第一章1.2.3空间中的垂直关系1教师版
高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系 知识精讲 人教实验版(B)
高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系知识精讲人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何复习：空间中的垂直关系二. 教学目的掌握空间中的垂直关系及其应用三. 知识分析【知识梳理】【空间中的垂直关系】1、空间任意直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90°，则称这两条直线互相垂直．2、直线与平面垂直（1）空间直线与平面垂直的定义：如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）⊥，直线AB叫做的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作ABα平面的垂线，平面α叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离．（2）直线与平面垂直的判定定理：定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质定理：定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直．3、平面与平面的垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作αβ⊥．（2）平面与平面垂直的判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．（3）平面与平面垂直的性质定理定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．★★几点说明★★1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程．2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。
高一第十二讲 空间中的垂直关系
第十二讲 空间中的垂直关系◎知识点再现：◎例题精讲：例1.下列说法不正确的是（ ）CA.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则αβ⊥B.若平面α内任一直线平行于平面β，则//αβC.若平面αβ⊥，任取直线l α⊄，则必有l β⊥D.若平面//αβ，任取直线l α⊄，则必有//l β 变式：设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ// 其中正确命题的序号是（ ）A A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 例2.已知ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，AE ⊥PB 于E ，EF ⊥PC 于F ，（１）求证：AF ⊥PC ；（２）若FG PC ⊥,交PD 于G 点，求证：AG ⊥PD变式：如下图所示，三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC,AB BC ⊥, （1）证明：SBC ∆是直角三角形 （2）若A E S B ⊥于E ，AF SC ⊥于F ，证明:EF SC ⊥例3.如图示，已知V 是△ABC 所在平面外一点，VN 垂直于平面ABC ，且垂足N 在△ABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，MDC CVN ∠=∠ 求证：VC ⊥平面AMB变式:在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AB,CD 的交点，（1）求证:1A F ⊥平面BED ；（2）若FG//AB ，求证：BE ⊥平面1B FGA B CS EF A B CDM NV例4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上,求证：平面AEC PDB ⊥平面；变式：在斜三棱柱111A B C ABC -中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面11BB C C ⊥底面ABC,(1)若D 是BC 的中点，求证：1AD CC ⊥; (2)过侧面11BB C C 的对角线1BC 的平面交侧棱于M ，若1AM MA =,求证：截面1MBC ⊥侧面11BB C C例5.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，oPAD 90=∠, 求证：⊥A P 平面ABCD ；变式:如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.自练天空1．已知,αβ表示平面，,m n 表示直线，下列 命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nB ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥C ．若,,//m n m n αβ⊥⊂，则//αβD ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥5.对于四面体ABCD ，给出下列四个命题： ①若,AB AC BD CD ==，则BC AD ⊥ ②若,AB CD AC BD ==，则BC AD ⊥ ③若,AB AC BC CD ⊥⊥，则BC AD ⊥ ④若,AB CD BD AC ⊥⊥，则BC AD ⊥ 其中正确的是1D 2C 3A 4②④5①④。
2020年北京空中课堂-高一数学(人教B版2019)-空间中的垂直关系 课件
简记：面面垂直，则线面垂直
图形：
c l
符号语言：c
l
c
.
c l
性质定理给出了面面垂直的一个必要条件
观察——猜想？
问题探究2：观察、思考
长方体的侧棱和底面垂直，那么如图，侧棱AA1 所在的一 个侧面AA1BB1和下底面是什么关系呢？
C1
B1 C
B
A1
D1
D A
问题探究2：猜想 C1
2.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
l
3.二面角的表示方法
二面角－ l－
二面角C－AB－ E
F
E
l
A
B
D
C
4.二面角平面角定义:
以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角，二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二 面角的大小等于它平面角大小
图形表示：
l
符号表示：
l l
小结：
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为“面面垂直 ，线面垂直”
平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.简记为“线 面垂直，面面垂直”
小结：
（面面垂直的充要条件）
3
我们身边的“垂直” 线面垂直关系 面面垂直关系
研究空间面面位置关系的思路：
研究空间面面位置关系的思路：
研究空间面面位置关系的思路：
研究空间线面位置关系的思路：
面面垂直定义：如果两个平面相 交所成的二面角是直二面角，那 么我们称这两个平面互相垂直.
