2014年初二初赛试题
2014年全国初中数学竞赛预赛试题及答案
2014 年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，共36 分）以下每小题均给出了代号为A ，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则（A）2013 答】D．B)2014的值为【】C）2015 （D）0解：最大的负整数是－1，1；绝对值最小的有理数是0, •••=0；倒数等于它本身的自然数是1=1.=0.2. 已知实数满足则代数式的值是【A ）（B）3 （C）（D）7 答】A．解：两式相减得3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2 所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图 2 中的对应线段是【】A) B)C)D)【答】C . 解：将图1中的平 面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设 图1中完整的正方形 为完整面，△ AMN 和 △ ABM 所在的面为组 合面，则△ AMN 和与AM 重合，MN 与线段c 重合.△ ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 2,首先确定B 点，所以线段d4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7 个代数式12 / 75)3个 (C ) 4个】 (D) 4个以上答】C．解：由图象可得：抛物线与轴有两个交点，=118 /75即21 / 75. 从图象可得，抛物线对称轴在直线=1 的左边.因此7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5.如图，Rt A OAB的顶点O与坐标原点重合，/ AO=90°,AO=2BQ当A(x>0)的图象上移动点在反比例函数时， B 点坐标满足的函数解析式为【】x<0)B) x<0)C) x<0)D)x<0)答】B．轴的垂线那么28 / 756．如图，四边形ABHK 是边长为6 的正方形，点C、D 在边AB 上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP, E、F分别为MN、QR的中点，连接EF,设EF 的中点为G,则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B.解：设KH 中点为S ,连接PE 、ES SF 、PF 、PS ,可证明四边形 PESF 为平行四边形，••• G 为PS 的中点，即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所 以G 的运行轨迹为△ CSD 的中位线，••• CD=AB — AC — BD=6 — 1 — 1 = 4 , •••点 G 移动的路径长为=2.、填空题（共6小题，每小题6分，共36 分）A【答】原式=8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为个为红色玻璃球的概率为___________ ，那么，随机摸出一答】解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得=10,所以P （摸出一个红色玻璃球）9. 若【答】8.10. _______________________________________ 如图，在Rt A OAB 中，/ AOB=30° AB=2,将Rt△ OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt△ OCD，则AB扫过的面积为______________________________________ .【答】解：T Rt A OAB 中，/ AOB=30°, AB=2,，BO=DO=4，AO=CO=阴影部分面11. 如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4，点E是AD上一个动点，把△ BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A i恰落在/ BCD的平分线上时, CA i= __________答】．解：过A i 作A i M 丄BC,垂足为M，设CM=A i M=x,贝U BM=4 —X, 在Rt△ A i BM 中，E=A i M =•••在等腰Rt△ A i CM 中，C A i =12. 已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5,若m是关于x 的方程(x—a)(x—b)(x—c)(x —d) =2014 中大于a、b、c、d 的一个整数根，贝U m的值为_______ .【答】20.解：•••( m—a)( m—b)( m—c)( m—d) =2014,且a、b、c、d 是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，二(m—a)、( m—b)、( m—c)、( m —d)是四个不同的正整数. v2014=1 >2X19>53, /•( m—a) + (m—b) + (m—c) + (m—d) =1+2+19+53=75.又v a+b+c+d =5，二m =20.三、解答题(第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分)13. 某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，易知0< x w 69, 0< y w 49, 0< z w 34,••• x, y, z均为正整数，>0，即0V z< 14••• z只能取14,9和4. (8)分① 当z 为14 时，=2，=28.② 当z 为9 时，=26，=18.③ 当z 为 4 时，=50 ，=8.综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支• ............................................................ 14分14. 如图，在矩形ABCD中, AD=8,直线DE交直线AB于点E,交直线BC于F，AE=6.(1)若点P是边AD上的一个动点(不与点A、D重合)，设DP为x,四边形AEHP勺面积为y,试求y与x的函数解析式；(2) 若AE=2EB①求圆心在直线BC上，且与直线DE AB都相切的。
