第20课时等差数列与等比数列的基本运算
人教版高中数学课件-等差数列与等比数列
第9講 │ 要點熱點探究
【解答】 (1)a10＝10，a20＝10＋10d＝40，∴d＝3. (2)a30 ＝ a20 ＋ 10d2 ＝ 10(1 ＋ d ＋ d2) ＝ 10 d＋122＋34 (d≠0)．当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈[7.5，＋∞)． (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…， a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，数列 a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为 dn 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出 a10(n＋1)关于 d 的关系式， 并求出 a10(n＋1)的取值范围．研究的结论可以是：由 a40＝ a30＋10d3＝10(1＋d＋d2＋d3)，依次类推可得：a10(n＋1)＝
第9講 │ 要點熱點探究
已知数列 a1，a2，…，a30，其中 a1，a2，…，a10 是首项 为 1，公差为 1 的等差数列；a10，a11，…，a20 是公差为 d 的等差 数列；a20，a21，…，a30 是公差为 d2 的等差数列(d≠0)．
(1)若 a20＝40，求 d； (2)试写出 a30 关于 d 的关系式，并求 a30 的取值范围； (3)续写已知数列，使得 a30，a31，…，a40 是公差为 d3 的等差 数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类 似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结 论？
(2)已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，
则等比数列{an}的公比 q 的值为( )
1 A.4
1 B.2
C．2
D．8
(1)2 (2)B 【解析】 (1){an}为等比数列，所以 a4－ a3＝a2q2－a2q＝4，即 2q2－2q＝4，所以 q2－q－2＝0，解得 q ＝－1 或 q＝2.又{an}是递增等比数列，所以 q＝2.
数学 等差数列与等比数列的通项公式
城东蜊市阳光实验学校等差数列与等比数列的通项公式【教学目的】1、掌握等差数列与等比数列的通项公式及其推导方法2、会运用通项公式进展计算3、理解数列递推公式的意义，掌握等差与等比数列的递推公式4、进一步培养猜想、推导才能【教学重点】等差、等比数列通项公式【教学难点】等差、等比数列通项公式的灵敏运用和推导【教学过程】复习引入等差、等比数列的定义新课讲解〔一〕等差数列：·通项公式：an=a1+(n-1)d··推导：{an}是公差为d的等差数列，那么an=an－1+d,(n∈N*)。
●启发1，a3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=an-1+d=a1+(n-1)d∴an=a1+(n -1)d(n∈N+)--------特别地,当n=1时,左边=a1=右边-------以上是用不完全归纳法来探求出公式〔归纳——猜想——证明〕还需证明------ ●启发2，a2-a1=da3-a2=da4-a3=d ⇒an-a1=(n-1)dan-an-1=d----------------以上推导方法叫“错项相消法〞〔累加法〕----------------··深化理解：⑴．通项公式an-=a1+(n-1)d=nd+〔a1-d)但不是一次函数⑵．an=a1+(n-1)d 中一一共有a1,an,n,d 四个量，“一式四量，知三求一〞。
--------------① d=11--n a a n ⑶． □以上四式,可根据不同的条件选用,其中式①、②是式③、④的特例。
〔二〕等比数列：·通项公式：an=a1qn-1··推导：{an}是公差为q 的等比数列，那么an=an-1q,(n∈N*)●启发1●启发2----------------以上推导方法叫“错项相消法〞〔累乘法〕----------------··深化理解：〔1〕通项公式an=a1qn-1不是指数函数〔a1=1才是〕〔2〕mnmnmnmnqaaqaa--=⇒=〔3〕四个量a1,q,n,an,知三求一三、练习1、求等差数列9，5，1…的第20项。
2024版中职教育数学《等差数列》课件
课件•课程介绍与教学目标•等差数列基本概念与性质•等差数列求和公式与方法•等差数列在生活中的应用举例目录•拓展内容：等比数列简介及与等差数列关系•课堂互动环节与练习题设计01课程介绍与教学目标《等差数列》是中职教育数学课程中的重要内容，对于提高学生的数学思维和计算能力具有重要意义。
掌握《等差数列》的知识和技能，有助于学生更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
中职教育数学课程是中等职业教育的重要组成部分，旨在培养学生的数学素养和解决实际问题的能力。
课程背景及意义教学目标与要求知识与技能目标01掌握等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识；能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题。
过程与方法目标02通过探究、归纳、推理等过程，培养学生的数学思维和解决问题的能力；通过小组合作、交流讨论等方式，提高学生的合作意识和表达能力。
情感态度与价值观目标03激发学生的学习兴趣和探究欲望，培养学生的数学素养和审美情趣；引导学生体会数学在解决实际问题中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
教材分析与选用教材分析本课程选用中等职业教育数学教材，该教材注重基础性和实用性，符合学生的认知规律和学习特点。
教材内容包括等差数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识，以及相应的例题、习题和实践活动。
选用理由该教材注重基础性和实用性，能够帮助学生掌握等差数列的基本知识和技能；同时，该教材还注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，符合中等职业教育数学课程的教学要求。
02等差数列基本概念与性质等差数列定义及通项公式定义等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
通项公式an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差中项性质及应用等差中项性质在等差数列中，任意两项的算术平均数等于它们的等差中项。
应用利用等差中项性质可以求解等差数列中的未知项，也可以证明等差数列的相关性质。
2019高考数学一本策略复习专题三数列第一讲等差数列、等比数列课件文
[全练——快速解答 ]
3．(2018·天津模拟)已知等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn，且 8a2a4＝ a3a6，则Sa43＝___78_____.
由 8a2a4 ＝ a3a6 可 得 8a23＝a3a6，故 a6＝8a3， 设公比为 q，则 q3＝8，
q
＝
2
，
故
S3 a4
＝
a11＋a1qq3＋q2＝78.
2×2－1 2
×d
＋
4a1
＋
4×24－1×d，将 a1＝2 代
入上式，解得 d＝－3，
故 a5 ＝ a1 ＋ (5 － 1)d＝ 2 ＋ 4×(－3)＝－10.
故选 B.
[全练——快速解答 ]
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列
