人教A版2018-2019学年广东省实验中学高一第一学期(上)期中数学试卷 解析版
广东省实验中学高一上学期期中考试(数学).doc
广东省实验中学高一上学期期中考试（数学）本试卷分两部分，共4页，满分150分，考试用时1。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则右图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果A ＝{1,2}，则A ∩B 为 ( )A ．∅B ．∅或{2}C ．{1}D ．∅或{1} 3．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．-1,1C ．-1,3D ．-1,1,34．设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833在=-+x x内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则据此可得该方程的有解区间是（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定 5．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A ．60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<6．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-且0)2(=f ，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是（ ）A ．]5,2(B ．)0,2(-C ．]5,2(]5,2(⋃--xD ．(](2,0)2,5-7．函数112+=x y 的值域是（ ） A ．),1[+∞ B ．]1,0( C ．]1,(-∞ D ．),0(+∞8．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足)(x f ＜)1(f 的x 取值范围是( ) A ．（-1，1） B ．(-1，0） C ．（0，1） D ．[-1，1)9．a y x y =-=与函数|1|2的图象有4个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．(-1，1） C ．（0，1） D ．（1，+∞）10．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则关于x 的不等式1)(≤x g 的解是（ ）A ．]1,(-∞B ．],(e -∞C ．],0[eD ．]1,0[二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 11．设函数)3(2log )(x x f -=，则函数)3(x f 的定义域是___________.12．设集合M ＝{x |x 2<a}，集合N ＝{x |21<<x }，若集合N 是集合M 的子集，则实数a 的取值范围是_________________. 13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2xf x =，则(2)f -=___________. 14．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．指对数的运算 15．（本小题10分）已知5100=m ，210=n， (1)求n m +2的值.(2) x 1、x 2、…x 均为正实数，若函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)且f (x 1x 2…x )＝n m +2， 求f (21x )＋f (22x )＋…＋f (22010x )的值16．（本小题10分）设集合{}42<=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+=134x x B ．（1）求集合B A ；（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值．17．（本小题10分）已知函数12121)(++-=xx f (1) 证明：函数f (x )是奇函数. (2) 证明：对于任意的非零实数x 恒有x f (x )<0成立.第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．若32log 2)3(x f x=，则=+++)16()8()4()2(f f f f ____________.19．若关于x 的方程x x-=2，x x =21log ，212log x x=的解分别为123x x x ，，，则123x x x ，，的大小关系是_____>______>_____.五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 本小题13分）已知二次函数,)(2c ax x x f +-=（其中．．0c >） （1）试讨论函数)(x f 的奇偶性. （2）当)(x f 为偶函数时，若函数()()f x g x x=，试证明：函数)(x g 在),0(c 上单调递减，在),(+∞c 上单调递增； 21．（本小题满分13分）上的是定义在已知R )(x f 单调．．函数， :,总有对任意的实数n m ；)()()(n f m f n m f ⋅=+ 1)x (f 00x <<>时，且.（1）证明：f(0)=1且x<0时f(x)>1; （2）.a 412x)-f(a 1)x (f 161)4(f 2的取值范围恒成立的参数对任意实数时，求使当x ≤⋅-=22．（本小题满分14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为（0，2）. (1）求关于x 的方程kx x f =)(+3在（0，2）上的解；（2）若)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围。
广东省实验中学2018-2019学年下学期高一数学期中考试卷附答案详析
广东省实验中学2018-2019学年下学期期中考高一数学试卷一、单选题1．如图，O A B '''∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的面积为A ．6B ．32C ．62D ．122．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1B C ，1AD 所成的角等于（ ） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°3．等差数列{}n a 中，12326a a a ++=-，18192080a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2204．已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理正确的是 ( ) A ．,//a b a b αβα⋂=⊂⇒ B ．,////a a b b αβα=⇒I且b β//C ．//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒II5．在锐角三角形ABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是 （ ） A ．sin cos A B = B ．sin cos A B <C ．sin cos A B >D ．不能确定6．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．187．某几何体的三视图如图所示（单位cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．312π+ B ．22π+C ．12π+D ．322π+ 8．ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，设向量(,),(,)p a c b q b a c a =+=--u rr，若p u r //q r，则角C 的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．已知锐角三角形的边长分别为2，4，x ，则x 的取值范围是（ ） A ．15x << B ．513x << C ．125x << D ．2325x <<10．在数列{}n a 中，12a =，()*121n n a a n N +=+∈，则11a 的值为（ ）A ．3071B ．3072C ．3073D ．307411．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛12．如图所示，P 是ABC ∆所在平面外的一点，点,,A B C '''分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心.则A B C '''∆与ABC ∆的面积之比（ ）A ．:1:9ABC ABC S S '''∆∆= B ．:4:9A B C ABC S S '''∆∆= C ．:1:3A B C ABC S S '''∆∆=D ．:2:3A B C ABCS S '''∆∆=二、填空题13．在ABC V 中，已知4a b -=,2a c b +=，且最大角为120︒，则该三角形的周长为________． 14．在ABC ∆中，若()()2222sin()sin()ab A B a b A B +-=-+，则三角形的形状为________.15．三棱锥O ABC -的底面ABC ∆的顶点在球O 的面上，顶点为球心O ，8,60AB C ︒=∠=，球心O 到ABC ∆的距离为153，则球O 的体积为_________. 16．将正偶数集合{2,4,6,}⋯从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，…则2020位于第_______组.三、解答题 17．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式．18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22230,2sin a b c bc b A a --+==，BC 边上中线AM 的长为14.（1）求角A 和角B 的大小； （2）求ABC ∆的面积.19．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明； （2）若7AB =，12BC CC ==，求AC 与1C B 所成角的余弦值.20．已知函数223()3sin cos 3cos 2sin ,(0)122f x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+-+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π（1）求()f x 的递增区间（2）在∆ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知1,2,()1a b f A ===求C ∠的大小21．如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，点F 在棱PA 上，且2PF FA =，点E 为棱PD 的中点，（1）求证：CE //平面BDF ；（2）2AB AP ==，求三棱锥P BDF -的体积.22．已知正项数列{}n a 与正项数列{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意*n N ∈，()112n n n n a a b b ++-=-恒成立.（1）若()()*112,2nn n A a a n N =-+∈，求数列{}n a 的通项公式； （2）在（1）的条件下，若11b =，求n B ； （3）若对任意*n N ∈，恒有n n a B =及2341122334115n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<L 成立，求实数1b 的取值范围.解析广东省实验中学2018-2019学年下学期期中考高一数学试卷一、单选题1．如图，O A B '''∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的面积为A ．6B ．32C ．62D ．12 【答案】D【解析】△OAB 是直角三角形，OA ＝6，OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴S △OAB ＝12×6×4＝12. 故选D2．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1B C ，1AD 所成的角等于（ ） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°【答案】A【解析】利用数形结合，利用1B C 的平行线1A D ，找到异面直线1B C ，1AD 所成的角，可得结果. 【详解】 如图异面直线1B C ，1AD 所成的角即直线1A D ，1AD 所成的角 由11A D AD ⊥，故异面直线1B C ，1AD 所成的角为90°故选：A 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，难点在于找到辅助线，属基础题. 3．等差数列{}n a 中，12326a a a ++=-，18192080a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．220【答案】B【解析】根据等差数列的性质，可得129,a a ，然后利用前n 项和公式，可得结果. 【详解】 数列{}n a 为等差数列，由131918202,22a a a a a a =+=+且12326a a a ++=- 18192080a a a ++=所以可得1292680,33a a =-= 又19120218a a a a +=+=所以()12020201802a S a +⨯==故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属基础题.4．已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理正确的是 ( ) A ．,//a b a b αβα⋂=⊂⇒ B ．,////a a b b αβα=⇒I且b β//C ．//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒I I【答案】D【解析】选项A 中，,a b αβα⋂⊂＝，则,a b 可能平行也可能相交，故A 不正确；选项B 中，,a a b P ＝αβ⋂，则可能b P α且b β∥，也可能b 在平面α或β内，故B 不正确；选项C 中， //,//,,a b a b ββαα⊂⊂，根据面面平行的判定定理，再加上条件a ∩b ＝A ，才能得出//αβ，故C 不正确； 选项D 为面面平行性质定理，故正确． 选D ．5．在锐角三角形ABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是 （ ） A ．sin cos A B = B ．sin cos A B <C ．sin cos A B >D ．不能确定【答案】C【解析】根据ABC 为锐角三角形，可推出90A B +>o ，从而正弦函数的单调性，即可得解. 【详解】在锐角三角形ABC ,90A B +>o ，所以90A B >-o ，所以()sin sin 90A B >-ocos B =. 故选C. 【点睛】此题考查了正弦定理，诱导公式，以及三角函数的单调性，根据题意得出90A B >-o 是解题的关键．6．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21 B ．20C ．19D ．18【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知135105a a a ++=,24699a a a ++=,得：1136105{3999a d a d +=+=，解得：139{2a d ==-，412n a n =-，由4120n a n =-≥，得：1202n ≤，∴当120n ≤≤时，0n a >，当21n ≥时，0n a <， 故当20n =时，n S 达到最大值.故选B ． 【考点】等差数列的前n 项和．【易错点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式，及等差数列前n 项和取最值的条件及求法，如果从等数列的前n 项和公的角度，由二次函数求最值时，对于n 等于21还是20时，取得最大值，学生是最容易出错的.7．某几何体的三视图如图所示（单位cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．312π+ B ．22π+C ．12π+ D ．322π+ 【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，根据锥体的体积公式，可得结果. 【详解】 由三视图可知，该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体 则半个圆锥的体积为：21113232ππ⨯⨯⨯⨯=三棱锥的体积为：11213132⨯⨯⨯⨯= 所以该几何体的体积为：12π+故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体，还考查该几何体的体积，难点在于几何体的还原，对一些简单的几何体的三视图要清楚，这样对解题有很大的帮助，属基础题.8．ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，设向量(,),(,)p a c b q b a c a =+=--u r r，若p u r //q r，则角C 的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B【解析】根据向量共线坐标表示以及余弦定理，可得结果. 【详解】由p u r //q r ，且(,),(,)p a c b q b a c a =+=--u r r所以()()()0a c c a b b a +---=则222ab a b c =+-所以222cos 122a b c C ab +-==又(),C ∈oo0180，则60C =o故选：B 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示以及余弦定理的应用，属基础题.9．已知锐角三角形的边长分别为2，4，x ，则x 的取值范围是（ ） A ．15x << B ．513x << C ．125x << D ．2325x <<【答案】D【解析】分析：因为三角形为锐角三角形，所以每个角的余弦值都是正数，根据余弦定理列不等式组求解即可.