2021中考数学重难点专练(共6个专题)含解析
2021中考数学重难点专练：二次函数综合题
1.如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C ．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM ?为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ?的内心为I ，试求CI 的最小值．
【解析】（1）抛物线23y ax bx =++过点(3,0)A ，(1,0)B - ∴9330
30a b a b ++=??
-+=?
解得：12a b =-??=? ∴这条抛物线对应的函数表达式为223y x x =-++
（2）在y 轴上存在点P ，使得PAM ?为直角三角形． 2223(1)4y x x x =-++=--+ ∴顶点(1,4)M
222(31)420AM ∴=-+=
设点P 坐标为(0,)p
222239AP p p ∴=+=+，22221(4)178MP p p p =+-=-+
①若90PAM ∠=?，则222AM AP MP += 22209178p p p ∴++=-+
解得：3
2p =-
3
(0,)2
P ∴-
①若90APM ∠=?，则222AP MP AM += 22917820p p p ∴++-+=
解得：11p =，23p = (0,1)P ∴或(0,3)
①若90AMP ∠=?，则222AM MP AP += 22201789p p p ∴+-+=+
解得：72
p =
7(0,)2
P ∴
综上所述，点P 坐标为3
(0,)2
-或(0,1)或(0,3)或7(0,)2时，PAM ?为直角三角形．
（3）如图，过点I 作IE x ⊥轴于点E ，IF AD ⊥于点F ，IH DG ⊥于点H
DG x ⊥轴于点G
90HGE IEG IHG ∴∠=∠=∠=?
∴四边形IEGH 是矩形
点I 为ADG ?的内心
IE IF IH ∴==，AE AF =，DF DH =，EG HG =
∴矩形IEGH 是正方形
设点I 坐标为(,)m n
OE m ∴=，HG GE IE n === 3AF AE OA OE m ∴==-=- 3AG GE AE n m ∴=+=+-
3DA OA ==
3(3)DH DF DA AF m m ∴==-=--=
DG DH HG m n ∴=+=+
222DG AG DA +=
222()(3)3m n n m ∴+++-= ∴化简得：22330m m n n -++=
配方得：22339
()()222
m n -++=
∴点(,)I m n 与定点3
(2Q ，3)2-
∴点I 在以点3
(2Q ，3)2-为圆心，半径为
2的圆在第一象限的弧上运动 ∴当点I 在线段CQ 上时，CI 最小
(CQ =
CI CQ IQ ∴=-
CI ∴
2.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．
①求抛物线的解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM 的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．
【解析】①∵点B、C在直线为y＝x+n上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点A（1，0）在抛物线上，
∴，
∴a＝﹣1，b＝6，
∴抛物线解析式：y＝﹣x2+6x﹣5；
②由题意，得，
PB＝4﹣t，BE＝2t，
由①知，∠OBC＝45°，
∴点P到BC的高h为BP sin45°＝（4﹣t），
∴S△PBE＝BE?h＝＝，当t＝2时，△PBE的面积最大，最大值为2；
③由①知，BC所在直线为：y＝x﹣5，
∴点A到直线BC的距离d＝2，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．
设N（m，﹣m2+6m﹣5），则H（m，0）、P（m，m﹣5），易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ＝PQ＝2，
∴PN＝4，
Ⅰ．NH+HP＝4，
∴﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4
解得m1＝1，m2＝4，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴m＝4；
Ⅱ．NH+HP＝4，
∴m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝4
解得m1＝，m2＝，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
m＞5，
∴m＝，
Ⅲ．NH﹣HP＝4，
∴﹣（﹣m2+6m﹣5）﹣[﹣（m﹣5）]＝4，
解得m1＝，m2＝，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
m＜0，
∴m＝，
综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．
3. (2019 四川省成都市)如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．
【解析】（1）由题意得：
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），
∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，
由翻折得C′B＝CB＝4，
在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，
∴∠C′BH＝60°，
由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，
在Rt△BHD中，DH＝BH?tan∠DBH＝2?tan30°＝，
∴点D的坐标为（1，）．
（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，
∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，
∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，
∴△BCQ≌△C′CP（SAS），
∴BQ＝C′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴BQ＝CQ，
∴C′P＝CQ＝CP，
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′，
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上，
设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．
∴∠BCP＝∠C′CQ，
∴△BCP≌△C′CQ（SAS），
∴∠CBP＝∠CC′Q，
∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，
∴．
∴∠CBP＝30°，
设BP与y轴相交于点E，
在Rt△BOE中，OE＝OB?tan∠CBP＝OB?tan30°＝1×，∴点E的坐标为（0，﹣）．
设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．
综上所述，直线BP的函数表达式为或．
4.已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．
【解析】（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
即c＝﹣b﹣1，
当b＝2时，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，
∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴y D＝b2﹣b?b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，
由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，
∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），
∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，
∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴AD＝AE，
由已知AM＝AD，m＝5，
∴5﹣（﹣1）＝（b+1），
∴b＝3﹣1；
（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，
可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵AM+2QM＝2（AM+QM），
∴可取点N（0，1），
如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），
在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
∴QH＝MH，QM＝MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，
解得，m＝﹣，
∵AM+2QM＝，
∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，
∴b＝4．
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．
【解析】（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
函数顶点D（，）；
（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（﹣h，1），
将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝4x+4，
将点D′坐标代入直线AC的表达式得：1＝4（﹣h）+4，
解得：h＝，
故：0＜h；
（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H
∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
则AB＝5，BC＝4，AC＝，
S△ABC＝×5×4＝10，
设点Q（m，﹣m2+3m+4），点P（m，﹣m+4），
CP＝m，PQ＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
①当△CPQ∽△CBA，
，即，
解得：m＝，
相似比为：，
②当△CPQ∽△ABC，
同理可得：相似比为：，
利用面积比等于相似比的平方可得：
S△PQC＝10×（）2＝或S△PQC＝10×（）2＝．
6.如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．
（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．
【解析】（1）∵OA＝3，tan∠OAC＝＝，
∴OC＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝3，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝，
∴D（，）；
（2）①∵tan∠OAC＝，
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACB＝∠OAC＝30°，
设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，
∴∠DB'C＝∠ACB＝30°
∴∠BDB'＝60°，
∴∠BDF＝∠B'DF＝30°，
∵∠B＝90°，
∴BF＝BD?tan30°＝，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠BFD＝∠AEF，
∴∠B＝∠FAE＝90°，
∴△BFD≌△AFE（ASA），
∴AE＝BD＝，
∴OE＝OA+AE＝，
∴点E的坐标（，0）；
②动点P在点O时，
∵抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）
求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x，
∴E（，0），
∴直线DE：y＝﹣x+，
∴F1（3，）；
当动点P从点O运动到点M时，
∵抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，
∴E（6，0），
∴直线DE：y＝﹣x+，
∴F2（3，）；
∴点F运动路径的长为F1F2＝＝，
∵△DFG为等边三角形，
∴G 运动路径的长为．
7.已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点(2,4)M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点． （1）求m 、b 的值；
（2）当PAM ?是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标； （3）满足（2）的条件时，求sin BOP ∠的值． 【解析】（1）将(2,4)M -代入2y mx =，得：44m =，
1m ∴=；
将(2,4)M -代入y x b =-+，得：42b =+，
2b ∴=．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为2y x =，直线AB 的解析式为2y x =-+． 当0y =时，20x -+=， 解得：2x =，
∴点A 的坐标为(2,0)，2OA =．
设点P 的坐标为2(,)x x ，则222242(2)(0)44PA x x x x x =-+-=+-+，222242(2)(4)7420PM x x x x x =--+-=-++．
PAM ?是以AM 为底边的等腰三角形，
22PA PM ∴=，即4242447420x x x x x x +-+=-++，
整理，得：220x x --=， 解得：11x =-，22x =， ∴点P 的坐标为(1,1)-或(2,4)．
（3）过点P 作PN y ⊥轴，垂足为点N ，如图所示．
当点P 的坐标为(1,1)-时，1PN =，PO =
sin PN BOP PO ∴∠=
当点P 的坐标为(2,4)时，2PN =，PO ==
sin PN BOP PO ∴∠=
∴满足（2）的条件时，sin BOP ∠．
8.如果抛物线1C 的顶点在拋物线2C 上，抛物线2C 的顶点也在拋物线1C 上时，那么我们称抛物线1C 与2C “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线2111
:4C y x x =+与
222:C y ax x c =++是“互为关联”的拋物线，点A ，B 分别是抛物线1C ，2C 的顶点，抛物
线2C 经过点(6,1)D -．
（1）直接写出A ，B 的坐标和抛物线2C 的解析式；
（2）抛物线2C 上是否存在点E ，使得ABE ?是直角三角形？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点(6,3)F -在抛物线1C 上，点M ，N 分别是抛物线1C ，2C 上的动点，且点M ，N 的横坐标相同，记AFM ?面积为1S （当点M 与点A ，F 重合时10)S =，ABN ?的
面积为2S （当点N 与点A ，B 重合时，20)S =，令12S S S =+，观察图象，当12y y 时，写出x 的取值范围，并求出在此范围内S 的最大值．
【解析】由抛物线2111
:4
C y x x =+可得(2,1)A --，
将(2,1)A --，(6,1)D -代入22y ax x c =++ 得4213661a c a c -+=-??-+=-?，
解得142
a c ?
=-???=?，
221
24y x x ∴=-++，
(2,3)B ∴；
（2）易得直线AB 的解析式：1y x =+， ①若B 为直角顶点，BE AB ⊥，1BE AB k k =-， 1BE k ∴=-，
直线BE 解析式为5y x =-+ 联立2
5124
y x y x x =-+???=-++??， 解得2x =，3y =或6x =，1y =-， (6,1)E ∴-；
①若A 为直角顶点，AE AB ⊥，