2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、 选择题:110:小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合

题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 当0x +

A

.1-

B

1C

.1D -

【答案】(B)

【考点】等价无穷小 【难易度】★★

【详解】解析:方法1:排斥法:

由几个常见的等价无穷小,当0x +

0→,

所以1(1-:

:

21

1,2

-:可以排除A 、C 、D ,所以选(B ). 方法2:

=

=

ln 1??+ ? 当0x +

时,11→

0→,又因为0x →时,()ln 1x x +:,所以

)

ln 1~~1~x ?= ?B ).

方法3

:0lim x +

00lim x x →→'

1lim lim 1x x +

+

→→==

1A x

=

+

(()111A B x x +

+=- 对应系数相等得:1A B = =,所以

原式

00lim lim 1x x x ++→→??

==+?+

?

0lim lim 011x x x +

+

→→=+=++1=,选(B ).

(2) 曲线1

ln(1)x y e x

=

++渐近线的条数为( ) .A 0 .B 1 .C 2 .D 3

【答案】( D)

【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★

【详解】解析:0

01lim lim ln(1)x x x y e x →→??

=++

???

=∞,所以0x =是一条铅直渐近线;

1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞??

=++ ???1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞

=++=+=,所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线;

令21

ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++??+===+ ???

21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11

x

x x e e →+∞+ =洛必达法则

令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞

??

=-?=++- ???

()()1

lim

lim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞

=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()x

x

x

x

x x x e x e e e e

→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==

所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线,所以共有3条,选择(D )

(3) 如下图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区

间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0

()(),x

F x f t dt =?

则下列结论正确的是

( )

.A (3)F 3(2)4F =-

- .B (3)F 5

(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5

(2)4

F =--

【答案】( C)

【考点】定积分的概念、定积分的基本性质,积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★

【详解】解析:由题给条件知,()f x 为x 的奇函数,则()()f x f x -=-,由0

()(),x

F x f t dt =

?

()()()()()()()()x

x x

F x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =?

??,故()F x 为x 的偶函数,

所以(3)(3).F F -=而

2

(2)()F f t dt =?表示半径1R =的半圆的面积,所以2

2

(2)()2

2

R F f t dt ππ

==

=

?,

3230

2

(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+???,其中3

2

()f t dt ?表示半径1

2

r =

的半圆的面积的负值,所以2

2

3

2

1()2

228

r f t dt πππ

??

=-

=-

?=- ????

所以3

2

3

2

333

(3)()()()(2)2

8

8424

F f t dt f t dt f t dt F π

π

ππ=

=+=

-

=

=?=?

?? 所以3

(3)(3)(2)4

F F F -==,选择( C)

(4) 设函数()f x 在0x =处连续,则下列命题错误的是( )

.A 若0()lim

x f x x →存在,则(0)0f = .B 若0()()

lim x f x f x x →+-存在,则(0)0f =

.C 若0()lim x f x x →存在,则(0)f '存在 .D 若0()()

lim x f x f x x

→--存在,则(0)f '存在

【答案】( D)

【考点】极限的四则运算,函数连续的概念,导数的概念

【难易度】★★

【详解】解析:方法1:论证法,证明..A B C 都正确,从而只有.D 不正确。

由0()

lim

x f x x

→存在及()f x 在0x =处连续,所以

0(0)lim ()x f f x →=0000()()()

lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x

→→→→==?=?0=,所以(A )正确;

由选项(A )知,(0)0f =,所以00()(0)()

lim lim

0x x f x f f x x x

→→-=-存在,根据导数定义,0()(0)

'(0)lim

x f x f f x →-=-存在,所以(C )也正确; 由()f x 在0x =处连续,所以()f x -在0x =处连续,从而

[]0

lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=

0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-??

=?=?=?=????

,即有(0)0f =.

所以(B )正确,故此题选择(D ).

方法2:举例法,举例说明(D )不正确,例如取()f x x =,有

0()()

lim

lim 00x x x x f x f x x x

→→----==-存在 而()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---,

()()0000lim lim 10

0x x f x f x x x +-→→--==--,左右极限存在但不相等,所以()f x x =在0x =的导数()0f '不存在. (D )不正确,选(D ).

(5) 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数,且()0f x ''>,令()(1,2,)n u f n n ==L ,则下列结论正

确的是( )

.A 若12u u >,则{}n u 必收敛 .B 若12u u >,则{}n u 必发散

.C 若12u u <,则{}n u 必收敛 .D 若12u u <,则{}n u 必发散

【答案】( D)

【考点】数列极限的定义,函数单调性的判别,拉格朗日中值定理 【难易度】★★★

【详解】解析:()n u f n =,由拉格朗日中值定理,有

1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==L ,其中n 1n n ξ<<+,

12n .ξξξ<<<

由()0,f x ''>知()f x '严格单调增,故

12n ()()().f f f ξξξ'''<<<

若12u u <,则121'()0,f u u ξ=->所以12n 0'()'()'().f f f ξξξ<<<<

1111k 111

1

()()().n n

n k k k k u u u u u f u nf ξξ++==''=+-=+>+∑∑

而1()f ξ'是一个确定的正数.于是推知1lim ,n n u +→∞

=+∞故{}n u 发散.选(D )

(6) 设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ,

Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧,则下列积分小于零的是( ) .A

(,)f x y dx Γ

?