详解： 因为三角形为锐角三角形，所以每个角的余弦值都应是正数，根据余弦定理可得22241602244160232522164024x x x x x x ⎫+->⎪⨯⨯⎪+-⎪>⇒<<⎬⨯⋅⎪⎪+->⎪⨯⋅⎭．x 的取值范围是2325x <<，故选D ．点睛：本题主要考查余弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 10．在数列{}n a 中，12a =，()*121n n a a n N +=+∈，则11a 的值为（ ）A ．3071B ．3072C ．3073D ．3074【答案】A【解析】利用配凑法，可得数列{}1n a +是等比数列，可得n a ，最后可得结果. 【详解】由121n n a a +=+，则()1121n n a a ++=+又12a =，所以113a += 所以可知： 数列{}1n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，所以1132n n a -+=⋅，则1321n n a -=⋅-所以10113213071a =⋅-= 故选：A 【点睛】本题主要考查根据递推公式求n a ，难点在于用配凑法求得n a ，属基础题.11．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则14×2×3r =8，所以r =163，所以米堆的体积为14×13×3×(163)2×5=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式12．如图所示，P 是ABC ∆所在平面外的一点，点,,A B C '''分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心.则A B C '''∆与ABC ∆的面积之比（ ）A ．:1:9ABC ABC S S '''∆∆= B ．:4:9A B C ABC S S '''∆∆= C ．:1:3A B C ABC S S '''∆∆=D ．:2:3A B C ABCS S '''∆∆=【答案】A【解析】利用数形结合，通过重心的概念，可得''13A B AB =，然后根据2'''''A B C ABC S A B S ABD D 骣琪=琪琪桫，可得结果. 【详解】 如图延长','PB PA 分别与,AC BC 相交于,E F 由题可知：,E F 分别为,AC BC 的中点， 可以得到'''23A B PB EF PE ==，则''13A B AB = 同理''1''1,33A C CB AC CB == 所以2'''''19A B C ABC S A B S AB D D 骣琪==琪琪桫 故选：A 【点睛】本题主要考查三角形重心的知识，属中档题.二、填空题13．在ABC V 中，已知4a b -=,2a c b +=，且最大角为120︒，则该三角形的周长为________． 【答案】30【解析】试题分析：∵a-b=4，a+c=2b ，∴a=c+8，b=c+4 ∴a 为最大边 ∵最大角为120°，∴（c+8）2=c 2+（c+4）2-2c （c+4）cos120° ∴c 2-2c-24=0∴c=6或-4（负值舍去）∴a=c+8=14，b="1" 0，所以三角形周长为30. 【考点】本题主要考查余弦定理的应用．点评：题中明确了a ，b ，c 的关系，故从中确定出最大边，便于应用余弦定理． 14．在ABC ∆中，若()()2222sin()sin()ab A B a b A B +-=-+，则三角形的形状为________.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】根据两角和与差的正弦公式展开，并结合正弦定理，可得sin 2sin 2B A =，然后简单计算，可得结果. 【详解】由sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+又()()2222sin()sin()ab A B a b A B +-=-+化简可得：22sin cos cos sin b A B a A B = 则22cos cos b a B a b A = 所以sin cos sin cos B B A A = 则sin 2sin 2A B =所以22A B =或22A B π+= 故A B =或2A Bπ+=所以该三角形为等腰三角形或直角三角形 故答案为：等腰三角形或直角三角形 【点睛】本题考查利用边角互换来判断三角形的形状，属中档题.15．三棱锥O ABC -的底面ABC ∆的顶点在球O 的面上，顶点为球心O ，8,60AB C ︒=∠=，球心O 到ABC ∆的距离为153，则球O 的体积为_________. 【答案】92233π【解析】根据三角形的正弦定理，可得ABC ∆外接圆的半径，然后利用勾股定理，可得球的半径，最后可得结果. 【详解】假设ABC ∆外接圆的半径为r 根据题意可知，点O 在平面ABC 的投影是ABC ∆的外心 又8,60AB C ︒=∠=， 所以832sin 603AB r o==则2215832333OC 骣骣琪琪琪琪=+=琪琪琪琪桫桫 所以球O 的体积()3492232333V ππ==故答案为：92233π【点睛】本题主要考查三棱锥与球的几何关系，本题难点在于求球的半径，属中档题.16．将正偶数集合{2,4,6,}⋯从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，…则2020位于第_______组.【答案】32【解析】首先可得2020是第1010项，根据等差数列求和公式，利用每一组个数特点，可得前31组共992项，前32组共1056项，可得结果. 【详解】 据题意：220201010n n =⇒=，所以2020是第1010项且每一组的个数成等差数列2，4，6,… 所以可知前31组共()2231319922+⨯⨯=项，前32组共()22323210562+⨯⨯=项所以2020在第32组故答案为：32 【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题. 三、解答题 17．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式．【答案】(1)212na n =-;(2)4(13)n n S =-.【解析】【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n 项和的综合运用．、（1）设{}n a 公差为d ，由已知得1126{50a d a d +=-+=解得110{2a d =-=,212n a n =-（2）21232324b a a a a =++==-Q ，∴等比数列{}n b 的公比212438b q b -===- 利用公式得到和8(13)4(13)13n n n S -⨯-==--．18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22230,2sin a b c bc b A a --+==，BC 边上中线AM 的长为14.（1）求角A 和角B 的大小； （2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）6A π=，6B π=；（2）23【解析】（1）根据余弦定理，可得A ，然后利用正弦定理，边化角，可得角B . （2）然后根据（1）的结论，可得23C π=，然后假设AC 长度，利用余弦定理以及面积公式，可得结果. 【详解】（1）由22230a b c bc --+=即2223b c a bc +-=所以2223cos 22b c a A bc +-==又()0,A π∈，所以6A π=由2sin b A a =，所以2sin sin sin B A A = 所以1sin 2B=，又()0,B π∈所以6B π=（2）由（1）可知23C π=，设AC=x 所以22222cos 223x x AM x x π⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭又14AM=，所以可得22x =所以1sin 232ABCS ab C ∆== 【点睛】本题考查了三角形的正弦定理、余弦定理以及面积公式的应用，属中档题.19．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明； （2）若7AB =，12BC CC ==，求AC 与1C B 所成角的余弦值.【答案】（1）MN //平面11A BC ，证明见详解；（2）12【解析】（1）利用数形结合，取11A C 的中点O ，通过证明四边形MNOB 为平行四边形，然后可得MN //BO ，最后根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用1C B //1AD ，可找到AC 与1C B 所成角，然后通过计算，可得结果. 【详解】（1）MN //平面11A BC 如图取11A C 的中点O ，连接,NO BO ，由M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，所以可知NO //11C D 且1112NO C D =BM //CD 且12BM CD =， 又11C D //CD 且11CD C D =所以NO //BM 且NO BM = 故四边形MNOB 为平行四边形， 所以MN //BO ，又BO ⊂平面11A BC而MN⊄平面11A BC ，所以MN //平面11A BC（2）连接1AD ，由1C B //1AD 所以AC 与1C B 所成角即AC 与1AD 所成角又11AC AD CD ==，故AC 与1C B 所成角为60o 所以AC 与1C B 所成角的余弦值为12【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及线线角的求法，属基础题. 20．已知函数223()3sin cos 3cos 2sin ,(0)122f x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+-+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π（1）求()f x 的递增区间（2）在∆ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知1,2,()1a b f A ===求C ∠的大小【答案】(1)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;(2)712C π=或12π.【解析】(1)由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式可得函数的单调递增区间； (2)由题意首先求得∠A 的大小，然后由正弦定理可得∠B 的大小，最后求解∠C 的大小即可. 【详解】 （1）()()333sin 21cos 21cos 22262f x x x x πωωω⎡⎤⎛⎫=-++--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 33sin 2cos 21cos 2226x x x πωωω⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 3sin 2cos 2166x x ππωω⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 213x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,1,()2sin 213T f x x ππω⎛⎫=∴=∴=-+ ⎪⎝⎭Q由222232k x k πππππ-≤-≤+得：函数的单调递增区间为：5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）()1,sin 203f A A π⎛⎫=∴-= ⎪⎝⎭Q ，52203333A A ππππ-<-<∴-=Q 或π，6A π∴=或23π. ,6a b A π<∴=Q .由正弦定理得2sin ,24B B π=∴=或37412C ππ∴=或12π. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的确定，三角函数单调区间的求解，正弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，点F 在棱PA 上，且2PF FA =，点E 为棱PD 的中点，（1）求证：CE //平面BDF ；（2）2AB AP ==，求三棱锥P BDF -的体积. 【答案】（1）见详解；（2）89【解析】（1）利用数形结合，取PF 的中点M ，根据中位线定理结合面面平行的判定定理，可得平面CME //平面BDF ，然后根据面面平行的性质定理，可得结果. （2）根据等体积法，P BDF D PBF V V --=，结合锥体体积公式，可得结果. 【详解】 如图取PF 的中点M ，又2PF FA =，所以F 为MA 的中点，连接AC 交BD 于点O因为四边形ABCD 正方形，所以O 为AC 的中点 又点E 为棱PD 的中点，所以ME //DF OF //MC ， 又,OF FD F MC MEM ⋂=⋂=且,OF FD ⊂平面BDF ，,MC ME ⊂平面MCE所以平面BDF //平面MCE ，又CE ⊂平面MCE 所以CE //平面BDF （2）2AB AP ==，所以43PF=PA ⊥底面ABCD ，,AB DA ⊂平面ABCD 所以,PA DA PA AB ⊥⊥，又DA AB ⊥,,AB PA ⊂平面PAB ，PA AB A =I 所以DA ⊥平面PAB1423PBF S PF AB ∆=⋅⋅=又13P BDF D PBF PBF S D V A V --∆==⋅⋅所以89P BDF V -= 【点睛】本题考查线面平行的证明，以及利用体积法求锥体的体积，属中档题. 22．已知正项数列{}n a 与正项数列{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意*n N ∈，()112n n n n a a b b ++-=-恒成立.（1）若()()*112,2nn n A a a n N =-+∈，求数列{}n a 的通项公式； （2）在（1）的条件下，若11b =，求n B ； （3）若对任意*n N ∈，恒有n n a B =及2341122334115n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<L 成立，求实数1b 的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）2344n n nB =+；（3）15b ≥ 【解析】（1）根据n A 与n a 的关系，可得11n n a a --=，然后计算1a ，可得结果. （2）根据（1）的条件，可得112n nb b +-=，然后根据11b =，以及公式法，可得结果. （3）根据,n n B b 的关系，可得n b ，进一步可得n a ，然后计算11n n n b a a ++，最后根据裂项相消求和，可得结果. 【详解】 （1）由()()1122nn n A a a =-+则()()()11111222n n n A a a n ---=-+≥两式相减可得：11n n a a --=当1n =时，()()11111122a A a a =-+= 又0n a >，故12a = 所以数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列所以1n a n =+（2）由()112n nn n a a b b ++-=-所以112n n b b +-=，又11b = 所以数列{}n b 是以1为首项，12为公差的等差数列 所以12n n b +=，()213244n n b b n n n B +==+g 即2344n n nB =+（3）由n n a B =①，可知11n n a B ++=② ②-①：11n n n a a b ++-=③ 又()112n n n n a a b b ++-=-，把③代入，可得12n n b b +=，所以数列{}n b 是以()110b b >为首项，2为公比的等比数列所以112n n b b -=g，()()11122112nnnb Bb -==--则()121n na b =-，所以11111112121n n n n n b a a b +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭令31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++L 所以111111111...3372121n n n T b +⎛⎫=-+-++- ⎪--⎝⎭即1111121n n T b +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 可知n T 是在n *∈N 的递增的数列 由111111121n n T b b +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭，且15n T <故15b ≥ 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，难点在于通项公式的求法，同时熟练掌握根据n S 与n a 的关系，属难题.。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
试卷第 1页，总 17页
2018-2019学年广东省广州市实验中学高一上学期期中考试物理试题
广东省实验中学2018-2019学年高一（上）期中物理试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列说法正确的是A. 位移和路程都是矢量B. 体积小的物体都可以看成质点C. 物体重心就是物体的几何中心D. 重的物体和轻的物体下落可以一样快【答案】D【解析】【详解】A、位移矢量，可以用由初位置指向末位置的有向线段表示路程是标量，表示运动轨迹的长度，故A错误；B、当物体的形状、大小对所研究的问题没有影响时，我们就可以把它看成质点，并不是体积小，如原子核很小，在研究原子核内部结构时，原子核不能看成质点，故B错误；C、重心位置与质量分布和物体的形状有关，物体的重心不一定在物体的几何中心，故C错误；D、如果排除空气阻力，在同一高度静止释放轻重不同的物体，它们下落的一样快，故D正确；故选D。
【点睛】当物体的形状、大小对所研究的问题没有影响时，我们就可以把它看成质点；位移矢量，可以用由初位置指向末位置的有向线段表示，路程是标量，表示运动轨迹的长度；重心的物理意义，重心位置与质量分布和物体的形状有关。