空间中的垂直关系(一)
1.2.3 空间中的垂直关系(一)一、基础过关1． 下列命题中正确的个数是 ( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A ．0B ．1C ．2D ．32． 空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交 3． 若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥α⇒n⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n; ④ ⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n ⇒n⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B的任一点，则下列关系不正确的是 ( )A ．PA⊥BCB ．BC⊥平面PACC ．AC⊥PBD ．PC⊥BC5． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，H 是EF 的中点．现沿AE 、AF 、EF 把这个正方形折成一个几何体，使B 、C 、D 三点重合于点G ，则下列结论中成立的是________．(填序号)①AG⊥平面EFG ；②AH⊥平面EFG ；③GF⊥平面AEF ；④GH⊥平面AEF.6． 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．8．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ( )A．4 B．3 C．2 D．110．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．411．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．12．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC.三、探究与拓展13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC.答案1．B 2.C 3.C 4.C 5．① 6．90°7．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D.又∵CD⊥平面ADD 1A 1，∴CD⊥AD 1.∵A 1D∩CD＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC. 又∵MN⊥平面A 1DC ， ∴MN∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC. ∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON∥AM.又∵MN∥OA， ∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON＝AM.∵ON＝12AB ，∴AM＝12AB ， ∴M 是AB 的中点． 8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ，∴CD⊥PA. 又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ，∴CD⊥平面PAD ，∴CD⊥PD.(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG. 又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ， ∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG∥EF. ∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD， ∵CD⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩C D ＝D ，∴EF⊥平面PCD.9．A 10．A 11．612．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴SA⊥BC. 又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ，∴BC⊥平面SAB.又∵AQ ⊂平面SAB ， ∴BC⊥AQ. 又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC.(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ，∴SC⊥平面APQ.∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ⊥SC.13．证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC 1，得BC⊥平面ACC 1A 1.连接AC 1，则BC⊥AC 1.由已知，可知侧面ACC1A 1是正方形，所以A 1C⊥AC 1.又BC∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC.因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连接AB 1，则点M 是AB 1的中点．又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN∥AC 1. 故MN⊥平面A 1BC.。
人教B版高中必修二数学教学参考书电子版
第一章 立体几何初步
1.1空间几何体
1.1.1构成空间几何体的基本元素
1锥、圆台和球
1.1.4投影与直观图
1.1.5三视图
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.7柱、锥、台和球的体积
实习作业
1.2点、线、面之间的位置关系
1.2.1平面的基本性质与推论
1.2.2空间中的平行关系
1.2.3空间中的垂直关系
本章小结
阅读与欣赏
散发着数学芳香的碑文
第二章 平面解析几何初步
2.1平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1数轴上的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
2.2直线的方程
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
2.2.2直线方程的几种形式
2.2.3两条直线的位置关系
2.2.4点到直线的距离
2.3圆的方程
2.3.1圆的标准方程
2.3.2圆的一般方程
2.3.3直线与圆的位置关系
2.3.4圆与圆的位置关系
2.4空间直角坐标系
2.4.1空间直角坐标系
2.4.2空间两点的距离公式
本章小结
阅读与欣赏
笛卡儿
附录
部分中英文词汇对照表
后记
2014版高考数学一轮总复习 第49讲 空间中的垂直关系课件 文 新人教A版
直线和平面垂直的判定和性质
【例 1】如图，已知 PA 垂直于矩形 ABCD
所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，若 ∠PDA＝45° ，求证：MN⊥平面 PCD.
【分析】可考虑用线面垂直的判定定理来证明．
又因为 CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A， 所以 CD⊥平面 PAD，而 AE⊂平面 PAD， 所以 CD⊥AE. 又 CD∩PD＝D，所以 AE⊥平面 PCD， 所以 MN⊥平面 PCD.
连结 MC，由 Rt△BCM≌RtAPM 知，MC＝MP，所以 MN⊥PC. 因为 AB⊥MN，所以 MN⊥CD，所以 MN⊥平面 PCD， 所以平面 MNO⊥平面 PCD.
