2013东北师大附中高考第二轮复习 ：专题三《三角函数(下)》
2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31
2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量312024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31三角函数与平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学二轮复习中的重点。
学好这一部分知识点，对于提高数学成绩至关重要。
本文将重点介绍2024届高三数学(理)二轮复习专题集训中的专题3三角函数与平面向量的内容，包括三角函数的基本概念、性质和一些重要公式，以及平面向量的基本概念、运算法则和应用等内容。
首先，我们来介绍三角函数的基本概念和性质。
三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们代表了角度和直角三角形边之间的关系。
正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值。
三角函数的周期都是360度或2π弧度，可以通过函数图像的变化规律和一些基本特点进行分析和运用。
在学习三角函数的过程中，我们要掌握一些基本的三角函数公式，例如，和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
这些公式可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，转化为更简单的形式，从而更好地解决问题。
接下来，我们介绍平面向量的基本概念和运算法则。
平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
平面向量有加法和乘法（数量乘法和点乘）两种运算法则。
向量加法满足交换律、结合律和有零向量的存在性质，可以通过平行四边形法则和三角法则进行计算。
向量乘法有数量乘法和点乘法。
数量乘法是将向量与一个实数相乘，使向量的长度发生变化，方向与原来一致（或相反）。
点乘法是将两个向量的对应分量相乘再相加，得到的是一个实数，表示了两个向量之间的夹角关系。
最后，我们要了解平面向量的应用。
平面向量在几何、力学等领域中有着广泛的应用。
例如，可以使用向量来表示平面上的几何图形，计算它们的面积、周长等属性。
还可以使用向量进行力的合成、分解和计算，探究力的平衡、作用和应用等。
此外，还可以利用向量的性质解决一些几何问题，例如直线的垂直、平行关系，点和直线的位置关系等。
高三数学二轮专题复习 三角函数
三角函数二轮复习建议三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．第1~2课时 三角函数的图象和性质基本题型一：求三角函数的周期例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的最小正周期为 ；图象的对称中心是 ；对称轴方程是 ；当x ∈[0，π2]时，函数的值域是 ． 说明：1．函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图像与参数A ，w ，ϕ的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一部分图象．例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．说明：方法一 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 方法二 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 基本策略：根据函数的图像先确定振幅A ，再确定周期T ．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f (x )的形式，再分别按照f (x )→f (x －a )，f (x )→f (ωx )，f (x )→f (x )＋k ，f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式．例3 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？说明：对于此类以图形为背景的应用题，重点应放在变量的选择上．例4 已知函数f (x )＝2sin x (sin x －cos x )＋2，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）求函数在区间[π8，3π4]上的最大值和最小值； （3）若f (α)＝3－425，0＜α＜π2，求cos2α的值． 说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．基本策略：利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx ＋φ看作是一个角的大小，结合y ＝sin x 的单调区间和ωx ＋φ关于x 的单调性进行判断．第3~4课时 三角恒等变换例1 cos(－600°)＝ ．说明：利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值，也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值．例2 若3cosα＋4sinα＝5(0＜α＜π)，求tan(α＋π4)的值． 说明：1．重视最基本方法的运用，即把cosα，sinα当成未知数，通过解方程组求得cosα，Csinα；2．在三角函数求值中要注意两点：①根据角之间的关系选择适当的三角变换；②根据角所在象限确定三角函数值的符号，要加以说明（题目条件中已经给定，角的范围太大，需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定）．例3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为 ． 说明：利用二倍角公式对f (x )进行化简，转化为用基本不等式求解的最值问题．例4 已知tan(π4＋α)＝12． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．基本策略：在化简过程中，通过变角、变名、变次，换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数．第5~6课时 解三角形 例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3．（1）求△ABC 的面积；（2）若c ＝1，求a 的值．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3． （1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．说明：1．根据条件，结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．2．向量中有关概念的理解，公式的正确使用．例3 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ⊥CD ，∠DBC ＝60°，AB ＝23，BD ＝4，求CD 的长．说明：这种以图形为载体的三角函数求值问题（与解三角形联系）在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换进行求解．例4 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o 的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．说明基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，在求值时应强调三角函数值的符号由角所在象限确定．4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．5．本单元二轮专题和课时建议：AO D B C H A O D B C A O D B C。
1.3 三角函数的计算(课件)-2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)
建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
二、自主合作，探究新知
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
根据正弦的定义，得sinβ= ，即sin
∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m).
