微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =

2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0

4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2

1--=-=+z y x

5．计算2

lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．

6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0

lim (()())t t t →?=f g 0 ．

7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2t u =，t v sin =，则d d t

=r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+

8．已知t =?，2t =θ，则

d (,)d t

?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+

9．已知4

()d (1,2,3)t t =-?r ，6

()d (2,1,2)t t =-?r ，求

()d ()d t t t t ?+??=

??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b

10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c

11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2

t +a c

12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4

d ()d d t t

?=?

f g 4cos 62-．

第二章

13．曲线3

()(2,,)t

t t t e =r 在任意点的切向量为2

(2,3,)t

t e

14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

16．设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为

2111

-z e

y e

e x 17．设有曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章

18．设(,)u v =r r 为曲面的参数表示，如果u v ?≠r r 0，则称参数曲面是正则的；如果:()G G →r r 是一一的，

则称参数曲面是简单的．

19．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．(坐标网;易;3分钟) 20．平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +，面积元为d d u v

21．悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 的第一类基本量是2cosh E u =,0F =,2cosh G u = 22．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =

23．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 24

．

双

曲

抛

物

面(,)((),(),2)

u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是

(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++

25．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为 0 ．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)d :d u v =

2227．两个方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++=

28．函数λ是主曲率的充要条件是

0E L F M F M

G N

λλλλ--=--

29．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是

d d d d 0d d d d E u F v L u M v F u G v

M u N v

++=++

30．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则d d n κ=-n r ，其中n κ是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面或悬链面第四章

32．高斯方程是k

ij ij k

ij k

L =

+∑r r n ，,1,2i j =，魏因加尔吞方程为,kj

i ik i j k

L g =-∑n r ，,1,2i j =

33．ij

g 用ij g 表示为221212

111()det()ij

ij g g g g g g -??

?-??

．

34．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲线()C *的曲率

35．,,g n κκκ之间的关系是222

g n κκκ=+．

36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 37．测地线的方程为

,d d d 0,1,2d d d k

i j

k ij

i j

u u u k s

==∑

38．高斯-波涅公式为1

d d ()2k

i i G

K s σκ

απ=?+

-=∑???

39．如果G ?是由测地线组成，则高斯-波涅公式为1

d ()2k

i i G

K σπ

απ=+

-=∑??．

二、单选题

第一章

40．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积?a b 为（ C ）．（内积；易；2分钟） A 2 B 1- C 0 D 1

41．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟）

A ??

?==1

y z x B 13

1+==-z y x

C 11+==+z y x

D ??

?==1

z y x

42．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟） A 2 B 1- C 1 D 2-

43.已知()(,,)t

t e t e -=r ，则(0)''r 为（ A ）．（导数；易；2分钟）Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)

44．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（ C ）．（导数；易；2分钟）

Ａ t λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λ

上述a 为常向量．

45.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（ D ）．（微分；较易；2分钟）Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章

46．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟) Ａ平行Ｂ垂直Ｃ有固定夹角

Ｄ有固定夹角

47．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C ）．

Ａ α为单位向量Ｂ ⊥αα

Ｃ κ=-α

β Ｄ κ=-βα 48．直线的曲率为（ B ）．（曲率；易；2分钟）

Ａ –１Ｂ０Ｃ１Ｄ２

49．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（ D ）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ ()()s s κ=α

Ｂ ()()s s κ?= ，?为()s α的旋转角Ｃ ()s κ=-?αβ

Ｄ ()|()|s s κ=r 50．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ D ）．（曲率；易；2分钟) Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ既不充分也不必要条件Ｄ充要条件 51．下列论述不正确的是（ D ）．（基本向量；易；2分钟）Ａ α,β,γ均为单位向量Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ

