(完整版)高二数学期末考试试题及其答案
安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
高二数学（答案在最后）满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线20x y ++=的倾斜角为（）A.45°B.60°C.135°D.150°【答案】C 【解析】【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率1k =-，利用tan k α=即可算出所求的倾斜角大小．【详解】根据题意：202x y y x ++=⇔=--，所以该直线的斜率为1-，设该直线的倾斜角为α，且0180α︒≤<︒，可得tan 1135αα=-⇔=︒．故选：C2.在空间直角坐标系中，已知点()0,0,1A ，()1,2,3B ，(),,2C m n ，若向量AB与向量BC 共线，则m 的值为（）A.0B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.【详解】根据题意：()1,2,2AB = ，()1,2,1BC m n =---，AB 与BC共线，所以()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= ，可得12λ=-，12m =．故选：B3.已知等差数列{}n a 满足1356a a a ++=，则24a a +=（）A.10B.8C.6D.4【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用等差数的性质即可求出结果.【详解】由1356a a a ++=，得到336a =，即32a =，所以24324a a a +==，故选：D.4.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b =，1AA c =，点M 为四边形11BCC B 的中心点，则AM = （）A.111222a b c ++B.1122a b c++C.111222a b c +- D.1122a b c-- 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果.【详解】根据题意，1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++，又BC AC AB=-，所以1111111222222AM AB BB AC c =++=++ ，故选：A.5.已知双曲线222:14y x C b-=的渐近线方程为250x =，则该双曲线的焦点坐标分别为（）A.()3,0，()3,0- B.()0,3，()0,3-C.()1,0，()1,0- D.()0,1，()0,1-【答案】B 【解析】【分析】由渐近线、,,a b c 的关系以及焦点的概念即可求解.【详解】已知双曲线222:14y x C b -=的渐近线方程为220y x x by b=±⇔±=，对照250x =，可得25b =，所以2549c =+=，所以该双曲线的焦点坐标分别为()0,3，()0,3-．故选：B.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足21n n S a =-，则1224log T T =（）A.45B.50C.55D.60【答案】D 【解析】【分析】根据1nn n a S S -=-可得12n n a a -=，结合等比数列的定义可知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求出n a ，进而求出124T T 即可求解.【详解】根据题意：1121,21n n n n S a S a --=-=-，两式作差可得12n n a a -=，当1n =时，11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以()()44115601256128942,22n n T a a a a a a T -==⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以1224log 60T T =，故选：D ．7.已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线:21l y x =+与该抛物线交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为1M .若17||4MM =，则p =（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】先运用中位线定理，将17||4MM =转化得到,A B 两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到p 的值.【详解】根据题意，过点,A B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为11,A B ，所以1117||||2||2AA BB MM +==，所以72AF BF +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据定义可得121222p pAF BF x x x x p +=+++=++，联立()22122244210221y px p x p x x x y x ⎧=-⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩，1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=．故选：B .8.已知函数()[]f x x =表示不超过x 的最大整数，41n a n =-，[]2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则100S =（）A.673B.747C.769D.821【答案】A 【解析】【分析】用特殊值法，根据对数得运算对n b 进行分类，从而求出前100项的和.【详解】根据题意分析可得：[][]1212log log 31b a ===，[][]2222log log 72b a ===，[][]3232log log 113b a ===，[][]4242log log 153b a ===，584b b ~=，9165b b ~=，17326b b ~=，33647b b ~=，651008b b ~=，所以10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：A二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知向量()2,2,1a =-，(),,2b x y = ，则下列结论正确的是（）A.向量a关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1B.若a b ⊥，则20x y -+=C.若a b =，则225x y +=D.若a b ⊥ 且a b = ，则2x =-，1y =-【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的对称可判断A;根据空间向量垂直的坐标表示可判断B;根据空间向量模长的坐标表示可判断C;结合题意联立20x y -+=，225x y +=,计算即可判断D.【详解】对于选项A :根据题意可知向量()2,2,1a =-关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1,故A 正确；对于选项B :若a b ⊥，则2220a b x y ⋅=-+=，即10x y -+=，故B 错误；对于选项C :若a b = ，则225x y =⇔+=，故C 正确；对于选项D :若a b ⊥ 且a b = ，2210251x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩或12x y =⎧⎨=⎩，故D 错误．故选：AC.10.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法正确的是（）A.若12BF BF ⊥，则a =B.若椭圆C 的离心率为2，则2a =C.当2a =时，过点1F 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最小值为12D.若直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为A ，112BF F A = ，则232a =【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 项，易得等腰直角三角形12BF F ,则1b c ==，即得；对于B 项，由离心率公式和222a b c =+易得；对于C 项，由椭圆中过焦点的最短弦长即通径22b a，易得；对于D 项，利用112BF F A = 表示出点A的坐标，代入椭圆方程计算即得.【详解】对于A 项，若12BF BF ⊥，因12BF BF =,可得1b c ==，则a =，故A 项正确；对于B 项，由222212a e a -==可解得：2a =，故B 项正确；对于C 项，2a =时，椭圆22:14x C y +=，因过点1F 的直线被椭圆C 所截的弦长的最小值为通径长，即22112b a =≠，故C 项错误；对于D 项，如图，因为()0,1B ，()1,0F c -，设点(,)A m n ，由112BF F A =可得(,1)2(,)c m c n --=+，解得：31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆222:1x C y a +=中，可得2291144c a +=，即229(1)344a a -=，解得：232a =，故D 项正确．故选：ABD .11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，238a a +=，现将数列{}n a 与数列{}1n S -的公共项从小到大排列可以得到新数列{}n b ，则下列说法正确的是（）A.21n a n =-B.21n S n =-C.10399b = D.