二、数的整除
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征讲解学习
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
数字的整除关系了解整除和余数的概念
数字的整除关系了解整除和余数的概念数字的整除关系：了解整除和余数的概念数字的整除关系是数学中的基础概念之一，它涉及到整除和余数两个重要概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，而余数是指一个数除以另一个数后所剩下的不足以再次整除的部分。
本文将详细介绍整除和余数的概念、性质及其在数学中的应用。
一、整除的概念和性质1. 整除的定义整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是在除法中除数除尽的情况。
例如，4能够整除8，表示为8÷4=2，因为4乘以2等于8，没有余数。
2. 整除的性质（1）零的特殊性：任何数都能被0整除，即0除以任何非零数结果为0。
（2）整除的传递性：如果一个数能被另一个数整除，而这个另一个数又能被另一个数整除，则第一个数也能被第三个数整除。
例如，如果8能够整除4，而4能够整除2，则8也能够整除2。
（3）整除的除法效应：如果一个数能够整除两个数之和，那么它也能够整除这两个数的整数倍。
例如，如果6能够整除2和4的和，那么它也能够整除2和4的整数倍，即12、18、24等。
3. 除数与被除数的关系数学中，被除数可以是除数的倍数，也可以不是。
当被除数不是除数的倍数时，除法运算会产生余数。
二、余数的概念和性质余数是指两个数相除后所剩下的不足以再次整除的部分。
余数常用符号"mod"来表示，即a mod b表示a除以b的余数。
例如，9除以4，商为2余1，可以表示为9 mod 4 = 1。
1. 余数的性质（1）余数的范围：余数的范围始终为0到除数-1之间的非负整数。
（2）余数的性质：若a能够整除b，则a mod b = 0；若a不能整除b，则0 < a mod b < b。
2. 余数的运算性质（1）加减运算法则：(a ± b) mod n = (a mod n ± b mod n) mod n。
（2）乘法运算法则：(a × b) mod n = [(a mod n) × (b mod n)] mod n。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、7、9、11、13、27、99等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
1、看末尾。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被4、25整除的数，末二位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被8、125整除的数，末三位数能被8整除，那么这个数能被8整除2、看数字和能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
3、截尾法能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被11整除的数， 11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。
如：242是不是11的倍数，24-2=22，所以242是11的倍数。
1232，123-2=121， 12-1=11，1232是11的倍数。
能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
小学数学 数的整除特征(二)
数的整除特征（二）上一讲我们介绍了一个数能被2、5；4、25；8、125；3、9整除的特征，这一讲我们继续讨论一些有关问题.请看下面例题：4239235=4000000+200000+30000+9000+200+30+5=4×（999999+1）+2×（100000+1-1）+3×（9999+1）+9×1000+1-1）+2×（99+1）+3×（10+1-1）+5=4×999999+4+2×（99990+11-1）+3×9999+3+9×（990+11-1）+2×99+2+3×（11-1）+5=（4×999999+2×99990+2×11+3×9999+9×990+9×11+2×99+3×11）+（4+3+2+5）-（2+9+3）上式第一个括号内的每一个数都能被11整除，所以它们的和也能被11整除.如果4239235能被11整除，那么（4+3+2+5）-（2+9+3）也能被11整除.反过来，如果（4+3+2+5）-（2+9+3）能被11整除，那么4239235也能被11整除.