52．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件

53．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件

54．2

sin 4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2

=t 的切线与z 轴关系为（ D ）．

Ａ垂直Ｂ平行

Ｃ成3

π的角Ｄ成4

的角

第三章 55．椭球面

2222

1x y z a

=的参数表示为（C ）．（参数表示；易；2分钟）

A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ?θ?θ?=

B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ?θ?θ?=

C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ?θ?θ?=

D (,,)(cos cos ,sin

cos ,sin 2)x y z a b c ?θ?θθ

56．以下为单叶双曲面

2222

1x y z a

=的参数表示的是（D ）．（参数表示；易；2分钟）

A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )

x y z a u v b u v u

= B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =

C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =

D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u

57．以下为双叶双曲面2222

1x y z a

=-的参数表示的是（A ）

．（参数表示；易；2分钟） A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )

x y z a u v b u v c u

= B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u

C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =

D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u

58．以下为椭圆抛物面222

2x y z a

=的参数表示的是（B ）

．（参数表示；易；2分钟） A 2

(,,)(cos ,sin ,)

x y z u v u v = B 2

(,,)(cos ,sin ,

x y z au v bu v =

C 2

(,,)(cosh ,sinh ,

x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =

59．以下为双曲抛物面

222

2x y z a

=的参数表示的是（C ）

．（参数表示；易；2分钟） A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a u b u u

= B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u

C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-

D (,,)(,,)x y z au bv u v =-

60．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（B ）．（切平面方程；易；2分钟）

A 2135200

x y z +-+= B 1834410x y z +--=

C 756180x y z +--=

D 1853160x y z +-+=

61．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（D ）．（第一基本形式；中；2分钟）

A 2

(d sin

d )

R u u v + B 222

(d cosh

d )

R u u v +

C 2

(d sinh d )R u u v + D 2

(d cos d )R u u v +

62．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（ C ）．（第一基本形式；中；2分钟）

A 22d d u v +

B 22d d u v -

C 222d d u R v +

D 222

d d u R v -

63．在第一基本形式为222

(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（B ）．（弧

长；中；2分钟）

A 21cosh cosh v v -

B 21sinh sinh v v -

C 12cosh cosh v v -

D 12sinh sinh v v -

64．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）． A 0E = B 0F = C 0G = D 0M = 65．以下正确的是（ D ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）

A d (d )=n r W

B d (d )u =n r W

C d (d )u v =n r W

D d (d )=-n r W 66．以下正确的是（ C ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）

A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r W

B (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r W W

C (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r W W

D (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W 67．以下正确的是（A ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）

A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r W

B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W

C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r W W

D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r W W 68．高斯曲率为常数的的曲面叫（C ）．（高斯曲率；易；2分钟）

A 极小曲面

B 球面

C 常高斯曲率曲面

D 平面第四章

B 69．,___________ij ji i j

g g =∑．（第一基本形式；易；2分钟）

A 1

B 2

C 0

D -1 B 70．______j kj l j

g δ=∑．（第一基本形式；易；2分钟）

A kj g

B kl g

C ki g

D ij g A 71．________k

ij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟）

)2jl ij kl

il j

g g g g u

???+

???∑

jl ij kl

il j

g g g g u

???-

???∑

jl ij kl

il j

g g g g u

???+

???∑

jl ij kl

il j

g g g g u

???-

???∑

A 72．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．

A 0

B 1

C 2

D 3

B 73．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）

B -

A 74．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟）

A 直线

B 平面曲线

C 抛物线

D 圆柱螺线

B 75．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）

A 等于π

B 小于π

C 大于π

D 不能确定

三、多选题

第一章

76.若()((),(),()),1,2,3i i i i t x t y t z t i ==r 为向量函数，则下列论述正确的是（ AD ）．（导数；易；4分钟）Ａ 1111()((),(),())t x t y t z t ''''=r

Ｂ 1111111111()((),(),())((),(),())((),(),())t x t y t z t x t y t z t x t y t z t ''''=++r Ｃ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''''=r r r r r r

Ｄ 123((),(),())t t t 'r r r 123123123((),(),())((),(),())((),(),())t t t t t t t t t '''=++r r r r r r r r r Ｅ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''=r r r r r r

