河南省南阳市一中2015-2016学年高二下学期开学考试数学(理)试卷

河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，832S =，则10S 等于（ ） A ．18B ．24C ．60D ．902．在ABC ∆中，已知60,45,8,B C BC AD BC =︒=︒=⊥于D ，则AD 长为（ ）A ．)41-B ．)41C ．(43+D ．(433．若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）A ．22142x y +=B ．2213x y +=C ．22124x y +=D ．2213y x +=4．下列命题：①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”； ④“若a b >，则221ab>-”的否命题为“若a b ≤，则221ab≤-”； 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知向量()()2,1,2,2,2,1a b =-= ，则以,a b为邻边的平行四边形的面积为（ ）ABC ．4D ．86．已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ） A ．0B ．2C ．1D ．37．等比数列{}n a 共有奇数项，所有奇数项和255S =奇，所有偶数项和126S =-偶，末项是192，则首项1a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)cos cos 2sin a B b A c C +=，4a b +=，且ABC ∆ABC ∆的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．正三角形9．若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-10．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．6D ．512．在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-+⋅⋅⋅+--，则1k a +等于（ ） A ．121k a k ++ B ．112224k a k k +-++ C ．122k a k ++ D ．112122k a k k +-++ 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分）13．观察下面的算式：2111236=⨯⨯⨯，221122356+=⨯⨯⨯，22211233476++=⨯⨯⨯，则22212n ++⋅⋅⋅+=______（其中*n N ∈）．14．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于,A B两点，若0MA MB ⋅=，则k =______．15．已知()()221f x x xf '=+，则()0f '=______．16．已知在长方体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离是______．三、解答题（共70分）17．（本小题满分10分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足2560x x -+≤． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知()cos 23cos 1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积5S b ==，求sin sin B C 的值． 19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()1141n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．（本小题满分12分）某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x ，两侧墙的长为y ，一套简易房所用材料费为p ，试用,x y 表示p ．（2）一套简易房面积S 的最大值是多少？当S 最大时，前面墙的长度是多少？ 21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，PB AC ⊥，AD CD ⊥，且AD CD ==2PA =，点M 在线段PD 上． （1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若二面角M AC D --的大小为45︒，试确定点M 的位置．22．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点到直线2:a l x c =的距离为，离心率e =,A B 是椭圆上的两动点，动点P 满足OP OA OB λ=+ ，（其中λ为常数）． （1）求椭圆标准方程；（2）当1λ=且直线AB 与OP 斜率均存在时，求AB OP k k +的最小值；（3）若G 是线段AB 的中点，且OA OB OG AB k k k k ⋅=⋅，问是否存在常数λ和平面内两定点,M N ，使得动点P 满足18PM PN +=，若存在，求出λ的值和定点,M N ；若不存在，请说明理由．河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5 CDACB 6-10 BCCDD 11-12 CD二、填空题13．()()11216n n n ++ 14．2 15．4- 16．43三、解答题17．解：（1）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a -⋅-<，又0a >，所以3a x a <<，当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x <<．由2560x x -+≤得23x ≤≤，所以q 为真时，实数x 的18．解：（1）由()cos 23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=．解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．因为0A π<<，所以3A π=．（2）由1sin 122bc A bc S ====20bc =．又5b =，所以4c =．由余弦定理，得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，故a =又由正弦定理，得22sin sin sin sin s 203524i 17n B C A b c bc a A A a a ==⨯==． 19．（Ⅰ）因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意，得()()211122412a a a +=+， 解得11a =，所以21n a n =-．（Ⅱ）()()()()()1111441111121212121n n n n n n n n b a a n n n n ---+⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当n 为奇数时，111111112211335232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，（或()1n 2112+1n n T n -++-=）20．解：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，xy y x p 200400900++= ∵S xy =，∴900400200200200p x y xy S S =++≥+=+又因为32000p ≤，所以20032000S +≤，化简得1600S +≤，解得1610-≤≤，又0S >，∴0100S <≤，当且仅当900400100x y xy =⎧⎨=⎩，即203x =时S 取得最大值．答：每套简易房面积S 的最大值是100平方米，当S 最大时前面墙的长度是320米． 21．解证：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD 所以,PA AC PA AB ⊥⊥又因为,PB AC PA AC ⊥⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P = ， 所以AC ⊥平面PAB又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC AB ⊥因为AC AB ⊥，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A = ， 所以AB ⊥平面PAC（2）因为PA ⊥平面ABCD ，又由（1）知BA AC ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 则()()()()0,0,0,0,4,0,2,2,0,0,0,2A C D P -()()2,2,2,0,4,0PD AC =--=设(),,,M x y z PM tPD =，则()(),,22,2,2x y z t -=--， 故点M 坐标为()()2,2,22,2,2,22t t t AM t t t --=--设平面MAC 的法向量为()1,,n x y z = ，则110,0.AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以()40,22220.y tx ty t z =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令1z =，则11,0,1t n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．又平面ACD 的法向量()20,0,1n =所以1212cos 45n n n n ⋅︒==⋅ 12t = 故点M 为线段PD 的中点．22．解：（1）由题设可知：3,a c ==．又222b a c =-，∴24b =．∴椭圆标准方程为22194x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y 则由OP OA OB =+得()1212,P x x y y ++．∴221212122212121249AB OPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-． 由()0,AB k ∈+∞得，43AB OP k k +≥当且仅当23AB k =±时取等号 （3） 221212122212121249AB OG y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-． ∴4·9OA OB k k =-．∴12124+90x x y y =． 设(),P x y ，则由OP OA OB λ=+得()()()()11221212,,,,x y x y x y x x y y λλλ=+=++，即1212,x x x y y y λλ=+=+．因为点A 、B 在椭圆224+9=36x y 上， 所以()2221212493636249x y x x y y λλ+=+++．所以222493636x y λ+=+．即222219944x y λλ+=++，所以P 点是椭圆222219944x y λλ+=++上的点， 设该椭圆的左、右焦点为,M N ，则由椭圆的定义18PM PN +=得18=，∴λ=±，()M，()N -．。