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）ABCD【答】 B .因为A D B C ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2B C B D =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅=. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =. 由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2 C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB .设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.A3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠，而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=. 注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分D若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠,AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.……………………5分 又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ， ……………………15分 所以ED CD ABDF AF AF==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB ∠=∠. ……………………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P .…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. FB即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① ……………………10分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分 若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x yz ++，故3|(x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z x y y z zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P . ……………………25分。
2014年全国初中数学联赛(初二组)试题
2014年全国初中数学联赛（初二组）决赛试题（3月23日 上午10：30——12：00）一、 选择题 （本大题42分，每小题7分）1，若2x y y x y =-，则22222343x xy y x xy y --++的值是 （ ）（A ）0 （B ）32- （C ）-15 （D ）-15或32-2，设1,2,3a b c =-==，则a 、b 、c 的大小关系 （） （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）c b a <<3，设a,b,c 均为正整数，且a ≥b ≥c ，满足a+b+c=15,那么以a,b,c 为边长的三角形有 （ ）（A ）5个 （B ）7个 （C ）10个 （D ）12个 4，如图，已知在平行ABCD 中，邻边邻角均不相等，E 、F 分别为BO,DO 的中点，那么这个图形中全等三角形的对数是 （ ）（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 D ）8对5，若整数a,b 都不能被5整除，但a+b 能被5整除，则下列式子不能被5整除的是 （ ）（A ）2a+b (B)2a-3b (C)3a+8b (D)3a-7b6,有盐水若干克，盐水浓度为3%，加入a 克清水后，盐水浓度为2%，再加入a 克清水后，，则此时盐水浓度为 （ ）（A ）1% （B ）1.25% （C ）1.5% （D ）1.75%二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、a,b,c 为常数，且()()3221x x c x x ax b ++=+++对任意实数x 都成立，则abc 的值为2、如图，两张相同的长方形纸片，长为2宽为1，横竖紧靠放在一起，过F 的直线分别交AH 于M ，CB 于N ，且∆HMF 与梯形DEFN 面积相等，则AM 的长度为3、若a,b 是正整数，且满足5a+7b=50,则ab 的值为4、已知∆ABC 的面积为4，3AB ＝2BC ，作∠ABC 的角平分线BE 交AC 于E ，过C 作BE 的垂线，垂足为D ，则∆BDC 的面积为三、（本大题满分20分）如图，已知凸四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC ＝180°，AC 平分∠BAD ，过C作AB 的垂线交AB 于E 。
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准
初三数学竞赛试题 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准A．B． C． D．2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2．【答】 A.，易知：当，时，取得最大值.4．【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.6．【答】 A.过作于，易知△≌△，△∽△.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.1．【答】 0.由题意知，所以2．【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.4．【答】36.设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.解由已知条件可得，.设，，则有，，……………………5分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. ……………………20分解取，，可得，所以1具有性质.取，，可得，所以5具有性质.…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则＝.即……………………10分如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都具有性质. ……………………20分若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. ……………………25分2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准，易知：当，时，取得最大值.【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.A．B． C． D．【答】 A.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.。
