高三数学(理)二轮复习(通用版)课余自主加餐训练“12 4”限时提速练(三)含解析[原创精品]
高考数学二轮复习自主加餐的3大题型3个附加题综合仿真练四理含解析0522364.doc
3个附加题综合仿真练(四)(理科)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R . (1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y .因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤230 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －102 ， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 404 .设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12 0 14 .B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cosθ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0， 所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .将直线l的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ， 即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．解：因为a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以由柯西不等式得(a －b ＋c )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·[12＋(－1)2＋12]＝3， 因为|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立， 所以|x －1|＋|x ＋1|≥3.当x <－1时，－2x ≥3，即x ≤－32；当－1≤x ≤1时，2≥3不成立； 当x >1时，2x ≥3，即x ≥32.综上，实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3.D 是线段BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2)求二面角B 1A 1D C 1的余弦值．解：因为在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以分别以AB ，AC ，AA 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0，3)，C 1(0，4,3)， 因为D 是BC 的中点， 所以D (1，2,0)，(1)因为A 1C 1―→＝(0,4,0)，A 1D ―→＝(1,2，－3)， 设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1―→＝0，n 1·A 1D ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝0，z 1＝1，所以平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(3,0,1)，而DB 1―→＝(1，－2,3)，设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n 1，DB 1―→〉|＝|n 1·DB 1―→||n 1|·|DB 1―→|＝|3＋3|10×14＝33535，所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535.(2) A 1B 1―→＝(2,0,0)，DB 1―→＝(1，－2,3)， 设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B 1―→＝0，n 2·DB 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，所以平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(0,3,2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝210×13＝13065，故结合图象知二面角B 1A 1D C 1的余弦值13065. 3．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高考数学二轮复习自主加餐的3大题型3个附加题综合仿真练一理含解析
3个附加题综合仿真练(一)(理科)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B . 解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 11 3＝2×3－1×1＝5,所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35 －15－15 25， 又AC ＝B ，所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 －15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35 45－15－35. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程．解：法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ，又因为点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4在圆C 上， 所以32＝a cos π4，解得a ＝6. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.法二：点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4的直角坐标为(3,3)， 因为圆C 过点(0,0)，(3,3)，所以圆心C 在直线为x ＋y －3＝0上．又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9.所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z. 证明：因为x ，y ，z 都是正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z. 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 由于x ，y ，z 不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z. 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP ―→·ST ―→＝0.设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM ―→与NQ ―→共线．解：(1)设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3,0)，所以OP ―→＝(x ，y )，ST ―→＝(4，－y )．因为OP ―→·ST ―→＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x .所以曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为直线PQ 过点(1,0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0. 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M (2m 2＋1,2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1,0)，所以SM ―→＝(2m 2＋2,2m －y 1)，NQ ―→＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2).因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0.所以向量SM ―→与NQ ―→共线．3．一条直路上依次有2n ＋1棵树，分别为T 1，T 2，…，T 2n ＋1(n 为给定的正整数)，一个醉汉从中间位置的树T n ＋1出发，并按以下规律在这些树之间随机游走n 分钟：当他某一分钟末在树T i (2≤i ≤2n )位置时，下一分钟末他分别有14，12，14的概率到达T i －1，T i ，T i ＋1的位置． (1)求该醉汉第n 分钟末处在树T i (1≤i ≤2n ＋1)位置的概率；(2)设相邻2棵树之间的距离为1个单位长度，试求该醉汉第n 分钟末所在位置与起始位置(即树T n ＋1)之间的距离的数学期望(用关于n 的最简形式表示)．解：(1)不妨假设2n ＋1棵树T 1，T 2，…，T 2n ＋1从左向右排列，每2棵树的间距为1个单位长度．因为该醉汉下一分钟末分别有14，12，14的概率到达T i －1，T i ，T i ＋1的位置， 所以该醉汉将以12的概率向左或向右走． 我们规定，事件“以12的概率向左或向右走0.5个单位长度”为一次“随机游走”， 故原问题等价于求该醉汉从树T n ＋1位置出发，经过2n 次随机游走后处在树T i 位置的概率为P i .对某个i (1≤i ≤2n ＋1)，设从T n ＋1出发，经过2n 次随机游走到达T i 的全过程中，向右走0.5个单位长度和向左走0.5个单位长度分别有k 次和2n －k 次，则n ＋1＋k －n －k 2＝i ，解得k ＝i －1，即在2n 次中有i －1次向右游走，2n －(i－1)次向左游走，而这样的情形共C i －12n 种，故所求的概率P i ＝C i －12n 22n (1≤i ≤2n ＋1)． (2)对i ＝1,2，…，2n ＋1，树T i 与T n ＋1相距|n ＋1－i |个单位长度，而该醉汉到树T i的概率为P i ，故所求的数学期望E ＝∑i ＝12n ＋1|n ＋1－i |C i －12n 22n . 而∑i ＝12n ＋1|n ＋1－i |Ci －12n ＝∑j ＝02n |n －j |C j 2n ＝2∑j ＝0n(n －j )C j 2n ＝2∑j ＝0n n C j 2n －2∑j ＝0n j C j 2n＝2n ∑j ＝0nC j 2n －2∑j ＝1n 2n C j －12n －1＝2n ×12(C n 2n ＋∑j ＝02n C j 2n )－4n ∑j ＝0n －1C j 2n －1 ＝n (C n 2n ＋22n)－4n ×12∑j ＝02n －1C j 2n －1 ＝n (C n 2n ＋22n )－2n ·22n －1＝n C n 2n ，因此E ＝n C n 2n 22n .。
高三数学二轮复习课余自主加餐训练“12+4”限时提速练(八)理
“12＋4”限时提速练(八)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |－1≤log 2 016x ≤1}，B ＝{y |y ＝2x＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2 016，0] B ．[0，2 016] C ．(2，2 016] D ．(－∞，2 016] 2．“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为( )A ．∀x ∈R ，2x －12x ≥1B ．∀x ∈R ，2x－12x ≤1C ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0＞1D ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥13．已知i 是虚数单位，复数z ＝a －i1－i (a ∈R )，若|z |＝⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，则a ＝( )A ．±1B ．1C ．－1D ．±124.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )A ．20B ．48 3C ．48＋8 3D ．8＋ 35．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6(x ∈R )，把函数f (x )的图象向右平移10π3个单位长度得函数g (x )的图象，则下面结论正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为5πB ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．函数g (x )在区间[π，2π]上是增函数D ．函数g (x )是奇函数6．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤2 015?B ．n ≤2 016?C ．n ＜2 014?D ．n ＜2 016?8．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，＝113，则∠BAD 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π2 D.3π49．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0，则z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为( )A ．