.B (,)f x y dy Γ?

.C (,)f x y ds Γ

? .D (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ

''+?

【答案】(B)

【考点】第一类曲线积分的计算 【难易度】★★

【详解】解析:记1122(,),(,),M x y N x y 因为已知点M 在第Ⅱ象限内,点N 在第Ⅳ象限内,所以

11220,0,0,0,x y x y <>><并注意到在积分的弧段上(,) 1.f x y =于是

2

1

2

1

2121(A)(,)0.

B (,)0.

C (,),0.

x x y y f x y dx dx dx x x f x y dy dy dy y y f x y ds ds l l l Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

===->===-<==Γ>????????()()为弧的长,

根据多元函数全微分:(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy ''=+,所以

2211(,)D (,)(,)(,)(,)

(,)

x y x y f x y dx f x y dy df x y f x y x y Γ

Γ

''+==??()

2211(,)(,)110.f x y f x y =-=-=

所以选择(B)

(7) 设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关的是( )

A .12αα-2331,,αααα--

B .12αα+2331,,αααα++

C .1223312,2,2αααααα---

D .1223312,2,2αααααα+++

【答案】(A)

【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★★

【详解】解析:方法1:根据线性相关的定义,若存在不全为零的数123,,k k k ,使得

1122330k k k ααα++=成立,则称123,,ααα线性相关.

因 1223310αααααα-+-+-=, 故122331αααααα---,,线性相关,所以选择(A ). 方法2:排除法

因 [][][]1223311231232101,,,,110,,,011C αααααααααααα????+++==?????? 其中2101110011C ??

??=??????

, 2101110011

C =11

10111

1(1)20111111111

01

1

+-?-+-=-=?-?-行行()

()20=≠.

故2C 是可逆矩阵,由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 2C 右乘[]123,,ααα时,等于作若干次初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,故有

122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==

故122331,,αααααα+++线性无关,排除(B ).

因 [][][]1223311231233

1022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα-????---=-=????-??

其中31

02210021C -????=-??

??-??

31022

100

2

1

C -=--11

102

14

10

1

41112421

021

+--?-=-=?--?---行2+2行()

()()

≠=-70.

故3C 是可逆矩阵,故有

122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==

故1223312,2,2αααααα---线性无关,排除(C ).

因[][][]12233112312341022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα????+++==?????? 其中4102210021C ??

??=??????

, 4102210021

C =11

10214

1(2)20141112421

02

1

+-?-+-=-=?-?-行行()

()90.=≠

故4C 是可逆矩阵,故有

122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==

故1223312,2,2αααααα+++线性无关,排除(D ). 综上知应选(A ).

(8) 设矩阵211121112A --????=--????--??,100010000B ????=??????

,则A 与B ( ) A . 合同,且相似 B . 合同,但不相似

C . 不合同,但相似

D . 既不合同,也不相似

【答案】(B )

【考点】相似矩阵的概念,矩阵合同的判定 【难易度】★★ 【详解】解析:

2

1

1

121112E A λλλλ--=

--11

2312112

λλλλλ--、列分别加到列 111121

1

12

λλλλ--提出1111103

1

1

2λλλ?---行()+2行

1111103

3

λλλ?---行()+3行11

3

10

3

λλ

λ+-=--()

()2

30λλ=-=

则A 的特征值为3,3,0;B 是对角阵,对角元素即是其特征值,则B 的特征值为1,1,0.

,A B 的特征值不相同,由相似矩阵的特征值相同知,A B 与不相似.

由,A B 的特征值可知,,A B 的正惯性指数都是2,又秩都等于2可知负惯性指数也相同,则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数,知A 与B 合同,应选(B ).

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01),p p <<则此人第4次射击恰好第

2次命中目标的概率为 ( )

A .23(1)p p -

B . 26(1)p p -

C .223(1)p p -

D .226(1)p p -

【答案】()C

【考点】事件独立性的性质,独立重复试验 【难易度】★★

【详解】解析:把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为:第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功,2次失败.

根据独立重复的伯努利试验,前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为12

3(1).C p p -再加上第4次是成功

的,其概率为p . 根据独立性原理,

若事件1,,n A A L 独立,则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =I I L I L 所以,第4次射击为第二次命中目标的概率为

1

2223(1)3(1).C p p p p p -?=-

所以应选(C )

(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =条件下,X 的条件概率密度()X Y f x y 为( )

A .()X f x

B .()Y f y

C .()()X Y f x f y

D .

()

()

X Y f x f y 【答案】()A

【考点】二维正态分布的性质、二维连续型随机变量的条件密度 【难易度】★★★

【详解】解析:二维正态随机变量(,)X Y 中,X 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关.而对任意两随机变量X 与Y ,如果它们相互独立,则有(,)()()X Y f x y f x f y =.

由于二维正态随机变量(,)X Y 中X 与Y 不相关,故X 与Y 独立,且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义,当在Y y =条件下,如果()0,Y f y ≠则(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =()()

()()

X Y X Y f x f y f x f y ==.

现()Y f y 显然不为0,因此(|)().X X Y f x y f x = 所以应选(A).

二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (11)

1

2

31

1x e dx x

=?