数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1021【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件求出数列{}n a 的公差，易得通项n a 和前n 项和n S ，易于判断A,B 两项；对于新数列{}n b ，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C 项；对于D 项，因数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项易于裂项，故运用裂项相消法求和即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =，由231238a a a d +=+=解得：2d =，故12(1)21n a n n =+-=-，()21212n n n S n +-==，故A 项正确，B 项错误；将数列{}n a 列举出来为：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, 数列{}1n S -列举出来为：0,3,8,15,24,35,,故共同项依次有：3,15,35, ,即13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ ，故2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-，则1041001399b =⨯-=，C 项正确；因()()211111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭，其前10项和为11111111111011232352192122121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．故D 项正确.故选：ACD.12.点A ，B 为圆22():21M x y -+=上的两点，点()1,P t -为直线:1l x =-上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.当0=t ，且AB 为圆的直径时，PAB 面积的最大值为3B.从点P 向圆M 引两条切线，切点分别为A ，B ，AB 的最小值为3C.A ，B 为圆M 上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得π3APB ∠=D.当()1,2P -，AB =时，PA PB +的最大值为1【答案】ABD 【解析】【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A ；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B ；由B 项可判定C 项；根据圆的弦长公式确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D.【详解】对A ：当0=t ，AB 为直径时，1122PAB A S PM h =⨯⨯ （其中A h 为点A 的纵坐标），所以当点A 为()2,1或()2,1-时，三角形PAB 的面积最大，()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯= ，所以A 正确；对B ：设APM θ∠=，AB 交PM 与点N ，由圆的切线性质Rt Rt BNP MNB ，则ABM APM θ∠=∠=，所以2cos AB θ=，θ越大，AB 越小，当点P 在()1,0-处时，θ最大，此时1sin 3θ=，cos 3θ=，3AB =，即min 3AB =，B 正确；对C ：当点P 在()1,0-处，且PA ，PB 为切线时，APB ∠最大，此时11sin 32APM ∠=<，即π6APM ∠<，π23APB APM ∠=∠<，所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设AB 的中点D ，则MD AB ⊥，221122MD r AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以点D 在以M 为圆心，12为半径的圆上，2PA PB PD += ，设小圆半径为1r ，则1max1132PDPM r =+=+，则PA PB +的最大值为2131+，D 正确．【点睛】思路点睛：选项D 中根据圆的弦长公式求出点D 轨迹为圆，问题转化为圆外一定点到圆上动点距离的最大值.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线1:1l y kx =+，()2:2l y k x =-，则直线1l ，2l 之间距离的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.【详解】由题意可知：直线1:1l y kx =+的斜率为k ，过定点()0,1A ；直线()2:2l y k x =-的斜率为k ，过定点()2,0B ；可知12l l //，所以两直线之间距离的最大值为5AB =.14.过点()3,1的直线l 被圆：22450x y x +--=所截得的弦长的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先分类讨论得圆心()2,0到直线l 的距离最大值，结合弦长公式即可求解.【详解】根据题意：直线l 过定点()3,1，判断可知点()3,1在圆22450x y x +--=内，而圆2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=，若直线l 斜率存在时，设:31l y kx k =-+，圆心()2,0到直线31y kx k =-+的距离为d =，所以()2221210d k k d -++-=，若1d =，则0k =，若0,1d d >≠，则()224410d ∆=--≥，解得01d <<或1d <≤，直线l斜率存在时，max d =，此时1k =-，若直线l 斜率不存在时，即:3l x =，圆心()2,0到直线3x =的距离为1d =，综上所述，圆心()2,0到直线l，所以所截的弦长的最小值为=故答案为：.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，直线:l y kx =与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线MP 、MQ 的斜率分别为MP k 、MQ k ，且3MP MQ k k ⋅=，若12MF F △的面积为，记直线1MF 、2MF 的斜率分别为1MF k 、2MF k ，则12MF MF k k +=______．【答案】【解析】【分析】首先联立22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，由韦达定理结合3MP MQ k k ⋅=得223b a =，进一步得双曲线方程，由12MF F △的面积为M 坐标，由斜率公式即可求解.【详解】设(),M M Mx y ，0Mx>，0M y >，根据题意，可得2c =，联立22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()2222220b a k x a b --=，222b k a <，所以2212122220,a b x x x x a k b+==-，所以()()()()222222222221212222212122222223M M MMP MQ MM M M Ma b b x b a k b a k k kx y kx a y k x x y b k x x a b k b x x x x x a x--+⋅==⎛⎫+-===--⎪⎭+--+ ⎝，又2224a b c +==，可得21a =，23b =，所以双曲线22:13y C x -=，12MF F △的面积为，可得122M M c y y ⨯⨯=⇔=代入双曲线C的方程可得M x =M的坐标为，所以12MF MF k k +==故答案为：16.已知抛物线22(0)y px p =>，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为60︒时，2BF =，O 为坐标原点，则OAB 面积的最小值为______．【答案】92【分析】结合题意求出p ,设直线3:2AB x my =+，结合韦达定理表示出OAB 面积，结合基本不等式即可求解.【详解】如图所示，分别过,A B 向准线作垂线，垂足分别为A '、B '，过B 作AA '的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为60︒时，结合题意易得2BF BB ='=，所以()cos601cos60BF p BF BF p ︒=-⇔+︒=，即3232p =⨯=，设()11,A x y ，()22,B x y ，满足2116y x =，2226y x =，设直线3:2AB x my =+，代入抛物线方程26y x =，可得2690y my --=，121269y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以()1219222OAB p S y y =⨯+≥=，当0m =时，三角形OAB 面积取最小值，此时最小值为92．故答案为：92．四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()1,2．（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足3b a =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当OAB 的面积最小时，求直线l 的方程．【答案】（1）350x y +-=或20x y -=（2）240x y +-=【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【小问1详解】根据题意：直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点()0,0时，设直线l 为13x y a a+=，将()1,2代入可得53n =，所以直线l 的方程为350x y +-=；当直线l 过原点()0,0时，直线l 的斜率为20210-=-，所以直线l 的方程为()221y x -=-即20x y -=．综上，直线l 的方程为350x y +-=或20x y -=；【小问2详解】设直线l 的方程为()21(0)y k x k -=-<，所以21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，所以()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k-=-时，2442OAB S k k =⇔=⇔=- ，2k =（舍），所以直线l 的方程为()()221y x -=--即240x y +-=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）()12326n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系易得21n a n =-，需要检验首项是否符合；（2）利用错位相减法求和即得.