07-08学年微积分(下)章乃器学院期末试卷B(附答案)
微积分下册期末试卷及答案
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13、由确定，求.
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14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值.
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15、计算.
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16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域.
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17、解微分方程.
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18、判别级数的敛散性.
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二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6、
的值为( ).
(A) (B) (C) (D)不存在
7、和在存在且连续是函数在点可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (C) 充分且必要的条件
(B) 充分非必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面和及柱面 所围的体积是( ). (A) (B) (C) (D)
， 于是
，所以是函数的极大值点，且
…（4分） 对
有
，
，
， 于是
，
不是函数的极值点。
…（6分）
5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资
料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间
的关系有如下的经验公式: .若提供的广告费用为万元,求相应的最优广
告策略.
的反函数为
。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式
(3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设
，则
， ，
， (3分)
(6分) 14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值. 解：
令 ,得 , , 为极小值点. (3分)
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
07-08(一)高等数学(上)期末试卷(B)
07-08(一)高等数学(上)期末试卷(B)课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级名称：姓名：111.lim某(1)某in某某某(1k某)m/某,某02.设函数f某在某0处连续，则a.某0a,3.若f(某)连续,则(5某某f(t)dt).某3in2某d某.4.45某2某21dyyln某的通解为______________________.d某某二、单项选择题（每小题3分，共15分）5.微分方程1.函数f(某)某co某().(A)在,内有界(B)在,内无界(D)当某时有有限的极限值(C)当某时为无穷大,某02.某0是函数f某1e1/某的().某00,(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)第二类间断点f2(某某)f2(某)().3.设函数f(某)可导,则lim某0某(A)0(B)2f(某)(C)2f(某)(D)2f(某)f(某)4.函数y2某33某212某的极小值点是().(A)某1(B)某2(C)某(D)某02y5.微分方程(1)d某某dy0是（）.某(A)可分离变量方程(B)一阶齐次方程(C)一阶线性方程(D)贝努利方程三、计算题（每小题7分，共49分）ablim1.求某02某某,(a0,b0).2某22.设y4某某4arcin某,求dy.23at某dyd2y1t23．已知参数形式的函数为，求，2.2d某d某y3at1t24.求函数y某ln某2的单调区间和极值.5.求d某某2某2(某0).某e某,某046.设函数f(某)1，计算f(某2)d某.1,1某01co某27.求微分方程(y3某y)y1满足初始条件y某00的特解.四、综合应用题（每小题8分，共16分）1.设圆柱体内接于半径为R的球,试求体积为最大的圆柱体的高.2.设平面图形D由曲线y某2,y某所围成，（1）求D的面积；（2）求D绕某轴旋转一周所生成的旋转体的体积V某.五、证明题（每小题5分，共5分）证明：设f(某)在0,1上可导,且f(1)0.证明:存在(0,1),使f()f()0.。
《微积分》期末考试试卷附答案
《微积分》期末考试试卷附答案一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a .3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=⎰xx dx 22cos sin .二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='.5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1、设x x f x x-=--422)2(,求)2(+x f .2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.微积分参考答案：一、填空1. 答案：)1ln(x -2. 答案：13. 答案：44. 答案：25. 答案：C x x +-cot tan二、选择1. A2. D3. B4. D5. B三、计算题1、设x x f x x -=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则 2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t ,于是 42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f x x x x x .2. 计算)1cos(lim n n n -+∞→. 答案：1 解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11cos lim )1cos(lim 11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n .3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， 而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→n n n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→n n n n n n n n .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 答案：1 解：x x x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→x x x x x x .。