77．m ,n 为常向量，()t r 为向量函数，则下述正确的是（ ABC ）．（积分的性质；中；4分钟）

Ａ

()d ()d b

t t t t ?=???m r m r Ｂ ()d ()d b

t t t t ?=???m r m r

Ｃ

(,,())d ()()d b

a a

t t t t =???m n r m n r Ｄ (,,())d ()()d b

t t t t =???m n r m n r

Ｅ

(,,())d ()()d b

t t t t =????m n r m n r

第二章

78．下列曲线中为正则曲线的有（ACDE ）。（曲线的概念；易；4分钟）

Ａ 3

()(,)x x x =r ，),(+∞-∞∈x Ｂ 2

()(,)x x x =r ，),(+∞-∞∈x

Ｃ 2

3()(,)x x x =r ，),0(+∞∈x Ｄ ()(cos ,)x x x =r ，),(+∞-∞∈x Ｅ ()(,)x x x =r ，)2,1(-∈x 79．下列曲线中是正则曲线的有（ABCDE ）。（曲线的概念；易；4分钟）Ａ (cos ,sin ,)t t t =r ， ),(+∞-∞∈t Ｂ (sin 3,3,0)t t =r ， ),(+∞-∞∈t Ｃ 2

(cos ,cos ,sin )t t t =r ， ),(+∞-∞∈t

Ｄ (cos ,1cos sin ,sin )t t t t =---r ， ),(+∞-∞∈t Ｅ 22(2sin ,2sin tan ,)t t t t =r ， ),(+∞-∞∈t 80．下列式子正确的是（ABCE ）．（伏雷内公式；中；4分钟）

Ａ =?γαβ Ｂ ⊥γα Ｃ k τ=-+β

αγ Ｄ ⊥γβ Ｅ γ

∥β．第三章

81．曲面33z x y =+在点(1,2,9)M 的（AD ）．（切平面、法线；中；4分钟）

A 切平面方程为312180x y z +--=

B 切平面方程为31480x y z +-+=

C 法线方程为1393121x y z ---==-

D 法线方程为1293

121x y z ---==- E 法线方程为

1294

x y z ---==-

82．正螺面(cos ,sin ,)u v u v av =r 的（AC ）．（切平面、法线；中；4分钟）

A 切平面方程为sin cos 0xa v ya v zu auv -+-=

B 切平面方程为sin cos 0xa u ya u zv auv -+-=

C 切平面方程为sin cos 0xa u ya u zv auv ---=

D 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z av a v a v u ---==-

E 法线方程为

cos sin sin cos x u v y u v z av a u

a u

---=

83．下列二次形式中，（ ABD ）不能作为曲面的第一基本形式．（第一基本形式；易；4分钟）

A 2

(d ,d )d 4d d d u v u u v v =++I B 2

(d ,d )d 4d d 4d u v u u v v =++I

C 2

(d ,d )d 4d d 6d u v u u v v =-+I D 2

(d ,d )d 4d d 2d u v u u v v =+-I E 2

(d ,d )d 4d d 5d u v u u v v =++I

84．一般螺面(,)(cos ,sin ,())u v u v u v f u av =+r 的第一类基本量是（ BCD ）．（第一基本量；易；4分钟）

A 21(())E f u =+

B 21(())E f u '=+

C ()F af u '=

D 22G a u =+

E 22G a u =-

85．下列曲面中，（ BCD ）是旋转常高斯曲率曲面．（常高斯曲率曲面；易；4分钟） A 正螺面 B 平面 C 球面 D 圆柱面 E 悬链面第四章

ABC 86．对于曲面上的正交坐标网，测地曲率_____g κ=（设曲线的切方向与u r 的夹角为θ）．

d ds θθθ-

d ds

θθθ-

C cos sin u v g g d ds θκθκθ++

D sin cos u v g g d ds θκθκθ++ E

cos sin u v g g d ds

θκθκθ+-

87．曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是ABCD （测地线的概念；中；4分钟）

A 满足方程

,d d d 0d d d k

i j

u u u s

=∑的曲线

B 满足0g κ=的曲线

C 除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线

D 满足0κ=的曲线

E 满足0n κ=的曲线

四、叙述题

第三章

88．曲面。[解]设G 是初等区域，S ?3R ，如果存在一个连续一一映射3

:G →r R 使得()G S =r ，则称S 是一张曲面，而()x =r r 叫S 的参数表示．

89．坐标曲线。【解】曲面:(,),(,)S u v u v G =∈r r ，0(,)u v r 的像叫u -曲线，0(,)u v r 的像叫v -曲线，u -曲线和v -曲线都叫坐标曲线．