42°＝ ，
E
二、自主合作，探究新知
探究二：利用计算器由三角函数值求角度
想一想：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修
建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在Rt△ABC中，sinA=
屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994.
和
键.
也有的计算器是
先输入角度再按
函数名称键.
二、自主合作，探究新知
3.求 tan30°36'.
方法一： 第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用
键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
方法二： 第一步：按计算器
北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
3
三角函数的计算
学习目标
1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
（难点）
复习回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
三
角函
角α
三角函数
2024届高考二轮复习数学课件(新高考新教材)：三角函数的图象与性质
f(π-x)=sin(π-x)+cos(π-x)sin(π-x)=sin x-cos xsin x≠f(x),因此 f(x)的图象关于直
∴f
4π
3
13π
+
6
=f
π
3
π
2- 6
.
=0,f
7π
-4
=f
π
4
4
13π π
T=3 × 12 - 3
π
=2,∴φ=- +2kπ,k∈Z.
6
=1.
=π, 故 ω=2.
由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得 f(x)<0 或 f(x)>1.
结合题中图象可知,满足 f(x)>1 的 x 离 y 轴最近的正数取值区间为
A.-4
B.4
1
C.3
)
1
D.
3
答案 C
解析 ∵cos
则 tan
π
-
4
π
+
2
=
=2cos(π-α),∴-sin α=-2cos α,即 tan α=2,
1-tan 1
=- .
1+tan 3
规律方法点的坐标与三角函数值的关系
根据三角函数的定义,可以由给定角的终边上一点的坐标,求出该角的各个
三角函数值;反之,当给定
y=sin(ωx-φ).
3.三角函数的周期性
2π
(1)f(x)=Asin(ωx+φ)和 f(x)=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期为||.
(江西版)2013年高考数学总复习第四章4.4三角函数的图像与性质理北师大版(含详解)
三、解答题
10． 解： f ( x) ＝ sin 2 x＋
3(2cos 2x－ 1) ＋ 1＝ sin 2 x＋
3cos 2 x＋ 1＝ 2sin
2x＋
π 3
＋ 1.
(1) 函数 f ( x) 的最小正周期为
T＝
2π 2
＝
π
.
π
π
π
(2) 由 2kπ － 2 ≤２x＋ 3 ≤２kπ ＋ 2 ，
5π
π
y＝ 2sin
3x
π 6
≤
x
≤5π6
和函数
y＝ 2 的图像，如
4π
图，根据图像 的对称性，所求的面积即为图中所示阴影部分的面积，为
3.
-3-
5．A
解析：
∵y＝ 2sin(
ω x＋ θ) 为偶函数，
0＜ θ＜ π ，∴
θ＝
π 2
.
∵图像与直线 y＝ 2 的两个交点的横坐标为 ∴2π ＝ π ，ω ＝ 2. 故选 A.
8．已知函数 y＝ sin ω x( ω ＞ 0) 在一个周期内的图像如图所示，要得到函数
y＝ sin
1π
x＋ 2 12
的图像，则需将函数
y＝ sin ω x 的图像向 __________平移 __________ 个单位长度．
-1-
9．水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为
h，梯形面积为 S，为了使渠道的渗水
2cos 2x≠ f ( x) ，故③不 正确．故
选 B. 二、填空题
7．(1,3)
3sin x， x∈[0 ， π ] ， 解析： f ( x) ＝sin x＋2|sin x| ＝
－sin x， x∈ π ，2π ].