2007-2008-2-《复变函数与积分变换A》期末考试题-b-参考答案
北 京 交 通 大 学2007-2008-2-《复变函数与积分变换A 》期末考试试卷(B)参考答案一．填空题（本题满分14分，每空1分），请将合适的答案填在空中.1．复数i i i z +-=2184，则=)Re(z _______；=)Im(z _______；=||z _______ =)arg(z ________________，复数z 的三角表达式为_____________________ 指数表达式为_______________________________________________________ 解：因为i i i i i i z 31414218-=+-=+-=所以，1)Re(=z ；3)Im(-=z ；10||=z ；3arctan )arg(-=z ， 复数z 的三角表达式为)]sin(arg )[cos(arg 10z i z +， 指数表达式为)arg(10z i e.2．方程083=+z 的所有根是2,1,0,28323==-=+k ez k iππ3．.,2,1,0,)1()]24(2[ln )1( ±±===++++k e ei k i i i iLn i ππ4．函数z ln 在复平面上的连续性为在除去原点和负实轴的平面上连续. 5．若幂级数∑∞=+1)(n nn i z c 在i z =处发散，则该级数在1=z 的敛敛性为发散6．映射ze w =将带形域43)Im(0π<<z 映照成角形域43)arg(0π<<z . 7．幂函数3z w =，把扇形域2||,3)arg(0<<<z z π映照为w 平面上的扇形域8||,)arg(0<<<z z π.8．在傅氏变换意义下，函数)(1t f 和)(2t f 的卷积)(*)(21t f t f 定义⎰+∞∞--τττd t ff )()(21.9．设)()(0t t t f -=δ，则)]([t f F =0t i eω-.二．判断下列命题的真假（本题满分10分，共有10道小题，每道小题1分），对的填“∨”，错的填“⨯”.（∨）1．指数函数ze 是以i π2为周期的周期函数. （⨯）2．正弦函数z sin 一定是有界函数. （⨯）3．奇点一定是孤立奇点.（⨯）4．)(z f 在0z 可导是)(z f 在0z 解析的充分条件.（∨）5．若u 和v 都是D 内的调和函数，且满足柯西-黎曼方程，则 iv u z f +=)(在区域D 内是解析函数.（⨯）6．若积分⎰=Cdz z f 0)(，C 是一条简单闭曲线，则)(z f 在C 内无奇点.（⨯）7．幂级数∑∞=1n nn z 的收敛半径为1，则在1||=z 上的点一定处处收敛.（⨯）8．函数y x v +=是y x u +=的共轭调和函数.（⨯）9．如果无穷远点∞是)(z f 的一阶极点，则0=z 是)1(zf 的一阶极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞.（⨯）10．映射2z w =在z 平面上每一点都具有伸缩率和旋转角的不变性.三．讨论函数33)1()(y i x z f -+=的可导性、解析性（8分）.解：设3x u =，3)1(y v -=，则v u ,处处可微且22)1(3,0,0,3y yvx v yu x x u --=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂但1,00)1()1(332222==⇒=-+⇒--=⇒∂∂=∂∂y x y x y x yv x u即仅在点)1,0(处满足柯西-黎曼方程，因此，33)1()(y i x z f -+=在点)1,0(处可导，但在整个复平面上不解析.四．在扩充复平面上找出函数23)(23+-+=z z iz z f 的孤立奇点并加以分类，若是极点，指出其阶（或级）数，最后分别计算在每个孤立奇点的留数（8分）.解：)2)(1(23)(323--+=+-+=z z iz z z i z z f所以，)(z f 共有两个一阶极点2,121==z z 和一个无穷远点∞.i i z i z z f z z f s z z --=-+=-+=-=→→1112lim )()1(lim ],[Re 3111i i z i z z f z z f s z z +=+=-+=-=→→8181lim )()2(lim ],[Re 32227)2311(lim 21]0,)21)(1(1[Re ]0,1)1([Re ],[Re ''230332-=+-+-=--+-=-=∞→z z iz z z z iz s zz f s f s z五．1.证明: 当C 为任何不通过原点的闭曲线时，⎰=Cdz z012；（3分）. 2. 沿怎样的简单闭曲线有⎰=++Cdz z z 0112；（3分）.3. 计算⎰--Cdz z z )3)(1(15，2|:|=z C .（3分）； 1. 证明：当C 不包含0=z 时，由柯西定理得，⎰=Cdz z 012； 当C 包含0=z 时，由高阶导数的柯西积分公式得，0)1(!121'2==⎰Ci dz z π 2. 当i z 23212,1±-=均不被简单曲线C 包围或全部被包围时，⎰=++Cdz z z 0112. 3.]]),[Re ]3,[([Re 2)3)(1(15∞+-=--⎰f s f s i dz z z Cπ121)02421(2])0,)31)(11(1[Re 2421(252ii z z z s i πππ-=+-=----=六．计算⎰Cdz z __，这里曲线C 为)11(12≤≤--+=x x i x z ，方向分别取逆时针和顺时针方向 （6分）.解：⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰⎰-，顺时针逆时针i ,__ππθθθi d e ie dz z C i i C七．将函数)(1)(i z z z f -=分别在圆环1||0<<z 与+∞<-<||1i z 内展成罗朗级数（8分）.解：（1）当1||0<<z 时，++++++=+++++=--•=-=--112221])()(1[)1(11)(1)(n n n iz i z i z z i i zi z i z zi iz i zi z z z f（2）当+∞<-<||0i z 时，+--+--+---=+--+--+---=-+•-=+-•-=•-=-=+24232222)()1()()()(1])()1()(1[)(111)(1)(1)(11)(1)(1)(n n nn ni z i i z i i z i i z i z i i z i i z i i z iz i i z i i z i z z i z i z z z f+--+--+--=-++--+--+--=-+nn nn i z i i z i i z i iz i iz i i z i i z i iz i )()1()(1)11()()1()(1112'2八．