点的投影及其辅助投影直线的投影及直线上的点(课堂PPT)

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道路工程识图与绘图模块4点、直线、平面的投影

图4-2 阳光照射下桥梁在地面上产生的影子
4.1.1 投影的概念、投影法的分类及正投影的特性
人们经过长期的实践，将这些现象加以抽象、分析研究和科学总结，从中找出影子和形体之间的关系，用以指导工程实践。这种用光线照射形体，在预先设置的平面上投影产生影像的方法称为投影法。光源称为投影中心，从光源射出的光线称为投影线，预设的平面称为投影面，形体在预设的平面上的投影称为形体在投影面上的投影。
道路工程识图与绘图
模块4 点、直线、平面的投影
4.1 投影的基础知识 4.2 点的投影知识 4.3 直线的投影知识 4.4 平面的投影知识
模块4 点、直线、平面的投影
知识目标
（1）了解点、直线、平面的基本投影规律和点的坐标。（2）理解点的坐标与三面投影的关系及直线和平面的空间位置。（3）掌握平面的投影及平面上的点和直线的投影。
【例4-1】
4.1.2 三面投影
图4-18 绘制三面投影图的方法、步骤 (a)已知形体(b)绘制三面投影体系(c)量取长、高，画正视图 (d)按“长对正”绘制俯视图(e) 按“高平齐”“宽相等”绘制左视图(f)检查加深，完成作图
4.1.2 三面投影
【分析】正面投影方向为直观图中正视所指方向［见图 4-18（a）］，形体的前后两面平行于V投影面，较能代表其与众不同的特征形状，因而画好投影轴、大致将三个图样位置划分好后，可以着手作图。
（2）由前向后投影，在V面上得到了形体的V面投影图。
（3）由左向右投影，在W面上得到了形体的W面投影图。
4.1.2 三面投影
三投影面体系是在三维立体空间建立的，为了使三面投影图能画在一张图纸上，还必须把三个投影面展开，使之平铺在同一平面上。三面投影的规定为：V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，使它们转至与V面同在一个平面上，如图4-13所示，这样就能够得到画在同一平面上的三面投影图。

第二章投影基础

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2014-3-25
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安徽工业大学时礼平
1
第一节投影法和物体三视图的形成
一、投影法的概念
物体在光线照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们根据这种自然现象加以抽象研究，总结其中规律，提出投影的方法。下图是投影法产生的原理图。点S称为投射中心，平面P称为投影面，直线 SAa称为投射线。这种产生图像的方法称为投影法。
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8
安徽工业大学时礼平
2．点的两面投影
V面投影，标记a′称正面投影
A点
H面投影，标记a ，称正面投影分析： ox ⊥ Aa、 ox ⊥ a′ax、 ox ⊥ a ax 投影平面展开连线得 a a′ ⊥ ox A a′= a ax a′ax = A a
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2014-3-25
a″ c′ c o (c″) b″
Yw
YH
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16
安徽工业大学时礼平
三、两点的相对位置
1.空间方位的约定：x坐标增大的方向为向左的方向；y坐标增大的方向为向
前的方向； z坐标增大的方向为向上的方向
2.点的相对位置的判别：x坐标→判别左右的方向；y坐标→判别前后的方向
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14
安徽工业大学时礼平
2. 特殊位置点：
投影面上点的投影特性： 1）点的一个投影与空间点本身重合；
2）点的另两个投影在相应的坐标轴上；
投影轴上的点的投影特性：1）点的两个投影与空间点本身重合；
2）点的另一个投影在原点；
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第3章投影基础