1.证明线面垂直的方法
1 线面垂直的定义：a与内任何直线
都垂直 a ； m、n ，m n A l ； l m，l n 3 判定定理2： ，a ；
以立体几何的定义、公理和定理为出 发点，认识和理解空间中线面垂直的 有关性质与判定定理；能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些有关空 间图形的垂直关系的简单命题．
1．直线与平面垂直
1 定义：如果直线l与平面内的每一条直线都垂
直，就说直线l与平面 互相垂直，记作① _____ . 特别提醒：若已知l ，则l垂直于平面内的所 有直线，即“线 面 线 线”．
判定
判定
5．面面垂直的性质定理是作辅助线 的一个重要依据，我们要作一个平面 的一条垂线，通常是先找这个平面的 一个垂面，在这个垂面中，作交形， PA⊥平面 ABCD， 且 下列结论中不正确的是( C ) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PB⊥BD D．PA⊥BD
5.如图所示，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45° ，∠BAD＝90° ，将△ABD 沿 BD 折起，使 平面 ABD⊥平面 BCD，构成三棱锥 A—BCD，则在三棱 锥 A—BCD 中，下列命题正确的是( A．平面 ABD⊥平面 ABC B．平面 ADC⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDC D．平面 ADC⊥平面 ABC )
2012-2013高中数学 1-2-3空间中的垂直关系(第三课时) 新人教B版必修2
2012-2013高一数学必修2（人教B版）第一章各节同步检测1-2-3空间中的垂直关系（第三课时）一、选择题1．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A．0条B．1条C．2条D．无数条[答案] A[解析] 假设平面α内存在一条直线l⊥β，则α⊥β，这与α与β不垂直矛盾，故平面α内不存在能与平面β垂直的直线．2．给出下列四个命题：①若直线l与平面α内无数条直线垂直，则直线l⊥平面α；②平面α与β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；③若直线l⊥平面α，则存在a⊂α，使l∥a；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析] 当l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l不一定与α垂直，①错误；当平面α与β分别过两条互相垂直的直线时，α，β可能垂直，也可能不垂直，②错误；根据直线与平面垂直的定义，知直线l⊥平面α时，l与α内的所有直线都垂直，不可能存在直线与l平行的情况，③错误；根据线面垂直的判定定理知④正确．选A.3．直线a和平面α内两条直线b、c都垂直，给出下列说法，正确的说法是( )①a∥α可能成立；②a⊥α；③平面α可能经过a；④a有可能与平面α相交．A．①②③④ B．③④C．①②④D．①③④[答案] D[解析] 如图所示，a∥α，b⊂α，c⊂α，a⊥b，a⊥c，故①正确，②不正确，故选D.4．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BC，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH的形状是( )A．平行四边形 B．长方形C ．菱形D ．正方形[答案] D[解析] 如图所示，∵E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF 綊12AC ，HG 綊12AC ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又EH ＝12BD ，BD ＝AC ，∴EH ＝EF ，∴四边形EFGH 是菱形．取BD 中点M ，连结AM 、CM ，∵AB＝AD ，∴AM ⊥BD ，又CB ＝CD ，∴CM ⊥BD ，又AM ∩CM ＝M ，∴BD ⊥平面ACM ， ∴BD ⊥AC .又EF ∥AC ，BD ∥EH ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是正方形．5．α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( ) A ．α∥β且γ∥ω B ．α∥β或γ∥ωC ．这四个平面中可能任意两个都不平行D ．这四个平面中至多有一对平面平行 [答案] B[解析] 设α∩β＝a .∵α⊥γ，β⊥γ.∴a ⊥γ. 同理a ⊥ω.∴γ∥ω；若α∥β，则γ与ω相交或平行． ∴α∥β或γ∥ω.6．设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是( )A ．过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B ．过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C ．过a 一定可以作一个平面与b 垂直D ．过a 一定可以作一个平面与b 平行 [答案] D[解析] A不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在；B不正确，若存在，则有a∥b，这与a、b是异面直线矛盾；C不正确，只有a、b垂直时，才能作出满足条件的平面．只有D正确．二、填空题7．给出下列四个命题：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．其中正确的是________．[答案] ④[解析] 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，②不对；当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对，故只有④对．8．平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________________．[答案] PO⊥平面ABCD[解析] 如图所示，∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴OA＝OC，又PA＝PC∴△POA≌△POC，∴∠POA＝∠POC＝90°，∴PO⊥AC.同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，∴PO⊥面ABCD.9．(2010·湖南文，13)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.[答案] 4[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×5×6×h ＝20，∴h ＝4 cm.10．已知：直线l 和平面α，β，且l ⊄α，l ⊄β，若从①l ⊥α，②α⊥β，③l ∥β中任取两个作为条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题：______________.