湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学理科答案

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湖北黄冈中学八校2013高三第一次联考(12月)-数学文(word)

湖北省鄂南高中荆州中学华师一附中孝感高中黄冈中学襄阳四中黄石二中襄阳五中八校2013届高三第一次联考数学试题（文）命题学校：黄石二中考试时间：2012年12月21日下午15:00——17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1、复数1iz i=-的实部为（）A 、12B 、2iC 、－12D 、－2i2、集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂BC A R ( )A .[]32，B .(]21，C .[]83， D.(]83， 3、若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（）A []012,3,3-020>++∈∀x x x B ()()2000-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++> C . ()()2000-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤ D. []012,3,3-020<++∈∃x x x 4、某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（）A .π236+B .π436+C .π836+D .π1036+5、函数的图象如上图所示，为了得到g （x ）＝sin2x的图象，则只要将f （x0）的图象（）A 、向右平移6π个单位长度 B 、向右平移12π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度 D 、向左平移12π个单位长度6、已知两个正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为 A 、1 B 、2 C 、4 D 、227、等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则36S S =（） A .2 B .87 C .89 D .458、任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P （a ，b ）落在区域｜x ｜＋｜y ｜≤3中的概率为 A 、2536B 、16C 、14D 、1129、如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ，若双曲线以A ，B 为焦点且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为 A 、2＋1 B 、3＋1 C 、2 D 、310、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（一）必做题（11-14题）11、已知抛物线22y ax =的准线为x ＝－14，则其焦点坐标为＿＿＿12、三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =，b ＝1，∠A ＝3π，则∠B ＝＿＿＿13、已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为＿＿14、超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h,否则视为违规。

湖北黄冈中学高三第一次模拟考试数学理word

湖北省黄冈中学2009届高三第一次模拟考试数学试题（理科）命题：袁小幼审稿：程金辉校对：陈晓洁本试卷满分共150分，考试时间120分钟.、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1•“函数f （x ）（x R ）存在反函数”是“函数 f （x ）在R 上减为函数”的（）A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件2 .过原点和3 i 在复平面内对应点的直线的倾斜角为（）25A .B .C. 一D.-6 6 3 63.不等式y >|x|表示的平面区域为（）过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是 60 °则该截面的面积是（）A .B . 2C. 3右图实线是函数 y f （x ）（0 < x < 2a ）的图象，它关于点对称•如果它是一条总体密度曲线，则正数2a 的值为 B. 1C. 2已知a 、b 、m 、 n 、x 、y 均为正数，且 ab ，若 a 、m 、 b 、x 成等差数列, a 、 n 、 b 、y 成等比数列，则有（ A . m>n, x>yB. m>n, x<yC. m<n, x<yD. m<n, x>y)D . A7.正三棱锥V —ABC 的底面边长为 2a , E 、F 、G 、H 分别是 VA 、VB 、BC AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是（）10.在如图所示的10块地上选出6块种植A 1、A 2、…、A 6等六个不同品种的蔬菜，每块种植一种不同品种蔬菜，若 A 1、A 2、A 3必须横向相邻种在一起，A4、A5横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡相应位置上）11.函数y Sinx 的定义域为［a, b ］，值域为贝U b a 的最小值为 ____________13.某种基金今天的指数是2,以后每一天的指数都比上一天的指数增加0.2%,则100天以后这种基金的指数约是(精确到0.001).214.已知函数f(x) 2x (4 m)x 4 m, g(x) mx ,若存在一个实数 x ,使 f (x)与 g(x)A . 0,B.—a 2,3C . —a 2,6D .1a 2&已知不等式|a 2x| x 1，对任意x ［0,A ., 1 U 5,C . （1, 5）9.如图所示，设PABC 所在平面内的一点,则厶ABP 与厶ABC 的面积之比等于（）1 1 A .B.-522］恒成立，则a 的取值范围为（）B .,2 U 5,D . (2, 5)UU D 1 uuu 2 Hur / \ 并且AP — AB — AC, /5 5p \Ac22C.—D . —53A . 3120B . 3360 C. 5160 D . 5520x 2 12.若双曲线一 3 16y 22~ p 1的左焦点在抛物线 y 22 px 的准线上，则p 的值为均不是正数，则实数m的取值范围是15. 对大于或等于2的自然数m的n次幕进行如右图的方3 3 5 7 9 5式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的数是，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为 ___________ .三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. (本小题满分12分)在厶ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosC, bcosB, ccosA 成等差数列(I)求B的值；(n)求2sin2A cos(A C)的范围.17. (本小题满分12分)在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学(理)期末考试