10B ．64C ．1 024D ．2 04810.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B 是双曲线的右顶点，A 是其虚轴的端点，如图所示．若S △ABF 2＝14S △AOB ，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为( )A.54B.247 C ．－2124 D.25511．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝( )A.32n 2－12nB.32n 2＋12n C ．3n 2－2n D.92n 2－32n12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －1－1，x ＞1，2－e x ，x ≤1，若函数h (x )＝f (x )－mx －2有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－6－42，0)∪(0，＋∞)B ．(－6＋42，0)∪(0，＋∞)C ．(－6＋42，0)D ．(－6－42，－6＋42)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为________．14.如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB ＝________．15．在正三棱锥P ABC 中，M 是PC 的中点，且AM ⊥PB ，AB ＝22，则正三棱锥P ABC 的外接球的表面积为________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ＋12sin 2B ＝1，0＜B＜π2，若||＝3，则16bac的最小值为________．答 案一、选择题1．解析：选C 由已知得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12 016≤x ≤2 016，B ＝{y |y ＞2}，所以A ∩B ＝(2，2 016]．2．解析：选D 由全称命题的否定是特称命题可得“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为“∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥1”．3．解析：选A 因为|z|＝⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，所以|z |＝⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋1πx π0＝1，因为z＝a －i 1－i ＝（a －i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋a 2＋a －12i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＝1，解得a ＝±1.4.解析：选C 因为侧(左)视图中等边三角形的高为23，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×12×4×23＝48＋8 3.5．解析：选C 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6＝sin(15x ＋π6)，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10π3＋π6＝sin(15x －π2)＝－cos 15x ，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π15＝10π，故A 错误；函数g (x )为偶函数，故D 错误；g (x )图象的对称轴为x ＝5k π(k ∈Z )，故函数g (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，B 错误；函数g (x )的单调递增区间为[10k π，10k π＋5π](k ∈Z )，故函数g (x )在区间[π，2π]上为增函数，故选C.6．解析：选D 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cosx (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 7．解析：选B 通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n ＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n ≤2 016？”，选B.8．9．解析：选C 因为z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝22x －y，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令u ＝2x －y ，当直线2x －y ＝0平移到经过点C 时，u 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6，即C (2，－6)，即u max ＝2×2－(－6)＝10，所以z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为210＝1 024，选C.10.解析：选B 因为S △ABF 2＝14S △AOB ，所以12(c －a )b ＝14×12ab ，即c ＝54a ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＝a 2＋b 2，所以b 2a 2＝916，即b a ＝34.设双曲线的一条渐近线y ＝34x 与x 轴正方向的夹角为θ，所以tan θ＝34，所以tan 2θ＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为247.选B.11．解析：选A 由题意，当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＝k ，所以＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n .12．解析：选B 函数h (x )＝f (x )－mx －2有两个零点等价于方程f (x )－mx －2＝0有两个不同的解，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f (x )的图象，如图，根据题意，当直线y ＝mx ＋2与曲线y＝x ＋1x －1－1＝2x －1相切时，联立方程，消去y 可得，mx ＋2＝2x －1，整理得mx 2＋(2－m )x －4＝0，由Δ＝(2－m )2＋16m ＝0，解得m ＝－6±42，要使y ＝f (x )与y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，结合图象分析可知，实数m 的取值范围是(－6＋42，0)∪(0，＋∞)．二、填空题13．解析：因为幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，所以16＝4a，即a ＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 8，T r ＋1＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－r ·x －r 2＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－3r 2，令8－3r 2＝2，解得r ＝4，所以T 4＋1＝(－1)4×24×C 48×x 2＝1 120x 2，即⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为1120. 答案：1 12014.解析：因为点A 到抛物线C 的准线的距离为|AN |＋p 2，点A 到焦点F 的距离为|AB |＋p2，所以|AN |＝|AB |，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°.答案：30°15．解析：因为三棱锥P ABC 为正三棱锥，取AC 的中点N ，连接PN ，BN ，易证AC ⊥平面PBN ，所以PB ⊥AC ，又AM ⊥PB ，AM ∩AC ＝A ，所以PB ⊥平面PAC ，所以PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，易证PA ，PB ，PC 两两垂直，又AB ＝22，所以PA ＝PB ＝PC ＝2，设三棱锥P ABC 外接球的半径为R ，则(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案：12π16．解析：因为cos 2B ＋12sin 2B ＝1，所以12sin 2B ＝sin 2B ，即sin B cos B ＝sin 2B ，因为sin B ≠0，所以tan B ＝1，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4.因为||＝3，所以||＝3，即b ＝3，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得9＝a 2＋c 2－2ac .由基本不等式可知9＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，即ac ≤92(2＋2)，当且仅当⎩⎨⎧a ＝c ，9＝a 2＋c 2－2ac ，即a 2＝c 2＝9（2＋2）2时等号成立，故16b ac ≥16×39（2＋2）2＝163(2－2)．16（2－2）答案：3。
高三数学(理)二轮专题复习训练：12专题十二专题冲刺训练.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、选择题1．(2014·四川卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，223D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤223，1 解析：由题意可得，直线OP 与平面A 1BD 所成的角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤∠AOA 1，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤∠C 1OA 1，π2.不妨取AB ＝2.在Rt △AOA 1中，sin ∠AOA 1＝AA 1A 1O ＝222＋（2）2＝63. sin ∠C 1OA 1＝sin(π－2∠AOA 1)＝sin 2∠AOA 1＝2sin ∠AOA 1cos ∠AOA 1＝2×63×33＝223>63，又sin π2＝1，∴sin α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，1.答案：B2．(2015·黄冈模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角的大小为( )A.π6B.π4 C.π3 D.π2解析：取B 1C 1的中点D ，连接AD ，A 1D ，∵BB 1∥AA 1，∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角等于BB 1与平面AB 1C 1所成的角．∵侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形， ∴三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，则B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1D ，∴平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1， ∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角为∠A 1AD ，∵AA 1＝3，A 1D ＝3，∴tan ∠A 1AD ＝33，∴∠A 1AD ＝π6， ∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.故选A.答案：A3．(2014·河南二模)如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD →·PB 1→的最小值为( )A.52 B ．－14 C.14 D ．－52 解析：建立如图所示的直角坐标系，则D (1，0，2)，B 1(0，1，3)，设P (0，0，z )，则PD →＝(1，0，2－z )，PB 1→＝(0，1，3－z )， ∴PD →·PB 1→＝0＋0＋(2－z )(3－z )＝⎝⎛⎭⎪⎫z －522－14，故当z ＝52时，PD →·PB 1→取得最小值为－14.答案：B4．(2014·仙游县模拟)已知正四棱锥O －ABCD 中，OA ＝AB ，则OA 与底面ABCD 所成角的正弦值等于( )A.12B.33C.22D.13解析：设O 在底面ABCD 中的射影为O ′，则O ′为底面ABCD 的中心，O ′A ＝22AB .∵OA ＝AB ，∴OO ′＝22AB ，∴OA 与底面ABCD 所成角的正弦值等于22. 答案：C5．(2014·嘉兴一模)如图1，在等腰△ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A ′－BCDE .若A ′O ⊥平面BCDE ，则A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.22D.24 解析：取DE 中点H ，则OH ⊥OB .