例2 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的投影。 Z a 12 a
b X 10 b 6 a
b
O
YW
YH
§3.2.2
一、直线
b′
直线的投影
Z
b″
a′
X
a″
YW
b
a
YH
图2-18 直线的投影
二、直线的投影
1.三种位置直线平行于某一个投影面而对另外两个投影面平行线：
k1 k′ d1
l2
d′
X O X
d′
O
d
d k l2 l1
k
c
图2-26 求直线上点的投影
c
例2 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C 的投影。 b c a X b
O
c
a
[例3] 已知直线AB和M点的正面投影和水平投影，问 M点是否在直线上？
Z
解：分析：AB为侧平线，M在直线上，必在直线AB的同面投影上，并满足定比规律。作图：方法一分割线段成定比方法二画第三投影
1.平面内取点
Z
b′ e′ a′ c′
X
b″
a″
e″
c″
YW
a c e b
YH
图2-39 平面内取点
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
平面上取点
b
e
d
B E D C
c
a c
a
d
A
e b
2.平面内取线
Z
a′ c′ m′ 1′ b′ c n 2 a 1 b
YH
a″ n′ 2′
a′
(a′)b′

机械工程图学-投影理论的基础知识(平面的投影)

Wang chenggang
2-4/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
Wang chenggang
2-5/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
2-19/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
垂直于水平面的平面称为铅垂面。
Y
a’ b’ a” b”
d’
c’ d” c”
X
O
YW
a(d) c(b)
YH
Wang chenggang
a’
b’
d’
c’
A
D
a(d)
a”
B d” b”
C
c”
b(c)
铅垂面
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于H 面的称为水平面，其投影特性为： ①水平投影反映平面的实形。 ②正面投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
水平面的投影特性
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于V面的称为正平面，其投影特性为： ①正面投影反映平面的实形。 ②水平投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
Wang chenggang
2-24/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
（2）投影面平行面
平行于一个投影面的平面。
必然同时垂直于另外两个投影面！
图2-26 投影面平行面的立体图

第四章立体的投影

③判别可见性。
❖ ㈡两平面立体的表面交线
相交形体的表面交线称为相贯线。
两平面立体相贯线的特征：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。立体的相贯形式有两种：
一是全贯，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组；二是互贯，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。求两平面体相贯线的方法：有两种（1）交点法——先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交点顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。（2）交线法——直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。
（3）投影分析
（二）棱锥体（1）形体特征: 底面是多边形，棱线交于一点，侧棱面均为三角形。（2）安放位置: 底面△ABC平行于H面。（3）投影分析
【例4-1】作四棱台的正投影图解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投影积聚为直线。 3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
3）连点。 4）判断可见性。
❖ 三、同坡屋面交线的画法
单坡屋面坡屋面双坡屋面
四坡屋面同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。同坡屋面交线的画法，其实质是求两平面交线的问题。
同坡屋面上各种交线的名称

投影面体系及点的投影基本知识.

（3）投影轴上的点
Z V Dd' d" X
d
Z d' d"
W
X
O
O
b"
d
Yw
H
Y
YH
投影特点：投影轴上的点必有两个坐标为零，也就是该点与相交于这条投影轴的两个投影面的距离都是零，在相交于这条投影轴的两个投影面上的投影，都与该点相重合，另一投影则重合与原点O。
（4）与原点O重合的点
Z V Z
左侧的分角称为第一分角。通常把物体放在第一分角中来研究。
Y
三个投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX、OY、OZ表示，如图所示
将物体置于三投影面体系中，按正投影法分别向三个投影面投射，其V面投影称为主视图，H面投影称为俯视图，W面投影称为左视图。
左视图主视图
俯视图
为了把物体的三面投影画在同一平面上，规定V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向后旋转 90°，与V面处在同一平面上。
[解] 因为点与投影面的距离，分别是该点的相应的坐标，亦即xA=WA=14， yA=VA=10， zA=HA=11，所以仍用例题2.1同样的作图原理和步骤，即可作出点A的三面投影。 Z
a' a"
X
O
YW
a YH
5. 各种位置的点
（1）空间点：不在任一投影面上的点。
Z V a'
A
a'
a" W O a Y a X
V
a A
X
O
a
H
2.三投影面体系的建立
对于一些复杂的物体，只有两个投影往往不能确定其形状，需建立三投影面体系。用三个互相垂直的投影面构成一个三投影面体系，三个投影