而上式第二个括号内的各数正好是4239235的奇数位上的四个数字，第三个括号内的各数正好是4239235的偶数位上的三个数字，从而我们便得到一个数被11整除的特征是：如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除.否则这个数便不能被11整除.一个数被11整除还有另外一个特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除.例1 将1，2，3，…，30从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试求这个51位数除以11的余数.分析与解前面指出一个数被11整除的特征是：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除.从这个特征的导出过程中我们还可以看出：一个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差除以11的余数，与原数除以11的余数是相等的.利用这一性质便可求出问题的结果来.因为51位数123456…282930的奇数位上的数字分别是0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，7，5，3，1，这些数字之和为：1+3+5+7+9+（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2=115这个数的偶数位上的数字分别是3，2，2，2，2，…，2，1，1，…，1，8，6，4，2，这些数字之和为：2×10+1×10+3+8+6+4+2=53115-53=62，62÷11=5 (7)所以这个51位数除以11的余数是7.此题恰巧是奇数位上的数字和大于偶数位上的数字和，所以计算起来比较方便，如果有一个18位数919293949596979899，问这个数除以11的余数是几？上述18位数奇数位上的数字和为（9+8+7+6+5+4+3+2+1=）45，偶数位上的数字和为（9×9=）81.现在是偶数位上的数字和大于奇数位上的数字和，81-45=36，36÷11=3…3.应该怎么计算呢？请同学们动脑筋想一想，告诉你们答案为8，即上述那个18位数除以11余8.例2 将1至9这九个数字，按图1所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个九位数是193426857和758624391）.如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是几？分析与解396=4×9×11，而4、9、11两两互质，根据前面提到的有关整除的性质，考虑被396整除，只要分别考虑被4、9、11整除就行了.前面提到如果一个数的各个数位上的数字和是9的倍数，那么这个数一定能被9整除.现在无论从哪两个数字之间剪开，按顺时针或逆时针次序所得到的两个九位数，其各个数位上的数字和，都是1至9九个数字之和45，45能被9整除，因此两个九位数一定能被9整除，那么这两个九位数之差当然也能被9整除.再考虑除以11的情况.考虑一个数能否被11整除，只要考虑这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差除以11的余数.现在无论从哪两个数字之间剪开后所得到的两个九位数，它们数字的顺序恰好是互相颠倒的，因此这两个九位数的奇数位上数字和与偶数位数字和之差是完全一样的，换句话说，这两个九位数除以11的余数相同，从而它俩的差一定能被11整除.最后考虑所得两个九位数之差能否被4整除.从一个数能被4整除的特征可以知道，只要这两个九位数的末两位数字组成的两位数之差能被4整除，那么这两个九位数的差一定能被4整除.因此只需考虑：剪开处左面两个数字组成的两位数与右面两个数字颠倒顺序后组成的两位数之差能否被4整除.只要这个差能被4整除，所得两个九位数之差就能被396整除，否则就不能被396整除.在1与9之间剪开：71-39=32，32能被4整除.在9与3之间剪开：43-19=24，24能被4整除.在3与4之间剪开：93-24=69，69不能被4整除.在4与2之间剪开：62-34=28，28能被4整除.在2与6之间剪开：86-42=44，44能被4整除.在6与8之间剪开：58-26=32，32能被4整除.在8与5之间剪开：75-68=7，7不能被4整除.在5与7之间剪开：85-17=68，68能被4整除.在7与1之间剪开：91-57=34，34不能被4整除.因此本题共有下面六个答案：1×9=9，9×3=27，4×2=8，2×6=12，6×8=48，5×7=35.例3 下面是某校购买72张课桌和77把课椅的发票.由于不小心浸水，烘干后发票上的一些数字都模糊不清了，每一个模糊不清的数字用□表示，请恢复发票中注有□的数字.则有a2+b2=7，a2+b2=16.又因由a2≥7，所以当a2+b2=7时，有a2=7，b2=0；当a2+b2=16时，有a2=7、8、9，b2=9、8、7.