以O 为坐标原点，OH 、OB 、OA ′分别为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图．在等腰△ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点，∴OH ＝1，DH ＝2，DO ＝5，AD ＝22， ∴A ′(0，0，3)，D (1，－2，0)， ∴A ′D →＝(1，－2，－3)． ∵平面A ′BC 的法向量n ＝(1，0，0)， 设A ′D 与平面A ′BC 所成角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈A ′D →，n 〉|＝18＝24.答案：D二、填空题6．(2015·苏州模拟)已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为______．解析：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，相关各点的坐标为G (0，0，2)， F (4，2，0)，E (2，4，0)，C (0，0，0)，则CG→＝(0，0，2)，GF →＝(4，2，－2)，GE →＝(2，4，－2)． 设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧GF →·n ＝0，GE →·n ＝0，得平面GEF 的一个法向量为n ＝(1，1，3)，所以点C 到平面GEF 的距离d ＝|n ·CG →||n |＝61111.答案：611117．(2015·浙江卷)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是______．解析：连接ND ，取ND 的中点O ，连接OC ，OM ，图略. 由题可知MO ∥AN ，则异面直线AN ，CM 所成的角即为MO 与CM 所成的角，即∠CMO .根据题目条件可得AN ＝CM ＝22， 则有MO ＝2，OC ＝3，由余弦定理可得cos ∠CMO ＝MC 2＋MO 2－OC 22MC ·MO ＝78.答案：788．(2013·北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析：如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1， 则CC 1∥EF ，又EF ⊂平面D 1EF ，CC 1⊄平面D 1EF ， ∴CC 1∥平面D 1EF .∴直线C 1C 上任一点到平面D 1EF 的距离是两条异面直线D 1E 与CC 1的距离．过点C 1作C 1M ⊥D 1F ， 易知平面D 1EF ⊥平面A 1B 1C 1D 1. ∴C 1M ⊥平面D 1EF ，那么C 1M 为异面直线D 1E 与CC 1的距离，即点P 到直线CC 1的距离的最小值．在Rt △D 1C 1F 中，C 1M ·D 1F ＝D 1C 1·C 1F ， 得C 1M ＝2×122＋12＝255.∴点P 到直线CC 1的距离的最小值为255. 答案：2559．(2015·四川卷)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为______．解析：由题意得AQ ⊥平面ABCD 且AB ⊥AD ，如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AQ 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则E (1，0，0)，F (2，1，0)，设M (0，y ，2)(0≤y ≤2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪EM →·AF →|EM →|·|AF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪（－1，y ，2）·（2，1，0）y 2＋5·5 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －25（y 2＋5）＝（y －2）25（y 2＋5）＝15·（y －2）2（y －2）2＋4（y －2）＋9.令y －2＝t (－2≤t ≤0)， 得cos θ＝15·t 2t 2＋4t ＋9＝15·19t 2＋4t ＋1＝15·1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＋232＋59， 故当t ＝－2时，cos θ取得最大值25. 答案：25 三、解答题10．(2014·长郡模拟)如图，l 1、l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM ＝MB ＝MN.(1)证明AC ⊥NB ；(2)若∠ACB ＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值． 解析：(1)由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN ∩l 1＝M ， 可得l 2⊥平面ABN .由已知MN ⊥l 1，AM ＝MB ＝MN ， 可知AN ＝NB 且AN ⊥NB .又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，∴AC ⊥NB . (2)易知Rt △CAN ≌Rt △CBN ，∴AC ＝BC ， 又已知∠ACB ＝60°，因此△ABC 为正三角形．∴CM ＝32AB ， 而MN ＝12AB ，∴CN ＝22AB ，∴NC ＝NA ＝NB ，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连接BH ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角． 在Rt △NHB 中，cos ∠NBH ＝HB NB ＝33AB22AB＝63.11．(2015·安徽卷)如图所示，在多面体A 1B 1D 1－DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F .(1)证明：EF ∥B 1C ；(2)求二面角E －A 1D －B 1的余弦值．解析：(1)证明：由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面A 1DE ，B 1C ⊄平面A 1DE ，于是B 1C ∥平面A 1DE .又B 1C ⊂平面B 1CD 1，平面A 1DE ∩平面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C .(2)因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD .以A 为原点，分别以AB→，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为(0.5，0.5，1)．设平面A 1DE 的法向量n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该平面上向量A 1E →＝(0.5，0.5，0)，，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧0.5r 1＋0.5s 1＝0，s 1－t 1＝0，因为(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1)． 设平面A 1B 1CD 的法向量n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该平面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1)．所以结合图形知二面角E －A 1D －B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23×2＝63. 12．(2014·陕西卷)如图1，四面体ABCD 及其三视图(如图2所示)，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 的夹角θ的正弦值．图1图2解析：(1)证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD⊥底面BDC.∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH＝EF，AD⊂平面ABD，∴AD∥EF.同理，有AD∥GH.∴EF∥GH.∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH＝FG，BC⊂平面BDC，∴BC∥FG.同理，有BC∥EH.∴FG∥EH.∴四边形EFGH为平行四边形．又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，则EF⊥EH.∴四边形EFGH是矩形．(2)以D为原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB＝DC＝2，DA＝1.又E 为AB 中点，∴F ，G 分别为DB ，DC 中点，∴A (0，0，1)，B (2，0，0)，F (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12， G (0，1，0)．所以AB →＝(2，0，－1)，FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，FG →＝(－1，1，0)． 设平面EFGH 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·FE →＝0，n ·FG →＝0，得⎩⎨⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取y ＝1，得x ＝1.∴n ＝(1，1，0)．则sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·n |AB →|·|n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×1＋0×1＋（－1）×05×2＝105. 13．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．解析：(1)交线围成的正方形EHGF 如图．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (10，0，0)，H (10，10，0)，E (10，4，8)，F (0，4，8)，FE→＝(10，0，0)，HE →＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎨⎧n ·FE →＝0，n ·HE→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0， 所以可取n ＝(0，4，3)．又AF→＝(－10，4，8)， 故|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n ||AF→|＝4515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.14．(2015·四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)求二面角A －EG －M 的余弦值．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)连接BD ，设O 为BD 的中点．因为M ，N 分别是BC ，GH 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，HN ∥CD ，且HN ＝12CD .所以OM ∥HN ，OM ＝HN .所以MNHO 是平行四边形，从而MN ∥OH .又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以MN ∥平面BDH .(3)(方法1)连接AC ，过M 作MP ⊥AC 于P .在正方体ABCD －EFGH 中，AC ∥EG ，所以MP ⊥EG .过P 作PK ⊥EG 于K ，连接KM ，所以EG ⊥平面PKM ，从而KM ⊥EG .所以∠PKM 是二面角A －EG －M 的平面角．设AD ＝2，则CM ＝1，PK ＝2.在Rt △CMP 中，PM ＝CM sin 45°＝22；在Rt △PKM 中，KM ＝PK 2＋PM 2＝322.所以cos ∠PKM ＝PK KM ＝223，即二面角A －EG －M 的余弦值为223.(方法2)如图，以D 为坐标原点，分别以DA→，DC →，DH →方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz .设AD ＝2，则M (1，2，0)，G (0，2，2)，E (2，0，2)，O (1，1，0)，所以GE→＝(2，－2，0)，MG →＝(－1，0，2)． 设平面EGM 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n 1·GE →＝0，n 1·MG→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－x ＋2z ＝0， 取x ＝2，得n 1＝(2，2，1)．在正方体ABCD －EFGH 中，DO ⊥平面AEGC ，可取平面AEG 的一个法向量为n 2＝DO→＝(1，1，0)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2＋2＋04＋4＋1·1＋1＋0＝223， 故二面角A －EG －M 的余弦值为223.15．(2015·天津卷)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ；(2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)．又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2，1)．(1)依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，MN→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0. 由此可得MN→·n ＝0， 又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2z ＝0，2x ＝0. 不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的法向量，则⎩⎨⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0，又AB 1→＝(0，1，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2z ＝0，2x ＝0. 不妨设z ＝1，可得n 2＝(0，－2，1)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010.所以，二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0，1]，则E (0，λ，2)，从而NE→＝(－1，λ＋2，1)． 又n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →||n |＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13， 整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0，1]，解得λ＝7－2.所以，线段A 1E 的长为7－2.。