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试考试时间：2014年1月20日下午14：30—16：30本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟．★★★ 祝考试顺利 ★★★第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数20132(12a i i i i+⋅-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（） A ． B ．1- C ．14 D ．14-2．已知,b c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥且直线a c ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（） A ．48 B ．56 C ．64 D ．724.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①()sin cos f x x x =；②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =+；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．已知()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，12()log (1)f x x =-，则2011()4f -=（） A ．2- B ．12C ．D ．2 7.双曲线221x y a-=的一条渐近线与圆()2222x y -+=相交于,M N 两点，且2MN=，则此双曲线的离心率第3题图为（）AB．3 8．已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤ 且02OP OB ≤⋅≤ ，则点P 到点C的距离大于14的概率为（） A ．5164π- B ．564π C ．116π- D ．16π9．已知数列{}n a 的通项222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则60S =（） A ．1840 B ．1880 C ．1960 D ．198010．已知函数()()()212ln f x a x x =---，1()xg x xe -=(a R ∈,e 为自然对数的底数)，若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得()()0i f x g x =成立，则a 的取值范围是（）A ．25-1e e -⎛⎤∞ ⎥-⎝⎦，B ．22,e e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．222e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ． 2522,1e e e e --⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11—14题）11．已知集合{}2|560A x x x =--<，{}|2B x x =<，则()R A C B ⋂=___________．12．由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为___________．则a 与b的夹角的取13．已知20a b =≠ ，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅= 有实根，值范围是___________．14.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1）试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个；（2）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图所示，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆O 上两点，如果第14题图46E ︒∠=，32DCF ︒∠=，则A ∠的度数是___________．16. （选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，过点18,2P π⎛⎫⎪⎝⎭引圆10sin ρθ=的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则线段AB 的长为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数()f x m n =⋅，其中()sin cos m x x x ωωω=+ ，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=- ，0ω>，()f x 的相邻两条对称轴间的距离大于等于2π．（1）求ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c，3a b c =+=，当ω的值最大时，()1f A =，求ABC ∆的面积．18.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖．．长方体沉淀高度为b 米．已知箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必须用完）（1）求出,a b 满足的关系式；（2）问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？19. 如图所示，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ︒∠=∠=，1,2AB AD CD a PD ====．（1）若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．第15题图第18题图20．设数列{}n a 的首项112a =，且11(214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数）（为奇数），记211()4n n b a n N *-=-∈．（1）求23,a a ；（2）证明：{}n b 是等比数列；（3）求数列31n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21．如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E. （i ）证明：MA MB ⊥；(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线,使得21S S =3217?请说明理由．22．已知函数1ln ()xf x x +=．（1）若函数在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()()221!1n n n e n N -*+>+⋅∈⎡⎤⎣⎦．湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试参考答案（附评分细则）一、选择题二、填空题11．[)2,6 12．2ln 2 13．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．(1)()61n - (2)15．99︒16．120138．动点(,)P a b 满足的不等式组为022022a b a b ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，画出可行域可知P 的运动区域为以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心且边的正方形，而点P 到点C 的距离小于或等于14的区域是以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心且半径为14的圆以及圆的内部，所以22145164P ππ⎛⎫-==- 9．222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22cos 3n n π=，所以()()()22232313115323139222k k k a a a k k k k --++=----+=-，其中k N *∈ 所以60S =()5912202018905018402++⋅⋅⋅+-⨯=-=10．易得函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1()(]'2222()2,0,a x a f x a x e x x⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=--=∈当22x a =-时，'()0f x =，()f x 在22x a=-处取得最小值222ln 22f a a a ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭由题意知，()f x 在(]0,e 上不单调，所以202e a <<-，解得22e a e-<所以对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得()()0i f x g x =成立，当且仅当a 满足条件202f a ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭且()1f e ≥因为(1)0f =，所以202f a ⎛⎫≤⎪-⎝⎭恒成立，由()1f e ≥解得251e a e -≤- 综上所述，a 的取值范围是25,1e e -⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦14. 观察图形，可以看出，第一层是1个点，其余各层的点数都是6的倍数且倍数比层数少1，所以：（1）第n层的点数为()61(2)n n -≥；（2）n 层六边形点阵的总点数为()16121n +⨯++⋅⋅⋅+-=()131n n +-令()131169n n +-=解得7n =-（舍去）或8n = 所以8n = 三、解答题17．解：（1）22()cos sin sin f x m n x x x x ωωωω=⋅=-+=cos 22x x ωω=2sin 26x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭----------------------------3分因为0ω>，所以函数()f x 的周期22T ππωω== 由题意可知22T π≥，即T π≥，ππω≥----------------------------5分解得01ω<≤-----------------------------6分（2）由（1）可知ω的最大值为1，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为()1f A =，所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭----------------------------7分而132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，所以3A π=-------------------------9分而2222cos b c bc A a +-=，所以223b c bc +-= ① 而()22229b c b c bc +=++= ②联立①②解得：2bc =-------------------------11分所以1sin 2ABC S bc A ∆==-------------------------12分 18．解：（1）由题意可得242600,0a b ab a b ++=⎧⎨>>⎩，即2300,0a b ab a b ++=⎧⎨>>⎩------------------------6分注：若没写0,0a b >>，扣两分，少写一个扣1分（2）因为该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比，所以当ab 最大时，该杂质的质量分数最小由均值不等式得2a b +≥（当且仅当2a b =时取等号）所以2a b ab ab ++≥+，即30ab +≤（当且仅当2a b =时取等号）-----------------------8分即0+-≤，0>≤18ab ≤-----------------------10分所以当且仅当218a b ab =⎧⎨=⎩即()()63a m b m =⎧⎪⎨=⎪⎩时，ab 取得最大值18，此时该杂质的质量分数最小 -------------------12分19．20．解：（1）21321313,4428a a a a =+=== ------------------2分（2）证明：因为2114n n b a -=-，所以121221211111111142424424n n n n n b a a a a ++--⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------------------5分即112n n b b +=，------------------6分而1111044b a =-=≠，所以{}n b 是以14为首项，公比为12的等比数列-----------7分注：若没写10b ≠，扣一分（3）1111122n n n b b -+⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以31nn b +=()1312n n ++ 所以()()()23131123212312n n T n +=⨯++⨯++⋅⋅⋅++()()()()3412231123212322312n n n T n n ++=⨯++⨯++⋅⋅⋅+-++--------8分两式相减得：()()2341312322216n n n T n ++=+-++⋅⋅⋅+---------10分即()23228n n T n +=-+ --------12分21．解：（1）由题意知c e a ==2a b =，又a =，解得2,1a b ==。