专题5.3 三角函数的图象与性质(原卷版)
专题5.3 三角函数的图象与性质题型一 三角函数的值域题型一 三角函数的值域例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求2()2cos 2sin 3R f x x x x =--+∈（）的最小值是_____例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为______．练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()14sin sin f x x x =+的最小值为（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数π()cos (sin ),[0,]4f x x x x x =∈的最大值与最小值的和为（ ）A B C D ．3练习3．（2022·高三课时练习）函数y ＝tan(π－x )，x ∈(,)43ππ-的值域为________．练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知()23sin 8cos2xf x x =-，若()()f x f θ≤恒成立，则sin θ=（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin2cos2y x x =+B ．sin cos y x x =+C ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线π6x =-对称 C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称，则ϕ可以为5π6练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数44()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．函数()f x 的一条对称轴为π4x =B ．函数()f x 的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的最小正周期为π2D ．若函数3()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的最大值为2练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数()π2sin 2f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下结论中正确．．的是（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．直线 π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是(练习8．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）已知函数π()cos 25x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的图象关于2π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线8π5x =对称 C ．3π5f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 为偶函数练习9．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫ ⎪⎝⎭在[]π,π-的图象如图所示．则（1）()f x 的最小正周期为__________； （2）距离y 轴最近的对称轴方程__________．练习10．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数题型三 解三角不等式例5．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）不等式tan 1x >-的解集是________．例6．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)用五点法画出函数()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，并写出()f x 的最小正周期；(2)1≤.练习11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦练习12．（2023春·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）已知函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()f x >x 的取值范围.练习13．（2021春·高三课时练习）解不等式1tan x ≤≤－练习14．（2023春·辽宁铁岭·高三铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知某地某天从6时到22时的温度变换近似地满足函数π510sin π2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15C 到25C 之间可以存活则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？练习15．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）函数lgsin y x =_________．题型四 由三角函数的值域（最值）求参数例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()11sin 06f x a x x a =-≠，且()7π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则()f x =______例8．（2023春·上海青浦·高三上海市朱家角中学校考期中）设函数sin y x =定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值为______练习16．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期中）已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.练习17．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数()cos f x x x =-的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的取值范围是（ ） A ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2433ππ,⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习18．（2023·上海·高三专题练习）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.练习19．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为ϕ的一个取值为___________.（写出一个即可）练习20．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．πD ．2π题型五 根据单调求参数例9．（2021·高一课时练习）若不等式tan x a >在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭- 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1a > B ．1a ≤ C ．1a <- D ．1a ≤-例10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数()()()cos 202πf x x ϕϕ=+≤<在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ）． A ．4ππ3ϕ≤≤ B ．π4π23ϕ≤≤ C ．4π2π3ϕ≤≤ D ．4π3π32ϕ≤≤练习21．