_________

【考点】定积分的换元法、定积分的分部积分法 【难易度】★★ 【详解】解析:令

1

t x

=,有211,,x dx dt t t ==-

12

31

1x e dx x ?

111

133222121112

111t t t t t t e d t e dt te dt te dt x t t ?? = =-=-= ??????? ()

11

1

1

12

111122

2

2

12t t t

t tde te

e dt e e e =-=--??分部积分

1

11

2

22112

2

e e e e e ??=---== ???

(12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,),y x

z f x y =则

______z

x

?=? 【答案】112(,)(,)ln y x y y x x f x y yx f x y y y -''+ 【考点】多元复合函数一阶偏导数的求法 【难易度】★★

【详解】解析:z x

?=

?12(,)(,)(,)y x y x

y x y x

f x y x y f x y f x y x x x ???''=+??? 112(,)(,)ln y x y y x x f x y yx f x y y y -''=+

(13)二阶常系数非齐次线性微分方程2432x

y y y e

'''-+=的通解为_____y =

【答案】32122x x x

C e C e e +-

【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★

【详解】解析:这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数()f x 是()x

m P x e λ型(其中

()2,2m P x λ= =).

与所给方程对应的齐次方程为430y y y '''-+=,

它的特征方程为2

430,r r -+=则()()310r r --=,得特征根121,3,r r ==对应齐次方程的通解

1231212r x r x x x Y C e C e C e C e =+=+

由于这里2λ=不是特征方程的根,所以应设该非齐次方程的一个特解为*2,x

y Ae =()*22x

y

Ae

'=,

()*

24x

y Ae

''=,代入原方程:

222244232x x x x Ae Ae Ae e -?+=,即222x x Ae e -=,则2A =-,所以*22.x y e =-

故得原方程的通解为32122x x x

y C e C e e =+-.

(14)设曲面:1x y z ∑++=,则

()_____x y dS ∑

+=??ò

【考点】第一类曲面积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析:

()x y dS xdS y dS ∑

+=+??????

乙?,对于第一部分,由于积分区域关于yoz 对称,

被积函数x 为x 的奇函数,所以

0.xdS ∑

=??ò

又因∑关于,,x y z 轮换对称,所以

,xdS ydS z dS ∑

==????

??乙?

那么

()1

1

3

3y dS x y z dS dS ∑

=

+

+=

??????乙?,由曲面积分的几何意义,dS ∑

??ò为曲面的表面积,所以1

3

y dS dS ∑

=

????乙()1.3=?∑的面积 而∑为8

,所以

的面积

2

18sin

2

3

π

=?

=

所以

1()3x y dS y dS ∑

+=

=?=????

(15)设矩阵0

1000010,00010

000A ??

? ?

= ?

???

则3A 的秩为_____

【答案】1

【考点】矩阵的秩 【难易度】★★ 【详解】解析:

2

01000

1000

010*********

00100010

0010000000000000000A ??????

??? ?

??? ?

== ??? ? ??? ???????

3200100

1000

001000100100

00000000

0010

000000000000

000A A A ??????

??? ? ??? ?

=?==

??? ?

??? ???????

由阶梯矩阵的行秩等于列秩,其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数,知()3

1.r A =

(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于1

2

的概率为______ 【答案】3.4

【考点】几何型概率 【难易度】★★

【详解】解析:不妨假定随机地抽出两个数分别为X Y 和,它们应是相互独立的.如果把,X Y ()看成平面上一个点的坐标,则由于01,01,X Y <<<<所以,X Y ()

为平面上正方形: 01,01X Y <<<<中的一个点. X Y 和两个数之差的绝对值小于1

2

对应于正方形中

1

2

X Y -<的区域.

所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ,可以被看成上图中单位正方形里的点.12

X Y -<的区域就是正方形中阴影的面积D .根据几何概率的定义:

2

11132.214D P X Y ??- ?

?

???-<=== ??

?的面积单位正方形面积

三、解答题:17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤. (17)(本题满分10分)

求函数2

2

2

2

(,)2,f x y x y x y =+-在区域{}

22

(,)4,0D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.

【考点】多元函数的最大值、最小值 【难易度】★★★

【详解】解析:先求D 的内部驻点,由

22220420

x

y f x xy f y x y ?'=-=??'=-=??, 解得函数(,)f x y 在D

内的驻点为(,相应的函数值为

2222((21(12f =+-=g g

再考虑在D 的边界0,(22)y x =-≤≤上的(,)f x y .

即2

(,0),(22)f x x x =-≤≤,易知函数(,)f x y 在此边界上的最大值为(2,0)4f ±=,最小值为

(0,0)0f =.

考虑在D 的边界2

2

4,(0)x y y +=≥上的(,)f x y

,所以y =

222242()(2(4)(4)58,22h x f x x x x x x x x ==+---=-+-≤≤

由3

()4100h x x x '=-=

得1230,x x x ===[]123,,2,2x x x ∈-, 所以函数()h x 在相应点处的函数值为

42(0)(0,2)05088h f ==-+=g

427

(((5(84h f ==-+=

42784

h f ==-+= 综上可知函数在D 上的最大值为(0,2)8f =,最小值为(0,0)0f =.