[答案] ①③⇒②(答案不惟一)[解析] 如图所示，∵l ∥β，∴过直线l 作平面γ∩β＝a ，∴l ∥a ， ∵l ⊥α，∴a ⊥α，又a ⊂β，∴α⊥β. 三、解答题11．如右图所示，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知∠ABC ＝45°，SA ＝SB .求证：SA ⊥BC .[解析] 作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ，∵侧面SBC ⊥底面ABCD ，∴SO ⊥底面ABCD .∵SA＝SB，∴AO＝BO.又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，即AO⊥BO，又BC⊥SO，且SO∩OA＝O，∴BC⊥平面SOA，∴SA⊥BC.12．(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．[解析] (1)∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，又∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C∴平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．∵A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，∴A1B∥DE.又E是BC1的中点，∴D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.13．我国北方冬季种植蔬菜时要在温室里进行，如图，某蔬菜专业户要借助自家围墙修建一温室，温室由两墙面、地面和塑料薄膜四个面围成，已知：两墙的长度分别为a米和b 米，高为c米，假定两墙面、地面彼此的交线互相垂直．问：修建温室需要多少塑料薄膜？[解析] ∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝0，∴OC ⊥平面AOB ，∴OC ⊥AB .过点O 作OM ⊥AB 于M ，则AB ⊥平面COM ，∴AB ⊥CM .在Rt△AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝a 2＋b 2， ∴OM ＝OA ·OB AB ＝aba 2＋b2. 在Rt△COM 中，CM ＝OC 2＋OM 2＝a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a 2＋b 2.∴S △ABC ＝12AB ·CM ＝a 2b 2＋b 2＋c 2＋c 2a22.故修建温室需要塑料薄膜a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 22平方米．14．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．[解析] (1)设G 为AD 的中点，连结PG ， ∵△PAD 为正三角形，∴PG ⊥AD .在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD . 又BG ∩PG ＝G ，∴AD ⊥平面PGB . ∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥PB .(2)当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD . 取PC 的中点F ，连结DE 、EF 、DF ，在△PBC 中，EF ∥PB .在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，EF ∩DE ＝E ， ∴平面DEF ∥平面PGB ，由(1)得PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， ∴平面PGB ⊥平面ABCD ，∴平面DEF ⊥平面ABCD .15．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ∈CC 1，B 1E ⊥BC 1，AB ＝AD ，求证：AC 1⊥面B 1ED 1.[解析] ∵ABCD－A1B1C1D1为长方体，∴AB⊥平面BB1C1C，又∴B1E⊂平面BB1，C1C，∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，∴B1E⊥AC1，连结A1C1，∵AB＝AD，∴长方体上、下底面ABCD、A1B1C1D1为正方形．∴A1C1⊥B1D1.又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面B1ED1.。
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1．若ba、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。
4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ⇒a ∥b ；③α∥c ，β∥c ⇒α∥β； ④α∥r ，β∥r ⇒α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面．∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH面ABC ，GF面ABD ，由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ．例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.求证:MN ∥平面AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
人教A版数学空间向量与平行、垂直关系课件
方法二 设平面 BDE 的法向量 n1＝(x，y，z)． 易知B→D＝(－1,1,0)，B→E＝－12，12，12，
∴nn11⊥ ⊥BB→→DE，，
n1·B→D＝－x＋y＝0， 即n1·B→E＝－12x＋12y＋12z＝0.
令 x＝1，可得平面 BDE 的一个法向量为 n1＝(1,1,0)． ∵AS⊥底面 ABCD，∴平面 ABCD 的一个法向量为 n2＝A→S＝ (0,0,1)．
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 D－xyz，
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，
D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
则nn⊥⊥AA→→BC1， ⇒nn··AA→→BC1＝＝－2y2＋x＋2z2＝y＝0，0，
令 x＝1，可得平面 B1AC 的一个法向量为 n＝(1,1，－1)． 又E→F＝－n，∴E→F∥n， ∴EF⊥平面 B1AC.