计算dz z z z ⎰=+2||651 （8分）. 解：原式=∑=+6165],1[Re 2k k z z z s i π iz z s i z z z s i z z s i ππππ2]0,)1(1[Re 2]0,1111[Re 2],1[Re 2626565=+=•+=∞+-= 九．计算θθθπd ⎰+202cos 45sin （8分）.解：设θi e z =，则izdzd =θ，iz z 21sin 2-=θ，z z 21cos 2+=θ原式dz z z z z i z ⎰=++-=1||2222)4104()1(2 dz z z z z i z ⎰=++-=1||2222)4104()1(2 在1||<z 内，有一个二阶极点01=z 和一个一阶极点512-=z ， 85]0),([Re -=z f s83]51),([Re =-z f s所以，原式4]}51,[Re ]0,[{Re 22ππ=-+=f s f s i i十．讨论将半径为1，圆心分别在0=z 和1=z 处的两圆的公共部分在分式线性映照)2321()2321(i z i z --+-=ω下的图形 （8分）. 解：两圆1||=z 和1|1|=-z 的交点为i z 23212,1±=，两圆在2,1z 的夹角分别为32π， 该分式线性映照将1z 映成原点，而把2z 映成∞，且0|1'≠z ω，因此，分式线性映照在1z 是共形映照，所给的区域经映照后映照成以原点为顶点的角形区域，张角等于32π. 另外，为了确定角形域的位置，取1|21-==z ω，所以，所得的角形域如右图所示：十一. 求函数0,)(||>=-ββt e t f 的傅氏变换 （6分）.解：dt e e F t i t ⎰+∞∞---=ωβω||)(22)(0)(211ωββωβωβωβωβ+=++-=+=⎰⎰+∞+-∞--i i dte dt et i ti十二.用拉普拉斯变换和它的逆变换求下列一阶常系数非齐次常微分方程的解： 0)0(,2'=+=-y t e y y t （6分）.解：作Laplace 变换，记Y(s)=L[y(t)], 则 2121)()(ss s Y s sY +-=- 1)(112111111121)1(1)2)(1(1)(2222--=---=---+---=-+--=t e t y ss s s s s s s s s s s s Y t。
07-08学年数值分析试卷
六、证明题（本大题共6分）
列出函数 f ( x) x (k 0,1,, n)关于互异节点xi (i 0,1,, n) 的拉格朗日插值公式，并证明下列等式成立：
k
x j j i i j 1 i 0 0, j
n n
证明：1）由拉格朗日插值公式
pn ( x) li ( x) f ( xi ) (
x4 ( x 1)(x 2)(x 4)(x 0) 5x3 2x2 8x
4、设f(x)=2x3+9，则差商f(1,2,3,4)= 2
1 5、对于给定的a>0，应用牛顿法导出求 而不使用开方运算与 a
除法运算的迭代公式
a 3 3 xk 1 xk xk 2 2
1 1 显然当 x 0,2时， ( x) 0,2 且成立 ( x ) 2
因此，上述迭代过程收敛于方程 故有
x 2 x 1 0 的正根。
1 5 x 2
07-08学年数值分析试卷
一、填空（本大题共8小题，每空2分，共20分） 1、设x1=857.900和x2=0.08421都是经过四舍五入得到的近似 值，则它们分别具有 6 位和 4 位有效数字。 2、求解常微分方程初值问题的显式欧拉格式具有 1 阶方法。
3、设f(x)=x4，写出以－1，0，2，4为节点的三次插值多项式
八、证明题（本大题共6分） 基于方程求根的迭代原理证明：
1 5 1 1 1 2
证明：首先建立迭代公式，令 则有迭代公式：
xk 1 1 1
xk 1 1 xk (k 0,1,2) x0 0
相应迭代函数是
( x) 1 x
2007—2008第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案
武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算lim n →∞-2、计算0ln(1)limcos 1x x x x →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d xxe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。
7、已知2200d cos d yx te t t t =⎰⎰，求xy d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)xy x =-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积；2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。
五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,f b f f b b ξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算3arctan limln(12)x x x x →-+ 2、计算12ln(1)d (2)x x x +-⎰3、计算积分：21arctanx d xx +∞⎰4、已知两曲线()y f x =与1x y xy e ++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出 此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos tx t uduy t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰，试求：d d y x，22d |d t y x的值。
清华大学微积分b期末考试试题及答案
清华大学微积分b期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的导数是：A. \( 3x^2 - 12x + 11 \)B. \( x^3 - 6x^2 + 11 \)C. \( 3x^2 - 12x + 6 \)D. \( x^3 - 6x + 11 \)答案：A2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 1B. 0C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案：A3. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线方程是：A. \( y = 2x - 1 \)B. \( y = 2x + 1 \)C. \( y = x + 1 \)D. \( y = x - 1 \)答案：A4. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的不定积分是：A. \( x\ln(x) \)B. \( x\ln(x) + x \)C. \( x\ln(x) + 1 \)D. \( x\ln(x) - x \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。