(18)(本题满分11分)

计算曲面积分 23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑

=++?? 其中∑为曲面2

2

1(01)4y z x z =--≤≤的上侧. 【考点】第二类曲面积分的计算

【难易度】★★★★

【详解】解析:解法一:增加一个曲面使之成为闭合曲面,从而利用高斯公式,

补充曲面片2

2

:0,14

y S z x =+≤,取下侧,有 2323S

S

I xzdydz zydzdx xydxdy xzdydz zydzdx xydxdy ∑+=

++-++????

根据高斯公式,23(2)S

xzdydz zydzdx xydxdy z z dv ∑+Ω

++=+?????

2

21

1

00

1

14

36(1)x y z

zdz dxdy z z dz ππ+<-=

=-=???

?

其中 22

(,,)1,014y x y z x z z ????Ω=+≤-≤≤??????

, 又

221

1

4

233S

x y xzdydz zydzdx xydxdy xydxdy +≤++=-????

由函数奇偶性可知

221

1

4

30x y xydxdy +≤=??

从而0I ππ=+=

解法二:曲面∑在xOy 上的投影记为xy D ,由于曲面∑的正向法向量为

1

(,,1)(2,,1)2

x y

n z z x y ''=--=r ,所以 23(,,)xy

D I xzdydz zydzdx xydxdy X Y Z ndxdy ∑

=++=????r

g

222222221

1

4

11

[2(1)(1)3]44

x y x x y y x y xy dxdy +≤=

--

+--+??

令cos ,02,01sin x r r y r θ

θπθ

=?≤≤≤≤?

=?,则

21

22222220

[2(1)cos 2(1)sin 6cos sin ]2I d r r r r r rdr π

θθθθθ=

-+-+?

?

1

32

012(1)r r dr ππ=-=?

g

解法三:记曲面∑在三个坐标平面上的投影分别为,,xy yz zx D D D ,则利用函数奇偶性有,

330xy

D xydxdy xydxdy ∑

==????

1022yz

D xzdydz zdz -∑==?????? 1

[2(1)]3

z z dz π

π=-=

?

1

288zx

D zydzdx zdz ∑

==?????

1

24(1)3

z z dz π

π=-=

?

所以 22303

3

I xzdydz zydzdx xydxdy π

π

π∑

=

++=

+

+=??

(19)(本题满分11分)

设函数()f x ,()g x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值,又()f a =()g a ,

()f b =()g b ,证明:存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=

【考点】零点定理、罗尔定理 【难易度】★★★★

【详解】解析:命()()()x f x g x ?=-,由题设(),()f x g x 存在相等的最大值,设

1(,)x a b ∈,2(,)x a b ∈使12[.]

[.]

()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===

于是 111222()()()0,()()()0x f x g x x f x g x ??=-≥=-≤

若1()0x ?=,则取1(,)x a b η=∈有()0?η=. 若2()0x ?=,则取2(,)x a b η=∈有()0?η=.

若12()0,()0x x ??><,则由连续函数介值定理知,存在12(,)x x η∈使()0?η=.

不论以上哪种情况,总存在(,),a b η∈使()0?η=。

再由 ()()()0

,()()()0

a f a g a

b f b g b ??=-=??

=-=?

将()x ?在区间[,],[,]a b ηη分别用罗尔定理知,存在12(,),(,),a b ξηξη∈∈使得12()()0?ξ?ξ''==0, 再由罗尔定理知,存在12(,)ξξξ∈,使()0?ξ''=.即有()()f g ξξ''''=.

(20)(本题满分10分)

设幂级数

n

n n a x

=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===

(Ⅰ)证明22

,1,2,1

n n a a n n +=

=+L (Ⅱ)求()y x 的表达式

【考点】幂级数的和函数,幂级数和函数逐项求导 【难易度】★★★★★

【详解】解析:(Ⅰ)证法一:对0

n

n n y a x

==

∑,求一阶和二阶导数,得

1

21

2

,(1),n n n

n n n y na x

y n n a x ∞

--=='''=

=-∑∑

代入240y xy y '''--=,得

2

1

2

1

(1)240n n n n

n n n n n n n a x

x na x

a x ∞

--===---=∑∑∑

20

1

(1)(2)240n

n

n

n n n

n n n n n a

x na x a x ∞

∞∞

+===++--=∑∑∑ 于是 202240

(1)20,

n n a a n a a +-=?

?

+-=?1,2,,n =L

从而 22

,1,2,,1

n n a a n n +=

=+L 证法二:由于0

n

n n y a x ∞

==∑,根据泰勒级数的唯一性便知()(0)

!n n y a n =。

在方程240y xy y '''--=两端求n 阶导数,得

(2)(1)()22(2)0n n n y xy n y ++--+=

令0x =,得

(2)()(0)2(2)(0)0n n y n y +-+=,

即 2(2)!2(2)!0n n n a n n a ++-+?=

故 22

,1,2,1

n n a a n n +=

=+L (Ⅱ)解法一:由于2202

,1,2,,2,1

n n a a n a a n +===+L 且根据题设中条件

01(0)0,(0)1,a y a y '==== 所以 20,1,2,n a n ==L ;

21211221,0,1,2,22(22)42!

n n n a a a n n n n n +-=====-L L L g 从而 2221

2121

00

1()()!!n

n n n x n n n n n n x y x a x a

x

x x xe n n ∞∞

+++=====

====∑∑∑∑。

解法二:因为0

n

n n y a x ∞

==∑,所以1

1n n n y a x x ∞-==∑,两边求导,得

2

220

()(1)(1)n n n n n n y n a x n a x x ∞∞

-+=='=-=+∑∑ 由于 22

,1,2,1

n n a a n n +=

=+L , 所以 0

()22n

n n y a x y x ∞

='==∑,即函数()y x 满足方程

()20y

y x '-= 令()y

u x x =,则上述方程变为20u xu '-=,

即 2du

xdx u

=

解之得 2

x u Ce =, 从而 2

x y Cxe =, 由(0)1y '=得1C =, 所以2

x y xe =.