(通用版)届高三数学二轮复习课余自主加餐训练“52选1”解答题限时练(一)理【含答案】
三、组合练节奏——“5＋2选1”解答题限时练（每练习限时80分钟）“5＋2选1”解答题限时练(一)1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝(2sin B－3sin C)b ＋(2sin C－3sin B)c.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝23，求△ABC的面积．2．某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：(1)(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(3)估计该校本次考试的数学平均分．3．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，且AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2BC＝25，＝m，且m>0.(1)求证：平面PAD⊥平面MBD；(2)求二面角APBD的余弦值；(3)试确定m的值，使三棱锥PABD的体积为三棱锥PMBD的体积的3倍．4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点， 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．5．已知直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x＋b 的图象相切，且f ′(1)＝e. (1)求实数a ，b 的值；(2)若存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，使得2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立，求n m 的取值范围．6．[二选一](选修4－4)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π4(a >0)．(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π); (2)若直线l 与C 2相切，求a 值．(选修4－5)设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R . (1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围．答 案1．解：(1)由已知及正弦定理可得 2a 2＝(2b －3c )b ＋(2c －3b )c ，整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，所以cos A ＝32. 又A ∈(0，π)，故A ＝π6.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，a ＝2，b ＝23，A ＝π6，得sin B ＝32.又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6，故B ＝π3或2π3. 若B ＝π3，则C ＝π2，于是S △ABC ＝12ab ＝23；若B ＝2π3，则C ＝π6，于是S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3.2．解：(1)因为频率和为1，所以b ＝0.18， 又因为频率＝频数样本容量，所以c ＝100，a ＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，则每个学生被抽中的概率均为15.所以从第七组中抽取的样本数为15×10＝2.所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2. P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25；P (ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815；P (ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×25＋1×15＋2×15＝3.(3)根据频率分布表估计该校本次考试的数学平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.3．解：(1)证明：在△ABD 中，由于AD ＝2，BD ＝4，AB ＝25， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2，故AD ⊥BD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD .(2)如图建立空间直角坐标系D xyz ，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，P (1，0，3)，B (0，4，0)，＝(1，－4，3)，＝(－2，4，0)，＝(0，4，0)．设平面PAB 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，即⎩⎨⎧－2x 1＋4y 1＝0，x 1－4y 1＋3z 1＝0，令y 1＝1，则x 1＝2，z 1＝233，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，233.设平面PBD 的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)，即⎩⎨⎧4y 2＝0，x 2－4y 2＋3z 2＝0，令x 2＝－3，则z 2＝1，m ＝(－3，0，1)，cos<n ，m>＝|n·m ||n |·|m |＝21919，∴二面角A PB D 的余弦值为21919. (3)∵V P MBD ＝V M PBD ＝mm ＋1V C PBD ＝mm ＋1V P BCD ， ∴V P ABD V P MBD ＝m ＋1m ·V P ABD V P BCD ＝m ＋1m ·S △ABD S △BCD ＝m ＋1m·2＝3，解得m ＝2. 4．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t >0，当△F 1PF 2面积取最大值3时，点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R ⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，6y 1x 1＋2，＝⎝⎛⎭⎪⎫3，6y 2x 2＋2， 则＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋9＋9＝0， 即为定值0.5．解：(1)设直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x＋b 图象的切点为(x 0，f (x 0))． 由f (x )＝a e x＋b 可得f ′(x )＝a e x.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a e x 0＝1，x 0＋1＝a e x 0＋b ，a e ＝e ，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝e x，则存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，使2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立，等价于存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，使2m e x －1＋n e x＝mx 成立．∴n m ＝x －2e x －1e x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 设g (x )＝x －2e x －1ex，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则g ′(x )＝1－x e x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，1)上单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，g ′(x )<0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上单调递减． ∴g (x )max ＝－1e ，g (0)＝－2e ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32e 32－2e ，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－32e 32<0. ∴n m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－2e ，－1e .6．[二选一](选修4－4)解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4(舍去)， 故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)． 由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1.(选修4－5)解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1，x －1，x ≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[3，＋∞)．(2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2，2－a ]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2;当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2<x <a ，2－a ，x ≥a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3. 综上，a 的取值范围为[1，3]．。
高考数学二轮复习自主加餐的3大题型14个填空题综合仿真练四含解析