答案：\( \frac{2}{x^3} \)2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是 \( \_\_\_\_\_ \)。
答案：\( \frac{1}{3} \)3. 曲线 \( y = e^x \) 与 \( y = \ln(x) \) 的交点坐标是\( \_\_\_\_\_ \)。
答案：\( (1, 1) \)4. 函数 \( y = \tan(x) \) 在 \( x = \frac{\pi}{4} \) 处的导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。
07-08高等数学(2)AB班期末考试答案A卷08.7.7考试
07-08高等数学(2)AB班期末考试答案A卷08.7.7考试考试日期:2008年7月7日星期一 高等数学(2)期末 试卷答案及评分标准 120分钟 第 2 页 共 11 页中国民航大学 高等数学(2)期末试卷(A B 班)答案及评分标准一. 选择题 (每题3分,共15分) 1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x yx xy y x f 在原点（0，0）处间断，(A) 函数),(y x f 在原点无定义； (B) 函数),(y x f 在原点无极限；(C) 在原点极限存在，但该点无定义； (D) 在原考试日期:2008年7月7日星期一高等数学(2)期末试卷答案及评分标准120分钟第3 页共11 页考试日期:2008年7月7日星期一 高等数学(2)期末 试卷答案及评分标准 120分钟 第 4 页 共 11 页(C) 2； (D) 4。
选D 。
5. 若连续函数)(x f 满足2ln )2(20+=⎰dt tf x f x ）（，则)(x f 等于 [ ](A) 2ln 2x e ； (B) 2ln xe ； (C) 2ln +x e ； (D) 2ln 2+x e 。
选A 。
二. 填空题 (每题3分,共15分)1. 设()u f y z +=，其中()u f y x u ,22-=为可微函数，则=∂∂+∂∂yz x x z y x 。
2．设()v u f z ,=可微，其中yxv xy u ==,，=dz dy vf y x u f x dx v f y u f y)()1(2∂∂-∂∂+∂∂+∂∂ 。
3．曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与x 轴所考试日期:2008年7月7日星期一 高等数学(2)期末 试卷答案及评分标准 120分钟 第 5 页 共 11 页夹锐角=α4π。
4．交换二次积分的次序：=⎰⎰2022),(yy dx y x f dy ⎰⎰42),(xx dy y x f dx 。
0708B答案
2007-2008学年第二学期线性代数试卷B 参考答案和评分标准一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1. D. 2. C. 3．D. 4．B. 5. B 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）1. 1. 2．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos . 3、r n -. 4．15. 5．11t -<<. 三、（本题10分）计算4阶行列式1122334400000000a b a b D b a b a =解：00000000332214433221a b b a b b a a b b a a D -= ………………………………（3分） 142323142323()()a a a a b b bb a a b b =---………………………………….…（6分） ))((32324141b b a a b b a a --=……………………………………………..（10分）四、（本题10分）解矩阵方程B X AX +=2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=410110004A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321163B .解. 因为2002011012A E ⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………….…..（3分）求得其逆矩阵为()11022021011A E -⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭…………………………….…（7分） 于是所求的矩阵()B I A X 12--= =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2314323……………………………（10分）五、（本题12分） 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解(1) B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11 …………………（2分） 所以原方程组等价于 12322334111222x x x x x x x x ⎧=-++⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩………………………………（5分）取231,0x x ==得141,02x x =-=;………………………………………….…（7分）取230,1x x ==得141,02x x ==.………………………………………………（9分）因此通解为121234111222100010000x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(k 1, k 2为任意常数)。
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浙江工商大学章乃器学院《微积分（下）》课程考试试卷 适用专业：章乃器学院各专业
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浙江工商大学章乃器学院2007/2008学年第二学期期末考试试卷（B）
课程名称: 微积分（下） 考试方式: 闭卷 完成时限: 120分钟
班级名称: 学 号: 姓 名:_____________
题号 一 二 三 四 五 六 总分
分值 16 14 28 21 16 5 100
得分
阅卷人
一、填空题（每小题2分,共16分）
1. 设 yxz2arcsin，则 )1,1(xz 1 / 2 .