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）A．2BCD【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32- D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2 C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =.故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0.A2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒，11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ． 【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=.注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.D第二试一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分 若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠. ……………………5分又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ， ……………………15分所以ED CD ABDF AF AF==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB ∠=∠. ……………………25分FB三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P .…………………5分 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①……………………10分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分 若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P . ……………………25分。
2014全国初中数学联合竞赛试题答案及评分标准
全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y，则x y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y ，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y ，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝（ ）ABCD 【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BCBP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =，所以BD =DP=又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅== 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =±，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2- C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.A当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=. 注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分D若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点E ，由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以DE 为BDC ∠的平分线. ……………………5分又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =. ……………………10分延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==.……………………15分 又FNM FAB ∠=∠，FBA FMN ∠=∠，所以△ABF ≌△NMF ，所以MF BF =，FN AF =. ……………………20分因此，AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+ 7310=+=，即210AH =，所以5AH =. ……………………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？ 解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P ；取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-⨯⨯⨯，所以2具有性质P ；…………………5分 若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P . ……………………10分（2）记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++N＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①……………………15分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分 又若33|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则33|()x y z ++，从而3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P .。
绿化中学2014-2015第一学期八年级数学竞赛题
图4NMD CBA图1P O MA C D图3A CFEB图1 B 绿化中学2014—2015第一学期学八年级数学竞赛试题（满分：100分；考试时间：90分钟）（每小题3分，共 18分）．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出 一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. SSSB. SASC. AASD. ASA，一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）A.5B.6C.7D.8 下列各组图形中，是全等形的是（ ）A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.一个钝角相等的两个等腰三角形．如图1,AD AE =,= = =100 =70BD CE ADB AEC BAE ︒︒，，∠∠∠,下列结论错误的是（ ）A ．△ABE ≌△ACDB ．△ABD ≌△ACEC ．∠DAE =40°D ．∠C =30° 图2 ．如图2，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ,②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中， ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则CBD ∠的度数为（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．95°3分，共18分）．若点P （—2a ，a —1）在y 轴上，则点P 的坐标为____ ____，点P 关于x 轴对称的点为_________； 如图1，P M ⊥OA,PN ⊥OB ,PM =PN ，∠BOC =30°，则∠AOB = .如图3，在△ABC 和△FED 中， A D =FC ，AB =FE ，当添加条件 时，就可得到△ABC ≌△FED .(只需填写一个你认为正确的条件)10.如图4, 已知AB =AC , ∠A =40°, AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ,则∠DBC = 度.11. 如图5：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．12.如图6，是一个改造后的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击中（球可以经过多次反射）， 那么该球最后将落入的球袋是 号袋。