(21)(本题满分11分)

设线性方程组12312321

230

2040x x x x x ax x x a x ?++=?

++=??++=? (1)

与方程 12321

x x x a ++=- (2)

有公共解,求a 的值及所有公共解.

【考点】线性方程组的公共解 【难易度】★★★★

【详解】解析:方法1:因为方程组(1)、(2)有公共解,将方程组联立

12312321231

23020(3)4021

x x x x x ax x x a x x x x a ++=??++=??++=?

?++=-?

并对联立方程组的增广矩阵作初等行变换

21110120()140121a A b a a ?? ? ?= ? ? ?

??

21

11

00110112140121a a a ?? ?

- ?

?-+ ?

?

??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行()行

21

1

1

0011011303101

21a a a ?? ?- ??-+ ?- ???u u u u u u u u u u u u u u u u r 行()行21

1

1

001101140

3100

101a a a ??

?

- ?

?-+ ?

-

?

-??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行()行

211

1000111203100101a a a a ?? ?-- ??-+ ?- ?-??u u u u u u u u u u u u u u u u u r 4行()行2

11

10

0011330

01330101a a a a a ??

?

-- ?

?-+ ?--

?

-??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 4行()行 211

1

010100110

0133a a a a a ?? ?- ? ?-- ?--??u u u u u x 换行1

1

1

01013--140

011000(1)(2)a a a a

a a ??

?

- ??+ ?--

?

--??

u u u u u u u u u u u u u u u u u u u x 行()行

由此可知,要使此线性方程组有解,a 必须满足(1)(2)0a a --=,即1a =或2a =.

当1a =时,()2r A =,联立方程组(3)的同解方程组为1232

0x x x x ++=??=?

由()2r A =,方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量,取:11x =, 解得两方程组的公共解为[1,0,1]T

k -,其中k 是任意常数.

当2a =时, 联立方程组(3)的同解方程组为12323

01x x x x x ++=??

=??=-?

解得两方程的公共解为[0,1,1]T

-.

方法2:将方程组(1)的系数矩阵A 作初等行变换

21111214A a a ????=??????211111201114a a ?????-+-??????

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行()行

2

111113011031a a ?????-+-????-??u u u u u u u u u u u u u u u u r 行()行1113301100(1)(2)a a a ?????-+-??

??--??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 2行()行

当1a =时,()2r A =,方程组(1)的同解方程组为12320

x x x x ++=??

=?

由()2r A =,方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量,取:11x =, 解得(1)的通解为[1,0,1]T

k -,其中k 是任意常数.

将通解[1,0,1]T

k -代入方程(2)0()0k k ++-=.对任意的k 成立, 故当1a =时,[1,0,1]T k -是(1)、(2)的公共解.

当2a =时,()2r A =,方程组(1)的同解方程组为123230

x x x x x ++=??

+=?

由()2r A =,方程组有321n r -=-=个自由未知量.选2x 为自由未知量,取:21x =, 解得(1)的通解为[0,1,1]T

μ-,其中μ是任意常数.

将通解[0,1,1]T

μ-代入方程(2)21μμ-=.得1μ=, 故当2a =时,(1)和(2)的公共解为[0,1,1]T

-.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T

λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量,

记534B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.

(Ⅰ)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B .

【考点】实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵 【难易度】★★★★

【详解】解析:(Ⅰ)由11A αα=,可得 11

1111()k k k A A A A αααα--====L ,k 是正整数,故 5311(4)B A A E αα=-+53

1114A A E ααα=-+111142αααα=-+=-

于是1α是矩阵B 的特征向量(对应的特征值为12λ'=-).

若Ax x λ=,则()(),m

m

kA x k x A x x λλ==因此对任意多项式()f x ,()()f A x f x λ=,即()f λ是

()f A 的特征值.

故B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到,A 的特征值11,λ=22,λ=

32,λ=-则B 有特征值112

233()2,()1,()1,f f f λλλλλλ'''==-====所以B 的全部特征值为-2,1,1. 由A 是实对称矩阵及B 与A 的关系可以知道,B 也是实对称矩阵,故属于不同的特征值的特征向量正交.由前面证明知1α是矩阵B 的属于特征值12λ'=-的特征向量,设B 的属于1的特征向量为

123(,,)T x x x ,1α与123(,,)T x x x 正交,所以有方程如下:

1230x x x -+=

选23,x x 为自由未知量,取23230,11,0x x x x ====和,于是求得B 的属于1的特征向量为

23(1,0,1),(1,1,0)T T αα=-=

故B 的所有的特征向量为:对应于12λ'=-的全体特征向量为11k α,其中1k 是非零任意常数,对应于

2

31λλ''==的全体特征向量为2233k k αα+,其中23,k k 是不同时为零的任意常数. (II)方法1:令矩阵[]123111,,101110P ααα-??