2019-2020学年广东省实验中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年广东省实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}2.三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为()A. b<c<aB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a3.若函数f(x)为R上的偶函数，且f(2)=3，则f(−2)=()A. −3B. 3C. 2D. −24.已知{0,2}⊆M⫋{0,2，5，7}，则符合条件的集合M有()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个−2=0的根所在区间为()5.方程e x−1−1x+1A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)6.与函数y=√−2x3为同一函数的是()A. y=x√−2xB. y=−x√−2xC. y=−√2x3D. y=x2√−2x7.函数f(x)=a x−b的图象如图所示，其中a，b为常数，则log a(1−b)的取值为()A. 等于0B. 恒小于0C. 恒大于0D.无法判断+√4−2x的定义域为()8.函数f(x)=1x−1A. (−∞,2]B. (0,2]C. (−∞,1)∪(1,2]D. (0,1)∪(1,2]9.关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围是()A. m<−2B. m<0C. m<1D. m>010.已知函数f(x)=log√2(x+2)在[m,+∞)上是增函数，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−2,−1]C. (−1,+∞)D.11.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件()元A. 170B. 190C. 180D. 20012.若函数f(x)=3(2a−1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是()A. (−∞,12) B. (12,+∞) C. (12,1)∪(1,+∞)D. (12,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点M(2,14)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为______ ． 14. 若函数则f[f(−99)]=____.15. 已知f(x)是定义域在R 上的奇函数，当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x 2+2x ，则f(−1)= ______ ． 16. 若函数f(x)=ax +1在区间(−1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是____． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设全集U =R ，集合A ={x|1≤x <4}，B ={x|2a ≤x <3−a}．(1)若a =−1，求B ∩A ，B ∩∁U A ； (2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．18. 计算：(1)(lg2)3+(lg5)3+3lg2×lg5；(2)(log 25+log 40.2)×(log 52+log 250.5)．19. 已知定义域为R 的函数f(x)=a−2x b+2x是奇函数(1)求a ，b 的值；(2)判断f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若存在t∈R，使f(k+t2)+f(4t−2t2)<0成立，求k的取值范围．20.已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值为3，求a的值．21.已知函数f(x)=x(x−a)2，g(x)=−x2+(a−1)x+a(其中a为常数)；(1)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点，求a的值；)，使得f(x0)>g(x0)，若存在，请求出实数a的取值范围；(2)设a>0，问是否存在x0∈(−1,a3若不存在，请说明理由．(3)记函数H(x)=[f(x)−1]⋅[g(x)−1]，若函数y=H(x)有5个不同的零点，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a的值；(2)若函数g(x)=f(1−x)+f(1+x)，求函数g(x)的定义域．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．【解答】解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：C解析：解：∵0<a=0.67<1，b=70.6>1，c=log0.76<0，∴c<a<b，故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．【解答】解：∵f(x)为R上的偶函数，∴f(x)=f(−x)，∴f(2)=f(−2)=3，故选B．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了集合的含义与集合元素个数的问题，属于基础题．由题意列出符合集合即可求解．【解答】解：因为{0,2}⊆M⫋{0,2，5，7}，则M={0,2}或{0,2，5}或{0,2，7}．故选D．5.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用以及复合函数单调性判断，属于基础题．构造函数f(x)=e x−1−1x+1−2，易知其在(0,+∞)上为增函数，所以在(0,+∞)上最多有一个零点，根据题意可得f(0)=e−1−3<0，f(1)=e0−52=−32<0,f(2)=e−73>0，即可求得结果．【解答】解：构造函数f(x)=e x−1−1x+1−2，易知其在(0,+∞)上为增函数，所以在(0,+∞)上最多有一个零点又∵f(0)=e−1−3<0，f(1)=e0−52=−32<0,f(2)=e−73>0，故方程e x−1−1x+1−2=0的根所在区间为(1,2)，故选B．6.答案：B解析：【分析】本题考查了判断两个函数是相等函数的问题，是基础题目，根据两个函数的定义域与对应法则和值域相同，即可判断它们是相等函数，【解答】解：根据题目可知函数y=√−2x3的定义域为(−∞,0]，y=x√−2x中，x≤0，∴y≤0，即值域为(−∞,0]，这与函数y=√−2x3的值域不同，排除A，而y=−√2x3的定义域为[0,+∞)，′排除C，y=x2√−2x的定义域为(−∞,0)，排除D又y=x√−2x中，x≤0，∴y≤0，即值域为(−∞,0]，这与函数y=√−2x3的值域不同，故选B ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查指数函数的图像，由图确定函数的单调性，求出参数a ，b 的取值范围，再运用对数的性质求解。
广东省实验中学2019-2020学年高一数学上学期期中试卷附答案解析
解得 2 a 2 ，
综上所述，所以 a 的取值范围为 2, 2 ，
故选： C .
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题. 6．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0
1
2 34
y6
m －4 －6 －6 －4 n 6
由此可以判断方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根所在的区间是 ( )
9．若 a b 1 ， 0 c 1，则（ ）
A． ac bc
B． abc bac
C． 1，0 1， D． 1，0 0，1
C． a logb c b loga c D． loga c logb c
10．已知函数
f
x
1 2ax , x 1
loga
x
1 3
,
x
1
，且满足
f
x1
且在（0，+∞）上是减函数，
n2 2n 2 1
∴ n2 3n是偶数 ，
n2 3n＜0
解得 n=1．
故选 B．
【点睛】本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题．注意幂函数的系数为 1.
4．已知实数 a 0 且 a 1，则再同一直角坐标系中，函数 f x ax 和 g x loga x 的图象可能是
对任意实数 x 都成立，则称 y f x 是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.
① f x 3x 是一个“k～特征函数”；② f x x 3 不是“k～特征函数”；
③ f x 0 是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“ 1 ～特征函数”至少有一个零点；
3
三、解答题
2019-2020学年广东省广东实验中学高一第一学期期中数学试题【解析版】
2019-2020学年广东省广东实验中学高一第一学期期中数学试题【解析版】一、单选题1．设}{2,A y y k k N ==∈，}{4,B x y x x Q ==-∈，则()Q A B ⋂=（ ）A ．}{2 B ．}{02，C ．}{24，D ．}{024，， 【答案】B【分析】}{{}2,0,2,4,6,A y y k k N ==∈=，}{}{4,4,B x y x x Q x x x Q ==-∈=≥∈，然后可得答案.【详解】因为}{{}2,0,2,4,6,A y y k k N ==∈=，}{}{4,4,B x y x x Q x x x Q ==-∈=≥∈所以()QA B ⋂=}{02，故选：B2．下列函数中，在()1,1-内有零点且单调递增的是（ ） A ．212y x =- B ．3y x =-C ．13log y x =D ．31x y =-【答案】D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及零点情况，即可得答案． 【详解】对于A ，212y x =-，为二次函数，在(1,0)-上为减函数，不符合题意； 对于B ，3y x =-，在(1,1)-上为减函数，不符合题意； 对于C ，13y log x=，其定义域为(0,)+∞，在(1,0)-上没有定义，不符合题意；对于D ，31xy =-，在(1,1)-上有零点0x =，且在(1,1)-为增函数，符合题意； 故选：D3．已知幂函数()223(22)n n f x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2【答案】B【分析】由幂函数f （x ）=（n 2+2n ﹣2）23nn x -（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-⎩是偶数＜，由此能求出n 的值．【详解】∵幂函数f （x ）=（n 2+2n ﹣2）23n n x -（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，∴222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-⎩是偶数＜， 解得n=1． 故选B ．【点睛】本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题．注意幂函数的系数为1. 4．已知实数0a >且1a ≠，则再同一直角坐标系中，函数()xf x a-=和()()log a g x x =-的图象可能是（ ）A ．B．C ．D ．【答案】D【分析】根据()()log a g x x =-的定义域，可排除A ；根据指数函数过定点，排除B ；由两函数单调性，排除C ，即可得出结果.【详解】因为函数()()log a g x x =-的定义域为(),0-∞，故A 错； 因为指数函数()()0xf x ax -=>过点()0,1，故B 错；当1a >时，函数()xf x a -=单调递减，函数()()log a g x x =-单调递减，即两函数单调性相同；当01a <<时，函数()xf x a -=单调递增，函数()()log a g x x =-单调递增，即两函数单调性相同；故C 选项不可能，D 选项可能. 故选：D.5．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞ C ．(]2,2-D ．(],2-∞【答案】C【分析】将不等式转化为2(2)2(2)40a x a x -+--<，再对二次项系数进行分类讨论，结合一元二次不等式在R 上恒成立，即可求得参数范围. 【详解】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<，当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需()2204244(2)0a a a -<⎧⎪⎨∆=-+⨯-<⎪⎩ ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(]2,2-， 故选：C .【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题. 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6由此可以判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是 ( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)【答案】A【解析】由表格可得二次函数f x （） 对称轴为011022x a +==，＞， 再根据310240f f f f --（）（）＜，（）（）＜ ，可得f x （）的零点所在的区间是31--（，） 和24（，），即方程20ax bx c ++= 的两个根所在的区间是31--（，） 和24（，）， 故选A ．7．已知,,a b c ∈R ，函数2()f x ax bx c =++，若(0)(2)(3)f f f =>，则（ ）A ．0a >，40a b +=B ．0a <，40a b +=C ．0a >，20a b +=D ．0a <，20a b +=【答案】D【分析】根据函数值(0)(2)(3)f f f =>得()f x 的对称轴是1x =且在1x >时递减，从而得开口方向．【详解】由(0)(2)f f =知函数的对称轴是1x =，又(2)(3)f f >，∴1x >时，()f x 是减函数． ∴12ba-=且0a <，即20,0a b a +=<． 故选：D.【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题．8．已知偶函数()y f x =在[)0+∞，上单调递减，若()10f -=,则满足()0xf x >的x 的取值范围是（ ）A ．()()11-∞-⋃+∞，， B ．()()101-∞-，，C ．()()101-+∞，，D ．()()1001-，，【答案】B【分析】由条件可得当11x -<<时()0f x >，当1x <-或1x >时()0f x <，然后可选出答案.【详解】由题意偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，(1)(1)0f f -==， 所以当11x -<<时()0f x >，当1x <-或1x >时()0f x <，所以()0xf x >解为()()101-∞-，，故选：B9．若1a b >>，01c <<，则（ ） A ．c c a b < B ．c c ab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 【答案】C【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<选项C 正确，故选C ．【解析】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．已知函数()()12,11log ,13x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，且满足()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则a的取值范围是（ ）A ．103⎛⎤⎥⎝⎦，B ．3211⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1143⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】先判断函数的单调性，再利用分段函数的单调性得到不等式组012101112log 13a a a a ⎧⎪<-<⎪<<⎨⎪⎪-≥+⎩，解不等式组即得解. 【详解】因为()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数在定义域上是减函数.所以012101112log 13a a a a ⎧⎪<-<⎪<<⎨⎪⎪-≥+⎩，解得103a <≤. 故选：A11．已知函数()y f x =的图像是连续不断的，且满足()()f x f x =-，当0x >时，()y f x =是单调函数，则满足()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ）A ．5-B ．3-C ．5D ．3【答案】A【分析】由条件可得要使()34x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭，则有34x x x +-+=，然后可得答案.【详解】因为函数()y f x =的图像是连续不断的，且满足()()f x f x =-，当0x >时，()y f x =是单调函数所以由()34x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭可得34x x x +-+=，即()25304x x x ++=≠- 因为4-不是方程2530x x ++=的根，且25120∆=-> 所以由韦达定理可得方程2530x x ++=的两根之和为5- 故选：A12．已知函数()2log f x x =，当0m n <<时，()()f m f n =，若()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则nm=（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】D【分析】先画出函数图像并判断01m n <<<，再根据范围和函数单调性判断2x m =时取最大值，最后计算得到答案.【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象， 易知当2x m =时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f m m==又01m <<，所以12m =， 再结合()()f m f n =，可得2n =，所以4nm=. 