高中平面向量常考题型
高中平面向量常考题型
平面向量常考题型
一、线性运算
1、如图,在ABC
?中,点M 为BC 的
中点,点N 在边AC 上,且2AN NC =,
AM
与BN 相交于点P ,则
:AP PM =
.【答案:4】
2、已知向量
,a b
r r 不共线,
OA a
α=u u u r r ,
OB b
β=u u u r r (实数0,0αβ≠≠).若点C 在直线AB 上,且
OC xa yb
=+u u u r r r (,x y 都
是实数),则x y
αβ
+= .【答案:1】 3、在
ABC
?所在的平面内有一点
P
满足
PA PB PC BC
++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则PBC
?与
ABC
?的面积之比
为 .【答案:13
】 4、点O 时ABC ?内的一点,满足
(1)0
OA OB OC λλ++-=u u u r u u u r u u u r r
,
若OAB ?的面积与OAC ?的面积的比为13,则λ的值为( )
3.2
A 2
B
1.
3
C
1.
2
D 【答案:A 】
二、数量积
1、(2012浙江卷15).在?ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC
?u u u r u u u r =______________. 【答案】—16 2、..已知平行四边形ABCD 中,8AB =,5AD =,3CP PD
=u u u r u u u r ,
若
2
AP BP ?=u u u r u u u r
,则
AB AD
?u u u r u u u r = .【答案 22】
3、函数()402
4tan <?
?
?
?-=x x y ππ的图像如图
所示,A 为图像与x 轴的交点,过点A 的直线l 与函数的图像交于C B ,两点,则 =?+)(
( ) A .8- B .4- C .4 D .8 【答案 D 】
4、四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD DC ⊥.若||AB a
=u u u r ,
||AD b
=u u u r ,
则
AC BD ?=
u u u r u u u r
.【答案:2
2
b
a -】
5、(2012宁波十校联考.理科17)在ABC ?中,
2
=AC ,6=BC .已知点O 是ABC ?内一点,且满足
43=++,则=+?)2(BC BA OC .【答案 40】
6、在矩形ABCD 中,2,2
AB BC ==,点E 为BC 的中点,点
F
在边
CD
上,若
2
AB AF ?=u u u r u u u r
,则
AE BF
?u u u r u u u v
的值
为 .【答案 2】 7、如图:在ABC ?中,AD AB ⊥,
3BC BD
=u u u r u u u r ,
||1
AD =u u u r ,则
AD AC ?=
u u u r u u u r .
【答案:3】
8、2012天津理(7)已知△ABC 为等边三角
形,=2AB ,设点P ,Q 满足
=AP AB
λu u u r u u u r ,
=(1)AQ AC
λ-u u u r u u u r ,
R λ∈,若
3=2
BQ CP ?-
u u u r u u u r ,则=λ
(A )1
2
(B)122± (C)110± (D)322
2
-± 【答案】A .
9、点O 是ABC ?的外接圆的圆心,M 是BC 的中点,3AC =,若
4
AO AM ?=u u u r u u u u r ,则AB = .【答案 7】
10、(2014宁波十校联考).已知c b a ,,均为单位向量,且满足0=?b a ,则?++)(c b a )(c a +的最大值是 A.2
2
2+ B. 2
3+
C. 52+
D. 321+ 【答案】C .
11、边长为2的正方形ABCD 内有一动点P ,满足PBC PAB ??,的面积都不超过1,则PC PB ?的取值范围
为 .【答案】.(1,1)-
12、已知平面向量e b a ,,满足,1||=e ,1=?e a ,
2=?e b ,2||=-b a ,则b a ?的最小值为 .【答案:
54
】
13、(2010全国卷11)已知圆O 的半径为1,
,PA PB
为该圆的两条切线,,A B 为两切点,那么PB
PA ?的最小值为
(A) 42-+ (B)32
-+ (C)
422
-+
(D)322-+ 【答案 D 】
14、已知ABC ?的边BC 的垂直平分线交BC 于Q
,交AC 于P ,若||1AB =,||2AC =,则
AP BC
?u u u r u u u r 的
值是( )
.
A 3 .
B 32
.C 3 .D 3
【答案】B
15、
(2013年浙江高考)设ABC ?,0
P 是边AB 上一定点,满足0
14
P B AB =,且对于AB 边上任意一点P ,恒有00
PB PC P B PC ?≥?u u u r u u u r u u u r u u u r ,则( )
.A ?=∠90ABC .B ?=∠90BAC .C AC AB = .D BC AC =
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
(完整版)高中物理经典选择题(包括解析答案)
物理 1.一中子与一质量数为A(A>1)的原子核发生弹性正碰。若碰前原子核静止,则碰撞前与碰撞后中子的速率之比为( ) A. B. C. D. [解析] 1.设中子质量为m,则原子核的质量为Am。设碰撞前后中子的速度分别为v0、v1,碰后原子核的速度为v2,由弹性碰撞可得mv0=mv1+Amv2,m=m+Am,解得v1=v0,故=,A正确。 2.很多相同的绝缘铜圆环沿竖直方向叠放,形成一很长的竖直圆筒。一条形磁铁沿圆筒的中心轴竖直放置,其下端与圆筒上端开口平齐。让条形磁铁从静止开始下落。条形磁铁在圆筒中的运动速率( ) A.均匀增大 B.先增大,后减小 C.逐渐增大,趋于不变 D.先增大,再减小,最后不变[解析] 2.对磁铁受力分析可知,磁铁重力不变,磁场力随速率的增大而增大,当重力等于磁场力时,磁铁匀速下落,所以选C。 3.(2014大纲全国,19,6分)一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时, 上升的最大高度为H,如图所示;当物块的初速度为时,上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为( )
A.tan θ和 B.tan θ和 C.tan θ和 D.tan θ和 [解析] 3.由动能定理有 -mgH-μmg cos θ=0-mv2 -mgh-μmg cos θ=0-m()2 解得μ=(-1)tan θ,h=,故D正确。 4.两列振动方向相同、振幅分别为A1和A2的相干简谐横波相遇。下列说法正确的是( ) A.波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A1-A2| B.波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A1+A2 C.波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移 D.波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅 [解析] 4.两列振动方向相同的相干波相遇叠加,在相遇区域内各质点仍做简谐运动,其振动位移在0到最大值之间,B、C项错误。在波峰与波谷相遇处质点振幅为两波振幅之差,在波峰与波峰相遇处质点振幅为两波振幅之和,故A、D项正确。
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 (1) 常见题型分类 题型一:向量的有关概念与运算 例1:已知a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b = (-3,4)平行的单位向量,则向量a的终点坐标是. 例2:已知| a |=1,| b |=1,a与b的夹角为60°, x =2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二:向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1(1),a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 (2)已知O ,N ,P 在ABC ?所在平面内,且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=,且PA PB PB PC PC PA ?=?=?,则点O ,N ,P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2.已知平面向量a =(3,-1),b =(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ,便得x =a +(t 2-3)b , y =-k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数的关系式k =f(t);(2) 根据(1)的结论,确定k =f(t)的单调区间. 例3: 已知平面向量a ?=(3,-1),b ?=(2 1,23),若存在不为零的实数k 和角α,使向量c ?=a ?+(sin α -3)b ?, d ?=-k a ?+(sin α)b ?,且c ?⊥d ?,试求实数k 的
取值范围. 例4:已知向量)1,2(),2,1(-==b a ,若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直,求k 的最小值. 题型三:向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查. 例7.设函数f (x )=a · b ,其中向量a =(2cos x , 1), b =(cos x ,3sin2x ), x ∈R.(1)若f(x )=1-3且x ∈[-
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法