??==-??????,求P 的逆矩阵1P -.

111100101010110001-????-??????M M M 11110012012110110001-??

??+-??

????

M M u u u u u u u u u r M 行行

11110013012110021101-????+-????--??M M u u u u u u u u u r M 行行1111003012110003121-??

???+-??

????

M M u u u u u u u u u u u u r M 行2行

111100111100330121100101/31/32/30011/32/31/30011/32/31/3--????????÷-?---????????????

M M M M u u u u u u u r u u u u u u u u u u u u u u u u r M M 行3行(-2)+2行 1102/32/31/30101/31/32/30011/32/31/3---??

???---??????

M M u u u u u u u u u u u u u u u u r M 3行(-1)+1行 1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-?????---??????M M u u u u u u u u u u u u u u u u r M 2行(-1)+1行 1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-?????-??

????M M u u u u u u u u u u r M 2行(-1)

则1

P -1/31/31/311111/31/32/311231/32/31/3121--????

????=-=-????

????????

由1

(2,1,1)P BP diag -=-,所以

1

1112001111(2,1,1)1010101123110001121B P diag P ----??????

??????=?-?=--??????????????????

111222033111011123033

3110121330----????????????=--=????????????-??????011101110-??

??=????-??

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面将一圆柱截取一部分所得,则该几何体的体积为 ( ) A 、90π B 、63π C 、42π D 、36π 5、设y x ,满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ,则y x z +=2的最小 值为 ( ) A 、15- B 、9- C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 ( ) A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问 成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。

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续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容:导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高 阶导数一阶微 分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则函 数单调性的判别 函数的极值函 数图形的凹凸 性、拐点及渐近 线函数图形的 描绘函数的最 大值和最小值 弧微分曲率的 概念曲率圆与 曲率半径 考试要求 1.理解导数和微 分的概念,理解 导数与微分的关 系,理解导数的 几何意义,会求 平面曲线的切线 方程和法线方 程,了解导数的 物理意义,会用 导数描述一些物 理量,理解函数 的可导性与连续 性之间的关系. 2.掌握导数的四 则运算法则和复 合函数的求导法 则,掌握基本初 等函数的导数公 式.了解微分的 四则运算法则和 一阶微分形式的 不变性,会求函 数的微分. 3.了解高阶导数 的概念,会求简 单函数的高阶导 数. 4.会求分段函数 的导数,会求隐 函数和由参数方 程所确定的函数 以及反函数的导 数. 5.理解并会用罗 尔(Rolle)定理、 拉格朗日 (Lagrange)中值 定理和泰勒 (Taylor)定理, 了解并会用柯西 中值定理. 6.掌握用洛必达 法则求未定式极 限的方法. 7.理解函数的极 值概念,掌握用 导数判断函数的 单调性和求函数 极值的方法,掌 握函数最大值和

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3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像. 详解:为奇函数,舍去A, 舍去D; , 所以舍去C;因此选B. 点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势; ③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复. 4. 已知向量,满足,,则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析:根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解:因为 所以选B. 点睛:向量加减乘: 5. 双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A

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2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国2卷) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i - 2.设集合{}1,2,4A =,{} 2 40x x x m B =-+=.若{}1A B =,则B =() A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π 5.设x ,y 满足约束条件2330 233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值是() A .15- B .9- C .1 D .9 6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有() A .12种 B .18种 C .24种 D .36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有 2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1 )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续,则 (A) 12 ab =. (B) 12 ab =- . (C) 0ab =. (D) 2ab =. 【答案】A 【详解】由0 11lim 2x b ax a + →-==,得1 2 ab =. (2)设函数()f x 可导,且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- . (B) ()()11f f <-. (C) ()()11f f >-. (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. (3)函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 . 【答案】D 【详解】方向余弦12 cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处.图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:m/s),三块阴影部分面积的数值一次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1、若反常积分01(1)a b dx x x +∞ +?收敛,则 (A )1a <且1b >. (B )1a >且1b >. (C )1a <且1a b +>. (D )1a >且1a b +>. 2、已知函数2(1), 1,()ln ,1, x x f x x x -

(完整版)2019考研数学三真题及参考答案解析

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析 一、选择题 1.() 为同阶无穷小,则与时,若当=-→k x x x x k tan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2. 的取值范围为()个不同的实根,则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+,4 C.]44[,- D. ),(44- 3. c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值 为( ) A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4 4.的是()条件收敛,则下列正确绝对收敛,已知∑∑∞ =∞ =11n n n n n v nu A. 条件收敛n n n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞ =1n n n v u C. )收敛(n n n v u +∑ ∞ =1 D.)发散(n n n v u +∑∞ =1 5个的基础解析有的伴随矩阵,且为阶矩阵,为已知204* =Ax A A A 线性无关的 解,则 ) ()(=* A r A.0 B.1 C.2 D.3 6.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若E A A 22 =+,且4=A ,则二次型 Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 7.设B A ,为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件是