2. e2dln1xxx = 1 。
3. 已知102d)()(xxfxxxf，则 )(xfy 在 ]1,0[ 上的定积分为 2 / 3 .
4. 设 ),(yxu 有一阶偏导数，且 xyyxux),(，222),(xxxu，则 ),(yxuy= 222312yx .
5. 累次积分 xdyyxfdx011),( 交换积分次序后为 110101),(),(yydxyxfdydxyxfdy .
6. 函数项级数 1)1(nnxnen 的收敛区域为 ]0,( .
7. 函数 )21ln()(xxf 在0x处的幂级数展开式为 nnnnxn112)1( .
8. 微分方程 xyyx 的通解为 )ln(xCxy .
二、单项选择题（每小题2分,共14分）
1. 二元极限 62300limyxyxyx 的值 （ D ）。
A. 等于零 B. 等于 1 C. 等于 D. 不存在，也不为
2. 二元函数 544),(22yxyxyxf （ A ）.
A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值
C. 有极大值，也有极小值 D. 既无极大值，也无极小值
3. 已知两个广义积分 0)5.2(dxexp 和 102pxdx 均收敛，则 p 的取值范围是（ C ） .
A. 5.2p B. 3p C. 5.22p D. 35.2p
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4. 设 )(xf 为连续函数，则 12222)(yxdyxf = ( B ).
A 10)(drrrf B 10)(drrf C 10)(2drrrf D 10)(2drrf .
5. 若级数 naxnn)(1 在 点2x处收敛，则 a 可以取值的范围是（ B ）.
A. 31a B. 31a C. 32a D. 32a
6.
若级数 )(1nnnvu 收敛，则下列结论正确的是（ C ）.
A1nnu与 1nnv 均收敛
B
1nnu与
1n
n
v
至少有一个收敛
C
1n
n
u
与 1nnv 或者同时收敛，或者同时发散
D
111)(nnnnnn
n
vuvu
7.
xxeyyy2
4'4''
有形如（ C ）的特解。
A. xebax2)( B. xebxax22)( C. xebxax223)( D.
xeax23
三、计算题(一)（写出必要的解题步骤,每小题7分,共28分）
1． 计算 xxxd1arctan10. ( 4 )
2．计算二重积分 Ddyx)(2 ，其中 D 是由 yyx222 的上半圆周、直线 1x、直线
1x
和 x 轴所围的区域 .
( 3785 )
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3．设方程 22yxxzez 确定隐函数 ),(yxzz ，试求（1） )1,0(yz ；
（2） )1.0(2yxz. ( 2,2 )
4. 求解微分方程 xyyyarctan1'2 满足初始条件 0)1(y 的特解 .
12arctanarctanyeyx
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四、计算题（二）（写出必要的解题步骤,每小题7分,共21分）
1．设 0x ,且 xxf)( ，220,,0cos)(xxxxg ，求 xdttxgtfxI0)()()( .
( 220,,12cos1)(xxxxxI )
2．求出级数 12)1()1(nnnn 的和。 ( 232ln-1 )
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3．求可导函数 )(xf,使它满足方程 ]d)(1[)(02xxttfexf .( 1e2e2xx )
五、应用题（每小题8分,共16分）
1．设点 ),(baP )0(a 在抛物线 12xy 上，P 点处的切线与 x 轴交于点 Q ，从 P
点作 x 轴的垂线，垂足为 A；求（1）a 的值，使三角形 PQA 的面积最小；（2）此时，三角形
PQA
绕 y 轴旋转而得的旋转体体积 V。
31a ， 2710V
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2. 某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎。设轮胎的数量为 x ，价格为 1p ，车架的数量为
y
，价格为2p，又设需求函数 125.063px 与 23160py，成本函数为
90),(22yxyxyxC
，求该厂获最大利润时的产量与价格。
9,27yx ； 153,14421pp
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六、证明题（5分）
若 )(xf 在 ]1,0[ 上可导，0)1(f ， 1)(10dxxf ,试证: 至少存在一点 )1,0(，
使得02)('f .
]1,0[,2)()(xxxfxg ； 2)1(g ；2]2)([)()(1010dxxxfdxxgg
02)(')('fg