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间3π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，则ω的取值范围是______．练习22．（2023春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）（多选）若函数cos2y x =与函数()sin 2y x ϕ=+在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）A ．π6B ．3π4C ．4π3-D ．4π3练习23．（2023春·四川成都·高三成都市第二十中学校校考阶段练习）已知函数 tan y x ω=在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数， 则（ ） A ．01ω<< B ．10ω-≤< C ．1ω≥ D ．1ω≤-练习24．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是______.练习25．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知1ω>，函数π()cos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)当2ω=时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，求ω的取值范围.题型六 根据对称求参数例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=_________.例12．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=++的图象的一条对称轴方程是π4x =-，则ϕ的最小正值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2练习26．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数()ππsin cos sin sin 36f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于坐标原点对称，则ϕ的可能取值为（ ） A ．π3-B ．π6-C ．π3D ．2π3练习27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，若对于任意实数x ，都有π()()3f x f x =--，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．4D ．8练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知函数()2s πsin co 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)设[0,π)θ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(2)若()f x 在区间,π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()0f =π6x =为()f x 图象的一条对称轴，则ω的最小值为______．练习30．（2022·高三课时练习）已知()()3sin f x x ωϕ=+对任意x 都有()()33ππ+=-f x f x ，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭等于________．题型七 由图象确定三角函数解析式例13．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()7ππ2cos 123f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭例14．（2022春·福建·高二统考学业考试）（多选）函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的解析式是()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的最小正周期是πD ．函数()f x 的一个对称中心是π,06⎛⎫⎪⎝⎭练习31．（2023春·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为()1,0P -，Q ，R ，且线段RQ 的中点M 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2f -等于（ ）A ．1B ．－1CD ．练习32．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部图象如图所示，则ω=______，ϕ=______；练习33．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图像关于直线5π12x =-对称 C ．将函数2cos2y x =的图像向右平移π12个单位长度得到函数()f x 的图像D ．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-练习34．（湖南省部分名校联盟2023届高三5月冲刺压轴大联考数学试题）（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式是()sin 0,0,0,2y A t A πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．该简谐运动的初相为π6B ．该简谐运动的频率为12πC ．前6秒该质点的位移为12mmD ．当42π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，位移y 随着时间t 的增大而增大练习35．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则 7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2+BC ．D ．题型八 描述三角函数的变换过程例15．（2022春·福建·高二统考学业考试）为了得到函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把曲线()cos f x x =上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B ．向右平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C ．向左平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12D ．向右平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12例16．（北京市2023届高三高考模拟预测考试数学试题）要得到cos 2xy =的图像，只要将sin 2xy =的图像（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π2个单位C ．向左平移π个单位D ．向右平移π个单位练习36．（2021·高三课时练习）函数ππ()2sin(),0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示， 为了得到这个函数的图象，只要将2sin y x =的图象上所有的点 （ ）A ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变练习37．（2023春·江西赣州·高三校考期中）（多选）要得到函数y x =的图象，只需将函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．先向左平移π8个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．先向左平移π4个单位长度，再横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度D ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度练习38．