方法归纳 (1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的 法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向 量垂直． (2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法 向量，再看它们的数量积是否为 0.
(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面 的法向量进行平行关系的证明.
跟踪训练 2 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD ＝3，AA1＝2，P，Q，R，S 分别是 AA1，D1C1，AB，CC1 的中点．
求证：PQ∥RS.
证明：法一：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz.
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究空间中点、直线、面以及它们之间的关系的数学学科。
在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行表示两条直线或者两个平面没有交点，而垂直则表示两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。
本文将详细介绍空间几何中平行和垂直的定义、性质以及对应的应用。
一、平行的定义与性质在空间几何中，平行是指在同一平面内没有交点的两条直线或者两个平面。
具体定义如下：定义1：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意点与直线m上的任意点之间的距离保持不变，那么直线l与直线m是平行的。
平行线具有以下性质：性质1：平行关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性：任意一条直线与自己平行。
对称性：如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l平行。
传递性：如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
性质2：平行线与交线的夹角为零。
性质3：平行线在同一平面上的投影线也是平行线。
性质4：平行线与同一平行线交割的两条直线也是平行线。
平行线在实际应用中有着广泛的应用，如建筑设计、地图制作、道路规划等。
二、垂直的定义与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。
具体定义如下：定义2：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意一点到直线m上的任意一点的连线垂直于直线l和直线m所在平面，那么直线l与直线m垂直。
垂直关系具有以下性质：性质1：垂直关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性：任意一条直线与自己垂直。
对称性：如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l垂直。
传递性：如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
性质2：直线与同一平面内的两条垂直线重合时，它与两条垂直线都垂直。
性质3：垂直平分线是垂直于线段且将线段平分的直线。
性质4：垂直于平面的直线，必与平面中任意一条直线垂直。
垂直关系在三维空间中的应用十分广泛，如建筑构造、植物生长、天文测量等。
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1.2.3 空间中的垂直关系(一)
一、基础过关
1． 下列命题中正确的个数是 ( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内
也可以有无数条直线与l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3
2． 空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 ( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
3． 若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ( )
①
m∥nm⊥α⇒n⊥α； ② m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③ m⊥αn∥α⇒m⊥n; ④
m∥α
m⊥n
⇒n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
4． 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5． 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD的中点，H是EF的中点．现沿AE、
AF、EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是
_____．(填序号)①AG⊥平面EFG； ②AH⊥平面EFG； ③GF⊥平面AEF； ④GH⊥平面AEF.
6． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN
是直角，则∠C1MN＝______.
7． 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥
平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点．
8． 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧
棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD.
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9． 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面
成等角，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；
③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O
为AB中点，则图中直角三角形的个数为______．
12．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂
足分别是P、Q，求证： (1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC.
三、探究与拓展
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，
B1C1的中点．
求证：MN⊥平面A1BC.
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答案
1．B 2.C 3.C 4.C
5．①
6．90°
7．证明 (1)∵ADD1A1为正方形， ∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC， ∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC. ∴ON綊12CD綊12AB，
∴ON∥AM.又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形， ∴ON＝AM.
∵ON＝12AB，∴AM＝12AB， ∴M是AB的中点．
8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G，连接AG，FG.
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
∴GF綊12CD， ∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形， ∴AG∥EF.
∵PA＝AD，G是PD的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D， ∴EF⊥平面PCD.
9．A 10．A 11．6
12．证明 (1)∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB.又∵AQ⊂平面SAB， ∴BC⊥AQ.
又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B， ∴AQ⊥平面SBC.
(2)∵AQ⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，∴AQ⊥SC.
又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，
∴SC⊥平面APQ.∵PQ⊂平面APQ，∴PQ⊥SC.
13．证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1.
连接AC1，则BC⊥AC1.
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.
又BC∩A1C＝C， 所以AC1⊥平面A1BC.
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，
则点M是AB1的中点． 又点N是B1C1的中点，
则MN是△AB1C1的中位线，
所以MN∥AC1. 故MN⊥平面A1BC.