故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据数形结合的思想，确定201m m <<<，得到当2x m =时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，进而可求得,m n ，得出结果.二、填空题 13．函数()2log 1f x x =-_______________.【答案】()2+∞，【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果. 【详解】因为()2log 1f x x =-所以2log 10x ->，解得2x >， 即函数()2log 1f x x =-()2+∞，. 故答案为：()2+∞，14．设函数()y f x =满足111x f x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，则()f x 的表达式为____________. 【答案】()()211f x x x=≠-+ 【分析】令121111x t x x -==-+≠-++，得出11t x t-=+，代入原式，即可得出结果. 【详解】令121111x t x x -==-+≠-++，则11t x t-=+， 代入111x f x x -⎛⎫=+⎪+⎝⎭可得()()121111t f t t t t -=+=≠-++， 因此()()211f x x x=≠-+. 故答案为：()()211f x x x=≠-+15．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：lg30.48,lg 40.60≈≈） 【答案】5【分析】先根据题意设x 小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于x 的不等关系,再根据指对数不等式的求解即可.【详解】设x 小时后才能开车,则有()0.310.250.09x⋅-≤,即30.34x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,两边取对数有3lg lg 0.34x ≤,因为3lg 04<故lg 0.3lg313lg3lg 4lg 4x -≥=-.代入lg30.48,lg 40.60≈≈可得0.481130.480.603x -≥=-.故x 最小为5. 故答案为：5.【点睛】本题主要考查了指对数运算在实际情景中的运用,需要根据题意建立联系,再根据对数运算法则代入近似值计算.属于基础题.16．若定义在R 上的函数()y f x =，其图像是连续不断的，且存在常数()k k R ∈使得()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立，则称()y f x =是一个“k ～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.①()3xf x =是一个“k ～特征函数”；②()3f x x =-不是“k ～特征函数”；③()0f x =是常数函数中唯一的“k ～特征函数”；④“13～特征函数”至少有一个零点；【答案】①②④【分析】根据题意：依次检验定义域，连续性，是否存在常数()k k R ∈使得()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立即可.【详解】①()3x f x =，考虑()3xf x =即：330x x k k ++=，3(3)0x kk +=，考虑2()3,(1),(0)13kg k k g g =+-=-=，必存在0(1,0)k ∈-使0()0g k =， 即存在0(1,0)k ∈-，使得()()000f x k k f x ++=对任意实数x 都成立，所以①正确； ②()3f x x =-，讨论()()0f x k kf x ++=，即3(3)0x k k x +-+-= 当2x =时，关于k 的方程23(23)0k k +-+-=无解， 不存在()k k R ∈使()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立， 所以()3f x x =-不是“k ～特征函数”，所以②正确；③设常数函数()f x m =，讨论()()0f x k kf x ++=，即(1)0k m +=，当1k =-时对任意实数x 都成立，所以任何一个常数函数都可以是“-1～特征函数”， 所以③错误；④设()f x 是“13～特征函数”， 则()f x 是定义在R 上的连续函数， 且()11033f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭对任意实数x 都成立，下面利用反证法证明()f x 必有零点：证明：假设()f x 没有零点，因为()f x 是定义在R 上的连续函数，则()0f x >恒成立，或()0f x <恒成立； 当()0f x >恒成立，则103f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()11033f x f x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，与题矛盾；当()0f x <恒成立，则103f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，()11033f x f x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，与题矛盾； 所以()f x 必有零点，所以④正确. 故答案为：①②④【点睛】此题作为一个新定义题型，重点考查函数的相关性质，对函数性质的综合应用能力要求极高，关键在于读懂题意，抓住细节，如定义域，连续函数，存在常数()k k R ∈对任意实数x 都成立，对转化与化归思想要求较高.三、解答题17．（1）计算：()()40.522log 29ln 1244e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）计算：()294lg2lg 20lg5log 2log 3+⋅+⋅. 【答案】（1）122-；（2）54.【分析】（1）根据指数的运算法则运算即可； （2）根据对数的运算法则运算即可. 【详解】（1）原式=311212222+-=-+（2）()294lg2lg 20lg5log 2log 3+⋅+⋅()()23211lg21lg 2lg5log 2log 322=++⋅+⋅()1lg2lg 2lg5lg54=+++1lg2lg54=++54=18．已知全集为实数R ，集合}{23180A x x x =--≤，24xB x y ⎧⎫⎪==⎨-⎪⎩. （1）分别求AB ，()R B A ；（2）已知集合}{20C x x ax x a =--+<,若C A ⊆，求实数a 的取值集合. 【答案】（1）}{26x x <≤，}{6x x ≤；（2）[]3,6-.【分析】（1）先解不等式，化简集合A ，化简集合B ，根据交集，并集，补集的概念，即可求出结果；（2）先得到()()}{10C x x x a =--<，根据C A ⊆，分别讨论1a =，1a <，1a >三种情况，即可得出结果.【详解】（1）}{}{2318036A x x x x x =--≤=-≤≤，}{}{240224x x B x y x x x ⎧⎫⎪===->=>⎨-⎪⎩， 所以}{26A B x x ⋂=<≤；}{2RB x x =≤，因此()}{6RB A x x ⋃=≤；（2）()()}{10C x x x a =--< ①当1a =时，C =∅满足条件C A ⊆；②当1a <时，}{1C x a x =<<，由C A ⊆得31a -≤<； ③当1a >时，}{1C x x a =<<，由C A ⊆得16a <≤； 综合①②③，可得a 的取值范围为[]3,6-. 19．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）用定义法证明()f x 在定义域上是增函数； （3）求不等式()()2520f x f x -+-<的解集.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）}{23x x <<.【分析】（1）求出函数定义域，求出()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-即可得到奇偶性；（2）任取1211x x -<<<， 则()()12f x f x -122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅⎪+-⎝⎭，得出与0的大小关系即可证明； （3）根据奇偶性解()()()2522f x f x f x -<--=-，结合单调性和定义域列不等式组即可得解.【详解】（1）由对数函数的定义得1010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x x <⎧⎨>-⎩，即11x -<<所以函数()f x 的定义域为()1,1-.因为()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-， 所以()f x 是定义上的奇函数. （2）设1211x x -<<<，则()()()()()()121122ln 1ln 1ln 1ln 1f x f x x x x x -=+---++-122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅ ⎪+-⎝⎭因为1211x x -<<<，所以12011x x <+<+，21011x x <-<-， 于是12211101,0111x x x x +-<<<<+-. 则1221110111x x x x +-<⋅<+-，所以122111ln 011x x x x ⎛⎫+-⋅< ⎪+-⎝⎭ 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，即函数()f x 是()1,1-上的增函数. （3）因为()f x 在()1,1-上是增函数且为奇函数.所以不等式()()2520f x f x -+-<可转化为()()()2522f x f x f x -<--=-所以1251121252x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得23x <<.所以不等式的解集为}{23x x <<.【点睛】此题考查判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式，关键在于熟练掌握奇偶性和单调性的判断方法，解不等式需要注意考虑定义域.20．已知函数()1421xx f x a a +=-⋅++（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围； （3）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a .【答案】（1）()20,log 3；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩.【分析】（1）当1a =时，可得出()()()44232123xxxxf x =-⋅+=--，解出2x 的取值范围，进而可求得原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为221x a <+，求得当0x <时，()211,2x+∈，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4xt =∈，()221g t t at a =-++，则问题可等价转化为函数()g t 在[]2,4t ∈上的最小值，然后对实数a 的取值分类讨论，分析出函数()g t 在[]2,4t ∈上的单调性，由此可得出()h a 关于a 的表达式.【详解】（1）当1a =时，可得()()()44232123xxxxf x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x--<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3； （2）因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210xx a --+<，0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，当0x <时，()211,2x+∈，21a ∴≤，解得12a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4xt =∈，则()221f x t at a =-++，令()221g t t at a =-++，则二次函数()g t 的图象开口向上，该函数的对称轴为t a =.当2a ≤时，()g t 在[]2,4上单调递增，()()min 253g t g a ==-；当24a <<时，()g t 在[]2,a 上单调递减，()g t 在[],4a 上单调递增，()()2min 1g t g a a a ==-++；当4a ≥时，()g t 在[]2,4上单调递减，则()()min 4177g t g a ==-.综上可得：()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.21．已知二次函数()21f x ax bx =++和函数()212bx g x a x b-=+.（1）若()21f x ax bx =++为偶函数，试判断()g x 的奇偶性； （2）若方程()g x x =有两个不相等的实根()1212,x x x x <则：①试判断函数()21f x ax bx =++在区间()1,1-上是否具有单调性，并说明理由；②若方程()0f x =的两实根为()3434,x x x x <，求使3124x x x x <<<成立的a 的取值范围.【答案】（1）为奇函数；（2）①是，理由见解析；②1a >.【分析】(1)由()f x 是奇函数且为二次函数可知：0a ≠，0b =，故可得21()g x a x=-，再利用定义即可判断()g x 的奇偶性；(2)①由()g x x =可整理得到一元二次方程，由题意得0∆>，整理得出对称轴方程不在(1,1)-上，故可得出函数在区间(1,1)-上具有单调性；②由()=0f x 的两实根为()3434,x x x x <，且3124x x x x <<<成立，可由根的分布将其转化为不等式，即可解出a 的范围.【详解】解：（1）因为()f x 为偶函数，()(),0,0f x f x bx b ∴-=∴=∴=，()21g x a x∴=-，又二次函数()f x 的0a ≠，定义域为()()00-∞∞，，+，()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数；（2）①由()212bx g x x a x b-==+得方程()210*a x bx ++=有不等实根， 2240b a ∴∆=->及0a ≠得12b a >，即12b a -<-或12b a->， 即二次函数()f x 的对称轴()1,12bx a=-∉-， 故()f x 在()1,1-是单调函数；②12,x x 是方程()*的根，221110a x bx ∴++=，22111bx a x ∴=--，同理22221bx a x --=；()()2222221111111f x ax bx ax a x a a x ∴=++=-=-，要使3124x x x x <<<，只需()()12000a f x f x ⎧>⎪<⎨⎪<⎩即200a a a >⎧⎨-<⎩，1a ∴>， 或()()12000a f x f x ⎧<⎪>⎨⎪>⎩即200a a a <⎧⎨->⎩，无实数解， 故a 的取值范围为1a >.【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 22．对于区间[a,b](a<b),若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[a,b]上是单调函数，②函数()y f x =在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数()f x 的“保值”区间 （1）求函数2y x =的所有“保值”区间（2）函数()2y x m m 0=+≠是否存在“保值”区间？若存在，求m 的取值范围，若不存在，说明理由【答案】（1）[]0,1； （2）31[1,)(0,)44--⋃. 【分析】（1）由已知中的保值区间的定义，结合函数2yx 的值域是[0,)+∞，可得[,][0,)a b ⊆+∞，从而函数2y x 在区间[,]a b 上单调，列出方程组，可求解；（2）根据已知保值区间的定义，分函数2y x m =+在区间[,]a b 上单调递减和函数2y x m =+在区间[,]a b 单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】（1）因为函数2y x = 的值域是[)0,+∞，且2y x =在[],a b 的最后综合讨论结果，即可得到值域是[],a b ，所以[][),0,a b ⊆+∞，所以0a ≥，从而函数2y x =在区间[],a b 上单调递增，故有22a a b b⎧=⎨=⎩，解得0101a a b b ==⎧⎨==⎩或或 .又a b < ，所以01a b =⎧⎨=⎩.所以函数2y x =的“保值”区间为[]0,1 .（2）若函数()20y x m m =+≠存在“保值”区间，则有：①若，此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递减，所以22a m b b m a ⎧+=⎨+=⎩ ，消去m 得22a b b a -=-，整理得()()10a b a b -++= .因为a b <，所以10a b ++= ，即1a b =--.又01b b b≤⎧⎨--<⎩ ，所以102b -<≤.因为2221311(0)242m b a b b b b ⎛⎫=-+=--+=-+--<≤ ⎪⎝⎭ ，所以314m -≤<-.②若0b a >≥ ，此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，整理得()()10a b a b -+-=.因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-.又01a a a≥⎧⎨<-⎩ ，所以102a ≤<.因为22111(0)242m a a a a ⎛⎫=-+=-++≤< ⎪⎝⎭ ，所以104m << .综合①、②得，函数()20y x m m =+≠存在“保值”区间，此时的取值范围是311,0,44⎡⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值与值域等性质的综合应用，其中正确理解所给新定义，并根据新定义构造满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为数学熟悉的数学模型求解是解答此类问题的关键，着重考查了转化思想和分类讨论思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。