【小问1详解】根据题意：2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，两式相减即得：22(1)21n a n n n =--=-，因1n =时，11a =，满足上式，故21n a n =-；【小问2详解】()2212n n n n b a n ==-⋅，则12n n T b b b =+++ 21232(21)2,n n =⨯+⨯++-⨯ ，()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ，两式相减可得：()21122222212nn n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ，()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-故()12326n n T n +=-⨯+．19.如图，三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，PA PC ==（1）证明：AC BP ⊥；（2）若2PB =，点F 为PB 的中点，求平面ACF 与平面PBC 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，证明AC ⊥平面POB 即得；（2）先证明PO ⊥平面ABC ，建系后，求出相关点和空间向量的坐标，计算出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】如图，取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，又因为底面ABC 是边长为2的等边三角形，所以BO AC ⊥，又,,PO BO O PO BO ⋂=⊂平面POB ，可得AC ⊥平面POB ，又BP ⊂平面POB ，所以AC BP ⊥.【小问2详解】因为PA PC ==1AO =，所以1PO =，BO =，因为2PB =，由222PO BO PB +=可得：PO BO ⊥，又PO AC ⊥，,,BO AC O BO AC =⊂ 平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，如图，以,,OA OB OP分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1P，10,,22F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因()2,0,0AC =-，1(1,)22AF =- ，设平面ACF 的法向量()1,,n x y z = ，则112031022AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1y =，得z =0x =，则1(0,1,n =，又()1,0,1PC =--，()1PB =- ，设平面PBC 的法向量()2,,n x y z =，则220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1y =，得z =，x =2(n =.设平面ACF 与平面PBC 的夹角为θ，则12127cos 7n n n n θ⋅===⋅ ，故平面ACF 与平面PBC的夹角的余弦值为7．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，P 为椭圆C 上任意一点，点P 到1F距离的最大值为)21．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点1F 的两条不同的直线1l ，2l 关于x 轴对称，直线1l ，2l 与椭圆C 在x 轴上方分别交于M 、N 两点．直线MN 是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）是，()4,0-【解析】【分析】（1）根据题意列出,,a b c 的关系式运算得解；（2）设直线1l 的方程为()2y k x =+与椭圆方程联立得根与系数关系，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，利用MT NT k k =坐标化代入根与系数关系化简求得t 的值得解.【小问1详解】根据题意，2c e a ==，2a c +=+，解得a =2c =，又22224a b c b =+⇔=，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；【小问2详解】根据题意可得：设直线1l 的方程为()2y k x =+，联立()()2222222128880184y k x k x k x k x y ⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，设直线1l 与椭圆C 的交点为()11,M x y ，()22,M x y '，可得：212221228128812k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，所以()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=，可得：()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k --+-+-=⇔+-=++24160412t t k --⇔=⇔=-+，所以直线MN 过定点()4,0-．21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ．（1）求1T ，2T 和n T ；（2）证明：1112222n n n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭．【答案】（1）1211113721n n T T T +===-，，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意计算出12,T T ，将条件12n n T a =-中的n a 变为1n n T T -，然后化简可得11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，计算可得n T ；（2）由（1）可得12121n n n a +-=-，采用放缩法可得1111222n n a +-<<，根据数列求和公式计算即可得证.【小问1详解】当1n =时，11111123T a T a =-⇔==，当2n =时，221222*********T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔=，∵数列{}n a 的前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ，∴2n ≥时，121n n n T T T -=-，化为11121n n T T -=⨯+，变形为111121n n T T -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1n =时，114T+=，数列11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，∴11111142221n n n n n T T -+++=⨯=⇔=-，1n =时，113T =亦满足上式，即1121n n T +=-；【小问2详解】先证明左边：即证明111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，1121n n T +=-，又由12n n T a =-，解得12121n n n a +-=-，又11121211121222n n n n n n a +++--=>=--，所以123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，再证明右边：()121211212221n n n n n a +--=<=--，∴2n n S <．22.已知点()12,0F -，圆222:(2)10F x y -+=，点(),P x y 满足122PF PF -=，点(),P x y 的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆2F 交于M ，N 两点，设直线1F M ，1F N 的倾斜角分别为,αβ．（1）求曲线C 的方程；（2）求αβ-的值．【答案】（1）2213y x -=（2）π2【解析】【分析】（1）由双曲线定义即可求解.（2）分切线l 的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，结合韦达定理、数量积公式得()22112231m k F M F N k -+⋅=+ ，由l 与双曲线相切得,k m 关系，由此即可得解.【小问1详解】根据题意：()()122,0,2,0F F -，12122224PF PF a c F F -==<==满足双曲线定义，设曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，根据定义可得221a a =⇔=，242c c =⇔=，222b c a b =-⇔=，所以曲线C 的轨迹方程为2213y x -=；【小问2详解】根据题意：()12,0F -，()22,0F ，当l的斜率不存在时，:1l x =，此时()1,3M ，()1,3N -，110F M F N ⋅=，所以π2αβ-=；当l 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y，设直线:l y kx m =+，联立直线l 与圆2F 可得：()()12222222212242112460(2)1061km x x y kx m k k x km x m x y m x x k -⎧+=⎪=+⎧⎪+⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=-⎩⎪=⎪+⎩，()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>，()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++，所以代入韦达定理可知()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ，因为直线l 与曲线C 相切，联立()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩，()230k -≠，所以22Δ030k m =⇔--=，故得110F M F N ⋅= ，所以π2αβ-=．。