投影法三视图

2投影法和三视图2.1体的三视图及其投影规律2.1.1常用的投影方法在工程上常用各种投影方法绘制工程图，常用投影方法有中心投影法、平行投影法。

（1）中心投影法如图2-1-1所示的投影法中，所有的投影线都汇交于一点，称为中心投影法。

中心投影法得到的物体的投影与投影中心、空间物体和投影面三者之间位置有关，投影不能反映物体的真实大小，但是图形富有立体感。

因此，中心投影法通常用来绘制建筑物或富有逼真感的立体图，也称为透视图。

图2-1-1 中心投影法（2）平行投影法如图2-1-2所示，投射线Aa、Bb、Cc是相互平行的，称为平行投影法。

平行投影法又称为正投影法和斜投影法。

(a)正投影法 (b)斜投影法图2-1-2 平行投影法投射线垂直于投影面，为正投影法；投影线倾斜于投影面为斜投影法。

在平行投影法中，如果平面与投影面平行，得到的投影就能反映平面的真实形状和大小并且投影同平面和投影面的距离无关。

2.1.2投影规律在机械图中常用正投影法，它具有以下规律：1.真实性：当空间物体平行于投影面时，投影反映空间物体的实形。

2.积聚性：当空间物体垂直于投影面时，投影积聚为直线和点。

3.类似性：当空间物体倾斜于投影面时，投影与原图形类似。

2.2点的投影特性点是组成形体的最基本的几何要素。

2.2.1点的单面投影（如图2-2-1所示）设定投影面P，由一个空间点A做垂直于P面的投影线，相交于P面上一点a，点a就是空间点A在P面上的投影。

由此可见：一个空间点在一个投影面上有唯一确定的投影。

反之，如果已知点A在投影面P上的投影a，不能唯一地确定该点的空间位置，这是由于在从点A所做的P面的垂直线上所有各点的投影都位于a处。

图2-2-1 点的单面投影由于单面投影不能够确定点的唯一位置，所以在工程上常把几何体想象成放在相互垂直的两个或两个以上投影面间，在投影面上形成的投影就是多面正投影。

2.2.2点的两面投影（1）两投影面体系的建立相互垂直的正投影面V和水平投影面H它们相交投影轴OX，便组成了V、H投影面体系。

点直线平面的正投影标准版文档

四. 点、直线、平面的正投影作图
表特殊位置直线的投影
四. 点、直线、平面的正投影作图
直线的投影 [例3] 如图（a）所示，已知E是CD线上的点，求e。
〔解法1〕：据已知条件，利用投影规律，先求出直线的第三投影即W面投影ｃ＂ｄ＂，再求出e＂最后求出e点。如图所示。
〔解法2〕：利用定比性，将直线的V面投影度量到 H面投影上，c、c’点重合，连接d、d’，过e点作 dd’直线的平行线，与c’d’直线相交得e’点。如图所示。
四. 点、直线、平面的正投影作图
点的投影
① 点的三面投影及其规律如图所示，为空间点Ａ的三面投影图及展开图。总结其展开图的投影规律，可以得出点的三面投影规律：a’a┴OX，a’ a〃┴OZ，axa=a〃az。
② 点的坐标可以用坐标值来确定空间点的投影，如Ａ（X、Y、Z）。三个坐标值X、Y、Z分别代表了空间点到W、V、 H三个投影面的距离。当点的坐标中有一个坐标值为零时，就表示该点为平面上的点；若有两个坐标值为零时，就表示该点为投影轴上的点。如图所示。
同在理三分面析投：影求体出系a中d,、据b直d直线线对与投c影e直面线的的位交置点,可2分、为3点三，种再情作况出:一2、般3位点置，直连线接、d投2、影d面3直垂线直并线延及长投即影可面求平出行ab直线。
分点析、：直可线利、用平平面面的上正找投点影的作方图法，依次求出D、E 、F点，也可利用平行性，如DE//AB ，求出F点，然后将图形连接完成。
图点的投影
图点的坐标
四. 点、直线、平面的正投影作图
点的投影
③ 两点的相对位置空间点的位置是根据它们对三个坐标轴的位置而定的。我们分别以 X轴，Y轴，Z轴的正向表示左、前