{an}的首项为 1，公差不为 0.若 a2，
a3，a6 成等比数列，则{an}前 6 项
专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列
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考点一 考点二 考点三 4 课后训练 提升能力
年份 2018
卷别 Ⅰ卷
Ⅲ卷
考查角度 及命题位 置 等比数列 的判定及 通项求 法·T17
等比数列 的基本运 算及应 用·T17
命题分析及学科素养
命题分析 (1)高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数 列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减 法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主 要突出数学思想的应用． (2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在 17 题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客 观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现 在第 12 题或 16 题位置上，难度偏大，复习时应 引起关注． 学科素养 主要是通过等差数列、等比数列的判定与证明及 基本运算考查逻辑推理与数学运算两大核心素养.
等差数列求和公式运算
等差数列求和公式运算等差数列求和公式1、等差数列基本公式：末项=首项+(项数-1)__公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)__公差和=(首项+末项)__项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
等差数列求和解题技巧一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
数列的基本概念和求和公式
数列的基本概念和求和公式数列是数学中一个非常基础的概念，涉及到数学中的序列和求和等知识。
本文将介绍数列的基本概念、常见数列的求和公式以及一些数列应用的例子。
一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一列数，数列中的每个数称为数列的项。
我们通常用一般项公式来表示数列的规律，一般项公式为an = f(n)，其中an表示数列的第n项，f(n)表示与n相关的函数表达式。
例如，等差数列的一般项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列和斐波那契数列。
下面将分别介绍这些数列及其求和公式。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。
也就是说，等差数列中每一项与前一项的差等于一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列的一般项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
求等差数列的前n项和的公式为Sn = (a1 + an)n/2，其中a1为首项，an为第n项。
应用举例：例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和Sn。
解：根据求和公式Sn = (a1 + an)n/2，代入a1 = 3，an = 3 + (10 - 1)2 = 20。
则Sn = (3 + 20)10/2 = 115。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。
也就是说，等比数列中每一项与前一项的比等于一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列的一般项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
求等比数列的前n项和的公式为Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，其中a1为首项，q为公比。
应用举例：例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和Sn。
解：根据求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，代入a1 = 2，q = 3，n = 5。
则Sn = (2 * (3^5 - 1)) / (3 - 1) = 242。
等比数列的概念和计算
等比数列的概念和计算等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的概念等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。
它的特点是每个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。
设首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n个数，r表示公比。
二、等比数列的性质等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质：1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0<r<1，数列是递减的。
当r=-1时，数列交替增减；当r=1时，数列是等差数列。
2. 等比数列的比与比与项的关系：等比数列中，任意两项的比等于它们的比的m次方，即an/am=a^(n-m)。
3. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中S表示前n项和。
这个公式可以通过数列的递推关系和等差数列的求和公式推导得出。
三、等比数列的计算方法计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。
1. 递推法：通过已知项计算下一项。
首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。
这种方法适用于已知首项和公比的情况。
2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。
首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。
这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。
四、应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。
假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。
通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。
另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。
什么是等差数列和等比数列
什么是等差数列和等比数列？在数学中，等差数列和等比数列是常见的数列类型，它们具有特定的规律和性质。
下面将分别介绍等差数列和等比数列的定义、性质和应用。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
换句话说，等差数列中的每一项与前一项的差值都是相同的。
这个差值被称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...其中，a是首项，d是公差。