高二期末数学试卷(含答案)
2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题p：“?x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．?x∈R，x2+2≥0 B．?x?R，x2+2＜0 C．?x∈R，x2+2≥0 D．?x∈R，x2+2＞02．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．724．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC 的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．46．已知函数f（x）=，则f′（x）=（）A．B．C．D．7．如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D 两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米8．已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．①B．③④C．①③D．①②③9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）10．已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥412．已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|?|P i F2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线﹣=1的渐近线方程是．14．“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为．15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知曲线f（x）=x3﹣ax+b在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（I）求实数a，b的值；（II）求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．19．设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点P（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．（i）若直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1?k2为定值；（ii）若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题p：“?x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．?x∈R，x2+2≥0 B．?x?R，x2+2＜0 C．?x∈R，x2+2≥0 D．?x∈R，x2+2＞0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即?x∈R，x2+2≥0，故选：A2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），故选C．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，从而S9=，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，∴S9==36．故选：B．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC 的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故选：A．5．已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的等价性分别进行判断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则＜成立，则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题为若＜，则a＞b＞0，为假命题，当a＜0，b＞0时，结论就不成立，则逆命题为假命题，否命题也为假命题，故真命题的个数为2个，故选：C6．已知函数f（x）=，则f′（x）=（）A．B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】利用导数除法的运算公式进行求导即可．【解答】解：f'（x）=；故选D．7．如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D 两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=am，则BC=am，BD=am，根据∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论．【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am，∵∠CBD=30°，CD=50米，∴2500=a2+3a2﹣2a，∴a=50m．故选A．8．已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．①B．③④C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用；双曲线的简单性质．【分析】先分别判定命题p、命题q的真假，在根据复合命题的真值表判定．【解答】解：对于命题p：若可表示焦点在x轴上的双曲线，则3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题；对于命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命题q为假命题；①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真；故选：B．9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的简单性质，列出方程求出P的横坐标，即可推出结果．【解答】解：抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），准线方程为：x=3，C上一点P到焦点F的距离为9，设P（x，y）可得﹣x+3=9，解得x=﹣6，则=9，可得y=．故选：D．10．已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）=x+a 在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）=x+在x2∈[1，4]的最小值，构造关于a的不等式组，可得结论．【解答】解：当x1∈[1，3]时，由f（x）=x+a递增，f（1）=1+a是函数的最小值，当x2∈[1，4]时，g（x）=x+，在[1，2）为减函数，在（2，4]为增函数，∴g（2）=4是函数的最小值，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值，即1+a≥4，解得：a∈[3，+∞），故选：C．12．已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|?|P i F2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线、圆的方程，联立求出|y|=，利用面积关系，即可得出结论．【解答】解：由题意，c=4，a=3，b=，双曲线的方程为=1，与圆x2+y2=16，可得|y|=，∴|P i F1|?|P i F2|==14，故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．14．“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题的含义：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题?x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立?a≤（x2）min【解答】解：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题?x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立?a≤（x2）min，又∵x∈[1，2]时（x2）min=1，∴a≤1，则实数a的最大值为1故答案为：1．15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出不等式，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，可得：，，解得e=．故答案为：．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为9．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知曲线f（x）=x3﹣ax+b在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（I）求实数a，b的值；（II）求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出原函数的导函数，由曲线在x=1处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在x=1处的函数值相等求得b；（II）求出曲线y=f（x）在x=2处的切线方程，即可求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．【解答】解：（I）由f（x）=x3﹣ax+b，得y′=3x2﹣a，由题意可知y′|x=1=3﹣a=1，即a=2．又当x=1时，y=0，∴13﹣1×2+b=0，即b=1．（II）f（x）=x3﹣2x+1，f′（x）=3x2﹣2，x=2时，f（2）=5，f′（2）=10，∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣5=10（x﹣2），即10x﹣y﹣15=0，与两坐标轴的交点为（ 1.5，0），（0，﹣15），∴切线与两坐标轴围成的三角形面积S==．