这一来课桌的总价可以是70776分，79776分，88776分，97776分.70776+32879=103655，79776+32879=112655，88776+32879=121655，97776+32879=130655，这四个和里只有103655符合要求，所以课桌的总为70776分，70776÷72=983，课桌的单价为983分，恢复后的发票如下：例4 在□内填上合适的数字，使六位数□1991□能被66整除.分析与解用x、y分别代表六位数□1991□的十万位与个位上□内的下面分别加以讨论.否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为1、4、7，都不能被11整除，所以y=0时此题无解.519912、819912这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为0、3、6，只有0能被11整除，所以219912能被66整除.619914、919914这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为1、2、5，都不能被11整除，所以y=4时此题无解.419916、719916这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为5、2、1，都不能被11整除，所以y=6时此题无解.519918、819918这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为6、3、0，只有0能被11整除，所以819918能被66整除.只有1991、1991这两个数能被66整除.从例2到例4的解答中，我们看到掌握“如果一个数能被几个两两互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这几个两两互质数的乘积整除.反过来，如果一个数能被几个两两互质数的乘积整除，那么这个数也能同时被这几个两两互质的数整除”这一结论，对解决一些有关整除的问题，带来了很大的方便，并能在解题过程中，锻炼和培养我们分析问题与解决问题的能力.。
9数的整除2（学生）
第九讲数的整除（2）知识概述一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
2.一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除。
3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被被7、11或13整除。
二、整除的性质1.如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。
2.如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。
3.如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。
4.如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互素，那么a一定能被b与c的乘积整除。
5.如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。
（m为非0整数）6.如果数a能被数b整除，数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除。
例题精讲【例1】判断下面11个数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407⑴这些数中，有哪些数能被4整除？有哪些数能被8整除？⑵这些数中，哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？⑶这些数中，哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？⑷这些数中，哪些数能被11整除？【拓展】五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值是。
【拓展】（2013年第十一届“小机灵杯”四年级决赛）把一个三位数的百位与个位上的两个数字交换，十位数不变，所得的新数与原数相等，这样的数共有（）个，其中能被4整除的有（）个。
【例2】（2011年第九届“小机灵杯”四年级决赛）某三位数是9的倍数，而且在300~400之间，它的百位与个位数字和为10，问这个数是（）。
数的整除
第三讲数的整除第一课时教学内容：整除的概念与能被2、5；4、25、8、125；3、9整除的数的特点教学目的：通过教学使学生进一步掌握数的整除的概念，并能掌握能被2、5；4、8；3、9整除的数的特点。
教学重点：整除的概念教学难点：抓住特征进行判断。
