
25
|()()|sin2
4rtrtt
=，2
25|sin2|t
=，(2(21)tk
+).
4. 求曲线222
229,
3xyz
xz
++=
−=
在()
2,2,1处的曲率和密切平面方程.
解. 设曲线的弧长
参数方程为()()(),(),()rsxsyszs=, ()
(0)
2,2,1r=，
0(0)r
=，
00(0)r
=. 则(),(),()xsyszs满足题给的方程组，所以有
2222
212,26xyyz+=+=.
对上式求导得
222
20,20,1xxyyyyzzxyz+=+=++=. (1)
再求导，得
22
2
2
2(2),2(2),0xxyyxyyyzzyzxxyyzz+=−++=−+++=. (2)
在()
2,2,1处，由(1)解出2xyz=−
=
，1
3x=. 不妨设122
333,,xyz==−=. 所以
()
()
01
,,1,2,2
3xyz
==
−.
代入(2)得
微分几何_课后习题答案
微分几何主要习题解答
13 第一章 曲线论 §2 向量函数向量函数 5. 向量函数)(tr具有固定方向的充要条件是)(tr × )('tr= 0。 分析：一个向量函数)(tr一般可以写成)(tr=)(tl)(te的形式，其中)(te为单位向量函数，)(tl为数量函数，那么)(tr具有固定方向的充要条件是)(te具有固定方向，即)(te为常向量，（因为)(te的长度固定）。 证 对于向量函数)(tr，设)(te为其单位向量，则)(tr=)(tl)(te，若)(tr具有固定方向，则)(te为常向量，那么)('tr=)('tle，所以所以 r×'r=l'l（e×e）=0。 反之，若r×'r=0 ，对)(tr=)(tl)(te 求微商得'r='le+l'e，于是r×'r=2l（e×'e）=0，则有则有 l = 0 或e×'e=0 。当)(tl= 0时，)(tr=0可与任意方向平行；当l¹0时，有e×'e=0，而（e×'e2)=22'ee-(e·'e2)＝2'e，（因为e具有固定长， e·'e= 0） ，所以所以 'e=0，即e为常向量。所以，)(tr具有固定方向。 6．向量函数)(tr平行于固定平面的充要条件是（r'r''r）=0 。 分析：向量函数)(tr平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(tn，使)(tr·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与'r，''r的关系。的关系。 证 若)(tr平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且)(tr·n = 0 。两次求微商得'r·n = 0 ，''r·n = 0 ，即向量r，'r，''r垂直于同一非零向量n，因而共面，即（r'r''r）=0 。 反之反之, , 若（r'r''r）=0=0，，则有r×'r=0 或r×'r¹0。若r×'r=0，由上题知)(tr具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×'r¹0，则存在数量函数)(tl、)(tm，使''r= rl+m'r ① 微分几何主要习题解答