A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P = 8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布),(2 σμN ,则{} 1<-Y X P A.与μ无关,而与2σ有关. B.与μ有关,而与2σ无关. C.与2 ,σμ都有关. D.与2,σμ都无关. 二.填空题,9~14小题,每小题4分,共24分. 9. ()=???? ? ?+++?+?∞→n n n n 11321211lim Λ 10. 曲线?? ? ??-+=232 cos 2sin ππ < <x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f x d 11 4? += ,则()=?x x f x d 10 2 12. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为 2 22500B B A A p p p p +--,则当A p =10,B p =20时,A 商品的价格需求弹性AA η(0>AA η)= 13. 设????? ??---=11011 11012a A ,??? ? ? ??=a b 10,若b Ax =有无穷多解,则a= 14 设随机变量X 的概率密度为?????<<=,其他, 02 0,2)(x x x f ) (x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,则{}=->1X X F P E ) ( . 三、解答题

历年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.) (1)曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 . 【答案】1y x =- 【考点】导数的几何意义 【难易度】★ 【详解】 解析:由11 )(ln == '='x x y ,得1x =, 可见切点为)0,1(,于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y , 即 1-=x y . (2)已知()x x f e xe -'=,且(1)0f =,则()f x = . 【答案】 2 1ln 2 x 【考点】不定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】 解析:令t e x =,则t x ln =,于是有 t t t f ln )(=', 即 .ln )(x x x f = ' 积分得2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x = ==+??. 利用初始条件(1)0f =, 得0C =,故所求函数为()f x = 2 1ln 2 x . (3)设L 为正向圆周2 2 2x y +=在第一象限中的部分,则曲线积分x y y x L d 2d -?的值 为 . 【答案】 π2 3 【考点】第二类曲线积分的计算;格林公式 【难易度】★★★ 【详解】 解析:正向圆周22 2 =+y x 在第一象限中的部分,可表示为 . 2 0:, sin 2,cos 2π θθθ→ ?? ?==y x

于是 θθθθθπ d ydx xdy L ]sin 2sin 22cos 2cos 2[220 ?+?=-?? =.2 3sin 220 2πθθππ = + ? d (4)欧拉方程)0(02d d 4d d 222 >=++x y x y x x y x 的通解为 . 【答案】22 1x C x C y += ,其中12,C C 为任意常数 【考点】欧拉方程 【难易度】★★ 【详解】 解析:令t e x =,则 dt dy x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1= =?=-, ][11122222222dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=, 代入原方程,整理得 0232 2=++y dt dy dt y d , 解此方程,得通解为 .22 1221x c x c e c e c y t t += +=-- (5)设矩阵210120001A ????=?? ???? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,其中* A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则 B = . 【答案】 19 【考点】抽象型行列式的计算;伴随矩阵 【难易度】★★ 【详解】 解析:方法1:已知等式两边同时右乘A ,得 A A BA A ABA +=**2, 而3=A ,于是有 A B AB +=63, 即 A B E A =-)63(, 再两边取行列式,有 363==-A B E A ,

2016全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析

2016考研数学(一)真题及详细答案解析 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛,则( ) ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 【答案】(C ) (2)已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -

2019考研数学三真题及答案

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续,则λ的取值范 围是_____. (2)已知曲线 b x a x y +-=2 33与x 轴相切,则2 b 可以通过a 表示为 =2b ________. (3)设a>0, ,x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤?? ?==而 D 表示全平面,则 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=_______. (4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α;E 为n 阶单位矩阵,矩阵 ] T E A αα-=,T a E B αα 1+=, 其中A 的逆矩阵为B ,则a=______. (5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则 Y 与Z 的 相关系数为________. (6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时, ∑==n i i n X n Y 1 2 1依概率收敛于______. 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数x x f x g )()(= [] (A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0. (C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0. 》 (2)设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是[] (A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.(B )),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. (3)设2 n n n a a p += , 2 n n n a a q -= , ,2,1=n ,则下列命题正确的是[] (A)若∑∞ =1 n n a 条件收敛,则∑∞ =1 n n p 与∑∞ =1 n n q 都收敛. (B)若∑∞ =1 n n a 绝对收敛,则∑∞ =1 n n p 与∑∞ =1 n n q 都收敛. (C)若∑∞ =1n n a 条件收敛,则∑∞ =1n n p 与∑∞ =1n n q 敛散性都不定. (D)若∑∞ =1 n n a 绝对收敛,则 ∑∞ =1 n n p 与 ∑∞ =1 n n q 敛散性都不定. 【 (4)设三阶矩阵 ?? ??? ?????=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩为1,则必有[] (A)a=b 或a+2b=0.(B)a=b 或a+2b ≠0. (C)a ≠b 且a+2b=0.(D)a ≠b 且a+2b ≠0. (5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确的是[]

考研数学(数学一,数学二,数学三的区别)

三类数学试卷最大的区别在对于知识面的要求上:数学一最广,数学三其次,数学二最低。 考试内容: 数学一: ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 数学二: ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量)。 数学三: ①微积分(函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 适用专业: 数学(一)适用的招生专业为: (1)工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、治金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。