等差数列可以是无限数列，也可以是有限数列。
等差数列的性质包括：-公差：相邻两项之差是常数，即d。
-通项公式：等差数列的第n项可以通过通项公式来计算，通常表示为an = a + (n-1)d。
-首项和末项：等差数列的首项是a，末项是an。
等差数列的应用包括：-数学问题：在数学问题中，等差数列可以用来建模和解决各种问题，如数学题目中的数列问题、等差数列求和等。
-物理学：在物理学中，等差数列可以用来描述物理量随时间的变化规律，如速度、加速度等的变化。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。
换句话说，等比数列中的每一项与前一项的比值都是相同的。
这个比值被称为公比，通常用字母r表示。
等比数列的一般形式可以表示为：a, ar, ar^2, ar^3, ...其中，a是首项，r是公比。
等比数列可以是无限数列，也可以是有限数列。
等比数列的性质包括：-公比：相邻两项之比是常数，即r。
-通项公式：等比数列的第n项可以通过通项公式来计算，通常表示为an = a * r^(n-1)。
-首项和末项：等比数列的首项是a，末项是an。
等比数列的应用包括：-数学问题：在数学问题中，等比数列可以用来建模和解决各种问题，如数学题目中的数列问题、等比数列求和等。
-经济学：在经济学中，等比数列可以用来描述复利的增长规律，如利率、投资回报率等的变化。
等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，它们具有特定的规律和性质。
专题四第1讲：等差数列、等比数列
专题四 数列第一讲 等差数列、等比数列考点一 等差、等比数列的基本运算1．等差数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝a 1＋(n －1)d ； S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q (q ≠1).[对点训练]1．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．30[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 5＋a 10＝12， 所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. [答案] C2．(2018·山东青岛模拟)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，则λ的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．25[解析]设公差为d ，由a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝3a 1＋9d ，9a 1＋9×8d2＝λa 1＋3λd ，解得λ＝18，故选A.[答案] A3．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，即q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12，故选C.[答案] C4．在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.[答案] 4或－4[快速审题] 看到求项、求和，想到求a 1，d ，q 及通项公式、前n 项和公式．等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．考点二 等差、等比数列的性质[对点训练]1．(2018·山西太原一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( )A ．3B ．9C ．18D ．27[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，故选D.[答案] D2．(2018·山东菏泽一模)在等比数列{a n }中，a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．2 B ．－ 2 C. 2 D ．－2或 2[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2a 16＝2，所以a 29＝2，则a 2a 16a 9＝a 9＝±2，故选D.[答案] D3．(2018·合肥模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝1，S 10＝3，则S 15的值是________．[解析]∵数列{a n}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，∴(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，4＝1×(S15－3)，得S15＝7.[答案]7[探究追问] 3题中条件不变，如何求S100的值？[解析]在等比数列{a n}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S5＝1，S10＝3，所以S100可表示为等比数列1,2,4，…的前20项和，故S100＝1×(1－220)1－2＝220－1.[答案]220－1[快速审题] 看到等差、等比数列，想到等差、等比数列项的性质、和的性质．等差(比)数列性质应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．考点三等差、等比数列的判定与证明1．证明数列{a n}是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明a n＋1－a n(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)．2．证明数列{a n}是等比数列的两种基本方法[解] (1)证明：由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2.等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式的特征，但不能作为证明方法．(2)a n ＋1a n＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．[对点训练]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10，故选B.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d ，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10，故选B.[答案] B2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 解法一：等差数列{a n }中，S 6＝(a 1＋a 6)×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.解法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C.[答案] C3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24，故选A.[答案] A4．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225f D.1227f[解析] 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D.[答案] D5．