（2023春·贵州·高三校联考期中）为了得到函数πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要将函数πcos 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π8个单位长度 B ．向右平移5π8个单位长度 C ．向左平移5π16个单位长度 D ．向右平移5π16个单位长度练习39．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()cos g x x =图象上的所有点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度练习40．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中（多选））已知函数()()2sin (π0,)f x x ωϕϕω><=+的部分图象如图所示，则()f x 的图象可以由函数()2sin g x x =的图象（ ）A ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移11π12个单位长度得到 B ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移π12个单位长度得到 C ．先向右平移π12个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到 D ．先向右平移π6个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到题型九 求图象变换前（后）的函数解析式例17．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数cos2y x =的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为x =（ ） A ．π80B ．π60C ．π40D ．π20例18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数()πsin 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到函数()g x 的图象，若存在()0,πθ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x ∈R 恒成立，则θ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6练习41．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数()y f x =图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ） A ．15πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭练习42．（2023·辽宁·校联考三模）（多选）已知函数()()cos 202f x x πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴为8x π=，先将函数()f x 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的图像在以下哪些区间上单调递减（ ） A ．[],2ππ B ．[]2,ππ--C ．79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,42ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦练习43．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考期中）（多选）将函数π3sin()3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ） A ．函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线5π12x =对称练习44．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知π3是函数()sin cos f x x a x =+的一个零点，将函数()2y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的表达式为（ ） A ．7π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2cos 2y x =-D ．2cos2y x =。
高三数学第二轮三角函数专题复习资料
高三数学第二轮三角函数专题复习资料【基础自测】1．已知21cos cos ,31sin sin =--=-βαβα，求)cos(βα-的值. 2．已知1312)4sin(,53)sin(),,43(,=--=+∈πββαππβα，求)4cos(πα+的值. 3．求000098tan 22tan 98tan 22tan 3--⋅ 的值. 4．已知,0cos 2sin =+αα求下列各式的值 （1）αααα22cos 5cos sin 3sin 2-- (2)ααααcos sin cos sin -+5．已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 3cos sin 2sin 22 (1) 求函数的单调递增区间（2）该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 考点一：三角函数的概念例1．若角α的终边经过点),2,1(-P 则tan 2α的值为 . 考点二：同角三角函数的关系例2．若cos 2sin αα+=则tan α=( )（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 例3．α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ）A ．15B ．15-C ．513D ．513-考点三： 诱导公式 例4．若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 .例5．计算00000015sin 8sin 7cos 15cos 8sin 7sin -+例6．计算)10tan 31(50sin 00+ 考点四：三角函数的图象和性质例7．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<例8．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）例9．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 例10．已知⎪⎭⎫⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x .（Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值. 例11．已知函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．例12．已知函数()tan(2),4f x x π=+，（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小． 考点五：三角恒等变换例13．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0)(πx x f 在的值域. 例14．已知向量a ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ＝(2sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2π]．（1）求ba + （2）设函数b a x f +=)(+b a⋅，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。
[VIP专享]2013东北师大附中高考第二轮复习 ：专题三《三角函数(上)》
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用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利
3.三角函数线
y 轴负半轴。
2α 终边在第一或第二象限或 y 轴正半轴。