教学过程：一、复习引新1、把下面的算式分类：24÷4 16÷5 3.5÷7 36÷9 20÷32.4÷1.2 132÷11 10÷6 7.8÷3.9 34÷0.72、分类小结你是怎能样进行分类的？你为什么这样分？二、探究新知（一）整除的的概念定义：如果整数a除以非零整数b，商是整数且没有余数，则称a能被b整除，或b能整除a，记作b|a。
其中a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
0是任何数的倍数；1是任何数的约数。
复习题中哪些是整除？并说出谁整除谁，谁被谁整除。
（二）一些常见的数的整除特征1、能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征。
（末位判断）个位是偶数的整数一定能被2整除；如2|2456个位数字是0或5的整数一定能被整除；如5|2435末两位数字是4或25的倍数的整数一定能被4或整除；如4|1248 25|23475末三位数字是8或125的倍数的整数一定能被8或125整除。
如8|24464 125|456252、能被3、9整除的数的特征。
（数字和判断）各位数字之和能被3整除的整数，可以被3整除；如3|3465各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除。
如9|65421（三）运用例1在□内填入适当的数，使六位数35267□能被4（或25）整除。
分析：六位数35267□的个位数字现在不知道是几，先设它为x，那么该六位数的末两位为7x。
根据能被4整除数的特征，如果7x能被4整除，则该六位数能被4整除；如果7x能被25整除，则该六位数能被25整除。
解（1）7x能被4整除，x只能是2和6，因为72和76是4的倍数，所以，六位数352672和325676能被4整除。
数的整除特征(二)
数的整除特征（二）（一）阅读思考1. 已知一个五位数能被72整除，求x与y的和。
分析：要求x与y的和，当然要先知道x与y各是多少。
这个数能被72整除，说明它能同时被8和9整除。
我们先来研究能被8整除，首先50400就能被8整除；在这个数上不断加8，得到50408、50416、50424、……、50496都能被8整除。
再从中找出能被9整除的数。
一共有2个，它们是50400和50472。
所以的和可能是，也可能是2. 丁丁去北戴河玩了五天，把这五天日历上的数相加，其和恰好是45。
问丁丁是几号去北戴河的？分析：丁丁一共玩了五天，说明这五天的号数应是五个连续自然数。
如果设中间的那天是a号，则这五天分别是：、根据题意，可以列式为：即这五天应是7、8、9、10、11号那么他是7号去的北戴河。
3. 有72名学生购买同种课外读物，共交了□67.9□元（□为辨认不清的数字）。
问每人交了多少钱？分析：我们可以先把□67.9□元转化为□679□分。
□679□分能被72整除，也可以说□679□能同时被8、9整除。
所以，79□应能被8整除，所以个位上的数字应该是2。
又因为□679□能被9整除，所以□＋6＋7＋9＋2＝□＋24能被9整除，□应该是3。
这个数是36792，所以学生共用了367.92元。
每人交了元。
（二）尝试体验1. 求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
2. 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数尽可能的小。
3. 五位数4H97H能被3整除，它的最末两位数字组成的数7H能被6整除，求这个五位数。
4. 有一个六位数□1989□能被44整除，求这个六位数。
5. 小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数3□6□5，其中十位数字和千位数字看不清了，但是这个五位数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数有哪些？6. 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字每个数字各用一次，写出三个能被9整除的尽可能大的三位数，这三个数各是多少？【试题答案】（二）尝试体验1. 求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
除法运算中的整除与余数知识点总结
除法运算中的整除与余数知识点总结在数学中，除法是一种基本的运算符号，用于将一个数称为另一个数的倍数。
在除法运算中，我们常常遇到两个关键概念：整除和余数。
本文将对整除和余数的概念进行详细解释，并探讨其在数学运算和实际问题中的应用。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
我们可以用符号“|”来表示整除关系，例如，如果一个数a能够被另一个数b整除，则记作a | b。
例如，4 | 12 表示12能够被4整除，即12 ÷ 4 = 3，没有余数。
整除的应用非常广泛。