90．第一基本形式。【解】称二次型22(d ,d )d 2d d d u v E u F u v G v =++I （其中u u E =?r r ，u v F =?r r ，v v G =?r r ）为曲面的第一基本形式．而E 、F 、G 叫曲面的第一类基本量． 91．内蕴量。【解】由曲面的第一类基本量所决定的量叫曲面的内蕴量．

92．第二基本形式。【解】称二次型22(d ,d )d 2d d d u v L u M u v N v =++II （其中uu L =?r n ，uv M =?r n ，vv N =?r n ）为曲面的第二基本形式．而L ，M ，N 为曲面的第二类基本量． 93．【解】若在P 点有2

0LN M

->，则称P 点为曲面的椭圆点．

94．法曲率。【解】给定曲面S 上一点P 处的一个切向量(d)d :d u v =，则P 点沿方向()d 的法曲率定义为(d )(d ,d )/(d ,d )n κ=II r r I r r ．

95．主曲率。【解】使法曲率(d )n κ达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率． 96．高斯曲率。【解】曲面的两个主曲率之积12K κκ=?叫曲面的高斯曲率． 97．极小曲面。【解】平均曲率0H =的曲面叫极小曲面．

五、计算题

第二章

98．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．（弧长；中；5分钟）

【解】旋轮线()((sin ),(1cos ))t a t t a t =--r 的切向量为()(cos ,sin )t a a t a t '=-r ，则它的π20≤≤t 一段的弧长为：

()d 8s t t t a π

r ．

99．求曲线t

te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．（基本向量；中；10分钟【解】由题意知 ()(sin cos ,cos sin ,)t

t t t t t t t e te '=+-+r ， ()(2c o s s i n ,2s i n c o s ,2t

t t t t t t t

e te ''=---+r ，

在原点时有 (0)(0,1,1),(0)(2'''==r r 。

又

(,)(,), '''''''''

'''''

??r r r r r r r αβr r r r ，'''?=

'''

?r r γr r ，

所以有

(0,

,22366333==-

αβγ。

100．圆柱螺线为()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 。（基本向量、曲率、挠率；中；15分钟）

①求基本向量α，β，γ；

②求曲率κ和挠率τ；【解】①由题意有

()(sin ,cos ,)t a t a t b '=-r ，()(cos ,sin ,0)t a t a t ''=--γ，

又由公式()(),,'''''''''

'''?-??=

''''

'''

???r r r r r r r r r αβγr r r r r r 有

sin ,cos ,),

(cos ,sin ,0),1sin ,cos ,).

a t a t

b t t b t b t a =

-=--=

-αβγ

②由一般参数的曲率公式3

()t κ'''?='

r r r 及挠率公式 2

(,,)

()t τ''''''=

'''

?r r r r r 有22a a b κ=+，22b a b +=τ。

第三章

101．求正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的切平面和法线方程．（切平面、法线；中；5分钟）【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，切平面方程为

cos sin cos sin 00sin cos 0,sin cos x u v y u v z bv v v b v x b u y uz buv u v

u v b ---=??-?+-=-

法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bv b v

b v

---=

=-．

102．求球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )a a a ?θ?θ?θ?=r 上任一点处的切平面与法线方程．【解】

(sin cos ,sin sin ,cos )a a a ??θ?θ?=--r ，

(c o s s i n ,c o s c o s a a θ?