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB＞0，可得cosC=，由于C∈（0，C），可求C的值．（II）由已知利用余弦定理可得：a2﹣2a﹣3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，∵sinB＞0，∴cosC=，∵C∈（0，C），∴C=…６分（II）∵b=2，c=，C=，∴由余弦定理可得：7=a2+4﹣2×，整理可得：a2﹣2a﹣3=0，∴解得：a=3或﹣1（舍去），∴△ABC的面积S=absinC==…12分19．设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，讨论a的取值范围进行求解即可．（Ⅱ）根据逆否命题之间的关系将条件进行转化，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x﹣2a）[x﹣（a+1）]＜0，①若2a＜a+1，即a＜1时，2a＜x＜a+1，此时A=（2a，a+1），②若2a=a+1，即a=1时，不等式无解，此时A=?，③若2a＞a+1，即a＞1时，a+1＜x＜2a，此时A=（a+1，2a）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，A=（2a，a+1），B={x|＜0}={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），若￢q是￢p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，即A?B，则，即，则﹣≤a≤2，∵a＜1，∴﹣≤a＜1，则实数a的取值范围是[﹣，1）．20．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1；当n≥2时，a n=s n ﹣s n﹣1．可得a n．利用等比数列的通项公式可得b n．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1=0；当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q，则，b2=q，b3=q2，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），∴b n=3n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n=a n?b n=（2n﹣2）3n﹣1=2（n﹣1）3n﹣1，∴数列{c n}的前n项和T n=2×0×30+2×1×31+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣2+2（n ﹣1）3n﹣1，…①3T n=2×0×31+2×1×32+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣1，+2（n﹣1）3n，…②①﹣②得：﹣2T n=2×31+2×32+…+2×3n﹣1﹣2（n﹣1）3n=2×=3n﹣3﹣2（n﹣1）3n=（3﹣2n）3n﹣3∴T n=．21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）利用f（x）=xc（x）﹣3000，即可得出结论；（II）分段讨论，0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）max=f（32）=92；x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣（2x+），利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（I）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640，∴f（x）=；（II）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）max=f（32）=92；x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣（2x+）≤400，当且仅当2x=，即x=60时，f（x）max=f（60）=400，∵400＞92，∴该单位年处理工厂废气量为60万升时，所获得的利润最大，最大利润为400万元．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点P（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．（i）若直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1?k2为定值；（ii）若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由已知中椭圆通径的端点坐标，构造方程组，可得a，b的值，进而可得椭圆C的方程；（II）经过点P（1，0）的直线l可设为x=my+1，（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得y1+y2=，y1y2=，由椭圆的右顶点为E（2，0），可得：k1?k2=?==，进而得到答案；（ii）由题意得：△OAB面积S=×1×|y1﹣y2|，结合对勾函数的图象和性质，可得△OAB面积的最大值．【解答】解：（I）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．可得：c=，=，a2﹣b2=c2，解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：；…３分（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）证明：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…５分∴y1+y2=，y1y2=，∵右顶点为E（2，0），∴k1?k2=?====﹣，∴k1?k2为定值；…８分（ii）由题意得：△OAB面积S=×1×|y1﹣y2|=?=，令t=，t≥，则S==≤=，故△OAB面积的最大值为…12分20XX年1月30日。
高二期末数学试卷加答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是：A. √2B. πC. -√3D. 0.1010010001…2. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(3)的值为：A. 5B. 6C. 7D. 83. 下列不等式中，正确的是：A. 2x + 3 > 7B. 2x - 3 < 7C. 2x + 3 < 7D. 2x - 3 > 74. 若a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a + b的值为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于y轴的对称点B的坐标为：A. (-2, 3)B. (2, -3)C. (-2, -3)D. (2, 3)6. 若等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为：A. 21B. 22C. 23D. 247. 函数y = kx + b的图象经过点(2, 3)和(4, 7)，则k的值为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则第5项bn的值为：A. 162B. 54C. 18D. 69. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 12，S5 = 30，则S7的值为：A. 42B. 48C. 54D. 60则角C的余弦值为：A. 1/2B. √3/2C. 1/√3D. √3/3二、填空题（每题5分，共50分）1. 若a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a^2 + b^2 = ________。
2. 函数y = 2x - 1在x = 3时的函数值为 ________。
3. 不等式2x - 3 < 7的解集为 ________。
4. 等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。
5. 等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则第5项bn = ________。
高二数学期末考试试题
高二数学期末考试试题一、选择题（共15分，每题3分）1. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3，求 f(1) 的值。
A. 4B. -1C. 0D. 22. 解方程 2x - 5 = 3x + 2 的解为：A. x = -7B. x = -3C. x = 7D. x = 33. 三个小球以速度 v1、v2、v3 自北向南同时起跑，经过10秒后，它们的位置分别为 100m、180m 和 250m。
已知 v1 = 10m/s，v3 = 20m/s，求 v2 的值。
A. 14m/sB. 16m/sC. 18m/sD. 20m/s4. 在△ABC中，∠B = 90°，且AC = 12cm。
设 BC = x cm，AB =3x cm。
若 AB = 9cm，则 x 的值为：A. 8B. 6C. 4D. 35. 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的对称轴为 x = 2，且经过点 (3, 7)。
求 a、b、c 的值。
A. a = 1, b = 4, c = -3B. a = 1, b = -4, c = 3C. a = 2, b = 4, c = 3D. a = 2, b = -4, c = -3二、解答题（共85分）1. 计算以下极限：lim(x->∞) (3x^2 - 2x + 1) / (2x^2 + 4x + 5)2. 已知函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c 与 g(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 4的图像在点 P 相切，求函数 f(x) 的极大值和函数 g(x) 的极小值。
3. 在长方形 PQRS 中，已知 PS = 5，QS = 12，三个顶点 P、Q、R的坐标分别为 P(0, 0)，Q(5, 0) 和 R(5, 12)。