在数论中，整除是研究素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数的基础。
在实际应用中，整除的概念经常用于整数的倍数关系、约数关系等。
二、余数的概念余数是指在除法运算中剩下的不够被除数整除的部分。
余数常常用符号“%”来表示。
例如，如果一个数a除以另一个数b得到的余数为r，则记作a % b = r。
例如，13 % 5 = 3，表示13除以5得到的余数为3。
余数的应用也非常广泛。
在计算机科学中，余数的概念经常用于判断一个数是否为偶数或奇数，进而进行条件判断。
在代数学中，余数的概念与同余关系有密切的联系。
三、整除与余数的性质与定理1. 若a | b 且 b | c，则a | c。
这是整除关系的传递性质。
2. 若a | b 且 b | a，则a = ±b。
这是整除关系的反对称性质。
3. 若a | b 且 a | c，则a | (pb + qc)，其中p和q为任意整数。
这是整除关系的线性性质。
4. 余数定理：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
这个定理说明了除法运算总能得到一个唯一的余数。
五、整除与余数在实际问题中的应用整除与余数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它们在实际问题中也起着重要的作用。
1. 日历计算：通过整除和余数的概念，我们可以计算任意一天是星期几。
六年下册奥数试题-数的整除特征(二)全国通用(含答案)
第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。
（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。
（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。
学法指导上面数的整除特征可以结合例子理解。
例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。
因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。
记忆要理论联系实际。
经典例题[例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。
一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。
解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。
第七讲 数的整除(二)
五年级秋季培优第七讲数的整除（二）这一讲我们重点掌握能被7，11，13整除的数的特征。
1.能被11整除的数的特征：如果一个自然数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除，否则就不能。
2.能被7，11，13整除的数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7，11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除，否则就不能。
由1001＝7×11×13，知1001被7，11或13整除。
并熟记77＝7×11；91＝7×13；143＝11×13。
3.被互质的两个数同时整除的数的特征：两个数互质指如果两个自然数只有公因数1，这两个数称为互质数。
如果一个自然数能同时被两个互质的数整除，那么这个数一定能被这两个互质的数的乘积整除；反之，如果一个自然数能被两个互质数的乘积整除，则这个数一定能被这两个互质的数整除。
典例精讲例1一个六位数2356□□是22的倍数，那么这个六位数可能是多少？【思路点拨】因为22＝11×2，既然六位数2356□□是22的倍数，那么这个六位数就应该同时是2和11的倍数。
然后根据可以被2和11整除的数的特征进行判断，即可解题。
【详细解答】例2根据能被7，11，13整除的数的特征，判断2206525321能否被7，11，13整除。
【思路点拨】根据被7，11，13整除的数的特征，末三位数字所表示的数321，末三位之前的数所表示的数字所表示的数为2206525，两者之差为2206525－321＝2206204.这个差能否被7，11，13整除，还不容易看出，必须继续利用被7，11，13整除的数的特征，对上述的差2206204再进行判断。
方法与前面一样，2206－204＝2002，2－2＝0，由于0能被7，11，13整除，所以2206525321能被7，11，13整除。