湖北省黄冈中学等八校2013届高三第一次联考(文科)数学试题及答案

湖北省鄂南高中荆州中学华师一附中孝感高中黄冈中学襄阳四中黄石二中襄阳五中八校2013届高三第一次联考数学试题（文）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1、复数1iz i=-的实部为（）A 、12B 、2iC 、－12D 、－2i2、集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂BC A R ( )A .[]32，B .(]21，C .[]83， D.(]83，3、若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（）A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()2000-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++>C . ()()2000-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤ D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x4、某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（）A .π236+B .π436+C .π836+D .π1036+5、函数的图象如上图所示，为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只要将f （x0）的图象（）A 、向右平移6π个单位长度 B 、向右平移12π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度 D 、向左平移12π个单位长度6、已知两个正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为A 、1B 、2C 、4D 、7、等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则36S S =（） A .2 B .87 C .89 D .458、任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P （a ，b ）落在区域｜x ｜＋｜y ｜≤3中的概率为 A 、2536B 、16C 、14D 、1129、如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ，若双曲线以A ，B 为焦点且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为A 1B 1C D10、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（一）必做题（11-14题）11、已知抛物线22y ax =的准线为x ＝－14，则其焦点坐标为＿＿＿12、三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =b ＝1，∠A ＝3π，则∠B＝＿＿＿13、已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为＿＿14、超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h,否则视为违规。

黄冈中学2013届高三11月月考数学(理)