若点 H(x, y) 在长方形内部，则点 H 的坐标满足的不等式组是什么？4. 在等差数列 {an} 中，已知 a1 = 2，d = 3，若 an = 68，求 n 的值。
高二期末试卷(附答案)
高二理科数学下学期期末试卷 一．选择题（每题5分） 1.设集合{1,0,1}A，{|0}BxRx，则AB（ ） A.{1,0} B.{1} C.{0,1} D.{1} 2.已知Z（1+i）=-3+4i（i为虚数单位），复数Z的共轭复数为（ ） A.1722i B. 7722i C.1722i D.7722i 3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A．144 B．120 C．72 D．24 4.设首项为1，公比为23的等比数列{}na的前n项和为nS，则（ ） （A）21nnSa （B）32nnSa（C）43nnSa（D）32nnSa 5. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都 是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这 个几何体的侧面积为（ C ） A.4 B. 2 C. D. 23 6. 已知两个单位向量a，b的夹角为60，(1)ctatb，若0bc，则t( ) (A) 1 (B) 2 (C) -1 (D) -2 7. (3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为 (A)2 (B) -2 (C)4 (D) -4 8.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是（ ） A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
9．已知x,y满足约束条件 0,04242yxyxyx，则yxz的最大值是（ ） A．34 B．38 C．2 D．4
10. 下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性
回归方程为 y^＝－0.7x＋a，则a等于( ) A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
(完整版)高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．）1．设i 是虚数单位，则1=（）．1-i 3C．1-i D．1+i11A．-i22【答案】A【解析】11B．+i221111-i 11====-i ．3321-i 1-i ⋅i 1+i 1-i 22故选A ．⎛π⎫⎛3π⎫2．在极坐标系中，点 1,⎪与点 1,⎪的距离为（）．⎝4⎭⎝4⎭A．1【答案】BB．2C．3D．5⎛22⎫⎛22⎫⎛π⎫⎛3⎫,1,1,π-, ⎪【解析】将极坐标中 ⎪两点⎪与 ⎪点化成直角坐标中的点坐标 22⎪与 4422⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛22⎫⎛22⎫的距离d = ++-=2．⎪ ⎪ 2⎪ ⎪2⎭⎝22⎭⎝22故选B ．3．已知直线y =x +1与曲线y =ln(x +a )相切，则a 的值为（）． A．1【答案】B【解析】∵曲线y =ln(x +a )的斜率k =∴x =1-a ①，且两者相交于同一点，即x +1-ln(x +a )②，联立①②可得a =2．故选B ．⎧⎪x =-1+2cos θ4．圆⎨，（θ为参数）被直线y =0截得的劣弧长为（）．y =1+2sin θ⎪⎩B．2C．-1D．-21，当k =1时，x +a A．2π2B．πC．22πD．4π【答案】A【解析】将圆的参数方程化成一般方程为(x+1)2+(y-1)2=2，圆心(-1,1)到直线y=0的距离d=1，所截得弦长l=2r2-d2=2，∴劣弧所对的圆心角θ有sin ∴θ2=12=2，2θ2=ππ，θ=，24112，即为⨯2πr=π．442∴劣弧弧长为周长的故选A．π⎫π⎫⎛⎛5．直线ρsin θ+⎪=4与圆ρ=4sin θ+⎪的位置关系是（）．4⎭4⎭⎝⎝A．相交但不过圆心【答案】CB．相交且过圆心C．相切D．相离π⎫⎛【解析】直线ρsin θ+⎪=4可化成y+x-42=0，4⎭⎝π⎫⎛圆ρ=4sin θ+⎪可化成(x-2)2+(y-2)2=4，4⎭⎝圆心(2,2到直线的距离d=)|2+2-42|1+122=2=r，说明圆与直线相切．故选C．6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（）．A．0.378【答案】D【解析】第一次落地打破的概率为P1=0.3，第二次落地打破的概率为P2=0.7⨯0.4=0.28，第三次落地打破的概率为P3=0.7⨯0.6⨯0.9=0.378，∴落地3次以内被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958．故选D．B．0.3C．0.58D．0.9587．若函数f (x )=12x -ln x 在其定义域的一个子区间(k -1,k +1)上不是单调函数，则实数k 的2取值范围是（）． A．(1,2)【答案】A2121x -1(x >0)，【解析】∵f (x )=x -ln x ，f '(x )=x -=2x xB．[1,2)C．[0,2)D．(0,2)令f '(x )>0，有x >1，令f '(x )<0，有0<x <1，当f (x )在(k -1,k +1)上不是单调函数，则有0<k -1<1，解得1<k <2．故选A ．8．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ．倒霉和李华在下落的过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根树枝不同的撞击次序有（）种． A．23【答案】D【解析】由题可判断出树枝部分顺序GABCEF ，还剩下D ，H ，I ，先看树枝I 在C 之前，有4种可能，而树枝D 在BE 之间，H 在D 之后，若I 在BC 之间，D 有3种可能：①若D 在BI 之间，H 有5种可能，②若D 在IC 之间，H 有4种可能，③若D 在CE 之间，H 有3种可能．若I 不在BC 之间，则I 有3种可能，此时D 有2种可能，B．24C．32D．33D 可能在BC 之间，H 有4种可能，D 可能在CE 之间，H 有3种可能，综上共有5+4+3+3(4+3)=12+21=33．故选D ．二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分．将正确答案填写在答题卡要求的空格中．）9．若(x -a )5的展开式中x 2项的系数是10，则实数a 的值是__________．【答案】-12(-a )3=-10a 3=10，【解析】(x -a )5展开式中x 2系数为C 5可得a =-1．10．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、1+2i 、-2+i ，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．【答案】(-1,3)【解析】正方形三个顶点对应的坐标为(0,0)，(1,2)，(-2,1)，设第4个顶点为(a ,b )，则(a -1,b -2)=(-2-0,1-0)=(-2,1)，∴a =-1，b =3，即第4个顶点为(-1,3)．11．设随机变量ξ~B (2,p )，η~B (4,p )，若p (ξ≥1)=【答案】5，则p (η≥2)的值为__________．91127【解析】∵随机变量ξ~B (2,p )，p (ξ≥1)=5，9502∴1-C 2p =，9∴p =2，3⎛2⎫∴η~B 4,⎪，⎝3⎭1⎛2⎫11⎛1⎫⎛2⎫4⎛2⎫⨯+C =∴p (η≥2)=C ⎪ ⎪+C 3．44 ⎪⎪3⎝3⎭27⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭24222312．设a >1，b >1，若ln a -2a =ln b -3b ，则a ，b 的大小关系为__________．【答案】b <a【解析】∵ln a -2a =ln b -2b -b ，令f (x )=ln x -2x (x >1)，∴f (a )=f (b )-b ，∴f (b )-f (a )=b >1，∴f (b )>f (a )，1∵f '(x )=-2<0，即f (x )在(1,+∞)单调递减，x ∴b <a ．13．抛物线C :x 2=4y 与经过其焦点F 的直线l 相交于A ，B 两点，若|AF |=5，则|AB |=__________，抛物线C 与直线l 围成的封闭图形的面积为__________．【答案】25125；244【解析】∵抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1)，|AF |=5，由抛物线性质可知，A 点到准线y =-1距离为5，∴A 的纵坐标y A=4，∴A (±4,4)，当A 为(4,4)时，kAB =∴直线AB 为y =4-13=，4-043x +1，41⎫⎛联立直线与抛物线，解得另一交点B 坐标为 -1,⎪，4⎭⎝25⎛1⎫∴AB =(-1-4)+ -4⎪=，4⎝4⎭24⎛3125⎫12S =x +1-x d x =所围成的封闭面积．⎪⎰-1⎝4⎭4242L ，a n(n ∈N *)，14．对于有n 个数的序列A 0:a 1，a 2，实施变换T 得新序列A 1:a 1+a 2，a 2+a 3，L ，an -1+a n，记作A 1=T (A 0)；对A 1继续实施变换T 得新序列A 2=T (A 1)=T (T (A 0))，记作A 2=T 2(A 0)；L ，An -1=T n -1(A 0)．最后得到的序列An -1只有一个数，记作S (A 0)．（1）若序列A 0为1，2，3，4，则序列A 2为__________．（2）若序列A 0为1，2，L ，n ，则序列S (A 0)=__________．【答案】（1）8，12（2）(n +2)⨯2n -1【解析】（1）由题意A 1:1+2，2+3，3+4，A 2:1+2+2+3，2+3+3+4，即A 2为8，12．（2）n =1时，S (A 0)=1+2=3，n =2时，S (A 0)=1+2+2+3+2+3+3+4=1+2⨯3+3⨯3+4=20，L L12n -2n -1联n -1时，S (A 0)=C 0n -1⋅1+C n -1⋅2+C n -1⋅3+L C n -1(n -1)+C n -1⋅n ，12n -1n 联n 时，S (A 0)=C 0n -1⋅1+C n -1⋅2+C n -1⋅3+L C n⋅n +C n⋅(n +1)，利用倒序相加可得：S (A 0)=n +2n ⨯2=(n +2)⋅2n -1．2三、解答题（共六道小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个小球，以X 表示取出的3个球中最小的号码数，求X 的分布列和期望．