14个填空题综合仿真练(四)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________． 解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：52．复数z ＝21－i (其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________．解析：z ＝21－i ＝＋－＋＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64．一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为________．解析：从2个红球和2个白球中随机摸出2个球，共有6种结果，其中摸出的2个球中没有红球的结果有1种，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝143.答案：1436．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x ＋3y 为y ＝－23x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－23x ＋13z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y －x －1＝0，解得A (1，2)，故z max ＝8.答案：88．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________． 解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43.答案：439．若直线l 1：2x －y ＋4＝0，直线l 2：2x －y －6＝0都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则⊙M 的标准方程为________________________．解析：根据题意，l 1∥l 2，且l 1，l 2都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则直线l 1与直线l 2之间的距离就是⊙M 的直径，即d ＝2r ，而d ＝|4－－22＋12＝25，则r ＝5，且圆心(a,1)在直线2x －y ＋4＋－2＝0，即2x －y －1＝0上，则有2a －1－1＝0，解得a ＝1，即圆心的坐标为(1,1)，则⊙M 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝510．若a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．解析：由已知等式得2a ＋2b ＋1＝2ab ＋2a ＋b 2＋b ，从而a ＝b －b 2＋12b，所以a ＋2b ＝b －b 2＋12b ＋2b ＝12＋32b ＋12b ≥12＋234＝23＋12，当且仅当b ＝33时等号成立，故a ＋2b 的最小值为23＋12.答案：23＋1211．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝________.解析：由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2知θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝31010.令θ＋π4＝α，则sin α＝31010，cos α＝1010，于是sin 2α＝2sin αcos α＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝－45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π4＝22(－sin 2α－cos 2α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210. 答案：21012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x >1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)13．△ABC 的内角为A ，B ，C ，点M 为△ABC 的重心，如果sin A ·MA ―→＋sin B ·MB ―→＋33sin C ·MC ―→＝0，则内角A 的大小为________． 解析：因为点M 为△ABC 重心，故MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，即MA ―→＝－MB ―→－MC ―→，因为sinA ·MA ―→＋sinB ·MB ―→＋33sin C ·MC ―→＝0，即a MA ―→＋b MB ―→＋33c ·MC ―→＝0，所以a (－MB ―→－MC ―→)＋b MB ―→＋33c ·MC ―→＝(－a ＋b )MB ―→＋⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋33c ·MC ―→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，－a ＋33c ＝0，故a ∶b ∶33c ＝1∶1∶1，令a ＝1，则b ＝1，c ＝3，由余弦定理可 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.答案： π614．已知函数f (x )＝|x －a |－3x＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为_______________________________________________________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3x－2，x ≥a ，－x －3x ＋2a －2，x <a ，当x ≥a 时，由x －3x－2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，结合图形知，①当a <－1时，x 3，－1,3成等差数列，则x 3＝－5，代入－x －3x＋2a －2＝0得，a ＝－95； ②当－1≤a ≤3时，方程－x －3x＋2a －2＝0，即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0，设方程的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则x 3x 4＝3，且x 3＋3＝2x 4，解得x 4＝3±334，又x 3＋x 4＝2(a －1)，所以a ＝5＋3338.③当a >3时，显然不符合．所以a 的取值集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338。
江苏省高考数学二轮复习 自主加餐的3大题型 选修4系列强化练(三)选修4-5 不等式选讲(理)(含解
选修4系列专项强化练(三) 选修4－5：不等式选讲(理科)题型一 含绝对值不等式1．解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，即－x 2－3x >0，解得－3＜x ≤－2；当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2， 即x 2＋x >0，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2，即x 2＋3x －4>0，解得x ≥2. 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}． 2．解不等式|x ＋2|－|x －1|≤1. 解：令f (x )＝|x ＋2|－|x －1|.当x ≤－2时，f (x )＝－(x ＋2)－(1－x )＝－3， 此时f (x )＝|x ＋2|－|x －1|≤1恒成立； 当－2<x <1时，f (x )＝(x ＋2)－(1－x )＝2x ＋1，令f (x )≤1，即2x ＋1≤1，解得x ≤0，由于－2<x <1，则有－2<x ≤0； 当x ≥1时，f (x )＝(x ＋2)－(x －1)＝3，此时f (x )≤1不成立． 综上所述，不等式|x ＋2|－|x －1|≤1的解集为(－∞，0]． 3．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1. 即|x ＋5y |≤1. [临门一脚]1．形如|x ＋a |±|x －b |≥c (≤c )不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．绝对值不等式也可用|x －a 1|±|x －a 2|的几何意义求解集．3．应用绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |求最值，一定要写出等号成立的条件．题型二 基本不等式的应用1．已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1ab≥4.证明：因为a ，b 是正数，所以a 2＋4b 2≥4ab . 所以a 2＋4b 2＋1ab ≥4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当a ＝2b ，且ab ＝12时取等号．即a 2＋4b 2＋1ab≥4.2．已知a ，b ，c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23，又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，所以原不等式成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca.所以a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca≥63，当且仅当a ＝b ＝c ＝43时取等号．所以原不等式成立．[临门一脚]1．基本不等式应用于证明关键是和积转化，所以进行证明前一定要观察不等式两边式子结构的特征系数、方次．2．要根据条件特征选择使用三元还是两元的基本不等式，等号成立条件一定要写． 3．多次使用基本不等式时要关注多个等号成立条件是否能够同时成立． 题型三 柯西不等式的应用1．求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值． 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2x ， 由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝25，当且仅当4sin x ＝3|cos x |，即sin x ＝35，|cos x |＝45时等号成立，所以y max ＝5.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5.2．已知a ，b ，c ∈R,4a 2＋b 2＋2c 2＝4，求2a ＋b ＋c 的最大值．解：由柯西不等式，得[(2a )2＋b 2＋(2c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(2a ＋b ＋c )2.因为4a 2＋b 2＋2c 2＝4，所以(2a ＋b ＋c )2≤10. 所以－10≤2a ＋b ＋c ≤10，所以2a ＋b ＋c 的最大值为10，当且仅当a ＝105，b ＝2105，c ＝105时等号成立． 3．设x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx .证明：∵x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1， ∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ＝zx2＋x y 2＋y z2，∴由柯西不等式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫zx 2＋xy 2＋y z 2(xy ＋yz ＋zx )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫xyzx＋xyzy ＋xyz z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫xyz x ＋xyz y ＋xyz z 2＝(xy ＋yz ＋zx )2.∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx .4．设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝92. 求证： 1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1.证明：法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 1)]≥331a 1＋a 2·1a 2＋a 3·1a 3＋a 1· 33a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋a 1＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立．又a 1＋a 2＋a 3＝92.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·2×92≥9，所以1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1. 法二：由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 1)]＝⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋a 12·[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋(a 3＋a 1)2]≥1a 1＋a 2·a 1＋a 2＋1a 2＋a 3·a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·a 3＋a 12＝9，当且仅当(a 1＋a 2)2＝(a 2＋a 3)2＝(a 3＋a 1)2， 即a 1＝a 2＝a 3＝32时取等号，所以1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1. [临门一脚]1．二元柯西不等式：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，a ，b ，c ，d ∈R ，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．2．三元柯西不等式可以用向量形式记忆：即|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，得α＝k β时，等号成立．3．利用柯西不等式来证明不等式和基本不等式一样也要关注式子结构特点、系数、方次、等号成立条件，如果不能够直接使用，要对所给条件进行变形后才能使用．4．利用柯西不等式求最值等问题， 也要关注式子结构特点、系数、方次，最后一定要写出等号成立条件．。