黄冈中学2013届11月月考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin(1920)- 的值为（）A．2- B ．12- C．2D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+ ，即原式sin 60=- ，故选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D ．答案：D3．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（） A ．加法 B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由已知集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，故选C ．答案：C4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（）A . 8πB . 7πC . 2π`D .74π解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的俯视图正视图侧视图中点为P 10(0,)a，则线段AB 的长为（）A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由已知两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AO B 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选C ．答案：C6．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，则7112a a +的最小值为（）A ．16B ．8C ．D ．4解析：由已知24148a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，71128a a +≥=，故选B ．7．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3解析：已知即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，若0x ≥，则246x x x -+=，∴2x =，或3x =；若0x <，则1x =舍去，故选C ．答案：C8．给出下列的四个式子：①1a b-，②1a b+，③1b a+，④1b a-；已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则（） A ．cos 2,sin 2a b θθ== B ．sin 2,cos 2a b θθ== C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==解析：sin sin 21cos 2tan ,cos 2,sin 2cos 1cos 2sin 2a b θθθθθθθθθ-===∴==+ 时，式子①③与tan θ的值相等，故选A ．答案：A9．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M A B = ，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（）A ．15[,]22B ．5]22C ．1[,22D ．[22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M所表示的图象如图中阴影部分所示，而d =表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ．10．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2O B O C O P += (),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC C λλ++∈+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过A B C ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：设线段BC 的中点为D ，则2O B O CO D += ，∴2O B O C O P += ()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ++ ()||cos ||cos AB ACO D AB B AC Cλ=++，∴()||cos ||cos AB ACO P O D D P AB B AC Cλ-=+=，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCD P BC BC AB B AC C AB B AC C λλ⋅⋅⋅=+⋅=+||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC Cπλλ-=+=-+=， ∴D P BC ⊥，即点P 一定在线段B C 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过A B C ∆的外心，选C ．答案：C二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上．11．1220xe dx =⎰______________．解析：1122220011|(1)22xxe dx ee ==-⎰．答案：1(1)2e -12．定义运算a c ad bc bd=-，复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模为_______________．解析：由11z i i i=+得1212i zi i i z i i+-=+⇒==-，∴z ==．13．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．解析：1r =≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，则由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π14．已知函数2()m f x x -=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m =_______．解析：由已知必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-；当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去；当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-．答案：1-15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2xxe e shx --=和双曲余弦函数2x xe echx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式．解析：由右边2222x xy yx xy ye ee ee ee e----++--=⋅-⋅1()4x yx yx yx yx y x yx yx ye eee eee e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x yx y x yx y ee eech x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式．解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，……………………2分又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ……………………5分（2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a--=-=+-+，即13n n a a -=-，易证数列各项不为零（注：可不证），故有113n n a a -=-对2n ≥恒成立，∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列，∴1111()(1)333n n nn a ---=-=-， ……………………10分∴33log ||log 3nn n b a n -===-． ……………………12分17．（本小题满分12分）已知 1:(),3x p f x -=且|()|2f a <；q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：若1|()|||23a f a -=<成立，则616a -<-<，即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分若A ≠∅，则方程2(2)10x a x +++=有实数根，由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，故知所求a 的取值范围是(,5](4,0)[7,)-∞--+∞ ． ……………………12分（注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分） 18．（本小题满分12分）已知A B C ∆的两边长分别为25A B =，39AC =，且O 为A B C∆外接圆的圆心．（注：39313=⨯，65513=⨯）（1）若外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长；（2）求AO BC ⋅的值．解答：（1）由正弦定理有2sin sin A B A C R CB ==，∴253965sin sin CB==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-，∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin B C R A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分（2）由已知AO OC AC += ，∴22()AO OC AC += ，即2222||2||||39AO AO O C O C AC +⋅+==……………………8分同理AO OB AB += ，∴2222||2||||25A O A O O B O B A B +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO O C AO O B ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅= ，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点．（1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实；（2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小；（3）求点G 到平面BCE 的距离．解法一：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,0,1)B，(1,0)C ，（1）点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，则点F的坐标为1(,1)22F，∴3(,0)22B F =- ，显然BF与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………………4分（2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥ ，且n CE ⊥ ，由(1,C B =，(1,2)C E =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =12x z =⎧⎨=⎩，即2)n = ，∴所求角θ满足(0,0,1)cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……………………8分（3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE的法向量为(1,2)n =，∴所求距离||||BG n d n ⋅==……………………12分解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ，…………………2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由B F ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//B F ∴平面ACD ； ……………4分（2）由已知条件可知A C D ∆即为B C E ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos AC D BC ES S θ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE =CE =∴1||2BC E S C E ∆==而2||4AC D S AC ∆==∴cos 2AC D BC ES S θ∆∆==，而02πθ<<，∴4πθ=； ………………8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ，由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ，又C G A D ⊥，∴C G ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BG E G BC E V V --=即1133BG E BC E S G C S h ∆∆⨯=⨯，E由32B G E S ∆=，BCE S ∆=C G =∴B G E B C ES G C h S ∆∆⨯===G 到平面BCE 的距离．………………12分20．（本小题满分13分）已知椭圆22221y x ab+=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e=5，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解答：（1）由已知4b =，且5c a =，即2215c a=，∴22215a b a-=，解得220a =，∴椭圆方程为2212016yx+=； ……………………3分由224580x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，∴10x =，2409x =，∴所求弦长21||||9M N x x =-=； ……………………6分（2）椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2B F F Q =，又(0,4)B ，∴00(2.4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-，求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………………9分设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， ……………………11分以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545M N y y x x k x x y y -+==-=-=-+- ∴，故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=． ……………………13分（注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分） 21．（本小题满分14分）已知函数[)1()ln 1,sin g x x x θ=++∞⋅在上为增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m ef x m x x x-+=--，m ∈R ．（1）求θ的值；（2）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值；（3）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围．解答：（1）由已知/211()0sin g x xxθ=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立，即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅，∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立，只需sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，∴只有sin 1θ=，由(0,)θπ∈知2πθ=； ……………………4分（2）∵0m =，∴12()ln e f x x x-+=--，(0,)x ∈+∞，∴/2221121()e e xf x xxx---=-=，令/()0f x =，则21x e =-(0,)∈+∞，∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：即函数的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ……………………9分（3）令2()()()2ln m e F x f x g x m x x x+=-=--，当0m ≤时，由[1,]x e ∈有0m m x x-≤，且22ln 0e x x --<，∴此时不存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立；当0m >时，2/222222()m e mx x m eF x m xxx+-++=+-=，∵[1,]x e ∈，∴220e x -≥，又20mx m +>，∴/()0F x >在[1,]e 上恒成立，故()F x 在[1,]e 上单调递增，∴m ax ()()4m F x F e m e e==--，令40m m e e-->，则241e m e >-，故所求m 的取值范围为24(,)1e e +∞-． ……………………14分。

湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联考数学理试题(Word版含解析)

湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三（上）期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将zi=2+i变形，可求得z，再将其分母实数化即可．解答：解：∵zi=2+i，∴z====1﹣2i，故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将其分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分））设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5考点：集合的包含关系判断及应用．专题：压轴题．分析：由P（2，3）∈A∩（∁U B）则点P既适合2x﹣y+m＞0，也适合x+y﹣n＞0，从而求得结果．解答：解：∁U B={（x，y）|x+y﹣n＞0}∵P（2，3）∈A∩（∁U B）∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0∴m＞﹣1，n＜5故选A点评：本题主要考查元素与集合的关系．3．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据点P与正方体各表面的距离都大于，则所在的区域为以棱长为的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．解答：解：符合条件的点P落在棱长为的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得．故选A．点评：本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．4．（5分）（2012•湘潭三模）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．分析：画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．解答：解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选B．点评：用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．5．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2的零点个数是（）个．A．0B．1C．2D．3考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故函数f（x）=2x+x3﹣2在R上有唯一零点．故选B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A ．B ．C ．D ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，然后利用裂项求和即可求解解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，而．故选C ．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能 7．（5分）设函数y=f （x ）在定义域内的导函数为y=f ′（x ），y=f （x ）的图象如图1所示，则y=f ′（x ）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象．解答：解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D点评：解决函数的单调性问题，一般利用单调性与导函数符号的关系：导函数大于0函数递增；导函数小于0函数递减．8．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1 B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈[0，π]时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉[0，π]时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．9．（5分）已知直线：A1x+B1y+C1=0（C1≠0）与直线l2：A2x+B2y+C2=0（C2≠0）交于点M，O为坐标原点，则直线OM的方程为（）A．B．C．D．考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．专题：综合题；直线与圆．分析：将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O、M的坐标是否均满足该直线的方程即可判断．解答：解：x+y+1=0，l2：x+y+1=0，两式相减得（﹣）x+（﹣）y=0．∵点O、M的坐标都满足该直线的方程，∴点O、M都在该直线上，∴直线OM的方程为（﹣）x+（﹣）y=0．故选A．点评：本题考查两条直线的交点坐标，考查转化思想与分析验证能力，属于难题．10．（5分）若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．10πB．25πC．50πD．100π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，其外接与球，它的对角线的长为球的直径，得长方体的体对角线的长为，∴长方体的外接球的半径为，∴球的表面积为50π，故选C．点评：本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11～14题）（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）11．（5分）（2012•临沂二模）为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．12．（5分）若是函数f（x）=asinx+bcosx（a、b均为常数）图象的一条对称轴，则的值为．考点：正弦函数的对称性；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由辅助角公式可得f（x）=asinx+bcosx=（θ为辅助角），结合对称轴经过函数图象的最高点或最低点可求解答：解：∵f（x）=asinx+bcosx=（θ为辅助角）∵x=是函数的对称轴且对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴．故答案为：点评：本题考查了正弦函数的性质的应用，利用辅助角公式化简函数y=asinx+bcosx为一个角的一个三角函数的形式是求解问题的关键13．（5分）（2011•河南模拟）（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为﹣16，则实数a的值为2或3．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用完全平方公式将第一个因式在看；利用二项展开式的通项公式求出第二个因式的x3，x2，x项的系数；求出（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数，列出方程求出a的值．解答：解：∵（1﹣ax）2=1﹣2ax+a2x2，又（1+x）6展开式的通项为T r+1=C6r x r，所以（1+x）6展开式中含x3，x2，x项的系数分别是C63；C62；C61．所以（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为C63﹣2aC62+a2C61∴C63﹣2aC62+a2C61=﹣16解得a=2或a=3．故答案为：2或3．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等价转化的能力．14．（5分）若z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A 时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．15．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为3．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题．分析：利用圆的切线性质、切割线定理、勾股定理即可得出．解答：解：由AD与圆O相切于点D，根据切割线定理可得AD2=AE•AB，又AD=2，AE=1，∴．由CD，CB都是圆O的切线，根据切线长定理可得，设CD=x，则CB=x．由切线的性质可得：AB⊥BC，∴AB2+BC2=AC2，∴42+x2=（x+2）2，得x=3，即CD=3．故答案为3．点评：熟练掌握圆的切线性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．16．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．解答：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个焦点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=|x+2|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣|3x﹣4|≤1；（2）若f（x）+|x﹣a|＞1恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）依题意|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，通过分类讨论去掉绝对值符号，再解，最后取其并集即可；（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，利用绝对值的几何意义得|MA|+|MB|≥|AB|即可；方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）﹣|3x﹣4|≤1得|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，即或或得解集为{x|x≤，或x≥}．（6分）（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，则“f（x）+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|x+2|+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|MA|+|MB|＞1恒成立”．∵|MA|+|MB|的最小值为|AB|，即|a+2|，∴|a+2|＞1，得a+2＞1，或a+2＜﹣1，即a＞﹣1，或a＜﹣3．方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，∴|a+2|＞1，解得a＞﹣1，或a＜﹣3．（12分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与绝对值不等式的几何意义，考查推理与运算能力，属于难题．18．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图可求得其周期T，继而可求得ω，再利用点（，2）在图象上可求得φ，从而可求得其解析式；（2）利用三角函数间的关系及倍角公式，辅助角公式可求得h（x）=sin（6x+）+，利用正弦函数的单调性即可求得h（x）的单调递增区间．解答：解：（1）∵T=（﹣）=，∴ω==3，∴f（x）=2sin（3x+φ）．∵点（，2）在图象上，∴2sin（3×+φ）=2，即sin（φ+）=1，∴φ+=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ+．故f（x）=2sin（3x+）．（6分）（2）h（x）=2sin（3x+）cos3x=2（sin3xcos+cos3xsin）cos3x=（six3xcos3x+cos23x）=（sin6x+cos6x+1）=sin（6x+）+．由2kπ﹣≤6x+≤2kπ+（k∈Z）得函数h（x）的单调递增区间为[﹣，+]（k∈Z）．（12分）点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的单调性，考查化归思想与综合运算能力，属于难题．19．（12分）某单位进行这样的描球游戏：甲箱子里装有3个白球，2个红球，乙箱子里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．（1）求在1次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题．分析：（1）①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；（2）确定在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，求出相应的概率，即可写出分布列，求出数学期望．解答：解：（1）①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=•=②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=•+•=且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣2=，P（X=1）=C21×（1﹣）=，P（X=2）=（2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：方法1：（1）通过证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．利用．求出二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）先证明NE⊥平面MAC，通过解三角形求出点N到平面MAC的距离，利用点N是线段BC的中点，推出点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍．方法2：（1）同方法一；（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），求出有关点的坐标，利用，求出设平面MAC的一个法向量为，求出平面ABC的一个法向量为．利用．得到二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）利用点B到平面MAC的距离．解答：解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．在△ACN中，．在Rt△AMN中，．在Rt△NCH中，．在Rt△MNH中，∵，∴．故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点，∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由得得∴．平面ABC的一个法向量为．．显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）点B到平面MAC的距离．（12分）点评：本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，二面角的求法，点到平面的距离的求法，几何法与向量法的区别与联系，考查空间想象能力与计算能力．21．（13分）已知斜率为﹣2的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为．直线l2与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O 为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）求λ的值；（3）求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；方程思想；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程作差，据中点坐标公式、直线斜率公式即可求得a2值；（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m，由，用横坐标表示出来即可求得λ值；（3）将直线l2的方程与椭圆方程联立消y，由（2）的结论及韦达定理可得k，m的关系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范围；解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵，，∴两式相减得，即=0，即，得，所以椭圆C的方程为2x2+y2=1．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m（∵l2与y轴相交，∴l2的斜率存在）．由，得，得，即，将①代入②得（λ﹣3）m=0，∵m≠0，∴λ=3．（3）将y=kx+m代入2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0．∵λ=3，∴由消去x3、x4得，．由△＞0得k2＞2（m2﹣1），即2（m2﹣1），即，即，解得，或．所以m的取值范围为，或．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理、判别式是解决该类问题的基础知识，应熟练掌握，涉及弦中点问题常考虑“平方差法”．22．（14分）在数列中，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（3）求证：．数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）方法一：由已知变形得，利用“累乘求积”即可得出；方法二：利用得到a n的关系式，再利用“累乘求积”即可得出；（2）根据所求的数列的通项公式的特点，利用等差数列的前n项和公式，可先求出当n为偶数时的T n，进而即可得出n为奇数时的T n；（3）通过构造函数，利用函数的单调性及裂项求和即可证明．解答：解：（1）方法1：∵，且S1=a1=1，∴当n≥2时，，且S1=1也适合．当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．方法2：∵nS n+1﹣（n+3）S n=0，∴（n﹣1）S n﹣（n+2）S n﹣1=0，两式相减，得n（S n+1﹣S n）=（n+2）（S n﹣S n﹣1），即na n+1=（n+2）a n，即．又∵可求得a2=3，∴也适合上式．综上，得．当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．（2）．设．当n为偶数时，∵，∴．当n为奇数（n≥3）时，，且T1=c1=﹣4也适合上式．综上：得．（3）令f（x）=x﹣ln（1+x）．当x＞0时，∵，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．令，得，∴，∴，∴．点数列掌握数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、通项公式与前n项和的关系评：、“累乘求积”、构造函数并利用函数的单调性及裂项求和是解题的关键．。