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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线
投影面平行线读图问题
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线铅垂线 ——垂直于水平面的直线称为铅垂线。正垂线——垂直于正面的直线称为正垂线。侧垂线 ——垂直于侧面的直线称为侧垂线。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线铅垂线 ——垂直于水平面的直线称为水平线。正垂线——垂直于正面的直线称为正垂线。侧垂线 ——垂直于侧面的直线称为侧垂线。
点的辅助投影例子：
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二、直线的投影
直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。
直线对一个投影面的投影特性：
A●
M● B●
●
a(m)(b)
B
●
A●
●b a●
●B α A
●
●b a●
直线垂直于投影面直线平行于投影面
(1) 投影面平行线水平线 ——平行于水平面的直线称为水平线。正平线——平行于正面的直线称为正平线。侧平线 ——平行于侧面的直线称为侧平线。
αγ
αγ
αγ
正平线的投影特点: 正面投影a‘b’为倾斜线段，且反映实长及夹角；水平投影ab平行于OX轴，小于实长；侧面投影a"b"平行于OZ轴，小于实长。
2.点的正投影规律
点的第一条正投影规律一点在两个投影面上的投影，在投影图上的连线，一
定垂直于该两投影面的交线，即垂至于投影轴。
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点的第二条正投影规律
空间一点到某一投影面的距离，等于该点在任意一个与该投影面垂直的的投影面上的投影到其投影轴的距离。
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●
向右翻
Z
转90°
aZ
A
Y
X
a X
●
●a
O
W
a●
aY
H
向下翻转
Y
90°
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点的投影规律
Z
a ●
Z aZ
a
●
V
a
●
aZ
X aX
O
Y
aY
A
X aX
●
a●
●a
W O
aY
a●
aY
Y
H Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
② aax= aaz= y = A到V面的距离 aax= aay= z = A到H面的距离 aay= aaz= x = A到W面的距离
Z
b● b
b
●
在哪里？
Z
a
●
在哪里？
X
O●
Y
X
a ●
a
O a ●
Y
b
空间点B在哪里？
空间点B在OZ轴
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空间点A在哪里？
空间点A在OX轴
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上
点的直观图的做法
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两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
判断方法 ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
a●
b●
X
a●
●
b
Z ●a ● b
YW YH
B点在A点之前、之右、之下。
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重影点
A、C为H面的重影点
空间两点在某一投
a ●
●a
影面上的投影重合为一 c●
● c
点时，则称此两点为该
投影面的重影点。
投影重合为一点投影反映线段实长
积聚性
ab=AB
直线倾斜于投影面投影比空间线段短
aБайду номын сангаас=ABcosα
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二、直线的投影
直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。
在三投影面体系中，直线有三种位置：投影面平行线 ——平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。投影面垂直线 ——垂直于某一个投影面的直线。一般位置直线 ——对三个投影面都是倾斜的直线。各种位置直线的投影，都应符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
正垂线的投影特点: 正面投影a'b'成为一个点，有积聚性；水平投影ab垂直于OX轴，且反映实长；侧面投影a"b"垂直于OZ轴，也反映实长。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线
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点的投影与点的坐标的关系
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例1 已知点A的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°
线使aaZ=aaX
aX
a●
解法二:
用圆规直接量
取aaZ=aaX
a●
aX
a●
aZ
a
●
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例2 已知点的两个投影，求第三投影。
●
a (c)
被挡住的投影加( )
A、C为哪个投
影面的重影点
呢？
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点的辅助投影
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点在V1面上的辅助投影
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点在H1面上的辅助投影
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点的二次辅助投影
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3. 点的三面投影
空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的正面投影 V a●
a 点A的水平投影
A
●
X
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a OW
H Y
空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
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投影面展开
V
a ●
X
ax
a● H
Z
az
a
●
O
ay ay
Y
不动
W
V a
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线水平线 ——平行于水平面的直线称为水平线。正平线——平行于正面的直线称为正平线。侧平线 ——平行于侧面的直线称为侧平线。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
第三章点、直线、平面基本内容:
一、点的投影二、直线的投影
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一、点的投影
点是形体最基本的元素，点的投影是线面体投影的基础。
1.点在一个投影面上的投影
P
a A
点在一个投影面上
的投影不能确定点的空间位置。
P
b
B3 B2 B1
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