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二、数的整除（单元）设计 共16课时 总第18课时至第33课时 教学目的： 1.理解整除,约数、倍数的意义,掌握整除与除尽的联系与区别。 2.掌握能被2、3、5整除的数的特征能正确迅速的判断一个数是否能被2、3、5整除。认识奇数和偶数。 3.掌握质数与合数,质因数和分解质因数的概念,能正确的把一个合数分解质因数。 4.理解互质的意义,能正确的判断两个数是否互质。 5.理解公约数和最大公约数,公倍数和最小公倍数的意义。掌握求两个数的最大公约数和求两、三个数 的最小公倍数的方法。 6.通过学习知道事物是互相依存的,从中受到对立统一观点的启蒙教育。 7.培养仔细计算,认真检验的良好习惯。 教学重点: 1、理解整除、约数和倍数的意义，掌握求一个数约数和倍数的方法。 2、掌握能被2、5、3整除的数的特征。 3、理解质数、合数、质因数、分解质因数的概念，掌握判断质数与合数的方法。 4、理解公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数的意义，掌握求最大公约数与最小公倍数的方法。 教学难点： 1、分解质因数是本单元较难之处，因为分解质因数是求最大公约数和最小公倍数的基础。在分解质因数时，用短除法计算。分解时应注意以下几点：用质数去除，一般从较小的质数开始，除到商是质数为止。再把这个合数用质数连乘的形式表示出来。 2、求三个数的最小公倍数是本单元的又一难点，求三个数的最小公倍数，要先用三个数的公约数去除，当三个数只有公约数1时，再用其中每两个数的公约数去除，一直除到每两个数都是互质数为止。然后把所有的除数和最后的商连乘的积就是这三个数的最小公倍数。 3、本单元教材中有关概念之间的联系与区别。 课时安排： 序号 内 容 课时 1 约数和倍数 2 2 能被2、5、3整除的数 3 3 质数、合数和分解质因数 3 4 最大公约数 2 5 最小公倍数 4 6 复习 2 小计 16 1、约数和倍数 共2课时 总第18课时至第19课时 第一课时 教学内容：约数和倍数的意义及例1 教学目标： 1、进一步理解“整除”的意义，知道“约数和倍数的意义”以及他们之间的是一种“相互依存”的关系。 2、根据约数和倍数的意义能正确判断一个数的约数 教学重点：约数和倍数的意义，怎样找一个数的约数 教学难点：约数和倍数的“相互依存”的关系 教学过程： 一、 准备： 1、 师：今天我们开始学习新的内容，先请同学们听这样一句话： ① 小红是朋友。 师：同学们觉得老师这句话说得好吗？那你准备怎样改正呢？ 师：一个人能成为朋友吗？朋友最起码要有两个人。这就是生活中的“朋友关系”。（板书：关系） ② 李裕是妈妈。 生：李裕是谁的妈妈？ 师：假设李裕是小红的妈妈，那么小红就是李裕的什么？（女儿） 师：这就是生活中的“母女关系”。谁也离不开谁呀！ 师：生活中存在这样一些关系，那数学中也存在类似这样的关系。今天我们就一起来学习。 2、 复习“整除”： ① 师：在学习整数的四则混合运算的时候我们曾经接触过“整除”这一概念，那究竟什么是“整除”呢。请同学来说一下。 ② 学生举例说明，老师给予引导并归纳： a. 师：被除数和除数满足怎样的条件？所得的商又怎样？ b. 师板书整除的两个条件：①被除数和除数都是整数②商是整数且没有余数 c. 师生归纳：两个整数相除，所得的商是整数且没有余数，我们就称被除数能被除数整除，或者说除数能整除被除数。 d. 出示完整的“整除”概念并让学生朗读： 两个整数相除，如果用字母表示，可以这样说：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a） e.补充字母表达式： a÷b＝c（b≠0） 二、 诱发： 复习了“整除”，弄懂了什么叫“整除”，今天的学习才有了基础，现在开始学习今天的主要内容。课开始时，我们通过判断生活中的实例明白了生活中存在着许多关系，那在数学中也同样存在这样类似的关系，这就是我们今天要学的“约数和倍数的意义”。（板书：约数和倍数的意义） 三、释疑： 1、 教学约数和倍数的意义： （1）学生自学课本第51页，找出其中是怎样的一种关系。 （2）师让学生找出来并说说，读读。 师：谁和谁是这样的一种关系？ （3）什么叫“约数和倍数”： a. 生齐读文中所描述的“约数和倍数的意义”： b. 师让学生用自己的话来表达自己的理解，并让学生举例说明： 师相应地板书：a÷b＝c（b≠0） 倍数 约数 （4）什么叫“相互依存”的关系： a. 学生举例说明： b. 师：请同学们判断我说得对吗？“a叫b的倍数”。为什么？ 师：像这样谁也离不开谁，不能单独存在的关系就叫“相互依存”的关系。 （5） a.师：要成为“约数和倍数”的数应该满足怎样的条件呢？ b.师：满足了这样的条件后又会得到怎样的结论呢？ 师相应地板书： 条件 结论 a能被b整除 a叫做b的倍数 b叫做a的约数 c.判断练习： 师：谁是谁的约数，谁是谁的倍数？为什么？ 师板书： 16和2 2和24 15和6 d.小结方法：①看一个数是否能被另一个数整除 ②根据“约数和倍数的意义”指出谁是谁的倍数，谁是谁的约数。 （6） 练习并巩固方法： （1） 下面每祖数中，哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的约数？为什么？ 32和8 9和81 63和7 5和215 0.8和0.2 35和6 6和5 17和10 师：数所在的位置的前后与“约数和倍数”关系不是很大。 ⑦ 小结： a. 师：学了什么？知道了什么？学会了什么？ b. 师：根据这个算式“0÷5＝0”，你能说出谁是谁的倍数？谁是谁的约数吗？ 师：指出，约数和倍数一般不包括“0”在内。 2、小组合作，研究例1。 （1）思考并回答：求“18 的约数有哪几个”就是求什么。 （2）从书中的算式中找方法。 让学生独立自学，教师巡视，个别辅导。 （4）观察并回答：（观察例子和练习） 一个数的约数中最小的是几？最大的是几？一个数的约数的个数是多少？ 四、转化： （1） 根据算式说说他们之间的倍数和约数关系： 60÷10=6 100÷25=4 5÷1=5 5.4÷0.6=9 ① 先让学生说： 师：还存在其他的“约数和倍数”关系吗？为什么？ ② 再让学生就每组算式说说其他的倍数和约数关系： ③ 师引导学生看“5÷1=5” a. 师：根据这算式你还能写出怎样的除法算式？（5÷5=1） b. 师：你还能写出类似这样的算式吗？ c. 学生写老师板书： 10÷1=10 150÷1=150 10÷10=1 150÷150=1 d.师：你发现了什么？你能得出什么结论？（1是任何数的约数，一个数是它本身的约数，也是它本身的倍数） (2)下面两组数，你能说出每组数中谁是谁的倍数？谁是谁的约数吗？ a.2 4 8 b.2 3 6 12 ① 学生找并说理由：师：还有吗？找到了哪两组数？ ② 师：你发现了什么？ 师：请同学们来判断这两句话： a. 2既是4的约数，又是8的约数 b. 8是 2的倍数，4也是2的倍数 师：一个数的约数只有一个吗？一个数的倍数只有一个吗？ ③ 师让学生自己判断第二组数： ④ 引申：根据这两组数来说说谁是谁的倍数？谁是谁的约数？为什么？ 4÷2=2 8÷4=2 a. 4是2的倍数，2是4的约数 b. 8是4的倍数，4是8的约数。8是2的倍数，2是8的约数 c. 小结：约数和倍数是相互依存的，我们不能单独地说4是倍数或4是约数。 （2） 游戏： 师：请同学们把预先写好的数字卡片拿出来，然后听老师的要求，满足条件的同学站到前面来。 ① 是2的倍数的同学站出来：师：为什么是2的倍数？（能被2整除） ② 是20的约数的同学站出来：师：为什么是20的约数？（都能整除20） ③ 约数中有5的同学站出来：（能被5整除） ④ 约数有1的同学站出来：师：为什么都是？（任何数都能被1整除，所以1是任何数的约数） （3） 学生写出一组约数和倍数并相互交流： 五、 应用： P30练习六1、2、3题。
第二课时 教学内容：P29例2及练习六的4至7题 教学目的：怎样求一个数的倍数，了解一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 教学过程： 一、准备： 判断题： ①因为60÷10=6，所以60是倍数，10是约数。 （ ） ②因为7.2÷0.3=24，所以7.2是0.3的倍数，0.3是7.2的约数。 （ ） ③2既是8的约数，又是156的约数。 （ ） ④74既是5的倍数也是3的倍数。 （ ） ⑤1是1、2、3、4、5的约数。 （ ） 二、诱发： 1．说出约数和倍数的意义。 2．下面的数中，哪些是12的约数，哪些是2的倍数？1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、„„ 12的约数有： 。 2的倍数有： 。 师：上面我们找出了12的约数和2的倍数，如果不给你这些数你能求出2的倍数吗？下面我们来学习一个数的倍数的求法。 三、释疑： 1．小组合作，学习例2。 （1）思考：求20以内3的倍数有哪些，该怎样想？ ①从最小的倍数说起，边说边列算式。 ②你发现规律了吗？ ③20以内3的倍数有多少个？为什么？ ④得出20以内3的倍数有：3、6、9、12、15、18 用图表示为： 20以内3 的倍数
3、6、9、 12、15、18
（4）观察并回答：怎样求一个数的倍数？一个数的倍数有多少个？最小的是多少？ 四、转化 1、做P30的试一试，让学生独立写，教师辅导有困难的学生。 2、学生小结所学内容。 求一个数的约数 = 求能整除这个数的所有整数（或者说是求这个数能被哪些数整除） 求一个数的倍数 = 求能被这个数整除的所有整数（或者说是求哪些数能被这个数整除） 一个数的约数是有限的，最大的约数是它本身，最小的约数是1。 一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的。 五、应用： 做练习六的第4至6题。
2、能被2、5、3整除的数
共3课时 总第20课时至第22课时 第一课时 教学内容：1、能被2整除的数；2、能被5整除的数。 教学目的：1、使学生初步掌握能被2、5整除的特征，会判断一个数是否能被2、5整除。 教学重点：掌握能被2、5整除的数的特征。