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2014 年全国初中数学结合比赛试题参照答案第一试一、选择题：（此题满分 42 分，每题 7 分）1． 已知 x, y 为整数，且知足(11)( 1212 )2( 1414 ) ，错误！未找到引用源。
则 xy 的x y xy3 xy可能的值有（）A.1 个个C.3 个D.4 个【答】 C.由已知等式得x y x 2 y 2 2 x 4 y 4 ，明显 x, y 均不为 0，所以 xy ＝ 0 或 3xy 2( xy) .xy x 2 y 2 3 x 4 y 4若， 则. 又 x, y 为 整 数 ， 可 求 得x ，x ，3xy 2( xy)(3 x2)(3y2)1或2 所 以4y 2,y1.x y 1或 x y 1.所以， x y 的可能的值有3 个 .2． 已知非负实数 x, y, z 知足 xy z1 ，则 t2xy yz 2zx 的最大值为（）4B ．5C ．9D ．12A ．916257【答】 A.t2xyyz 2zx2x( y z)yz 2x( y z)1( yz) 242x(1 x)1(1 x)27 x 2 3 x 1 7( x 3)2 4 ，4 4 2 4 4 7 7 易知：当 x 3 y z 2 yz 4 .， 7 时， t 2xy 2zx 获得最大值7 73．在△ ABC 中， AB AC ，D 为 BC 的中点， BE AC 于E ，交AD 于P ，已知BP3，PE 1，则 错 误！未找到引用源 。
＝（）6B ． 2C ． 3D ． 6A ．2【答】 B.因为 ADBC ， BEAC ，所以四点共圆，所以BD BC BP BE12，又P,D,C,EB C 2 B D ，所以 BD 6 ，所以 DP3 .又易知△ AEP ∽△ BDP ，所以AEPE，进而可得 AEPE BD1 62 .BDDPDP 34． 6 张不一样的卡片上分别写有数字 2， 2， 4， 4， 6， 6，从中拿出 3 张，则这 3 张卡片上所写的数字能够作为三角形的三边长的概率是（）1223A．B．C．D．2534【答】 B.若拿出的 3 张卡片上的数字互不同样，有2× 2× 2＝ 8 种取法；若拿出的 3 张卡片上的数字有同样的，有 3× 4＝ 12 种取法 . 所以，从6 张不一样的卡片中拿出 3 张，共有8＋12＝ 20 种取法 .要使得三个数字能够组成三角形的三边长，只可能是：（ 2， 4， 4），（ 4， 4， 6），（ 2， 6， 6），（ 4， 6，6），因为不一样的卡片上所写数字有重复，所以，拿出的 3 张卡片上所写的数字能够作为三角形的三边长的状况共有4×2＝8种.所以，所求概率为82. 2055．设[t ]表示不超出实数t 的最大整数，令 { t}t[ t] .已知实数x知足 x3118，则 { x}{1}x3x（）A ．1B．35C．1(35) D ．1 22【答】 D.设x 1，则 x31(x1)( x211) ( x11)2a( a2，所以ax3x x2)[( x3]3)x x xa(a23)，1因式8分解得(a3)(a23a6)0 ，所以a 3 .由 x13解得 x 1(35) ，明显 0 { x}1,0{1} 1 ，所以 { x}{1} 1.x2x x6．在△ABC中，C90， A60 错误！未找到引用源。
2014年八年级全能知识竞赛数学试题
2014年八年级全能知识竞赛数 学 试 题（时量：90分钟 满分：100分）一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 1、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式1111-----+-++b bb a a b aa a a 的值是（ ）A .1- B.0 C.1 D.2 2、已知分式1)1)(8(-+-x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A. 1±B.1-C.8D.1-或8 3、若3)95(-x 的算术平方根是1，则x 的平方根是（ ） A ．2± B ．2 C ．2 D ．2±4、已知1=+y x xy ，2=+zy yz ，3=+x z zx ，则z y x 111++ 的值为（ ） A ．1211 B ．611 C ．1112 D ．1165、如图，BP 是∠ABC 的角平分线，CP 是∠ACB 邻补角的平分线，如果∠ABP ＝20°， ∠ACP ＝50°，则∠A ＋∠P 等于（ ） A.70 ° B.80° C.90 ° D.100°6、如图，已知R t △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线 BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条 件的点P 有（ ）A.2个B.4个C.6个D.8个7、已知三角形的三条边a 、b 、c 的长都是整数，c b a <≤，如果6=b ，则这样的三角形有（ ）A.12个B.15个C.20个D.28个︒50︒20PMCB AAB C8、要使长分别为13-a ，14+a ，a -12的三条线段能组成一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A ．523≤≤a B ．523<<a C ．52<<a D ．623<<a二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 9、若整数x 能使分式1332--x x 的值是整数，则符合条件的x 的值为 ； 10、已知75-的小数部分是a ，75+的小数部分是b ，则=+b a ； 11、如图，D 是等边三角形ABC 内一点，DB ＝DA ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED ＝ ；12、若不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集是11<<-x ，那么)1)(1(-+b a 的值为 ；13、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于点F ，且垂足为E ，则结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE ，其中正确的结论有 （填写序号）.