2018-2019广东省佛山市高一上学期期中考试数学试题（解析版）
2018-2019学年广东省佛山市第一中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．_____ 横线上可以填入的符号有（）A．只有B．只有C．与都可以D．与都不可以【答案】C【解析】利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接求解．【详解】解：，或．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据的定义域即可得出需满足：，解出的范围即可．【详解】解：的定义域为；满足；解得；的定义域为．故选：A．【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知定义域求定义域的方法．3．设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由于而，且，从而有，故选Ａ．【考点】比较大小．4．设，，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】解析∵. ∴，得时，不满足互异性，舍去；时，满足题意.∴b-a5．如图，设，，，，且不等于，，，，在同一坐标系中的图象如图，则，，，的大小顺序（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．解：作辅助直线x=1，当x=1时，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x的函数值正好是底数a、b、c、d直线x=1与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c故选：C．【考点】指数函数的图象与性质．6．设函数，用二分法求方程的解，则其解在区间（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据二分法求区间根的方法只须找到满足即可．【详解】解：，，根据零点存在定理，可得方程的根落在区间内．故选：A．【点睛】本题主要考查利用二分法求方程的近似解，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．7．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为R，即恒成立分；，，求出m的范围即可．【详解】解：依题意，函数的定义域为R，即恒成立．当时，得，故适合当时，，得，综上可知故选：B．【点睛】考查学生理解不等式恒成立时所取的条件，以及会求函数的定义域，要注意分类讨论思想的应用．8．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据图象可知,13年间电影放映场次基本变化趋势为逐年增加，且增速越来越快，进而判断.【详解】根据图象可知,13年间电影放映场次基本变化趋势为逐年增加，且增速越来越快对于A．f（x）=ax2+bx+c，当a＞0，−＜0，可得满足条件的函数；对于B．当a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于C．当a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．当a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；当a＜0时，为单调递减函数，也不符合图象的特征．故选：D【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型,考查了根据函数增长差异选择函数模型，综合考查了二次函数、指数函数、对数函数等函数的图象与性质，考查了推理能力.9．函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为（）A．B．C．D ．【答案】C【解析】从函数图像特征逐一分析。
期末精选50题(提升版)新高考高一数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教A 版2019)解析版
期末精选50题（提升版）一、单选题1．（2020·浙江杭州·高一期末）若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b+，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项ABC 可以举反例判断，对于选项D, 可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定1a b+，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，从而可以得结论． 【详解】解：A. 都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项A 错误；B. 都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,a b ==则12a b+<，所以选项B 错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c+，1c a+都大于2，所以选项C 错误. 由题意，∵a ，b ，c 均为正实数， ∴1111112226a b c a b c bca ab c+++++=+++++≥++=． 当且仅当a b c ==时，取“=”号， 若12 a b +<，12b a+<，12c c +<，则结论不成立， ∴1a b+，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，所以选项D 正确； 故选：D ．2．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）在使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做22x x -+的上确界，若0,0a b >>，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） A ．3-B ．4-C ．14-D ．92-【答案】D【分析】根据题意，结合均值不等式中“1”的妙用，即可求解. 【详解】根据题意，由1a b +=，得()1212252222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0a >，0b >，所以222b a a b +≥=，当且仅当22b a a b =，即223b a ==时，等号成立， 因此255922222b a a b ⎛⎫-+-≤--=-⎪⎝⎭，根据定义知，122a b --的上确界为92-. 故选：D.3．（2020·上海市洋泾中学高一期末）若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．a b >D ．22a b >【答案】B【分析】对于A,C,D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可 【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a b ab ab <<，即11a b>，所以A 成立； 对于B ，若2,1a b =-=-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，故0a b ->->，所以||||a b >，所以C 成立；对于D ，若0a b <<，故0a b ->->，即22()()0a b ->->，则22a b >，所以D 成立； 故选：B4．（2020·安徽·定远县育才学校高一期末）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),0-∞上是增函数，()20f -=，则()0x f x ⋅<解集是（ ）A ．()()2,00,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,02,-+∞【答案】A【分析】由奇函数性质可得()f x 在()0,∞+上是增函数，由此可确定()f x 在不同区间内的正负，结合x 的正负可得结果. 【详解】()f x 为R 上的奇函数，且在(),0-∞上是增函数，()f x ∴在()0,∞+上是增函数，又()()220f f =--=，∴当2x <-时，()0f x <；当20x -<<时，()0f x >；当0x =时，()00f =；当02x <<时，()0f x <；当2x >时，()0f x >；∴当20x -<<或02x <<时，()0x f x ⋅<，即()0x f x ⋅<的解集为()()2,00,2-.故选：A.5．（2021·广西南宁·高一期末）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值围是（ ） A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据题意得()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，进而得1213x -<，再解不等式即可.【详解】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以不等式等价为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即：1213x -<，所以112133x -<-<，解得：1233x <<，故x 的取值范围是1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故选：A6．（2021·湖南·长沙县第九中学高一期末）已知()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】利用分段函数在R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.【详解】因函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是定义在R 上的减函数，则有31001(31)40a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1173a ≤<，所以a 的取值范围是11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D7．（2018·江西横峰·高一期末（理））函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，π2ϕ<）的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为偶函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线π6x =对称 B ．关于直线π12x =对称 C ．关于点π(,0)6对称 D ．关于点π(,0)12对称 【答案】D【分析】先利用周期公式求出ω值，再利用图象平移和奇偶性求得ϕ值，再利用π6f ⎛⎫⎪⎝⎭、π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值判定是否具有对称性.【详解】因为()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为π， 所以2π=πT ω=，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，将()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移π3个单位后得到π2πsin 2sin 233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，因为2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，所以2ππ=π32k ϕ++，Z k ∈， 即ππ6k ϕ=-+，Z k ∈， 又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，即()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ1sin =662f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以选项A 、C 错误；因为πsin 0=012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，即选项D 正确.故选：D.8．（2020·广东揭东·高一期末）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P ⎝⎭，则()()3sin 2cos cos 2παπαπα--+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．2-C ．1-D ．2【答案】D【分析】利用任意角三角函数定义可求得tan α，结合诱导公式可得关于正余弦的齐次式，由此求得结果.【详解】由题意得：tan 2α==-，()()3sin 2cos 3sin 2cos 3tan 22sin tan cos 2παπααααπααα--+++∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D.9．（2021·浙江·高一期末）“1a >且0b >”是“1b a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分充分性和必要性进行判断： 充分性：利用x y a =的单调性判断； 必要性：取特殊值进行否定.【详解】充分性：当1a >时，x y a =为增函数，所以当0b >时，有1b a >成立，故充分性满足；必要性：当1b a >时，取1==12a b -，,满足1b a >但是不符合1a >且0b >，故必要性不满足.所以“1a >且0b >”是“1b a >”的充分而不必要条件. 故选：A【点睛】判断充要条件的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.10．（2018·浙江诸暨·高一期末）已知定义在实数集上的函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为 （ ）A ．()(),11,-∞-+∞B ．()(1,01,)-+∞C ．()1,0(0,1)-⋃D ．(),1(0,1)-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，可得函数在(),0-∞上单调递减，从而可得不等式()0xf x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()0x f x <⎧⎨<⎩，从而可得出答案.【详解】解：因为函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增， 所以函数在(),0-∞上单调递减， 又因(1)0f =，所以(1)0f -=，不等式()0xf x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，即()()01x f x f >⎧⎨>⎩或()()01x f x f <⎧⎨<-⎩，所以10x -<<或1x >，即不等式()0xf x >的解集为()(1,01,)-+∞. 故选：B.11．（2021·全国·高一期末）如果在实数运算中定义新运算“⊗”：()ln e e x yx y ⊗=+．那么对于任意实数a 、b 、c ，以下结论中不一定成立的是（ ）A ．a b b a ⊗=⊗B ．()a b c a b a c ⊗+=⊗+⊗C ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗D ．()()()a b c a c b c ⊗+=+⊗+【答案】B【分析】计算出a b ⊗和b a ⊗可判断A ；利用0a b c ===可判断B ；计算出()⊗⊗a b c 、()⊗⊗a b c 可判断C ；计算出()⊗+a b c 、()()+⊗+a c b c 可判断出D ．【详解】A 中，()ln e e a b a b ⊗=+，()ln e e b ab a ⊗=+，得a b b a ⊗=⊗，所以A 一定成立；B 中，当0a b c ===时，()ln 2a b c ⊗+=，而2ln 2a b a c ⊗+⊗=，所以B 不一定成立；C 中，()()()ln e e ln ee ln e e e a bc a b c a b c +⎡⎤⊗⊗=+=++⎢⎥⎣⎦，()()()ln e e ln e e ln e e e b c a a b c a b c +⎡⎤⊗⊗=+=++⎢⎥⎣⎦，所以C 一定成立；D 中，()()ln e e a b a b c c ⊗+=++，()()()ln e e a c b ca cbc +++⊗+=+()()ln e e e ln e ln e e c a bc a b ⎡⎤=+=++⎣⎦()ln e e a b c =++，所以D 一定成立． 故选：B.12．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，射线OA 与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()βα-的值是（ ）A ．2425-B ．2425C ．725D ．725-【答案】D【分析】由三角函数的定义可得cos α，sin α，cos β，sin β的值，再由差角的余弦公式计算即得. 【详解】由任意角的三角函数的定义可得，3cos 5α=-，4sin 5α， 因34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，则射线OB 与单位圆的交点为34,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，于是得3cos 5β=-，4sin 5β=-，因此，33449167cos()cos cos sin sin 5555252525βαβαβα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以cos()βα-的值是725-. 故选：D二、多选题13．（2020·广东·仲元中学高一期末）已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若221a b +=，则a b +≤C ．若a b >，c d >，则a d b c ->-D ．