【答案】【解析】16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f (x )的值域为[0,9]，过动点P (t ,f (t ))作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP ．（1）求函数f (x )的解析式．（2）记△OAP 的面积为S ，求S 的最大值．yPxOA6【答案】见解析．【解析】（2）S△OAP=11|OA |⋅|AP |=t (6t -t 2)，t ∈(0.6)，221S (t )=t (6t -t 2)，23S '(t )=6t -t 2，2t(0,4)+40(4,6)S '(t )-S (t )单调递增极大值单调递减12当t =4时，S (t )max=S (4)=⨯4(6⨯4-4)=16，2即△AOP 面积最大值为16．17．（本题满分14分）某保险公司开设的某险种的基本保费为1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下：本年度出险次数01234≥5下一次保费（单位：万元）0.8511.251.51.752设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率分布列如下：一年内出险次数概率1234≥50.300.150.200.200.100.05（1）求此续保人来年的保费高于基本保费的概率．（2）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率．（3）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值．【答案】（1）0.55．（2）3．（3）1.23．11【解析】（1）设出险次数为事件X ，一续保人本年度的保费为事件A ，则续保人本年度保费高于基本保费为事件C ，则P (C )=P (A >a )，P (C )=P (x =2)+P (x =3)+P (x =4)+P (x ≥5)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55．（2）设保费比基本保费高出60%为事件B ，P (B /C )=P (BC )P (x =4)+P (x =5)0.1+0.053===．P (C )P (C )0.5511（3）平均保费E (A )=0.85⨯0.3+0.15+0.2⨯1.25+0.2⨯1.5+0.1+1.75+2⨯0.05=1.23，∴平均保费与基本保费比值为1.23=1.23．118．（本题满分14分）设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)．（1）求函数f(x)的单调区间．（2）当0<a<2时，求函数g(x)=f(x)-x2-ax-1在区间[0,3]的最小值．【答案】【解析】19．（本题满分14分）某校准备举办一次体操比赛，邀请三位评委（编号分别为1，2，3）打分，比赛采用10分制，评委的打分只能为正整数，据赛前了解，参赛选手均为中上水平，并无顶级选手参赛，已知各评委打分互不影响，并且评委i(i=1,2,3)一次打分与选手真实水平差异Xi服从分布如下：X1-101P 11p1 24X2-101P 11p2 42X3-101P 现有两个给分方案：11p3 44方案一：从三位评委给分中随机抽一个分数作为选手分数．方案二：从三位评委给分中分别去掉最高分，去掉最低分，将剩下那个分数作为选手分数．（1）p1=__________，p2=__________，p3=__________，评委__________水平最高．（2）用随机变量X表示使用方案一时选手得分与其真实水平差异，用随机变量Y表示使用方案二时选手得分与其真实水平差异，分别求出X，Y的分布列．（3）如果请你来决策，你会选哪种方案？请说明理由．【答案】【解析】20．（本题满分14分）1设函数f(x)=2x3，g(x)=x+x3．（1）令h(x)=f(x)-g(x)，求证：函数h(x)只有-1，0，1三个零点．（2）若数列{an}(n∈N*)满足：a1=a，f(an+1)=g(an)．求证：存在常数M，使得∀n∈N*，都有an≤M．【答案】【解析】。
高中高二下册数学期末考试试题答案
高中高二下册数学期末考试试题答案
(1) 当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值
19. (本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。
已知cosA= ，sinB= C。
(1)求tanC的值;
(2)若a= ，求△ABC的面积。
20. (本小题满分13分)
已知椭圆C：的两个焦点分别为，且椭圆C经过点.(Ⅰ)求椭圆C的离心率.(Ⅱ)设过点的直线与椭圆C交于M，N 两点，点Q是MN上的点，且，求点Q的轨迹方程。
21. (本小题满分14分)已知函数其中是实数，
设为该函数图像上的两点，且。
(Ⅰ)指出函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图像在点A，B处的切线相互垂直，且，求的最小值;
(Ⅲ)若函数的图像在点A，B处的切线重合，求的取值范围。
考生们只要加油努力，就一定会有一片蓝天在等着大家。
以上就是查字典数学网的编辑为大家准备的2019年高中高二下册数学期末考试试题答案。
高二下学期理科数学期末考试试题带详细答案精品
高二下学期理科数学期末考试试题带答案一、选择题1．复数z 满意()()25z i i --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +2．已知集合{0,}A b =，2{|30}B x Z x x =∈-<，若A B φ≠，则b 等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或23．若函数（x ）的定义域是[-2,4],则函数g （x ）（x ）（）的定义域是（ ） A ．[-4,4] B ．[-2,2] C ．[-42] D ．[2,4] 4．函数3()12f x x x =-的极值的状况是( )A ．极大值是(2)f ，微小值是(2)f -B ．极大值是(2)f -，微小值是(2)fC ．只有极大值(2)f ，没有微小值D ．只有微小值(2)f -，没有极大值5．若二次函数b x a x y +-+=)1(232在区间(,1]-∞上为减函数，则（ ） A.2a <- B.2a ≥- C.2-≤a D.2->a 6．已知:p α为其次象限的角，:sin cos q αα>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件7．若5(1)ax -的绽开式中3x 的系数是80，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．22C ．34D ．28．已知随机变量X 的分布列为 其中成等差数列，若23，则 A. 0 B. 83 C. 209 D.8279．已知定义在R 上的函数()f x 是偶函数，对x R ∈都有(2)(2)f x f x +=-，当(3)2f -=-时，(2013)f 的值为（ ）A ．－2 B. 2 C.4 D.－410．．若偶函数)(x f 满意(2)()f x f x +=，且在[]1,0∈x 时，2)(x x f =，则关于x 的方1()()10xf x =在]3,2[-上根的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个11．曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是（ ）A ．31 B ．32 C ．1 D ．3412．已知函数()1ln xf x x+=，若关于x 的不等式()()20f x af x +>恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1ln21ln3,23++⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B. 1ln31ln2,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1ln21ln3,23++⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D. 1ln31,3+⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题13．一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是．14．如图，用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必需涂不同的颜色，不同的涂色方案有种．15．已知随机变量ξ听从正态分布()21,N σ， ()40.79P ξ≤=，则()2P ξ≤-=． 16．从甲、乙等8名志愿者中选5人参与周一到周五的社区服务，每天支配一人，每人只参与一天．若要求甲、乙两人至少选一人参与，且当甲、乙两人都参与时，他们参与社区服务的日期不相邻，则不同的支配种数为．（用数字作答）三、解答题17．已知，命题：对随意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立.Ⅰ.若为真命题，求的取值范围；Ⅱ.当，若且为假，或为真，求的取值范围；18．每逢节假日，在微信好友群中发红包渐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情，2016年春节期间，小鲁在自己的微信好友群中，向在线的甲、乙、丙、丁四位好友随机发放红包，发放的规则为：每次发放一个，小鲁自己不抢，每个人抢到的概率相同．（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少抢到一个红包的概率；（2）若丁因有事短暂离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发了3个红包，其中2个红包中各有10元，一个红包中有5元．设这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望．19．依据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄状况如图．（1）已知[30,40)、[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；（2）该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了激励潜在消费人群的消费，该平台确定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券，已经采纳分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．