【三维设计】高三数学(理)二轮复习课余训练：(1)三角函数、解三角形专练(通用版)(含答案解析)
二、大题练规范——5个解答题分类练(一)三角函数、解三角形专练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cosA )．(1)求sin B sin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．2．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b ，1)，n ＝(2a －c ，cos C )，且m ∥n .(1)若b 2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－2cos 2A 1＋tan A的值域． 3．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3.(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝⎛⎭⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积． 4．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD .(1)求AD 的长；(2)求△ABC 的面积．答 案1．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin B sin A＝3. (2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a＝3a 26a 2＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. 2．解：(1)由已知，m ∥n ，则2b cos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )－sin C ，即2sin B cos C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C .在△ABC 中，sin C ≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝π3. 又b 2＝ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因而ac ＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即(a －c )2＝0， 所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2（cos 2A －sin 2A ）1＋sin A cos A＝1－2cos A (cos A －sin A )＝sin 2A －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4，其中A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 因而所求函数的值域为(－1， 2 ]．3．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)， 得x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)， 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3， 又A 为锐角，所以A ＝π3.由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314(R 为△ABC 的外接圆半径)，则b ＋c ＝13314×143＝13， 由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（b ＋c ）2－2bc －a 22bc ＝12，可求得bc ＝40， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3. 4．解：(1)在△ABC 中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x >0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x. 在△ACD 中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－（53）22×x ×5. 因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ， 即x 2＋52－（53）22×x ×5＝－52x . 解得x ＝5. 所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝53，sin ∠CBD ＝CD BD ＝12. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin ∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.。
高三数学二轮复习 课余自主加餐训练“12+4”限时提速
“12＋4”限时提速练(八)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |－1≤log 2 016x ≤1}，B ＝{y |y ＝2x＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2 016，0] B ．[0，2 016] C ．(2，2 016] D ．(－∞，2 016] 2．“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为( )A ．∀x ∈R ，2x －12x ≥1B ．∀x ∈R ，2x－12x ≤1C ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0＞1D ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥13．已知i 是虚数单位，复数z ＝a －i1－i (a ∈R )，若|z |＝⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，则a ＝( )A ．±1B ．1C ．－1D ．±124.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )A ．20B ．48 3C ．48＋8 3D ．8＋ 35．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6(x ∈R )，把函数f (x )的图象向右平移10π3个单位长度得函数g (x )的图象，则下面结论正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为5πB ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．函数g (x )在区间[π，2π]上是增函数D ．函数g (x )是奇函数6．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤2 015?B ．n ≤2 016?C ．n ＜2 014?D ．n ＜2 016?8．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，＝113，则∠BAD 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π2 D.3π49．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0，则z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为( )A ．10B ．64C ．1 024D ．2 04810.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B 是双曲线的右顶点，A 是其虚轴的端点，如图所示．若S △ABF 2＝14S △AOB ，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为( )A.54B.247 C ．－2124 D.25511．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝( )A.32n 2－12nB.32n 2＋12n C ．3n 2－2n D.92n 2－32n12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －1－1，x ＞1，2－e x ，x ≤1，若函数h (x )＝f (x )－mx －2有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－6－42，0)∪(0，＋∞)B ．(－6＋42，0)∪(0，＋∞)C ．(－6＋42，0)D ．(－6－42，－6＋42)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为________．14.如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB ＝________．15．在正三棱锥P ABC 中，M 是PC 的中点，且AM ⊥PB ，AB ＝22，则正三棱锥P ABC 的外接球的表面积为________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ＋12sin 2B ＝1，0＜B＜π2，若||＝3，则16bac的最小值为________．答 案一、选择题1．解析：选C 由已知得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12 016≤x ≤2 016，B ＝{y |y ＞2}，所以A ∩B ＝(2，2 016]．2．解析：选D 由全称命题的否定是特称命题可得“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为“∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥1”．3．解析：选A 因为|z|＝⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，所以|z |＝⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋1πx π0＝1，因为z＝a －i 1－i ＝（a －i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋a 2＋a －12i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＝1，解得a ＝±1.4.解析：选C 因为侧(左)视图中等边三角形的高为23，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×12×4×23＝48＋8 3.5．解析：选C 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6＝sin(15x ＋π6)，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10π3＋π6＝sin(15x －π2)＝－cos 15x ，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π15＝10π，故A 错误；函数g (x )为偶函数，故D 错误；g (x )图象的对称轴为x ＝5k π(k ∈Z )，故函数g (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，B 错误；函数g (x )的单调递增区间为[10k π，10k π＋5π](k ∈Z )，故函数g (x )在区间[π，2π]上为增函数，故选C.6．解析：选D 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cosx (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 7．解析：选B 通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n ＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n ≤2 016？”，选B.8．9．解析：选C 因为z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝22x －y，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令u ＝2x －y ，当直线2x －y ＝0平移到经过点C 时，u 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6，即C (2，－6)，即u max ＝2×2－(－6)＝10，所以z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为210＝1 024，选C.10.解析：选B 因为S △ABF 2＝14S △AOB ，所以12(c －a )b ＝14×12ab ，即c ＝54a ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＝a 2＋b 2，所以b 2a 2＝916，即b a ＝34.