若0a >，则12a a+≥【答案】BCD【分析】取2a =，1b =，2c =-，4d =-可判断A ；由2212a b ab +≥=，以及222()22a b a b ab +=++≤可判断B ；利用不等式的性质可判断C ；利用均值不等式可判断D【详解】选项A ，取2a =，1b =，2c =-，4d =-，满足a b >，c d >，则ac bd =，错误； 选项B ，由于2()0a b -≥，故2212a b ab +≥=，故222()2112a b a b ab +=++≤+=故a b +≤选项C ，若c d >，则d c ->-，且a b >，则a d b c ->-，正确；选项D ，由0a >，利用均值不等式，12a a +≥，当且仅当1a a =，即1a =时等号成立，正确故选：BCD14．（2021·广东高州·高一期末）王老师往返两地的速度分别为m 和()n m n <，全程的平均速度为v ，则( )A ．v =B ．2mnv m n=+ C 2m nv +<D ．m v <<【答案】BD【分析】首先求出全程所需时间，即可求出全程平均速度，进而判断AB ；根据全程的平均速度并结合均值不等式和作差法比较大小即可判断CD.【详解】设两地路程为s ，则全程所需的时间为s s m n+， 则全程的平均速度22s mnv s s m n m n==++，A 错误，B 正确；又由0n m >>，由均值不等式可得，m n +>故2mn v m n =<+C 错误； 因为22220mn mn m m m v m m m n m n m n---=-=>=+++， 所以v m >，则m v <<D 正确． 故选：BD ．15．（2021·广东蓬江·高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x R ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ） A ．()()34f f > B ．若()()12f m f -<，则(),3m ∈-∞ C ．若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-⋃+∞ D ．x R ∀∈，m ∃∈R ，使得()f x m ≥【答案】CD【分析】根据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案. 【详解】根据题中条件①知，函数()f x 为R 上的偶函数； 根据题中条件②知，函数()f x 在()0,+∞上单调递增. 根据函数的单调性得，()()34f f <，选项A 错误； ()f x 是R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增()()12f m f ∴-<时， 12m -<，解得13m -<<，选项B 错误；()()()()001100f x f x f f xx ⎧>>-==∴⎨>⎩，或 ()00f x x ⎧<⎨<⎩解得1x >或10x -<<，即()0f x x>时，()()1,01,x ∈-⋃+∞，选项C 正确；根据偶函数的单调性可得，函数()f x 在(),0-∞上单调递减()f x ∴在R 上有最小值，故选项D 正确.故选：CD.16．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）函数())f x mx n =+，下列命题为真命题的是（ ）A ．,(2)()m R f x f x π∀∈+=B ．,(1)()m R f x f x ∃∈+=C ．,()?m R f x ∀∈都不是偶函数D ．,()m R f x ∃∈是奇函数【答案】BD【分析】取特殊值，利用正弦型函数的运算性质进行判断﹒【详解】A 选项，若命题()()()22f x m x n mx n ππ⎡⎤⎣⎦＋＋＋＋成立，则m 必须为整数，所以是假命题；B 选项，当2m π＝时，函数()()f x mx n ＋满足()()()()1222f x x n x n f x πππ＋＋＋＋＝，∴B是真命题；C 选项，当2n π＝时，()()()()f x mx f x mx mx f x --，＝，满足()()f x f x -＝，∴C是假命题；D 选项，当2n π＝时，()f x mx ，满足()()()f x mx mx f x ---＝＝，∴D是真命题． 故选：BD ．17．（2021·浙江浙江·高一期末）“22320x x --<”的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．1x >- B ．01x <<C ．1122x -<<D ．2x <【答案】BC【分析】化简22320x x --<得122x -<<，再利用集合的关系判断得解.【详解】22320x x --<，所以122x -<<.设1(,2)2M =-,设选项对应的集合为N ,因为选项是“22320x x --<”的一个充分不必要条件， 所以N 是M 的真子集. 故选：BC.【点睛】方法点睛：判断充分必要条件的常用方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断得解.18．（2021·广东·仲元中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则()f x 满足（ ）A ．()00f =B ．()y f x =是奇函数C ．()f x 在[],m n 上有最大值()f nD ．()10f x ->的解集为(),1-∞【答案】ABD【分析】利用赋值法可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C 选项的正误；利用函数()f x 的单调性解不等式()10f x ->，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，令0x y ==，可得()()020f f =，解得()00f =，A 对； 对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，则()()f x f x -=-， 故函数()y f x =是奇函数，B 对；对于C 选项，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()120f x x ->，即()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=->，所以()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为R 上的减函数，所以，()f x 在[],m n 上有最大值()f m ，C 错；对于D 选项，由于()f x 为R 上的减函数，由()()100f x f ->=，可得10x -<，解得1x <，D 对. 故选：ABD.19．（2021·河北张家口·高一期末）设函数()1,2,x x x af x x a -≤⎧=⎨>⎩，若()()120f f =，则实数a 可以为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】AB【分析】分0a <、01a ≤<、1a ≥三种情况讨论，验证()()120f f =是否成立，综合可得出实数a 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】若0a <，则()01f =，()12f =，()()120f f =成立； 若01a ≤<，则()01f =，()12f =，()()120f f =成立； 若1a ≥，则()01f =，()10f =，()()120f f =不成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(),1-∞. 故选：AB.20．（2021·重庆·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=.已知函数21()122xxf x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 在R 上是减函数 C ．()g x 是偶函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-【答案】AD【分析】利用奇偶性的定义判断选项A ，C ，由函数单调性的结论，判断选项B ，由函数单调性求出f （x ）的取值范围，结合定义可得g （x ）的值域，即可判断选项D ．【详解】解：因为函数11()112221122x x x f x =-=--=++＝11212x -+， 所以()121()1221221x x x f x f x ---=-=-=-++， 则函数f （x ）为奇函数， 故选项A 正确； 因为()11212xf x =-+所以f （x ）在R 上单调递增，故选项B 错误； 因为()11212xf x =-+，则()()11g f ==⎡⎤⎣⎦110212⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦， ()()11g f -=-=⎡⎤⎣⎦1111212⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦， 因为()()11g g -≠所以函数g （x ）不是偶函数， 故选项C 错误； 又121x +>， 所以11()22f x -<<，故g （x ）＝[f （x ）]的值域为{﹣1，0}， 故选项D 正确． 故选：AD ．21．（2021·河北张家口·高一期末）已知函数()21xf x =-，实数a 、b 满足()()()f a f b a b =<，则下列结论正确的有（ ） A ．222a b +> B ．a ∃、b ，使01a b <+< C ．222a b += D ．0a b +<【答案】CD【分析】作出函数()21xf x =-的图象，利用绝对值的性质可得出222a b +=，可判断AC 选项的正误，利用基本不等式可判断BD 选项的正误.【详解】画出函数()21xf x =-的图象如下图所示：当0x <时，21x <，则()()120,1xf x =-∈，设()()()f a f b t a b ==<，则01t <<，因为()()120,1af a =-∈，可得021a <<，可得0a <， 由()()210,1bf b =-∈，可得122b <<，可得01b <<，由()()f a f b =，可得1221a b -=-，则222a b +=，A 错，C 对；由基本不等式可得222a b =+>=21a b +<，则0a b +<，B 错，D 对. 故选：CD.22．（2021·河北迁安·高一期末）给定函数()221xf x x =+（ ） A ．()f x 的图像关于原点对称 B ．()f x 的值域是[]1,1- C ．()f x 在区间[)1,+∞上是增函数 D ．()f x 有三个零点【答案】AB【分析】对于A ：由函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=-，可判断； 对于B ：当0x =时，()0f x =，当0x ≠时，()21f x x x=+，由12x x +≥或12x x +≤-，可判断； 对于C ：由1t x x=+在[)1,+∞单调递增可判断； 对于D ：令()0f x =，解方程可判断.【详解】解：对于A ：因为函数()f x 的定义域为R ，且()()()()222211x xf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 是奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，故A 正确； 对于B ：当0x =时，()0f x =， 当0x ≠时，()21f x x x=+，又12x x +≥或12x x +≤-，所以()01f x <≤或()10f x -≤<， 综上得()f x 的值域为[]1,1-，故B 正确； 对于C ：因为1t x x=+在[)1,+∞单调递增，所以由B 选项解析得， ()f x 在区间[)1,+∞上是减函数，故C 不正确； 对于D ：令()0f x =，即2201xx =+，解得0x =，故D 不正确， 故选：AB.23．（2021·广东·仲元中学高一期末）已知函数()sin cos f x x x =+，()cos g x x x =⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．两函数的图象均关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．两函数的图象均关于直线4x π=-成轴对称C ．两函数在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调增函数D ．两函数的最大值相同 【答案】CD【分析】根据题意，先化简两函数解析式，再结合正弦函数的图像性质，一一判断即可. 【详解】根据题意得，()4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()2g x x =. 对于选项AB，因0444f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，042g ππ⎛⎫⎛⎫-=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，而函数()y g x =的图象关于直线4x π=-成轴对称，故AB 都错；对于选项C ，当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因sin y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以两函数在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调增函数，故C 正确；对于选项D ，因()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2g x x =，所以()()max max f x g x ==D 正确. 故选：CD.三、填空题24．若正数x ，y 满足3xy x y =++，则x y +的取值范围是______． 【答案】[6,)+∞【分析】利用均值不等式以及换元求出答案. 【详解】因为0,0x y >>，由均值不等式得：232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，令x y t +=，则232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭．化简得24120t t --≥ 解得6t ≥或2t ≤-（舍去）， 所以x y +的取值范围为[6,)+∞. 故答案为：[6,)+∞.25．（2021·辽宁·抚顺市第六中学高一期末）设1x >-则231x x y x ++=+的最小值为________【答案】1【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由1x >-，可得10x +>.可令()10t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =1x =时，等号成立.故答案为：1．26．（2020·天津河西·高一期末）已知函数()()2,0,1,0,x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[]0,2【分析】利用定义可知1()f x x a x =++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，再根据(0)f 是()f x 的最小值，可知0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得结果即可得解. 【详解】当0x >时，1()f x x a x=++，任设120x x <<，则12121211()()f x f x x a x a x x -=++---12121()(1)x x x x =--， 当120x x <<1<时，120x x -<，12110x x -<， 所以12121()(1)0x x x x -->，所以12()()f x f x >， 当121x x <<时，120x x -<，12110x x ->， 所以12121()(1)0x x x x --<，所以12()()f x f x <， 所以1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，又因为(0)f 是()f x 的最小值，所以0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得02a ≤≤. 故答案为：[]0,2.27．（2021·上海徐汇·高一期末）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个实数根，则实数m的取值范围是________【答案】 【分析】题中有绝对值,故考虑分绝对值中的正负情况进行去绝对值讨论即可.【详解】设54()45f x x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,()0,x ∈+∞.当450x x -≥时,有x ≥;当450x x -<时有0x <<故19,0()9,x x x f x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩.当0x <<196y x x =+≥，当且仅当19x x=，即13x =时取等号根据对勾函数1y x x=+性质可知故19y xx=+在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在13⎛⎝⎭上单调递增.又9y xx=-+在⎫+∞⎪⎪⎣⎭为减函数,如图11()936 33f=⨯+=.f==故方程5445x x mx x⎛⎫+--=⎪⎝⎭在()0,∞+内恰有三个相异实根则m⎛∈⎝⎭.故答案为：⎛⎝⎭28．（2021·上海徐汇·高一期末）下列四个命题中正确的是________①已知定义在R上的偶函数(1)y f x=+，则(1)(1)f x f x+=-；②若函数()y f x=，x D∈，值域为A（A D≠），且存在反函数，则函数()y f x=，x D∈与函数1()x f y-=，y A 是两个不同的函数；③已知函数1()3.5f xx=-，*x∈N，既无最大值，也无最小值；④函数||2||()(21)5(21)6x xf x=---+的所有零点构成的集合共有4个子集；【答案】①②【分析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x的单调性可判断③；由()0f x=的解的个数和集合的子集个数，可判断④．