三、计算或化简：（本题共2个小题，每小题6分，共12分） 14、先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+÷++-1622223x xx x x x x ，其中3=x .EDCB AE DC BAF15、已知关于x 的不等式b a x b a 5)2(+>-的解集为37<x ，则关于x 的不等式 求 b a x a b +<-17)53(的解集四、解答题：（本题共3个小题，每小题8分，共24分）16、如图，△ABC 为等边三角形，P 为BC 上一点，△APQ 为等边三角形. （1）求证：AB ∥CQ ；（2）若AQ ⊥CQ ，请指出点P 在BC 上的位置.QP C B A17、在某市中学生篮球比赛中，小方共打了10场球，他在第6,7,8,9场比赛中分别得了22,15,12和19分，他的前9场比赛的平均得分y 比前5场比赛的平均得分x 要高，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分. (１) 用含x 的代数式表示y ；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？ （3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？18、解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若长方形的两边长分别为3和4，求长方形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若长方形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若长方形的周长为14，求长方形面积的最大值”，等等. （1）在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，BD ＝CE ，∠DEF ＝∠B ，求证：BE ＝CF ；（2）提出（1）的一个“逆向”问题，若问题能解答，请解答这个问题，若问题不能解答，请说明理由.F E D CBA五、解答题（本题满分10分）19、由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元.(1)一月Iphone4手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone4s手机销售，已知Iphone4每台进价为3500元，Iphone4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）该店计划四月对Iphone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4手机再返还顾客现金a元，而Iphone4s按销售价每台4400元销售，如果要使（2）中所有方案获利相同，求a的取值.六、解答题（本题满分10分）20、在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，AB垂直平分DF，连接CF交AD于G，连接AF，BF.（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由.F E DCB AG2014年八年级全能知识竞赛参考答案一、1.D 2.C 3.A 4.A 5.C 6C. 7.B 8.B二、9.4,2,2,0-- ；10.1 ；11.30°； 12.6- ；13.①②③⑤三、14、原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++÷+-=)1(6)1(23)1(222x x x x x x x x x x 2分 )1()2)(1()1(22+--÷+-=x x x x x x x 3分 11)2)(1()1()1(222-=--+⋅+-=x x x x x x x x 4分 当3=x 时，211)3(11122=-=-x 6分 15、由题意知：052<-b a ，3725=-+b a b a ，∴0,0,2<<=b a b a ， 2分 ∴0710353>-=-=-b b b a b ，且5103345317-=-+=-+bb bb a b b a ， 4分∴不等式b a x a b +<-17)53(的解集为：ab ba x 5317-+<，即为：5-<x 6分四、16、（1）证明：∵△ABC 、△APQ 均为等边三角形，∴A B ＝AC ，A P ＝AQ ，∠AB C ＝∠BA C ＝∠PA Q ＝60°， ∴∠AB P ＝∠AC Q ， ∴△ACQ ≌△ABP ， 2分∴∠ACQ ＝∠ABC ＝60°，∴∠ACQ ＝∠BAC ，∴AB ∥CQ ； 4分 （2）∵AQ ⊥CQ ，∴∠AQC ＝90°，∵AB ∥CQ ，∴∠BAQ+∠AQC ＝180°， 5分 ∴∠BAQ ＝90°， ∵∠PAQ ＝60°，∴∠BAP ＝30°＝∠CAP ， 7分 ∵AB ＝AC ，∴BP ＝CP ，即P 为BC 的中点. 8分17、（1）9191215225++++=x y ，即9685+=x y 2分（2）依题意有：x x >+9685，解得17<x ， 4分 所以小方在前5场比赛中总分的最大值应为：841517=-⨯（分） 5分 （3）由题意得，小方在这10场比赛中得分至少为 18111018=+⨯（分）， 6分 设他在第10场比赛中得分的最小值为a ，则181)19121522(84≥+++++a ，解得29≥a ，所以小方在第10场比赛中得分的最小值应为29分. 8分 18、（1）证明：∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE ，∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF ，∵BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，∴△EBD ≌△FCE ，∴BE ＝CF ； 4分 （2）答案不唯一①在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，BD ＝CE ，BE ＝CF ，求证：∠DEF ＝∠B ； 6分证明 ：∵BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ， ∴△EBD ≌△FCE ， ∴∠B ＝∠FEC ，∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE ，∴∠DEF ＝∠B ； 8分②在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，BE ＝CF ，∠DEF ＝∠B求证： BD ＝CE ；（此问题能解答，略）③在△ABC 中，D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，BD ＝CE ，BE ＝CF ，∠DEF ＝∠B求证： ∠B ＝∠C ； 此问题能解答，∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE ，∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF ，又∵BD ＝CE ，BE ＝CF ，但这是两边和其中一边的对对应相等，不能判断出△EBD 和△FCE 全等，从而不能得出∠B ＝∠C.