设双曲线的一条渐近线y ＝34x 与x 轴正方向的夹角为θ，所以tan θ＝34，所以tan 2θ＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为247.选B.11．解析：选A 由题意，当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＝k ，所以＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n .12．解析：选B 函数h (x )＝f (x )－mx －2有两个零点等价于方程f (x )－mx －2＝0有两个不同的解，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f (x )的图象，如图，根据题意，当直线y ＝mx ＋2与曲线y＝x ＋1x －1－1＝2x －1相切时，联立方程，消去y 可得，mx ＋2＝2x －1，整理得mx 2＋(2－m )x －4＝0，由Δ＝(2－m )2＋16m ＝0，解得m ＝－6±42，要使y ＝f (x )与y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，结合图象分析可知，实数m 的取值范围是(－6＋42，0)∪(0，＋∞)．二、填空题13．解析：因为幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，所以16＝4a，即a ＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 8，T r ＋1＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－r ·x －r 2＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－3r 2，令8－3r 2＝2，解得r ＝4，所以T 4＋1＝(－1)4×24×C 48×x 2＝1 120x 2，即⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为1120. 答案：1 12014.解析：因为点A 到抛物线C 的准线的距离为|AN |＋p 2，点A 到焦点F 的距离为|AB |＋p2，所以|AN |＝|AB |，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°.答案：30°15．解析：因为三棱锥P ABC 为正三棱锥，取AC 的中点N ，连接PN ，BN ，易证AC ⊥平面PBN ，所以PB ⊥AC ，又AM ⊥PB ，AM ∩AC ＝A ，所以PB ⊥平面PAC ，所以PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，易证PA ，PB ，PC 两两垂直，又AB ＝22，所以PA ＝PB ＝PC ＝2，设三棱锥P ABC 外接球的半径为R ，则(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案：12π16．解析：因为cos 2B ＋12sin 2B ＝1，所以12sin 2B ＝sin 2B ，即sin B cos B ＝sin 2B ，因为sin B ≠0，所以tan B ＝1，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4.因为||＝3，所以||＝3，即b ＝3，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得9＝a 2＋c 2－2ac .由基本不等式可知9＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，即ac ≤92(2＋2)，当且仅当⎩⎨⎧a ＝c ，9＝a 2＋c 2－2ac ，即a 2＝c 2＝9（2＋2）2时等号成立，故16b ac ≥16×39（2＋2）2＝163(2－2)．16（2－2）答案：3。
高三数学二轮复习 课余自主加餐训练“12+4”限时提速练(八)理
“12＋4”限时提速练(八)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |－1≤log 2 016x ≤1}，B ＝{y |y ＝2x＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2 016，0] B ．[0，2 016] C ．(2，2 016] D ．(－∞，2 016] 2．“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为( )A ．∀x ∈R ，2x －12x ≥1B ．∀x ∈R ，2x－12x ≤1C ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0＞1D ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥13．已知i 是虚数单位，复数z ＝a －i1－i (a ∈R )，若|z |＝⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，则a ＝( )A ．±1B ．1C ．－1D ．±124.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )A ．20B ．48 3C ．48＋8 3D ．8＋ 35．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6(x ∈R )，把函数f (x )的图象向右平移10π3个单位长度得函数g (x )的图象，则下面结论正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为5πB ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．函数g (x )在区间[π，2π]上是增函数D ．函数g (x )是奇函数6．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤2 015?B ．n ≤2 016?C ．n ＜2 014?D ．n ＜2 016?8．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，＝113，则∠BAD 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π2 D.3π49．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0，则z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为( )A ．10B ．64C ．1 024D ．2 04810.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B 是双曲线的右顶点，A 是其虚轴的端点，如图所示．若S △ABF 2＝14S △AOB ，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为( )A.54B.247 C ．－2124 D.25511．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝( )A.32n 2－12nB.32n 2＋12n C ．3n 2－2n D.92n 2－32n12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －1－1，x ＞1，2－e x ，x ≤1，若函数h (x )＝f (x )－mx －2有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－6－42，0)∪(0，＋∞)B ．(－6＋42，0)∪(0，＋∞)C ．(－6＋42，0)D ．(－6－42，－6＋42)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为________．14.如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB ＝________．15．在正三棱锥P ABC 中，M 是PC 的中点，且AM ⊥PB ，AB ＝22，则正三棱锥P ABC 的外接球的表面积为________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ＋12sin 2B ＝1，0＜B＜π2，若||＝3，则16bac的最小值为________．答 案一、选择题1．解析：选C 由已知得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12 016≤x ≤2 016，B ＝{y |y ＞2}，所以A ∩B ＝(2，2 016]．2．解析：选D 由全称命题的否定是特称命题可得“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为“∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥1”．3．解析：选A 因为|z|＝⎠⎛0π⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，所以|z |＝⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋1πx π0＝1，因为z＝a －i 1－i ＝（a －i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋a 2＋a －12i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＝1，解得a ＝±1.4.解析：选C 因为侧(左)视图中等边三角形的高为23，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×12×4×23＝48＋8 3.5．解析：选C 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6＝sin(15x ＋π6)，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10π3＋π6＝sin(15x －π2)＝－cos 15x ，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π15＝10π，故A 错误；函数g (x )为偶函数，故D 错误；g (x )图象的对称轴为x ＝5k π(k ∈Z )，故函数g (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，B 错误；函数g (x )的单调递增区间为[10k π，10k π＋5π](k ∈Z )，故函数g (x )在区间[π，2π]上为增函数，故选C.6．解析：选D 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cosx (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 7．解析：选B 通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n ＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n ≤2 016？”，选B.8．9．解析：选C 因为z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝22x －y，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令u ＝2x －y ，当直线2x －y ＝0平移到经过点C 时，u 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6，即C (2，－6)，即u max ＝2×2－(－6)＝10，所以z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为210＝1 024，选C.10.解析：选B 因为S △ABF 2＝14S △AOB ，所以12(c －a )b ＝14×12ab ，即c ＝54a ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＝a 2＋b 2，所以b 2a 2＝916，即b a ＝34.设双曲线的一条渐近线y ＝34x 与x 轴正方向的夹角为θ，所以tan θ＝34，所以tan 2θ＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为247.选B.11．解析：选A 由题意，当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＝k ，所以＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n .12．解析：选B 函数h (x )＝f (x )－mx －2有两个零点等价于方程f (x )－mx －2＝0有两个不同的解，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f (x )的图象，如图，根据题意，当直线y ＝mx ＋2与曲线y ＝x ＋1x －1－1＝2x －1相切时，联立方程，消去y 可得，mx ＋2＝2x －1，整理得mx 2＋(2－m )x －4＝0，由Δ＝(2－m )2＋16m ＝0，解得m ＝－6±42，要使y ＝f (x )与y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，结合图象分析可知，实数m 的取值范围是(－6＋42，0)∪(0，＋∞)．二、填空题13．