θ?θ=-r ，

sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0

cos (cos cos ,cos sin ,sin )

e e e a a a a a a ?θ?θ

?θ??θ

?θ

??θ?θ??=---=---r r

∴ 球面上任意点的切平面方程为

(cos cos ,cos sin ,sin )

cos (cos cos ,cos sin ,sin )0,

x a y a z a a ?θ?θ???θ?θ?---?---=

即cos cos cos sin sin 0x y z a θ??θ??+?+?-=，法线方程为

(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),

x a y a z a a ?θ?θ?λ??θ?θ?---=?---

即

cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ?θ?θ??θ

?θ

---=

．

103．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟）【解】参数表示为22(,)(,,())x y x y a x y =+r ，

(1,0,2)x ax =r ，(0,1,2)y ay =r ，

14x x E a x =?=+r r ，2

4x y F a xy =?=r r ，

14y y G a y =?=+r r ，

(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．

104．求正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟）【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，

1u u E =?=r r ，0u v F =?=r r ，2

v v G u b =?=+r r ， 2

(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．

105．计算正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一、第二基本量．（第一基本形式、第二基本形式；中；15分钟）【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，

(0,0,0)uu =r ，(sin ,cos ,0)uv v v =-r ，(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ，

cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v v v b v b v u u v

u v

=--i

j k

r r ，

u v u v ?=

?r r n r r

1u u E =?=r r ，0u v F =?=r r ，22

v v G u b =?=+r r ，

0uu L =?=r n

，uv M =?=-r n 0vv N =?=r n ．

106．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．（高斯曲率、平均曲率；中；15分钟）【解】设抛物面的参数表示为22(,)(,,)x y x y x y =+r ，则

(1,0,2)x x =r ，(0,1,2)y y =r ，

(0,0,2)xx =r ，(0,0,0)xy yx ==r r ，(002)yy =r ，，

， 1

02(2,2,1)0

2x y x x y y

?==--i

j k

r r ，

(2,2,1)||

x y x y x y ?--=

?r r n r r ，

14x x E x =?=+r r ， 4x y F xy =?=r r ， 2

14y y G y =?=+r r ，

xx L =?=

r n 0xy M =?=r n ，

yy N =?=

r n

222

441

(14)(14)(4)

(441)

LN M x y K EG F

x y xy x y --++=

-++-++，

12442

2(441)GL FM EN

x y H EG F

x y -+++=?=-++．

107．计算正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的高斯曲率（高斯曲率；中；15分钟）【解】直接计算知

1E =，0F =，2

G u a =+，0L =

，a M =

0N =，

222

()

LN M a

K EG F

u a -∴=

-+．

第四章

108．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．（测地曲率、刘维尔定理；中；15分）

【解】因为正螺面的第一基本形式为2222

d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v-曲线0u u =，由2

θ=

得

d 0d s

θ=．由

正交网的坐标曲线的测地曲率得

0g G u u a

κ=

+．

六、证明题

第二章

109．证明曲线(cos ,sin ,0)t t e t e t =r 的切向量与曲线的位置向量成定角．（切向量、夹角；较易；5分钟）

【证】对曲线上任意一点，曲线的位置向量为(cos ,sin ,0)t t e t e t =r ，该点切线的切向量为：

((cos sin ),(sin cos ),0)t

e t t e t t '=-+r ，则有：

2cos

t e

θ'?=

r r r r ，

故夹角为

。由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．

110．证明：若'r 和''r 对一切t 线性相关，则曲线是直线．（曲率；中；10分钟）【证明】若'r 和''r 对一切线性相关，则存在恒不同时为0的(),()f t g t 使

()()()()f t t g t t '''+=r r 0。

则 ()() t t t '''?=?r r 0。

又3

()t κ'''?='

r r r ，故 ()0k t =t ?。于是该曲线是直线．

111．证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．（主法线、夹角；中；10分钟）【证明】由题意有

()(sin ,cos ,),()(cos ,sin ,0)t a t a t b t a t a t '''=-=--r r 。

由(,)(,)''''''''

''''

??r r r r r r βr r r 知(cos ,sin ,0)t t =--β。另一方面z 轴的方向向量为(0,0,1)=a ，而0?=a β，故⊥a β，

即主法线与z 轴垂直．

112．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2

===的所有法平面皆通过坐标原点．（法平面；较易；5分钟）【证明】由题意可得()(sin 2,cos 2,sin )t a t a t a t '=-r ，则任意点的法平面为