(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.[解析] 设等比数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意，∴q ≠1，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，∴a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案] 32高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在4～7题的位置或13～14题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主．热点课题10 数列中的最值问题[感悟体验]1．(2018·江西五校联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是( )A ．S 5B ．S 6C ．S 7D ．S 8 [解析] 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0， ∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5<0， ∴a 5<0，a 6>0，∴S 1、S 2、…、S 9中最小的是S 5，故选A. [答案] A2．(2018·山东青岛模拟)已知a n ＝n －2017n －2018(n ∈N *)，则在数列{a n }的前50项中，最小项和最大项分别是( )A．a1，a50B．a1，a44 C．a45，a50D．a44，a45[解析]a n＝n－2017n－2018＝n－2018＋2018－2017n－2018＝1＋2018－2017n－2018.结合函数y＝a＋cx－b(c>0)的图象，要使a n最大，则需n－2018最小且n－2018>0，∴当n＝45时，a n最大，当n＝44时，a n最小，故选D.[答案] D专题跟踪训练(十八)一、选择题1．(2018·长郡中学摸底)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＋a12－a8＝8，a10－a6＝4，则S23＝( )A．23 B．96 C．224 D．276[解析]设等差数列{a n}的公差为d，依题意得a4＋a12－a8＝2a8－a8＝a8＝8，a10－a6＝4d＝4，解得d＝1，所以a8＝a1＋7d＝a1＋7＝8，解得a1＝1，所以S23＝23×1＋23×222×1＝276，故选D.[答案] D2．已知数列{a n}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d为( ) A．2 B．3 C．4 D．5[解析]设{a n}的公比为q，由题意得2(a3＋4)＝a1＋1＋a5＋7⇒2a3＝a1＋a5⇒2q2＝1＋q4⇒q2＝1，即a1＝a3，d＝a3＋4－(a1＋1)＝4－1＝3，故选B.[答案] B3．等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5[解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项， 所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)， 故a 9＋a 11＝(a 5＋a 7)2a 1＋a 3＝428＝2；同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝(a 9＋a 11)2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3，故选C.[答案] C4．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪[1，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[解析] 因为等比数列{a n }中a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q .当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3； 当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2(－q )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. [答案] D5．(2018·江西七校联考)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝38n ＋142n ＋1(n ∈N *)，则a 6b 7＝( )A ．16 B.24215 C.43223 D.49427[解析] 令S n ＝38n 2＋14n ，T n ＝2n 2＋n ，∴a 6＝S 6－S 5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b 7＝T 7－T 6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴a 6b 7＝38×11＋142×13＋1＝43227＝16，故选A.[答案] A6．(2018·河南郑州二中期末)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2 D.92[解析] ∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1， ∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2.令t ＝n ＋1， 则2S n ＋16a n ＋3＝t ＋9t －2≥6－2＝4当且仅当t ＝3， 即n ＝2时，∴2S n ＋16a n ＋3的最小值为4，故选A.[答案] A 二、填空题7．(2018·福建四地六校联考)已知等差数列{a n }中，a 3＝π4，则cos(a 1＋a 2＋a 6)＝________.[解析] ∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 6＝a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝34π，∴cos(a 1＋a 2＋a 6)＝cos 34π＝－22.[答案] －228．(2018·山西四校联考)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________.[解析] 解法一：设数列{a n }的公比为q ，由已知得S 4S 2＝1＋a 3＋a 4a 1＋a 2＝5，即1＋q 2＝5，所以q 2＝4，S 8S 4＝1＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋q 4＝1＋16＝17.解法二：由等比数列的性质可知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，若设S 2＝a ，则S 4＝5a ，由(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)得S 6＝21a ，同理得S 8＝85a ， 所以S 8S 4＝85a5a＝17.[答案] 179．已知数列{x n }各项均为正整数，且满足x n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x n 2，x n 为偶数，x n ＋1，x n 为奇数，n ∈N *.若x 3＋x 4＝3，则x 1所有可能取值的集合为________．