(2)管理学门类中的管理科学与工程一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(二)适用的招生专业为: 工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(一)、数学(二)可以任选其一的招生专业为: 工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(三)适用的招生专业为: (1)经济学门类的理论经济学一级学科中所有的二级学科、专业。 (2)经济门类的应用经济学一级学科中的二级学科、专业:统计学、数量经济学、国民经济学、区域经济学、财政学(含税收学)、金融学(含保险学)、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、国防经济 (3)管理学门类的工商管理一级学科中的二级学科、专业:企业管理(含财务管理、市场营销、人力资源管理)、技术经济及管理、会计学、旅游管理。 (4)管理学门类的农林经济管理一级学科中所有的二级学科、专业。。

最新2017全国二卷理科数学高考真题及答案 (优选.)

wo 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 rd 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国2卷) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i - 2.设集合{}1,2,4A =,{} 2 40x x x m B =-+=.若{}1A B =,则B =() A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()

A.90πB.63πC.42πD.36π 5.设x,y满足约束条件 2330 2330 30 x y x y y +-≤ ? ? -+≥ ? ?+≥ ? ,则2 z x y =+的最小值是() A.15 -B.9-C.1D.9 6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人 完成,则不同的安排方式共有() A.12种B.18种C.24种D.36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙 看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图,如果输入的1 a=-,则输出的S=() A.2 B.3 C.4 D.5 9.若双曲线C: 22 22 1 x y a b -=(0 a>,0 b>)的一条渐近线被圆()22 24 x y -+=所截得的 弦长为2,则C的离心率为()

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的 拐点个数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由()f x ''的图形可知,曲线()y f x =存在两个拐点,故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则() (A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解,所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根,从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得: 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛,则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的: (A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★

考研数三真题及答案解析(完整版)

2013年考研数三真题及答案解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、 1.当0→x 时,用)(x o 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) (A ))()(3 2 x o x o x =? (B ))()()(3 2 x o x o x o = (C ))()()(2 2 2 x o x o x o =+ (D ))()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例如当0→x 时)()(),()(2 3 3 2 x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选(D ). 2.函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x e x x x x ln ~11ln -=-, 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ,所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点. 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ,所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ,所以所以1-=x 不是函数)(x f 的 可去间断点. 故应该选(C ). 3.设k D 是圆域{ } 1|),(2 2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记??-=k D k dxdy x y I )(,则 ( ) (A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

2020年全国2卷理科数学

2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ) 理科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B =( ) A .{?2,3} B .{?2,2,3} C .{?2,?1,0,3} D .{?2,?1,0,2,3} 2.若α为第四象限角,则( ) A .cos20α> B .cos20α< C .sin20α> D .sin20α< 3.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( ) A .10名 B .18名 C .24名 D .32名 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板( )(不含天心石) A .3699块 B .3474块 C .3402块 D .3339块 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y --=的距离为( ) A B C D

考研数学试题及参考答案数学一

2011年考研数学试题(数学一) 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知 (1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,则幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的 收敛域为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0,2) (D )(0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a , 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛,可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此,幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛,2 x =时幂级数发散。可知收敛域为 [)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)(>x f ,0)0(='f ,则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A ) 0)0(1 )0(>''>f f , (B) 0)0(1)0(<''>f f , (C) 0)0(1 )0(>''

2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全)

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.=++i 1i 3 A .i 21+ B .i 21- C .i 2+ D .i 2- 2. 设集合{}4 2 1,,=A ,{} 042=+-=m x x B ,若{}1=B A ,则=B A .{}3 1-, B. .{}0 1, C .{}3 1, D .{}5 1, 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A .π90 B .π63 C .π42 D .π36 5.设y x 、满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+,,,0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是 A .15- B .9- C .1 D .9 6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 A .12种 B .18种 C . 24种 D .36种 理科数学试题 第1页(共4页)

考研数学一历年真题

1998年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (2) , (3) (4) . 有特征值_____________. (5) , 均匀分布 , _____________. 二、选择题(本题共5小题, 每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) , (2) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (3) 小 (4)设矩阵 是满秩的, (A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面 (5) , 三、(本题满分5分) , 所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) , 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求, ) 间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. , , 六、(本题满分7分)

. 七、(本题满分6分) 八、(本题满分5分) , , ?并说明理由. 九、(本题满分6分) . (1)试证存 得在区 高的矩形面积,等于在区 以 . (2) ,(1) . 十、(本题满分6分) 十一、(本题满分4分) , 证明:. 十二、(本题满分5分) 已知方程组 (Ⅰ (Ⅱ 的通解,并说明理由. 十三、(本题满分6分) ,且都服从均值为0,. 十四、(本题满分4分) , 于0.95,? 附:标准正态分布表 十五、(本题满分4分) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差 为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附

考研数学三真题及答案解析

考研数学三真题及答案解 析 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

2010年考研数学三真题 一.选择题 1.若1])1 (1[lim =--→x o x e a x x 则a = A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解,若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则 For personal use only in study and research; not for commercial use A 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3 2,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数,且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值,则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是 For personal use only in study and research; not for commercial use A 0)(<'a f B 0)(>'a f C 0)(<''a f D 0)(>''a f 4设10 10 )(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x)s For personal use only in study and research; not for commercial use C 若向量组II 线性无关,则s r ≤ D 若向量组II 线性相关,则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵,且02=+A A ,若A 的秩为3,则A 相似于

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