【详解】①已知定义在R上是偶函数(1)y f x=+，设()(1)F x f x=+，可得()()F x F x-=，则(1)(1)f x f x+=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数， 则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A ，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1() 3.5f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在[)1,3.5递减，在()3.5,+∞递减， 当[)1,3.5x ∈时，()0f x <，当 ()3.5,x ∈+∞时，()0f x > 又*x ∈N ，所以()min 2()23f x f ==-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②．29．（2020·上海金山·高一期末）若43cos ,cos()55ααβ=+=，且,αβ均为锐角，则sin β=________． 【答案】725【分析】先求得()sin ,sin ααβ+的值，由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦可求得sin β的值. 【详解】解：由于,αβ是锐角，所以0αβ<+<π，所以()34sin ,sin 55ααβ=+， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦44337555525=⨯-⨯=. 故答案为：725. 30．（2020·广东揭东·高一期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+的单调递增区间为()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，则a b =________ 【分析】令0k =可得()f x 一个单调递增区间，根据对称性可知06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可构造方程求得结果.【详解】令0k =，则()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，23326πππ-+=-，06f π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即102a -=，a b ∴=31．（2021·云南·昭通市昭阳区第二中学高一期末）在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．（1）如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件； （4）如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件． 【答案】（1）（2）（3）【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关A 闭合，灯泡B 亮；而灯泡B 亮时，开关A 不一定闭合，所以开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关A 闭合，灯泡B 不一定亮；而灯泡B 亮时，开关A 必须闭合，所以开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关A 闭合，灯泡B 亮；而灯泡B 亮时，开关A 必须闭合，所以开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关A 闭合，灯泡B 不一定亮；而灯泡B 亮时，开关A 不一定闭合，所以开关A 闭合是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误. 故答案为（1）（2）（3）.32．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为___________.【答案】3【分析】由条件24xy x y ++=可得421xy x -=+且02x <<，利用基本不等式求解即可 【详解】由24xy x y ++=得421xy x -=+， 又x ，y 为正实数，所以4201xy x -=>+，得02x <<， 则()216421111x xx y x x x x -++-+=+=++-++，613331x x =++-≥=+，当且仅当611x x =++,即1x =时取等号，所以x y +的最小值为3，故答案为：333．（2020·广东·仲元中学高一期末）已知函数2()21,[0,2]f x x x x =-++∈，函数()1=-g x ax ，[]1,1x ∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x ≥成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(][),33,-∞-+∞【分析】根据题意得到()()max max g f x x ≥，从而只需求函数()f x 和函数()g x 的最大值即可. 【详解】因为对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x ≥成立， 所以只需()()max max g f x x ≥，因为()22()2112f x x x x =-++=--+，所以当[0,2]x ∈时，()max 2f x =；当0a >时，()1=-g x ax 在[]11-，上单调递增，所以()max 1g x a =-， 所以此时只需12a -≥，即3a ≥；当0a <时，()1=-g x ax 在[]11-，上单调递减，所以()max 1g x a =--， 所以此时只需12a --≥，即3a ≤-； 当0a =时，()1g x =-，此时不满足题意. 综上知：实数a 的取值范围为(][),33,-∞-+∞.故答案为：(][),33,-∞-+∞.34．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示.在一个黄金三角形ABC 中，BC AC =cos144°=___________.【答案】【分析】由图形知，36A ∠=︒，求出sin18︒，利用二倍角公式以及诱导公式求解即可．【详解】解：由图形知，36A ∠=︒，则1182A ∠=︒，11sin1822BC AC ︒=⨯=，所以22cos3612sin 1812︒=-︒=-⨯=⎝⎭故cos144cos36︒=-︒=故答案为： 四、解答题35．（2020·浙江·高一期末）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >. （1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式()20cx ac b x ab -++>（其中c 为实数）.【答案】（1）1a =，2b =，（2）答案见解析【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出a 、b 的值；（2）不等式化为(1)(2)0x cx -->，然后分0c ，0c <和0c >讨论即可求出不等式的解集． （1）不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <，或}x b >， 所以1和b 是方程2320ax x -+=的解， 所以320a -+=，解得1a =；由根与系数的关系知21b a⨯=，解得2b =； 所以1a =，2b =；.（2）由（1）知，不等式()20cx ac b x ab -++>为()2220cx c x ++>-，即(1)(2)0x cx -->，当0c 时，不等式化为()210x -->，解得1x <； 当0c <时，解不等式得21x c<<；当0c >时，若21c>，即02c <<时，解不等式得1x <或2x c >，若21c =，即2c =时，解不等式得1x ≠，若21c<，即2>c ，解不等式得2x c<或1x >， 综上知，0c 时，不等式的解集为{|1}<x x ； 0c <时，不等式的解集为21x x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭02c <<时，不等式的解集为{|1x x <或2}x c>；2c =时，不等式的解集为{|1}x x ≠2>c 时，不等式的解集为{2|x x c<或1}x >． 36．（2021·山东济宁·高一期末）在①“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件；②A B B ⋃=；③A B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合11{|}A x a x a =-≤≤+，{|13}B x x =-≤≤.（1）当a =2时，求A B ；（2）若选 ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|13}B x x A -≤≤⋃=；（2）答案见解析. 【分析】（1）当2a =时，求出集合A 再根据并集定义求A B ；（2）选择①有A ⊆B ，列不等式求解即可；选择②有A B ⊆同样列出不等式求解；选择③因为A B =∅，则13a ->或11a +<-，求解即可．【详解】（1）当2a =时，集合13{|}A x x =≤≤，{|13}B x x =-≤≤， 所以{|13}B x x A -≤≤⋃=；（2）选择①因为“x A ∈” 是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A ⊆B ， 因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅又因为{|13}B x x =-≤≤， 所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩等号不同时成立)，解得02a ≤≤，因此实数a 的取值范围是02a ≤≤. 选择②因为A B B ⋃=，所以A B ⊆. 因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅. 又因为{|13}B x x =-≤≤， 所以1113a a --⎧⎨+⎩，解得02a ≤≤，因此实数a 的取值范围是02a ≤≤. 选择③因为A B =∅，而11{|}A x a x a =-≤≤+，且不为空集，{|13}B x x =-≤≤， 所以13a ->或11a +<-， 解得4a >或2a <-，所以实数a 的取值范围是4a >或2a <-．37．（2021·甘肃·宁县第二中学高一期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当04x ≤≤时（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x <≤时，v 是x 的一次函数；当20x（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）.（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值. 【答案】（1）()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩（2）10x =，鱼的年生长量可以达到最大值12.5 【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可； （2）根据题意，结合（1）建立一元二次函数模型求解即可. （1）解：（1）依题意，当04x <≤时，()2v x =当420x <≤时，()v x 是x 的一次函数，假设()()0v x ax b a =+≠ 且()42v =，()200v =，代入得：42200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩.所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩（2）解：当04x <≤时，()()()228v x f x x v x x =⇒=⋅=≤，当420x <≤时， ()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+所以当()2.51020.125x =-=⨯-时，()f x 取得最大值()1012.5f =因为()1012.58f =>所以10x =时，鱼的年生长量可以达到最大值12.5.38．（2021·浙江·高一期末）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每1万部的销售收入为()R x 万元，且()24006,040740040000,40x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万部）的函数的解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润．【答案】（1）()2638440,04040000167360,40x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）当年产量为32万部时，获得的利润最大，最大利润为6104万元【分析】（1）()()()1640W x xR x x =-+，考虑两种情况得到分段函数，计算得到答案。
广东实验中学2018—2019学年高一(上)期中考试数学
广东实验中学2018—2019学年高一（上）期中考试数 学本试卷共4页．满分为150分。
考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只交回答题卡．第I 卷（共100分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x ∈N|x ＜4}，B={x|﹣3＜x ＜3}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2} B ．{0，1，2}C ．（﹣3，4）D ．（﹣3，3）2．若a =20.4，b=（）1.4，c=log 2，则它们的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．y=21x +B ．y=x x 212+C ．y=x+e xD ．y=lg(√1+x 2−x) 4．满足条件{1，2，3，4}⊆M ≠{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．方程log 3x+x ﹣3=0的实数根所在的区间是（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）6．下列各组函数不是同一函数的是（ ）①()32x x f −=与()x x x g 2−=；② f (x)=x 与g(x)=lg10x ③f （x ）=x 0与()01xx g =；④f （x ）=x 2﹣2x ﹣1与g （t ）=t 2﹣2t ﹣1 A ．① B ．①② C ．①③ D ．②③④7．若函数f(x)=log a(x+b)的图象如图,其中a,b为常数.则函数g(x)=a x+b 的大致图象是( )A. B. C. D.8．已知函数f（x）=lnx+x216−，则f（2x）的定义域为（）A．（0，1） B．（1，2] C．（0，2] D．（0，4]9.关于x的方程a x2+2x+a=0至少有一个正的实根，则a的取值范围是（）A．a＞0或﹣1＜a＜0B．﹣1≤a≤1C．0＜a≤1D．﹣1≤a＜010．已知f（x）=log a（a x2﹣x）（a＞0且a≠1）在（）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．[2，4] D．（2，4）11．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为（）A．6.5元 B．8.5元 C．10.5元 D．11.5元12．已知函数f（x）=m•4x﹣2x，若存在非零实数x0，使得f（﹣x）=f（x）成立，则实数m的取值范围是（）A． B．（0，2） C． D．[2，+∞）二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.13．已知幂函数αxy=的图象过点（2，√23），这个函数的表达式为_____ _.14．已知函数已知函数f（x）={x2−2x x≤2log2x−1 x>2，则f（f（4））= ；函数f（x）的单调递增区间是．三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本题满分10分)设全集是实数集R ，A={x|2x 2﹣7x+3≤0}，B={x|x 2+a ＜0}． （1）当a =﹣4时，求A ∩B 和A ∪B ；（2）若（∁R A ）∩B=B ，求实数a 的取值范围．16．（本题满分10分）不用计算器计算：（1） 0312232366141e +−++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛−−− （2）()22lg +20lg ×5lg +1lg +5−log 5 2+8log 4 ；17．（本题满分10分）已知定义域为R 的函数()122++−=x x ax f 是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围；第II 卷 （共50分）四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.18．已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （2+x ）=f （﹣x ）．若f （1）=4，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （8）= 。