0)cos (sin )cos sin (2cos )sin

(2sin 0000002

0=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有

左边

)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin

0(2sin 0000002

0t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成立．

113．证明曲线t

z t

y t

t x +=

-+=

11,11,112

为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程。（挠率；中；10分钟）

【证明】设01111112

=+++-+-+D t

t A

，整理比较两边同次项可得

0,02,0=+++=-=-D C B A C A D A ，

则有D C D B D A 2,4,=-==，即曲线为直线，且有0124=++-z y x ．

第三章

114．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．（坐标曲线、夹角；5分钟）【证明】设正螺面的参数表示是(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r ，则

(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ， (cos ,sin ,0)(sin ,cos ,)0u v v v u v u v b ??=?-=r r ，

故正螺面上的坐标曲线互相垂直．

115．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟）【证明】参数表示为(,)(,,)x y x y xy =r ，则

(1,0,)x y =r ，(0,1,)y x =r ，(0,0,0)xx =r ，(0,0,1)xy =r ，(0,0,0)yy =r ，

(,,1)x y y x ?=--r r

，(,,1)||

x y x y y x ?--=

?r r n r r

0xx L =?=r n

，1xy M =?=

r n ，0yy N =?=r n ，

0001

LN M

x y x y ∴-=?-

<++++，

故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．

116．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即

(d ,d )(d ,d )

u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上

所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．（脐点；难；15分钟）【证明】设球面的参数表示为

(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R v u R v u R v =r ，则 (cos sin ,cos cos ,0)u R v u R v u =-r ， (sin cos ,sin sin ,cos )v R v u R v u R v =--r ， (cos cos ,cos sin ,0)uu R v u R v u =--r ， (sin sin ,sin cos ,0)uv vu R v u R v u ==-r r ， (cos cos ,cos sin ,sin )vv R v u R v u R v =---r ，

22cos u u E R v =?=r r ，0u v F =?=r r ，2

v v G R =?=r r ，

cos L R v =

，0M =

=，

(,,)N R =

=-r r r ，

1(,,)(,,)L M N E F G R

∴=-

，故球面是全脐的．

117．证明平面是全脐的．（脐点；易；5分钟）【证明】设平面的参数表示为(,)(,,0)x y x y =r ，则

(1,0,0)x =r ，(0,1,0)y =r ，

(0,0,0)xx =r ，(0,0,0)xy =r ，(0,0,0)yy =r ，

1x x E =?=r r ，0x y F =?=r r ，1y y G =?=r r ， 0xx L =?=r n ，0xy M =?=r n ，0yy N =?=r n

(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．

118．设有曲面(,)z f x y =，试证曲面的第二基本形式与函数(,)f x y 的二阶微分成比例．（第二基本形式；较难；10分钟）

【证明】设曲面(,)z f x y =的参数表示为(,)(,,(,))x y x y f x y =r ，则

(1,0,)x x f '=r ，(0,1,)y y f '=r ，(0,0,)xx xx

f ''=r ，(0,0,)xy xy f ''=r ，(0,0,)yy yy f ''=r ， 1

0(,,1)0

x y x x y y f f f f '''?==--'i

j k

r r

，(,,1)||

x y x y f f ''?--==

?r r n r r ，

xx L ''=?=

r n

，xy f M ''=?=

r n

yy f N ''=?=

r n

221

(d ,d )d 2d d d )xx

xy yy f x f x y f y ''''''∴=

++II r r ． 119．证明曲面3

x y z +=的所有点为抛物点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟）【证明】记曲面的参数表示为1/3

(,)(,,()

)x y x y x y =+r ，则

2/3

(1,0,())x x y -=+r ， 2/3

(0,1,())y x y -=+r ，

5/3

(0,0,())xx x y -=-+r ，

5/3

29(0,0,()

)xy x y -=-+r ， 5/3

9(0,0,())

yy x y

-=-+r ， 2/3

2/3

113

((),(),1)x y x y x y --?=-+-+r r ， ||

x y x y ?=

?r r n r r ，

5/3

9(0,0,()

)xx L x y -=?=-+?r n n ，

5/3

29(0,0,()

)xy M x y -=?=-+?r n n ，

5/3

29(0,0,()

)yy N x y -=?=-+?r n n 2

0LN M

?-=，

∴曲面3

x y z +=的所有点为抛物点．

120．求证正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v av =r 是极小曲面．（平均曲率；中；15分钟）【证明】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v a =-r ，