若 α 终边在第二象限则 终边在第一或第三象限；2α 终边在第三或第四象限或
2
y 轴负半轴。
若 α 终边在第三象限则 终边在第二或第四象限；2α 终边在第一或第二象限或
2
y 轴正半轴。
若 α 终边在第四象限则 终边在第二或第四象限；2α 终边在第三或第四象限或
画正弦函数、余弦函数和函数 y= Asin(ωx+ )的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际
问题。 4.能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。 5.了解三角函数的积化和差与和差化积公式，不要求记忆。 6.能正确地运用上述公式化简三角函数，求某些角的三角函数值，证明较简单的三
角恒等式以及解决一些简单的实际问题。 7.掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程，并能运用它们解斜三角形。 8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用
各种三角函数值都相等。
1) B2Ak+222+1=2+15+c51mc+=m52=1c1+1+m1+2++2+12+=21=21+1+2+21+2+2+22+32k+1+2
高三数学二轮复习专题 三角函数(公开课)
高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)一、基础知识回顾三角函数是高中数学中的重要内容之一。
在这个专题中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及相互之间的关系。
1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三角函数的概念。
对于一个角A，定义了三个比值：正弦函数sinA=对边/斜边，余弦函数cosA=邻边/斜边，正切函数tanA=对边/邻边。
2. 三角函数的周期性我们知道，三角函数具有周期性。
例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
这意味着在一个周期内，三角函数的值是重复的。
这种周期性使得三角函数在实际问题中具有广泛的应用。
3. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质。
例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即f(x)=f(-x)；正切函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。
此外，三角函数还具有增减性和界值性质。
二、三角函数的图像与性质下面我们将进一步讨论三角函数的图像与性质。
通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解三角函数的特点和性质。
1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振动范围在[-1,1]之间。
正弦函数的图像关于y轴对称，且在0点处取得最小值。
我们可以通过调整系数来改变正弦函数的振幅和周期。
2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振动范围也在[-1,1]之间。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像关于x轴对称，且在0点处取得最大值。
同样地，我们可以通过系数调整来改变余弦函数的振幅和周期。
3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的曲线，其值在整个实数轴上变化。
正切函数在某些点上没有定义，这些点是函数的奇点。
我们可以通过系数调整来改变正切函数的振幅和周期。
三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用。
在这一部分，我们将介绍一些常见的三角函数应用，并通过例题来加深理解。
全国百强校吉林省东北师范大学附属中学2013届高考数学第二轮复习导学案：第9讲三角函数的图象与性质 (1)
第9讲 三角函数的图象与性质一、复习目标1、 掌握三角函数的图象，根据图象理解三角函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性，并能根据图象掌握正弦函数x y sin =的图象到）（ϕω+=x A y sin 的图象的变换原理.2、 利用图象和数形结合的思想方法解决与三角函数有关的问题.二、课前热身1、函数x y sin =与x y tan =的图象在区间），（ππ2-上的交点有 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、若函数2cos 2sin 2cos 211xx a x x f +-=）（ （a ∈R ）的最大值为3，则a 的值为 （ ） （A ）3 （B ）-3 （C ）±3 （D ）无解 3、对于函数x x y 44cos sin +=有 （ ）（A ）周期为π，值域为[0，1] （B ）周期为2π，值域为[21，1]（C ）周期为4π，值域为[21，1] （D ）周期为2π，值域为[0，1]4、将函数）（62sin π-=x y 的图象上所有点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到图象对应的函数解析式为 . 5、设θ是三角形的一个内角，且51cos sin =+θθ，则方程1cos sin 22=-θθy x 表示的图形为 .三、例题探究例1.函数）（3sin2πω-=x y 的周期是T ，且2＜T ＜4.（1） 求正整数ω；（2） 设1ω是ω中的最小值，用“五点作图法”作函数）（3sin21πω-=x y 的图象，并说明图象可由函数x y sin =的图象经过怎样的变换而得到.例2.已知函数23cos sin cos 22-+=x x b x a x f ）（，且230=）（f ，214=）（πf . （1）求）（x f 的最小正周期； （2）求）（x f 的单调减区间；（3）函数）（x f 的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？例 3.已知函数)0,0)(sin(πφωφω≤≤<+=x x f ）（是R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ω和φ的值。
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2013东北师大附中高考第二轮复习 ：专题三《三角函数（下）》【例题解析】例1 完成下列选择题（1）已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B.若α、β是第二象限，则tan α>tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β（3）函数y=sin(2x+3π)的图象是由函数y=sin2x 的图像（ ）A.向左平移3π单位 B.向右平移6π单位 C.向左平移65π单位D.向右平移65π单位解析 （1）当α，β∈（0，2π）时，由sin α>sin β得α>β，此时cos α<cos β；当α,β∈(2π,π)时，由sin α>sin β得,α<β，此时tan α<tan β;当α，β∈（π，23π）时，由sin α>sin β得，α<β，此时cos α<cos β；而对于α，β是第四象限角，由sin α>sin β⇒sin 2α<sin 2β⇒1－cos 2α<1－cos 2β⇒cos 2α>cos 2β⇒α2cos 1<β2cos1⇒tan 2α<tan 2β ∵tan α<0,tan β<0⇒tan α>tan β。
故答案选D 。
（3）y=sin2x 图像向左平移3π单位后得:y=sin2(x+3π)=sin(2x+32π);y=sin2x 图像，向右平移`6π单位后得y=sin2(x －`6π)=sin(2x －`3π);y=sin2x 图象向左平移`65π单位后得：y=sin2(x+`65π)=sin(2x+35π)=sin(2x －3π);y=sin2x 图像向右平移`65π单位后得：y=sin2(x－`65π)=sin(2x －35π)=sin(2x+3π)，故答案选D 。
例2 已知函数f(x)=tan(3πsinx)（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan32π在区间（－π，π）上解的个数。