[解析] 由题意得x 3＝1，x 4＝2或x 3＝2，x 4＝1. 当x 3＝1时，x 2＝2，从而x 1＝1或4； 当x 3＝2时，x 2＝1或4，因此当x 2＝1时，x 1＝2，当x 2＝4时，x 1＝8或3. 综上，x 1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}． [答案] {1,2,3,4,8} 三、解答题10．(2018·沈阳市高三第一次质量监测)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5b 2＝8，解得q ＝2.因为b 1＝b 2q＝2，所以b n ＝b 1·q n －1＝2×2n －1＝2n .(2)由(1)可得，S n ＝n (2＋2n )2＋2(1－2n )1－2＝n 2＋n ＋2n ＋1－2.11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．[解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得 3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.12．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解] (1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n(a n －3n ＋21)＝－23b n ，b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，则b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．。
等差数列与等比数列性质总结
a1 q
qn
cqn
{an}为常数数列⇔q＝1； {an}为摆动数列⇔q<0．
{an}递增⇔
a1>0或 q>1
a1<0 {an}递减⇔ 0<q<1
a0<1>q0<点1击进或入aq相1><应10模块
知识梳理
（3）.等比数列前n项和公式
Sn a1 a2 a3 a4 ....... an2 an1 an ① 错位相 qSn a1q a2q a3q a4q ....... an2q an1q anq qSn a2 a3 a4 a5 ....... an1 an anq ② 减法 ①-② (1- q)Sn a1 anq
则Sm , S2m Sm , S3m S2m ,...... 成等差数列。
(3)中项比性质:等差数列anbn 中，Sn Tn 是其前n项和，
an S 2n1
bn
T2 n 1
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知识梳理
3.等差数列的性质
(4)奇数项和与偶数项和性质:等差数列an 中，奇数项有n+1项，
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上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
知识梳理
（2）.等差数列通项公式常用结论
结论1.等差数列{an}中,首项为a1，公差d an=am+(n-m)d (其中，m，n N*,n m)
结论2：等差数列通项公式 an － a1= (n－1)d函数性：
直线的一般形式： y kx b
a3 － a2=d， a4 …－…a3=d， an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
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一．课题：
二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n项和的公式，并能利用这些
知识解决有关问题，培养学生的化归能力．
三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n项和的公式的应用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n项和公式；
2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n项和公式；
3．等差中项和等比中项的概念．
（二）主要方法：
1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()adq来处理；
2．使用等比数列前n项和公式时，必须弄清公比q是否可能等于1还是必不等于1，如果不
能确定则需要讨论；
3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,adaad；若偶数个成等差数列
且和为定值时，可设中间两项为,adad，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设
元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．
4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．
（三）例题分析：
例1．（1）设数列{}na是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项
为 2
．
（2）已知等差数列{}na的公差0d，且139,,aaa成等比数列，则1392410aaaaaa1316．
例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的
和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．
解：设这四个数为：2(),,,adadaada，则2()16212adadaad
解得：48ad或96ad，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1．
例3．由正数组成的等比数列{}na，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，
第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}na的通项公式．
解：当1q时，得11211nana不成立，∴1q，
∴
221122331111(1)11(1)1111nn
aqaqqqqaqaqaqaq
由①得110q，代入②得110a，
∴21()10nna．
说明：用等比数列前n项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．
例4．已知等差数列110,116,122,，
①
②
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（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.
解：1106(1)6104nann，
（1）由4506104600n，得5882n，又*nN,
∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和58821()25131002nSaa．
（2）∵1106(1)nan，∴要使na能被5整除，只要1n能被5整除，即15nk，
∴51nk，∴585182k，∴1216k，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整
除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和
6181
5()26502aaS
．
五．课后作业：《高考A计划》考点20，智能训练5，6， 12，13，14，15．