(0,0,0)uu =r ，(sin ,cos ,0)uv v v =-r ，(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ，

cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v v

v a v a v u u v

u v

?==--i

j k

r r ，

u v u v ?=

?r r n r r ，

1u u E =?=r r ，0u v F =?=r r ，22

v v G a u =?=+r r ， 0uu L =?=r n

，uv M =?=-

r n ，0vv N =?=r n ，

1210,22

1()0

EN FM G L H EG F a u -+∴=?==-?+-故正螺面是极小曲面．

121．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．（点的分类、平均曲率；中；5分钟）

【证明】1

202

H κκ+== ， 12κκ∴=-， 2

1220K κκκ∴=?=-≤ 当0K =时，120κκ==， ∴极小曲面的点都是平点；当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．第四章

122．证明若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零．（高斯曲率；难；10分钟）

【证明】在每族测地线中任取两条，围成曲面上的曲边四边形．根据已知条件，曲边四边形的外角和为2,π由高斯-波涅公式有

d 22G

K σ

ππ+=??，

d 0G

K σ

=??．

若在曲面上的某点0P 处，0K ≠，不妨设0()0K P >，则在0P 点的邻近0K >，从而对于围绕0P 点的充分小的曲边四边形有

d 0G

K σ

>??，

得出矛盾，所以0K ≡，即曲面为可展曲面． 123．求证半径为R 的球面上测地三角之和为()2

1,A R

π?+其中()A ?为测地三角形的面积．（高斯-波涅定理；难；

【证明】由高斯-波涅公式有

d ()G

K S σ

π=?-??．

对于半径为R 的球面有2

1K R

，所以

1()()S A R

π?=+

?，

其中()A ?为测地三角形的面积．

124．若曲面S 的高斯曲率处处小于零，则曲面S 上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线．【证明】设若存在所述闭测地线()C ，它所围成的曲面部分为G ，则由高斯-波涅公式

d d ()2k

i i G

K s σκ

απ=?++

-=∑??? ．

因为0K <，则d 0G

K σ≤??，又后两项均为0，得出矛盾．所以不存在所述测地线．

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

微分几何陈维桓新编习题答案

习题答案2 p. 58 习题 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ，又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知

微分几何习题及答案解析

第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数 )(t λ、)(t μ，使''r = r λ+μ'r ①

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

微分几何主要习题解答第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，

γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:

微分几何期末复习题

微分几何复习题一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量为。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为。 8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面是曲线在P 点的。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方程是。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方程是。 11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是。 14. 曲线的主法向量的正向总是指向。 15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是。 19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是。 20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为。

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科第一部分:练习题库及答案一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (－1,－1,-1)、 3、过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z ＝０ 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5、计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k 、 6、设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9、已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 1０.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11、已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12、已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13、曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 1４、曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15、曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

第四版微分几何第二章课后习题答案

第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。

微分几何期终试题

《微分几何》期终考试题（A）班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的【】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是【】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的【】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是【】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是【】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是【】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是【】 k g k n k

12-13(二)微分几何期末复习题

一，填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是圆柱螺线。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