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2018-2019学年高一第一学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．（﹣3，4）D．（﹣3，3）2．若a＝20.4，b＝（）1.4，c＝log2，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝B．y＝2x+C．y＝x+e x D．y＝lg（﹣x）4．满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．方程log3x+x﹣3＝0的实数根所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）6．下列各组函数不是同一函数的是（）①f（x）＝与g（x）＝x；②f（x）＝x与g（x）＝lg10x③f（x）＝x0与g（x）＝：④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1A．①B．①②C．①③D．②③④7．若函数f（x）＝log a（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）＝a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝lnx+，则f（2x）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，2] C．（0，4] D．（0，2]9．关于x的方程ax2+2x+a＝0至少有一个正的实根，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．a＞0或﹣1＜a＜0C．﹣1≤a＜0 D．﹣1≤a≤110．已知f（x）＝log a（ax2﹣x）（a＞0且a≠1）在（）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，4] B．（2，4）C．（4，+∞）D．[4，+∞）11．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为（）A．6.5元B．8.5元C．10.5元D．11.5元12．已知函数f（x）＝m•4x﹣2x，若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（0，2）D．[2，+∞）二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.13．已知幂函数y＝x a的图象过点（2，），这个函数的表达式为．14．已知函数f（x）＝则f（f（4））＝；函数f（x）的单调递增区间是．三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．16．不用计算器计算：（1）（﹣）﹣2+（）++e0．（2）（lg2）2+lg20×lg5+lg1+5﹣log52+log48．17．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分..18．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2+x）＝f（﹣x）．若f（1）＝4，则f（1）+f（2）+f（3）+……．+f（8）＝．19．已知[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）＝x2+a[x]x﹣a在区间（0，2）上仅有一个零点，则实数a的取值范围为．五、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20．已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）＝log2．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．21．已知b∈R，b为常数，函数f（x）＝x2﹣bx+b﹣1．（1）求关于x的不等式f（x）≥0的解集；（2）若函数F（x）＝|f（x）|﹣（x）﹣有两个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明：关于x的方程f（x）＝[f（x1）+2f（x2）]在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．22．现有两个函数f1（x）＝log a（x﹣3a）与f2（x）＝log a，其中a＞0，a≠1．（1）求函数F（x）＝f1（x）﹣f2（x）的表达式与定义域；（2）给出如下定义：“对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]，有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在区间[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在区间[m，n]上是非接近的．”若0＜a＜1，试讨论f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的．参考答案一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．（﹣3，4）D．（﹣3，3）解：集合A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．若a＝20.4，b＝（）1.4，c＝log2，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c解：∵b＝（）1.4＝20.7，∴0＜a＝20.4＜b＝（）1.4，又c＝log2＜0，∴b＞a＞c．故选：D．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝B．y＝2x+C．y＝x+e x D．y＝lg（﹣x）解：A．f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，B．f（﹣x）＝2x+＝f（x），函数f（x）是偶函数，C．f（1）＝1+e，f（﹣1）＝﹣1+，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数，D．f（﹣x）+f（x）＝lg（﹣x）+lg（+x）＝lg（﹣x）（+x）＝lg1＝0，则f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，故选：C．4．满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}，∴集合M中必有元素1，2，3，4，且集合M中还有元素5，6中的0个或1个，∴满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是：．故选：B．5．方程log3x+x﹣3＝0的实数根所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）解：方程log3x+x﹣3＝0的根就是y＝log3x+x﹣3的零点，函数是连续函数，是增函数，可得f（2）＝log32+2﹣3＝log32﹣1＜0，f（3）＝1+3﹣3＞0，所以f（2）f（3）＜0，方程根在（2，3）．故选：B．6．下列各组函数不是同一函数的是（）①f（x）＝与g（x）＝x；②f（x）＝x与g（x）＝lg10x③f（x）＝x0与g（x）＝：④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1A．①B．①②C．①③D．②③④解：对于①，f（x）＝＝﹣x（x≤0），与g（x）＝x（x≤0）的对应关系不同，不是同一函数；对于②，f（x）＝x（x∈R），与g（x）＝lg10x x（x∈R）的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于③，f（x）＝x0＝1（x≠0），与g（x）＝＝1（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于④，f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），与g（t）＝t2﹣2t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．综上，不是同一函数的序号为①．故选：A．7．若函数f（x）＝log a（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）＝a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．解：由函数f（x）＝log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）＝log a（x+b）的图象由f（x）＝log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）＝a x+b的大致图象是D故选：D．8．已知函数f（x）＝lnx+，则f（2x）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，2] C．（0，4] D．（0，2]解：由，得0＜x≤4．∴f（x）的定义域为（0，4]．由0＜2x≤4，得0＜x≤2．∴f（2x）的定义域为（0，2]．故选：D．9．关于x的方程ax2+2x+a＝0至少有一个正的实根，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．a＞0或﹣1＜a＜0C．﹣1≤a＜0 D．﹣1≤a≤1解：当a＝0时，求得x＝0，不满足条件，故a≠0．∴，求得﹣1≤a＜0，故选：C．10．已知f（x）＝log a（ax2﹣x）（a＞0且a≠1）在（）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，4] B．（2，4）C．（4，+∞）D．[4，+∞）解：f（x）＝log a（ax2﹣x）（a＞0且a≠1）在（）上是增函数，若0＜a＜1，则y＝log a z在（0，+∞）上递减，可得z＝ax2﹣x（z＞0）在（，）内递减，即有a﹣≥0，且≥，解得a≥2且a≤1，∴a∈∅；若a＞1，则y＝log a z在（0，+∞）内递增，可得z＝ax2﹣x（z＞0）在（，）内递增，即有a﹣≥0，且≤，解得a≥4且a≥2，可得a≥4．综上可得，实数a的取值范围是[4，+∞）．故选：D．11．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为（）A．6.5元B．8.5元C．10.5元D．11.5元解：设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则y＝x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，由于x＞0，且520﹣40x＞0，所以，0＜x＜13；即y＝﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．所以，当x＝﹣＝6.5时，y取最大值．此时售价为6.5+5＝11.5故选：D．12．已知函数f（x）＝m•4x﹣2x，若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（0，2）D．[2，+∞）解：由题意可得m•4x﹣2x＝m•4﹣x﹣2﹣x有解，即m（4x﹣4﹣x）＝（2x﹣2﹣x）有解．可得＝2x+2﹣x≥2 ①，解得0＜m≤．再由x0为非零实数，可得①中等号不成立，故0＜m＜．∴实数m的取值范围是（0，）．故选：B．二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.13．已知幂函数y＝x a的图象过点（2，），这个函数的表达式为y＝x．解：∵幂函数y＝x a的图象过点（2，），∴2a＝，解得a＝，∴这个函数的表达式为y＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝则f（f（4））＝﹣1 ；函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．解：∵f（x）＝，∴f（4）＝log24﹣1＝1，则f（f（4））＝f（1）＝1﹣2＝﹣1；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．故答案为：﹣1；（1，+∞）．三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．解：（1）A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}＝{x|≤x≤3}．当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．（2）∁R A＝{x|x＜或x＞3}．当（∁R A）∩B＝B时，B⊆∁R A，即A∩B＝∅．①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁R A；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|﹣＜x＜}，要使B⊆∁R A，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，a的取值范围为a≥﹣．16．不用计算器计算：（1）（﹣）﹣2+（）++e0．（2）（lg2）2+lg20×lg5+lg1+5﹣log52+log48．解：（1）（﹣）﹣2+（）++e0＝16++3+2+2+1＝22+3．（2）（lg2）2+lg20×lg5+lg1+5﹣log52+log48＝（lg2）2+（lg5+2lg2）×lg5+0++＝（lg2+lg5）2+2＝3．17．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由题设，需，∴a＝1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a＝1．（2）f（x）在定义域R上是减函数．证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，，∵x1＜x2，∴，，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），∴该函数在定义域R上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，∴△＝4+12k＜0，解得，所以实数k的取值范围是：．四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分..18．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2+x）＝f（﹣x）．若f（1）＝4，则f（1）+f（2）+f（3）+……．+f（8）＝0 ．解：∵f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2+x）＝f（﹣x）．∴f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（4+x）＝﹣f（x+2）＝f（x）．即函数f（x）是周期为4的周期函数，若f（1）＝4，则f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣4，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+……．+f（8）＝2[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝2（4+0﹣4+0）＝0，故答案为：0．19．已知[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）＝x2+a[x]x﹣a在区间（0，2）上仅有一个零点，则实数a的取值范围为0＜a＜1或a＜﹣4；．解：当0＜x＜1时，[x]＝0，f（x）＝x2﹣a；即a＝x2在0＜x＜1仅有一个根，则0＜a＜1；当1≤x＜2时，[x]＝1，f（x）＝x2+ax﹣a；即f（x）＝x2+ax﹣a在1≤x＜2时仅有一个根；∵f（1）＝1＞0，则只需f（2）＜0，则a＜﹣4；故实数a的取值范围为0＜a＜1或a＜﹣4；五、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20．已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）＝log2．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．解：（1）由，得32x﹣4﹣10•3x﹣2+9≤0，即（3x﹣2﹣1）（3x﹣2﹣9）≤0，∴1≤3x﹣2≤9，2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）因为＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当，即时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当log2x＝1或log2x＝2，即x＝2或x＝4时，y max＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知b∈R，b为常数，函数f（x）＝x2﹣bx+b﹣1．（1）求关于x的不等式f（x）≥0的解集；（2）若函数F（x）＝|f（x）|﹣（x）﹣有两个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明：关于x的方程f（x）＝[f（x1）+2f（x2）]在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．解：（1）x2﹣bx+b﹣1≥0，即（x﹣1）（x﹣b+1）≥0，当b＝2时，x∈R；当b＞2时，x∈（﹣∞，1]∪[b﹣1，+∞）；当b＜2时，x∈（﹣∞，b﹣1]∪[1，+∞）；（2）函数F（x）＝|f（x）|﹣f（x）﹣有两个不同的零点，f（x）≥0，即﹣≥0不满足题意；f（x）≤0可得y＝2f（x）（f（x）≤0）与有两个交点，可得2•＜﹣，解得b＜1或b＞3；（3）证明：对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），关于x的方程f（x）＝[f（x1）+2f（x2）]，可设，H（x1）H（x2）＝（f（x1）﹣f（x2））•（f（x2）﹣f（x1））＝﹣（f（x1）﹣f（x2））2＜0，且H（x）为二次函数，最多两个零点，可得关于x的方程f（x）＝[f（x1）+2f（x2）]在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．22．现有两个函数f1（x）＝log a（x﹣3a）与f2（x）＝log a，其中a＞0，a≠1．（1）求函数F（x）＝f1（x）﹣f2（x）的表达式与定义域；（2）给出如下定义：“对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]，有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在区间[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在区间[m，n]上是非接近的．”若0＜a＜1，试讨论f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的．解：（1）函数f1（x）＝log a（x﹣3a）的定义域为（3a，+∞），函数f2（x）＝log a的定义域为（a，+∞），由a＞0，故3a＞a，故函数F（x）＝f1（x）﹣f2（x）＝log a[（x﹣3a）（x﹣a）]的定义域为（3a，+∞），（2）∵0＜a＜1，∴t＝（x﹣3a）（x﹣a）在区间[a+2，a+3]上单调递增，又由y＝log a t为减函数，∴f1（x）与f2（x）接近⇔|log a[（x﹣3a）（x﹣a）]|≤1，即a≤（x﹣3a）（x﹣a）≤，即，解得：0＜a≤，即当0＜a≤时，两个函数是接近的，当＜a＜1时，两个函数是非接近的．。