解 （1）∵－1≤sinx ≤1 ∴ － 3π≤3πsinx ≤3π。
又函数y=tanx 在x=k π+2π(k ∈Z)处无定义，且 （－2π，2π）[－3π,3π]（－π, π），∴令3πsinx=±2π，则sinx=±23解之得：x=k π±3π(k ∈Z)∴f(x)的定义域是A={x|x ∈R ，且x ≠k π±3π，k ∈Z}∵tanx 在（－2π，2π）内的值域为（－∞，+∞），而当x ∈A 时，函数y=13πsinx的值域B 满足（－2π，2π） B∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。
（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=3π和x=32π处无定义。
设t=3πsinx ，则当x ∈[0,3π)∪（3π，32π）∪（32π，π）时，t ∈[0, 2π)∪(2π,3π]，且以t 为自变量的函数y=tant 在区间（0，2π），（2π，3π]上分别单调递增。
又∵当x ∈[0，3π]时，函数t=3πsinx 单调递增，且t ∈[0,2π)当x ∈（3π，2π]时，函数t=3πsinx 单调递增，且t ∈（2π,3π]当x ∈[2π，32π)时，函数t=3πsinx 单调递减，且t ∈（2π,3π]当x ∈（32π，π）时，函数t=3πsinx 单调递减，且t ∈（0，2π）∴f(x)=tan(13πsinx)在区间[0，3π),（3π,2π]上分别是单调递增函数；在),32(),32,2[ππππ上是单调递减函数。
又f(x)是奇函数，所以区间（－3π，0]，[－2π，－3π)也是f(x)的单调递增区间]2,32(),32,[ππππ----是f(x)的递减区间。
故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－2π，－3π)，（－3π，3π），（3π，2π]单调递减区间为),32(),32,32(),32,[ππππππ---。
（3）由f(x)=tan 32π得：tan(3πsinx)=tan(32π)⇔3πsinx=k π+32π （k ∈Z ）⇔sinx=k 3+36(k ∈Z)①又∵－1≤sinx ≤1，∴323323-≤≤--k∴k=0或k= －1当k=0时，从①得方程sinx=36当k=1时，从①得方程sinx= －3+36显然方程sinx=36,sinx= －3+36，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tan32π在区间（－π，π）上共有4个解。
注 本题是正弦函数与正切函数的复合。
（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=3πsinx 的值域与y=tanx 的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。
如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。
例3 化简下列各式(1)cos 3A+cos 3(32π+A)+cos 3(32π－A);(2)α2sin 1+α4sin 1+α8sin 1+…+α64sin 1。
解 （1）由三倍角公式cos3α=4cos 3α－3cos α得：原式=41cos3A+43cosA+41cos3（32π+A ）+43cos （32ππ+A ）+41cos3（32π－A ）+43cos （32π－A ）=41[cos3A+cos3A+cos3A]+43[cosA+cos(32π+A)+cos(32π－A)]∵cosA+cos(32π+A)+cos(32π－A)=cosA+2cos 32πcosA=0 ∴原式=43cos3A (2) ∵α2sin 1=ααα2sin sin sin ⋅=αααααα2sin sin sin 2cos cos 2sin ⋅⋅-⋅=cot α－cot2α ∴α2sin 1+α4sin 1+α8sin 1+…+α64sin 1=cot α－cot2α+cot2α－cot4α+cot4α－cot8α+…+cot32α－cot64α =cot α－cot64α=ααα64sin sin 63sin ∙注 本题（1）主要是降幂，通过降幂达到化简的目的。
（2）利用裂项法求和。
三角函数中最好记住一些简单的常用结论。
如：α2sin 1=cot α－cot2α,cosA+cos （32π+A ）+cos （32π－A ）=0,cos 2A+cos 2(32π+A)+cos 2(32π–A)=23等。
这样既可提高运算速度又可产生联想的火花。
例4 已知:sin 3α+cos 3α=1，求sin α+cos α; sin 4α+cos 4α;sin 6α+cos 6α的值。
解法一 令sin α+cos α=t ，则sin α²cos α=212-t∴sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α－sin α²cos α+cos 2α) =t ²(1－212-t )=1，得：t 3－3t+2=0⇒(t －1)2²(t+2)=0∵t ≠－2 ∴t=sin α+cos α=1，且sin α²cos α=212-t =0。
∴sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2 – 2sin 2α²cos 2α=1－2²0=1 sin 6α+cos 6α=(sin 2α+cos 2α)(sin 4α－sin 2α²cos 2α+cos 4α)=1解法二 ∵sin 3α≤sin 2α,cos 3α≤cos 2α ∴sin 3α+cos 3α≤sin 2α+cos 2α=1等号当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==ααααcos cos sin sin 33时成立，⇒⎩⎨⎧==1cos 0sin αα或⎩⎨⎧==1sin 0cos αα∴sin α+cos α=sin 4α+cos 4α=sin 6α+cos 6α=1注 （1）凡是遇到sinx+cosx 与sinx ²cosx 类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t ，得sinx ²cosx=212-t 。
（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。
（3）本题还可推广到一般情形：若k ≥2且sin 2k －1α+cos 2k －1α=1，则sin α=1，cos α=0或sin α=0,cos α=1，若sin 2k α+cos 2k α=1，则sin α=±1，cos α=0或sin α=0,cos α=±1。
例5 （1）已知sin(4π+α)²sin(4π－α)=61, α∈(2π,π)，求sin4α；（2）已知 cos(x+4π)=53,45π<x<47π，求xxx tan 1sin22sin 2-+的值。
解 （1）∵α+4π+4π－α=2π∴sin(4π－α)=cos(4π+α)∴sin(4π+α)²sin(4π－α)=sin(4π+α)²cos(4π+α)=21sin(2π+2α)= 21cos2α=61又∵π<2α<2π,cos2α=31,∴sin2α= －322∴sin4α=2sin2α²cos2α= －924本题也可以这样解： sin(4π+α)²sin(4π－α)=（22sin α+22cos α）(22cos α－22sin α)=21cos 2α－21sin 2α=21cos2α=61也可以用积化和差公式：sin(4π+α)²sin(4π－α)= 21 (cos2α－cos 2π)= 21cos2α=61（2）法一:由x+4π∈(23π,2π)知sin(x+4π)= －54∴cosx=cos(x+4π－4π)=cos(x+4π)²cos4π+sin(x+4π)²sin4π=1032－1042= －102由cosx<0可知，45π<x<23π，于是sinx= －1072,tan α=7∴原式=71)2107(2)2107()102(22--⋅+-⋅-⋅= －7528法二：原式=xx x x x sin cos )sin (cos cos sin 2-+α=)4cos(2)4sin(22sin ππ++⋅x x x=－cos(2x+2π)tan(x+4π)=[1－2cos 2(x+4π)]tan(x+4π)而cos(x+4π)=53,tan(x+4π)= －34，代入得：原式= －7528注 三角函数求值，重视与角的关系，如4π+x 与4π－x 互余（广义）,2α=α+β+α－β等。