解析：因为幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，所以16＝4a，即a ＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 8，T r ＋1＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－r ·x －r 2＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－3r 2，令8－3r 2＝2，解得r ＝4，所以T 4＋1＝(－1)4×24×C 48×x 2＝1 120x 2，即⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为1120. 答案：1 12014.解析：因为点A 到抛物线C 的准线的距离为|AN |＋p 2，点A 到焦点F 的距离为|AB |＋p2，所以|AN |＝|AB |，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°.答案：30°15．解析：因为三棱锥P ABC 为正三棱锥，取AC 的中点N ，连接PN ，BN ，易证AC ⊥平面PBN ，所以PB ⊥AC ，又AM ⊥PB ，AM ∩AC ＝A ，所以PB ⊥平面PAC ，所以PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，易证PA ，PB ，PC 两两垂直，又AB ＝22，所以PA ＝PB ＝PC ＝2，设三棱锥P ABC 外接球的半径为R ，则(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案：12π16．解析：因为cos 2B ＋12sin 2B ＝1，所以12sin 2B ＝sin 2B ，即sin B cos B ＝sin 2B ，因为sin B ≠0，所以tan B ＝1，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4.因为||＝3，所以||＝3，即b ＝3，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得9＝a 2＋c 2－2ac .由基本不等式可知9＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，即ac ≤92(2＋2)，当且仅当⎩⎨⎧a ＝c ，9＝a 2＋c 2－2ac ，即a 2＝c 2＝9（2＋2）2时等号成立，故16b ac ≥16×39（2＋2）2＝163(2－2)．16（2－2）答案：3。
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“12＋4”限时提速练(三) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z＝m1－i＋1－i2(i是虚数单位)的实部与虚部的和为1，则实数m的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．设集合A满足{a}⊆A{a，b，c，d}，则满足条件的集合A的个数为( ) A．4 B．5 C．6 D．7
3．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，则a1a17a9的值为( ) A．22 B．4 C．－22或22 D．－4或4 4．已知在平面中，A(1，0)，B(1，3)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，若，则λ的值为( ) A．－1 B．2 C．1 D．－2
5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则双曲线的离心率为( ) A.5 B.52 C．2 D.355 6．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.13π B.23π C.43π D.53π 7．定义[x]为不超过x的最大整数，例如[1.3]＝1.执行如图所示的程序框图，当输入的x为4.7时，输出的y值为( ) A．7 B．8.6 C．10.2 D．11.8
8.已知奇函数y＝f（x），x＞0，g（x），x＜0，若f(x)＝ax(a＞0，a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)＝( )
A.12－x B．－12x C．2－x D．－2x
9．已知x，y满足不等式组x≥0，x－y≤0，4x＋3y≤14，设(x＋2)2＋(y＋1)2的最小值为ω，则函数f(t)＝sinωt＋π6的最小正周期为( ) A.2π3 B．π C.π2 D.2π5 10．已知函数y＝f(x)对任意自变量x都有f(x)＝f(2－x)，且函数f(x)在[1，＋∞)上单调．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a6)＝f(a2 011)，则{an}的前2 016项之和为( ) A．0 B．1 008 C．2 016 D．4 032
11.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)及圆O：x2＋y2＝a2，如图过点B(0，a)与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若∠AOB＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.12 C.32 D.13 12．定义在(－1，1)上的函数f(x)＝1＋x－x22＋x33－…－x2 0162 016，设F(x)＝f(x＋4)，且F(x)的零点均在区间(a，b)内，其中a，b∈Z，a＜b，则圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为( ) A．π B．2π C．3π D．4π 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．已知(x＋2y)n的展开式中第二项的系数为8，则(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中所有项的系数和为________． 14．已知函数f(x)＝aln x＋(x＋1)2，若图象上存在两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞x2)，使得f(x1)－f(x2)≤4(x1－x2)成立，则实数a的取值范围为________． 15．已知A，B，C为球O表面上的三点，这三点所在的小圆圆心为O1，且AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，球面上的点P在平面ABC上的射影恰为O1，三棱锥P-ABC
的体积为36，则球O的表面积为________． 16．已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n，n∈N*，bn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
1＋2＋3＋…＋n，若数列{bn}是公差为2的等差数列，则数列{an}的通项公
式为________．
答 案 一、选择题
1．解析：选C 由已知z＝m1－i＋1－i2＝m（1＋i）2＋1－i2＝（m＋1）＋（m－1）i2，则m＋12＋m－12＝1，得m＝1，故选C. 2．解析：选D 根据子集的定义，可得集合A中必定含有元素a，而且含有a，b，c，d中的至多三个元素．因此，满足条件{a}⊆A{a，b，c，d}的集合A有{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，c，d}，{a，b，d}，共7个． 3．解析：选A ∵a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根， ∴a3a15＝8，a3＋a15＝6，因此a3，a15均为正，由等比数列的性质知，a1a17＝
a29＝a3a15＝8，∴a9＝22，a1a17a9＝22，故选A. 4．解析：选C 由已知得，＝(1，3)，＝(1，0)，则＝(λ－2，3λ)，又点C在第二象限，故λ－2＜0，3λ＞0，则0＜λ＜2，由于∠AOC
＝120°，所以cos∠AOC＝λ－2（λ－2）2＋3λ2＝－12，解得λ＝1，故选C.
5．解析：选A 双曲线的渐近线为y＝±bax，代入抛物线方程得，x2±bax＋1＝0，∴Δ＝b2a2－4＝0，故e2＝c2a2＝b2a2＋1＝5，∴e＝5，故选A. 6．解析：选C 由已知三视图，可得这个几何体的直观图如图所示，
则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积，即π×12×2－2×13×π×12×1＝43π，故选C. 7．解析：选C 当输入的x为4.7时，执行程序框图可知，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，输出的值为10.2，故选C. 8.解析：选D 由图象可知，当x＞0时，函数f(x)单调递减，则0＜a＜1，∵f(1)
＝12，∴a＝12，即函数f(x)＝12x，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝12－x＝－g(x)，即g(x)＝－12－x＝－2x，故g(x)＝－2x，x＜0，选D.
9．解析：选D 由不等式组x≥0，x－y≤0，4x＋3y≤14作出可行域如图中阴影部分所示， (x＋2)2＋(y＋1)2的几何意义为可行域内的点与定点C(－2，－1)之间的距离的平方，其最小值为5，故f(t)＝sin5t＋π6，其最小正周期T＝2π5，故选D. 10．解析：选C ∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称．又∵函数f(x)在[1，＋∞)上单调，且数列{an}的公差不为0，f(a6)＝f(a2 011)，∴a6＋a2 011＝2，
∴a1＋a2 016＝a6＋a2 011＝2，∴S2 016＝2 016（a1＋a2 016）2＝2 016. 11.解析：选A 由已知，显然直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝kx
＋a，则由y＝kx＋a，x2a2＋y2b2＝1得(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a2c2＝0， ∴Δ＝4a6k2－4a2c2(b2＋a2k2)＝0，结合图形解得k＝ca，即直线l的方程为y＝ca
x＋a.
故直线l的斜率为ca＝e，由于∠AOB＝60°，设AB与x轴交于点C，则在Rt
△OBC中，∠OCB＝30°，因而e＝tan∠OCB＝33，故选A. 12．解析：选A f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…－x2 015＝1－x2 0161＋x＞0，因而f(x)在(－1，1)上单调递增，f(－1)＝(1－1)－12－13－…－12 016＜0，f(0)＝1＞0，因而函数f(x)仅有1个零点，且在 (－1，0)内，那么F(x)＝f(x＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b－a的最小值为1，则圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为π，故选A. 二、填空题 13．解析：(x＋2y)n的展开式中第二项的系数为8，即C1n×2＝8，故n＝4.令x＝1，可得(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4展开式中所有项的系数和为2＋22＋23＋24＝30. 答案：30 14．解析：由题意可得，f(x)＝aln x＋x2＋2x＋1，f′(x)＝ax＋2(x＋1)，由题意知，存在x＞0，使得f′(x)≤4成立，即存在x＞0，使得a≤－2x2＋2x成立，设g(x)＝－2x2＋2x＝－2x－122＋12，其最大值为12，因而a≤12. 答案：－∞，12 15．解析：由AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，知圆O1的半径r＝1， 且S△ABC＝12×1×1×sin 120°＝34，设PO1＝h，球O的半径 为R，因而VPABC＝13×34×h＝36，得h＝2，R2＝(h－R)2＋r2， 即R2＝4－4R＋R2＋1，R＝54，则球O的表面积为4πR2＝4π× 2516＝25π4.
答案：25π4 16．解析：法一：由Sn＝pn2－2n可知，当n＝1时，a1＝p－2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2pn－p－2，a1＝p－2适合上式， 因而对任意的n∈N*，均有an＝2pn－p－2.
又由已知得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝12n(n＋1)bn，
a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＋(n＋1)an＋1＝12(n＋1)(n＋2)bn＋1， 则(n＋1)an＋1＝12(n＋1)(n＋2)bn＋1－12n(n＋1)bn， ∴an＋1＝bn＋1＋n. an＋1－an＝bn＋1－bn＋1＝3，则2p＝3，a1＝－12.
∴数列{an}的通项公式为an＝3n－72. 法二：由Sn＝pn2－2n可知，当n＝1时，a1＝p－2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2pn－p－2，a1＝p－2适合上式， 因而对任意的n∈N*，均有an＝2pn－p－2，an＋1－an＝2p， 因而数列{an}是公差为2p的等差数列，a2＝3p－2，b1＝a1＝p－2，
b2＝a1＋2a21＋2＝7p－63，b2－b1＝7p－63－(p－2)＝2，得2p＝3，a1＝－12.