20．对于定义域为D 的函数()y f x =，假如存在区间[],m n D ⊆，同时满意： ①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ． 则称[],m n 是该函数的“等域区间”．（1）求证：函数5()3g x x =-不存在“等域区间”；（2）已知函数2(22)1()a x h x a x+-=（a R ∈，0a ≠）有“等域区间”[],m n ，求实数a 的取值范围．21．已知函数()21ax f x x e -=- (a 是常数), （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()0,16x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线3:sin x aC y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值； （2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.参考答案1．D 【解析】试题分析：由题意知()()()()525252222225i i z i i z i i i i ++-====+⇒=+--+，故选D.考点：复数的除法 2．D 【解析】试题分析：∵集合2{|30}B x Z x x =∈-<{1,2}=，集合{0,}A b =，若A B φ≠，则1b =或2b =， 故选：D ．考点：交集与其运算． 3．B 【解析】试题分析：由题意可知自变量的范围需满意242224x x x -≤≤⎧∴-≤≤⎨-≤-≤⎩，定义域为[-2,2]考点：复合函数定义域 4．B【解析】'2()312f x x =-，由'()0f x =可得2x =±，函数在区间()2,2-上单调递减，在(),2-∞-和()2,+∞上单调递增，∴极大值为(2)f -，微小值为(2)f 。
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禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末 数学模拟试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则下列式子正确的是（ ） A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4} 2.已知向量，则2等于（ ） A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（0，﹣1） D．（0，1） 3.在区间（1，7）上任取一个数，这个数在区间（5，8）上的概率为（ ） A． B． C． D．
4.要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（ ） A．向左平移单位 B．向右平移单位 C．向左平移单位 D．向右平移单位 5.已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ③m∥n，m∥α⇒n∥α ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 6.执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出
关于的线性回归方程为，那么表中的值为 A． B． C． D． 8.已知f（x）=（x﹣m）（x﹣n）+2，并且α、β是方程f（x）=0的两根，则实数m，n，α，β的大小关系可能是（ ）
Axyy
xˆ0.70.35yxt
33.153.54.5
x3456
y2.5t44.5A．α＜m＜n＜β B．m＜α＜β＜n C．m＜α＜n＜β D．α＜m＜β＜n 9.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（ ） A．2cm3 B．4cm3 C．6cm3 D．8cm3
10.在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 11.已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ） A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣
12.已知函数f（x）=，x1，x2，x3，x4，x5是方程f（x）=m的五个不等的实数根，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是（ ）
A．（0，π） B．（﹣π，π） C．（lg π，1） D．（π，10） 二、填空题（每题5分，满分20分） 13．若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m= ． 14.已知=﹣1，则tanα= ．
15.若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 ．
16.已知函数3,01,02kkxxfxx，若方程20ffx恰有三个实数根，则实数k的
取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+ （2c+a）sinC． （Ⅰ） 求B的大小； （Ⅱ） 若b=，A=，求△ABC的面积． 18.已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=(1，2). ① 若||=2，且∥，求的坐标.
② 若||=，且+2与2-垂直，求与的夹角.
19．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3=6，a4=4． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=3﹣3，求证：++…+＜．
20为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25） 0．5 第2组 [25，35） 18 第3组 [35，45） 0．9 第4组 [45，55） 9 0．36 第5组 [55，65] 3
（1）分别求出的值；
abca
c5cac
b25ababab
naxb
y
yxba,,,（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
21.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，D、E分别是线段BB1、AC1的中点．
（1）求证：DE∥平面A1B1C1；
（2）若平面ABC⊥平面BB1C1C，BB1=4，求三棱锥A﹣DCE的体积．
22.已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0． （1）求圆的圆心C的坐标和半径长； （2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
求证：为定值； （3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积 最大． 禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末 数学模拟试卷参考答案 一.选择题（每小题5分，共12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C B C B A B A A C D 二、填空题（每小题5分，共12分）
13. -3 14. 15. 3 16. 11,3
17（Ⅰ）解：∵2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC， 由正弦定理得，2b2=（2a+c）a+（2c+a）c，
化简得，a2+c2﹣b2+ac=0．
∴． ∵0＜B＜π， ∴B=． （Ⅱ）解：∵A=，∴C=． ∴sinC=sin==． 由正弦定理得，， ∵，B=， ∴． ∴△ABC的面积=． 18. 解：①设 ∵∥且||=2
∴ ∴∴=(2,4)或=(-2，-4) .
),(yxccac5
200222yxyx
2xcc②∵（+2）⊥（2-）∴（+2）·（2-）=0, ∴22+3·-22=0
∴2||2+3||·||-2||2=0
∴2×5+3××-2×=0,∴= -1 ∴θ=,∵θ∈[0，π],∴θ=π.
19．解：（1）设公差为d，则， 解得， ∴an=n．
（2）证明：∵bn=3﹣3=3n+1﹣3n=2•3n，
∴=，
∴{}是等比数列． ∵=，q=，
∴++…+==（1﹣）＜．
20解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为， …（1分） 再结合频率分布直方图可知 ,
ababababaabbaabcosb
52
5cos45cos
π2πk
2536.09n10010025.025
1000.01100.55a， …（4） （2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：人；
第3组：人； 第4组：人 …（8分） （3）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1,A2），（A1,B1），（A1,B2），（A1,B3），（A1,C1），
（A2,B1），（A2, B2），（A2,B3），（A2,C1），（B1,B2），（B1,B3），（B1,C1），（B2,B3），（B2,C1），（B3,C1）
共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， …（10分）
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：． …（12分） 21.（1）证明：取棱A1C1的中点F，连接EF、B1F 则由EF是△AA1C1的中位线得EF∥AA1，EF=AA1
又DB1∥AA1，DB1=AA1
所以EF∥DB1，EF=DB1
故四边形DEFB1是平行四边形，从而DE∥B1F
所以DE∥平面A1B1C1
（Ⅱ）解：因为E是AC1的中点，所以VA﹣DCE=VD﹣ACE=
过A作AH⊥BC于H 因为平面平面ABC⊥平面BB1C1C，所以AH⊥平面BB1C1C，
所以== 所以VA﹣DCE=VD﹣ACE==
279.01003.0100b2.0153,9.02018yx
26541836542716549
51153P