2013届高三数学试题分类汇编专题三导数(理)

专题三导数(理)一．基础题1.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】若21(4),0()1,0xf x xf xe dt xt->⎧⎪=⎨+⎰≤⎪⎩则(2012)f等于A. 0B. ln2C. 21e+ D.1ln2+2.【山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考】已知0>t，若8)22(=-⎰t dxx，则t=A.1B.-2C.-2或4D.43.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】点P在曲线323+-=xxy上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．［0，2π］B．［0，2π）∪［43π,π)C．［43π,π) D．(2π,43π］4.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试】已知1()cos,f x xx=则()()2f fππ'+= A．2π-B．3πC．1π-D．3π-5.【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】已知函数f （x ）＝sinx 和g （x ）＝cosx 的定义均为［a ，b ］，若g （a ）·g （b ）＜0，则下列判断错误的是（）A 、f （x ）在［a ，b ］必有最小值B 、g （x ）在［a ，b ］必有最大值C 、f （x ）在［a ，b ］必有极值D 、g （x ）在［a ，b ］必有极值6.【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】已知函数32239124,1,()1,1,x x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨+>⎪⎩若2(21)(2)f m f m +>-，则实数m 的取值范围是．【答案】(1,3)-【解析】本试题主要考查了分段函数的单调性的运用。