五、19、（1）设今年Iphone4手机每台售价为x 元，由题意得：xx 8000050090000=+ 2分解得：4000=x ，经检验4000=x 是方程的解，45005004000=+，故一月Iphone4手机每台售价为4500元； 4分 （2）设购进Iphone4手机m 台，由题意得：76000)20(4000350074000≤-+≤m m ， 6分 解得128≤≤m ，因为m 为整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案； 7分 （3）设总获利w 元，则)20(400)500(m m a w -+-=，即8000)100(+-=m a w ， 9分 所以当100=a 时，（2）中所有的方案获利相同. 10分 六、20、（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，∠AC B ＝90°，∴AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ABC ＝45°， ∵AB 垂直平分DF ，∴BD ＝BF ， ∴∠CBF ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ， ∴CD ＝BF ，∴△ACD ≌△CBF ，∴∠CAD ＝∠BCD ，∵∠BCF ＋∠ACF ＝90°，∴∠CAD ＋∠ACF ＝90°，∴∠CGA ＝90°，即AD ⊥CF ； 6分 （2）∵△ACD ≌△CBF ，∴AD ＝CF ， ∵AB 垂直平分DF ， ∴AD ＝AF ，∴CF ＝AF ，∴△ACF 为等腰三角形. 10分。
2014年初二真题全国初中数学联赛决赛试题
激发兴趣 培养习惯 塑造品格 学而思联赛团队2014年全国初中数学联合竞赛试题（初二组）第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若0x >，0y >5=的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则B D C D⋅＝（ ）A ．16B ．15C ．13D ．123．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ ）A ．21B ．20C ．31D ．305．已知实数,,x y z 满足1()2x y z =++，则xyz 的值为 （ ）A ．6B ．4C ．3D ．不确定6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ ）A ．1813 B ．2013 C ．2213D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ ．2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠= ．激发兴趣 培养习惯 塑造品格 学而思联赛团队4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ ．第二试一．（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32BF CF -=，求AB ．激发兴趣 培养习惯 塑造品格学而思联赛团队三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac ab a bc b ac c ab++=+++，求a b c ++的值.。
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2014年四川初中数学联赛（初二）初赛试题 （ 第1页 共4页）
地
（
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县
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区
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年
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名
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2014年全国初中数学联赛（初二组）初赛试卷
（3月7日 下午4:00——6：00）
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1． 化简23231的值是（ ）．
（A）0 （B）32 （C）32 （D）4
2． 实数cba,,满足1,0abccba，则cba,,中正数的个数是（ ）．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3． 在一个圆柱形水池内，有一个进水管和一个出水管，进水管流水速度是出水管
流水速度的两倍．开始时有一满池水，出水管开始放水，到池水只有一半池时，
打开进水管放水（此时出水管不关）直到放满池水关闭进水管，再由出水管放
完池水．则在这一过程水池中的水量V随时间t的变化关系的图像是
（ ）．
(D)VtO(C)VtO(A)VtOOtV(B)
4． 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，AE是BAD的
平分线，EF垂直于AE，则AF的长为（ ）．
（A）23 （B）4 （C）52 （D）
10
题 号 一 二 三 四 五 合 计
得 分
评卷人
复核人
F
D
A
C
E
B
2014年四川初中数学联赛（初二）初赛试题 （ 第2页 共4页）
5． 方程1|3||2|xx的解的个数为（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3 个 （D）无数个
6． 在ABC中，B和C的角平分线交点是I，则BIC是（ ）．
（A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定．
二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）
1． 用火柴棍按照如下图所示的规律搭建三角形，“„”表示按照前面的规律一直搭
建下去，当搭建到第n个编号三角形的时候，所用火柴棍的根数是
（用含有n的式子表示）．
…
(n)(3)
(2)(1)
2． 若a为整数，则关于x的方程1)1(axa的所有整数解的和是 ．
3． ,ab为常数，且对任何实数x，都有222223(1)(2)12xabxxxx成立，
则ab ．
4． 在长方形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，设E为边BC的中点，现将纸片折叠，
使A、E重合，则折痕将长方形纸片分成两部分中，较大部分面积与较小部分
面积之比的值为 ．
三、（本大题满分20分）
解不等式13|2|xx．
2014年四川初中数学联赛（初二）初赛试题 （ 第3页 共4页）
四、（本大题满分25分）
如图，在等腰梯形ABCD中，//ADBC，DEBC于E.若3,5DEBD，
求梯形ABCD的面积．
EBC
A
D
2014年四川初中数学联赛（初二）初赛试题 （ 第4页 共4页）
五、（本大题满分25分）
已知正整数a、b满足332)(baba，试求a、b的值．