微分几何试题库

二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr

2013微分几何试卷

济南大学2012～2013学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课程微分几何授课教师滕厚山考试时间 2013.6.26 考试班级数学10级班学号姓名一、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“╳”。每小题2分，共10分) 1. 空间曲线的切向量α 总是指向曲线的参数增值方向.（） 2. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状.（） 3. 曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线.（） 4. 因为高斯曲率2 2 F E G M LN K --=与第二类基本量有关，所以它不是内蕴量.( ) 5. 等距等价的两个曲面在对应点具有相同的高斯曲率.( ) 二、填空题（将答案填在题中横线上，每小题2分，共10分） 1. 向量函数{ }3 23 13 1 , sin , cos = )(t t t r 关于t 的旋转速度等于_______. 2. 向量函数)(t r 有固定长的充要条件是___________. 3. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是_______________. 4. 曲面)(S 的u --坐标曲线族的正交轨线族的微分方程是_________________. 5. 直纹面(,)()()r u v a u vb u =+的导线()a a u =是腰曲线的充分必要条件是_____________. 三、选择题（将正确答案的代号填入该题后面的括号内，每小题2分，共10分） 1. 向量函数)(t r r =有固定方向的充分必要条件是（） .A 0='?r r .B 0 ='?r r .C 0),,(='''r r r .D 0 =''?'r r 2. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是（） .A 平面曲线 .B 直线 .C 圆 .D 圆柱螺线 3. 下列曲面不是可展曲面的是（） .A {}(,)cos ,sin ,r u v v u v u au b =+； .B 曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =的切线面； .C 高斯曲率恒为零的无平点曲面； .D 与平面等距等价的曲面。 4. 曲面上曲线的曲率k ，法曲率n k ，测地曲率g k 之间的关系是（） .A g n k k k =+ .B g n k k k =+ .C 222 g n k k k =+ .D 222g n k k k =+ 5. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的是（） .A 非脐点处，主方向垂直 .B 脐点处，任何方向都是主方向 .C 非脐点处，有且仅有两个主方向 .D 脐点处，无主方向四、（本题15分）已知圆柱螺线},sin ,cos {:)(bt t a t a r C = ，求（1）曲线)(C 的自然参数方程；（2）曲线)(C 在任意一点的基本向量γβα ,,；（3）曲线)(C 在任意一点的曲率和挠率. …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………… ……………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科第一部分:练习题库及答案一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

微分几何第四版习题答案梅向明(供参考)

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------??? ??? ????? ???a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ?????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,

微分几何练习题库及参考答案(已修改)精编版

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42r()d =1,2,3t t -?， {}6 4r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4 6 22()()a r t dt+b a r t dt=?????{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 0()d f g dt dt ?=? 4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2c o s ,2c o s ,2c o s t t t t v t u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则

微分几何试卷6

西北师范大学数信学院数学与应用数学专业《微分几何》考试题（A）（2008/07）班级：学号：姓名：成绩：得分评卷教师一、填空题（每空2分，共20分） 1．曲线为平面曲线的充分必要条件是__________________. 2．距离单位球面球心距离为d(0d<1)<的平面与球面的交线的曲率为 ________________，法曲率为_________________. 3．曲面的第二基本形式为z xy = ______________. 4．全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是____________ 和______________. 5．法曲率的最大值或最小值正好是曲面的____________曲率，使法曲率达到最大值或最小值的方向是曲面的____________方向. 6．如果参数曲面r r(u,v)=的坐标网是半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可以写成 . 7．在正交坐标网下，v—曲线的测地曲率= v g k _. 得分评卷教师二、单项选择题（每题2分，共16分） 1.曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 ( )

① F=0； ② M=0； ③ F=M=0； ④ L=N=0. 2. 若曲面上一点处的两个主曲率为2，12 ，则这点是曲面的 ( ) ① 椭圆点； ② 双曲点； ③ 抛物点； ④ 脐点. 3. 下列曲面中，不一定是可展曲面的是 ( ) ① 锥面；② 曲线的切线曲面；③ 柱面；④ 曲线的主法线曲面. 4. 曲面上使n g k k 0==的曲线不一定是 ( ) ① 直线； ② 渐近线； ③ 曲率线； ④ 测地线. 5. 曲面在每一点处的主方向 ( ) ① 只有一个； ② 至少有两个； ③ 只有两个；④ 也可能没有. 6. 球面上的大圆不可能是球面上的 ( ) ① 测地线； ② 曲率线； ③ 法截线； ④ 渐近线. 7. 在球面上，测地三角形的三内角之和 ( ) ① 等于π；② 大于或等于π；③ 大于π；④ 小于等于π. 8. 下列不是曲面的内蕴量的是 ( ) ① 曲面的高斯曲率K； ② 曲面沿某方向的法曲率； n k ③ 曲面上曲线的测地曲率； ④ 曲面的克氏记号. g k k ij Γ 得分评卷教师三、计算题（每题10分，共30分） 1. 求曲线{})0(),cos 1(),sin 1()(>??=a bt t a t a t r 的曲率函数、挠率函数.

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