因为函数32239124,1,()1,1,x x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨+>⎪⎩，可知32223239124,1,'918129(1)3039124=-+-≤=-+=-+>∴=-+-y x x x x y x x x y x x x7.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】已知不等式310x a -<+的解集为（-1，2)，则203(1)dx x a-+⎰= ____ .8.【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校2013届高三上学期第一次联考】如图，已知幂函数ay x =的图象过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于 .9.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】2(2)xx e dx-⎰=___.___.10.【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】122xe dx=⎰______________．11.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】已知函数sin,(0)2()22,()2x xf xx xππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，则()f x dxπ=⎰12.【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校2013届高三上学期第一次联考】已知函数32()3f x x ax x=--在区间[1,)+∞上是增函数，则实数a的取值范围是．【答案】](,0-∞.【解析】'2()323f x x ax=--，令'()0f x≥，所以23230x ax--≥，所以3322a xx≤-在区间[1,)+∞上恒成立，所以令33()22g x xx=-，所以'236()024g xx=+>，所以()g x在[1,)+∞上是增函数，所以33(1)022a g≤=-=，所以a的取值范围是](,0-∞二．能力题1.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】已知函数()y f x=是定义在实数集R 上的奇函数，且当()()0,0x f x xf x'>+>（其中()f x'是()f x的导函数），设()1122log4log4,22,a fb f⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg5c⎛⎫= ⎪⎝⎭115f g⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是A.c a b>> B.c b a>> C.a b c>> D.a c b>>2.【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校2013届高三上学期第一次联考】、设函数()()xf xF xe=是定义在R上的函数，其中()f x的导函数()f x'满足()()f x f x'<对于x R∈恒成立，则（）A．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f>>B．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f<<C．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f<>D．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f><3.【湖北省武汉市2013届高三11月调研测试】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（） A ．41 B ．51 C ．61 D ．71 4.【山西大学附属中学2013届高三10月月考】已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则)2(f 等于( )A.11或18B.11C.18D.17或185.【山西大学附属中学2013届高三10月月考】设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是（）A.]6,3[B.]34,3[+C.]6,34[-D.]34,34[+-6.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈且122x x a +=，恒有12()()2f x f x b +=，则称点（a ，b ）为函数()y f x =图像的对称中心，研究并利用函数32()3sin f x x x x π=--的对称中心，可得1240224023()()()()2012201220122012f f f f ++++=7.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有'2()()0xf x f x x-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（） A ．(,2)(2,)-∞-+∞ B ．(2,0)(0,2)- C ．(,2)(0,2)-∞- D ．(2,0)(2,)-+∞三．拔高题1.【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校2013届高三上学期第一次联考】、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，),1()(-=-x e x f x给出以下命题：①当x 0<时，)1()(+=x e x f x； ②函数)(x f 有五个零点；③若关于x 的方程m x f =)(有解，则实数m 的取值范围是)2()2(f m f ≤≤-； ④对1221,,()()2x x R f x f x ∀∈-<恒成立. 其中，正确命题的序号是 . 【答案】①④.由图可知，若关于x 的方程m x f =)(有解，则11m -<<，且对1221,,()()2x x R f x f x ∀∈-<恒成立.2.【山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考】已知函数)(x f 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，下列关于函数)(x f 的命题；①函数)(x f 的值域为［1，2］；[来源:学科网] ②函数)(x f 在［0，2］上是减函数；③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点.x-10 245 F(x) 1 21.5 21其中正确命题的序号是 .3.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】（本小题满分12分）已知函数32()(,)f x ax x ax a x =+-∈R ．（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，试求a 的取值或取值范围；（3）设函数118()()(2)1333h x f x a x a '=++-+，(]1,x b ∈-，(1)b >-，如果存在(],1a ∈-∞-，对任意(]1,x b ∈-都有()0h x ≥成立，试求b 的最大值．【解析】本题主要考查导数概念以及极值的求法，函数单调性的判别方法以及最值思想的应用，同时考查导数的基本思想方法和综合解题能力。

「湖北黄梅一中2013年高考数学模拟题(含详解)」

湖北高考模拟试题湖北省优秀学科教师黄冈名师黄冈学术带头人黄冈骨干教师黄冈师范学院硕士生导师黄梅首届名师黄梅十佳教师中国奥赛一级教练员黄梅一中王卫华邮编4３5500 133299488３9参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．柱体的体积公式V=S ｈ , 其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kk kn n P k p p -=-.一．选择题：本大题共１0小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知方程20()x bx c b c R ++=∈、的一个根是45i -+，则b c +=( )A.－4９B. 49C. ３3 D ． -３32.已知命题3:1,20p x x ∃>->,那么p ⌝是（）A. 31,20x x ∀≤-≤ B ． 31,20x x ∃>-≤ C ． 31,20x x ∀>-≤ D ． 31,20x x ∃≤-≤３．一个正三棱锥的棱长相等，体积为64图所示,则此三棱锥的左视图的面积是（ )A ．2 B.32 C. 23 D ．4．执行右面的程序框图，如果输入ａ=5，那么输出的n 的值为( Ａ. 2 Ｂ． 3 C. 4 Ｄ． 55.已知{}n a 为等比数列，5963a a +=，73a =，则113a a +=( )Ａ. 543 Ｂ.903 C. 54 D ． 9０ 6.设函数()[]f x x x =-，其中][x 为不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-,[1.2]1=.又函数24()3x g x -=,()f x 在区间(1,1)-上零点的个数记为m ,()f x 与()g x 图像交点的个数记为n ,则()nmg x dx ⎰的值是（ )A ．0ﻩ B.769-ﻩ C.29- D. 749-7.已知长方体1111D C B A ABCD -的体积为24,且异面直线1BC 与AD 所成角的正切值为12，则该长方体过同一顶点的三条棱长之和的最小值为( ) A. 18 B. 362 C. 9 D ． 68.如图所示,旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中３分处的概率为a ,落在圆盘中2分处的概率为b ,落在圆盘中0分处的概率为c (a ,ｂ，ｃ∈(0，1))，已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分,则错误!的最小值为( )Ａ.错误!未定义书签。

湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试数学(理)试题

湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学命题学校：黄冈中学考试时间：2013年1月30日15:00——17:00试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数z 满足i 2i z =+，则z等于（）A ．2i -B ．2i --C ．12i +D ．12i - 2．设集合{(,)|,},{(,)|20},{(,)|0U x y x y A x y x y m B x y x y n =∈∈=-+>=+-≤R R ，那么点(2,3)()U P A B ∈ ð的充要条件是（）A ．1m >-且5n <B ．1m <-且5n <C ．1m >-且5n >D ．1m <-且5n > 3．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中随机地取一点P ，则点P 与正方体各表面的距离都大于3a 的概率为（）A ．127B ．116C ．19D ．134．设曲线2y x=与直线y x=所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( )A ．12()d S x x x=-⎰ B ．12()d S x x x=-⎰C ．12()d Sy y y=-⎰D．10(Sy y=-⎰5．函数()2lg(1)2xf x x =++-的零点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．36．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A ．12B ．23C ．34D ．457．设函数()y f x =在定义域内的导函数为()y f x '=，若()y f x =的图象如图1所示，则()y f x '=的图象可能为（）黄冈中学孝感高中8．已知两不共线向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，则下列说法不．正确．．的是（） A ．||||1==a b B ．()()+⊥-a b a b C ．a 与b 的夹角等于αβ- D ．a 与b 在+a b 方向上的投影相等9．已知直线1l ：11110(0)A x B y C C ++=≠与直线2l ：22220(0)A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为（）A ．12121212()()0A AB B x yC C C C -+-= B ．12121212()()0A AB B x yC C C C ---= C ．12121212()()0C C C C x y A A B B -+-=D ．12121212()()0C C C C x y A A B B ---=10．若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11～14题）11．为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1﹕2﹕3，第2小组的频数为12，则被抽查的男生的人数是．12．若8x π=是函数()s i n c o s f x a x b x=+（a 、b 均为常数）图象的一条对称轴，则()8f π的值为．13．在26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为．14．若0,2sin cos ,x x y x π⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩2z x y =+，则z 的取值范围是．（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）15．（选修4－1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC 中，90B ∠=︒．O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2,1AD AE ==，则CD 的长为．16．（选修4－4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1:sin )1C ρθθ+=与曲线2:(0)C a a ρ=>的一个交点在极轴上，则a 的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()|2|f x x =+．（1）解关于x 的不等式()|34|1f x x --≤；（2）若()||1f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的一段图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）若()cos 3,()()()g x x h x f x g x == ，求函数()h x 的单调递增区间．19．（本小题满分12分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X ：①求X 的分布列；②求X 的数学期望．20．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB∠=︒，PM ∥BC ，1,2PMBC ==．又1AC=，120,AC B AB PC∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒．（1）求证：PCAC ⊥；（2）求二面角M AC B--的余弦值；（3）求点B 到平面MAC 的距离．21．（本小题满分13分）已知斜率为2-的直线1l 与椭圆222:1(0)x Cy a a+=>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为11(,)22E ．直线2l 与y 轴交于点(0,)(0)M m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,P Q ，O 为坐标原点，且,4,PM MQ OP OQ OM λλλ=+=∈R．（1）求椭圆C 的方程；（2）求λ的值；（3）求m 的取值范围．22．（本小题满分14分）在数列*{}()n a n ∈N 中，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若24()n na b n =，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ；（3）求证：12121119n na a a a a a +++< ．湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学参考答案1．D 解析：∵22i (2i)i 2i 112ii1iz ++-====--，∴选择“D ”．2．A解析：∵(2,3)()U P A B ∈ ð，∴(2,3)P A ∈，且(2,3)P B ∉，∴2230,230,m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩得1,5.m n >-⎧⎨<⎩故选择A ．3．A解析：符合条件的点P 落在棱长为3a 的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得33()1327a P a==．故选A ．4．B解析：将曲线方程2y x=与直线方程y x=联立方程组，解得0x=或1x=．结合图形可知选项B 正确．5．B解析：方法1：∵(0)10,(1)l g20f f =-<=>，∴()f x 在(0,1)内必有一个零点．又∵()f x 在(1,)-+∞上为增函数，∴()f x 有且仅有1个零点．方法2：由()0f x =得lg(1)22xx +=-+．作出函数()lg(1)g x x =+与()22xh x =-+的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程()0f x =有且仅有一个根，即函数()f x 有且仅有一个零点．6．C解析：11131223344++=⨯⨯⨯．故选C ．7．D解析：∵当0x<时，函数()f x 为增函数，∴当0x<时，()0f x '>．又∵当0x>时，随着x 的增大，函数值先递增，再递减，最后又递增，∴选择“D ”．8．C解析：①A 显然正确． ②∵22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，∴()()+⊥-a b a b ，∴B 正确．③cos ,cos cos sin sin cos()||||αβαβαβ⋅<>==⋅=+=-⋅a b a b a b a b ．当[0,]αβπ-∈时，,αβ<>=-a b ；当[0,]αβπ-∉时，,αβ<>≠-a b ．故C 不正确．④∵22()()||||||||||||⋅+⋅+=⇔+⋅=⋅+⇔=++a a b b a b a a b a b b a b a b a b ，∴D正确．故选择“C ”． 9．A黄冈中学孝感高中解析：1l ：111110A B x y C C ++=，2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减得12121212()()0A AB B x yC C C C -+-=．∵点O 、M 的坐标都满足该直线的方程，∴点O 、M 都在该直线上，∴直线OM 的方程为12121212()()0A AB B x yC C C C -+-=．故选“A ”．10．C解析：该几何体是三棱锥，将该三棱锥视为长方体的一个角，得长方体的体对角线的长为=，∴三棱锥的外接球，即长方体的外接球的半径为2，∴球的表面积为50π，选择“C ”．11．48解析：设被抽查的男生的人数为n ．∵后两组的频率之和为(0.01250.0375)50.25+⨯=，∴前三组的频率之和为0.75．又∵前三组的频数分别为6,12,18，∴612180.75n++=，得48n =．12．解析：∵对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴()8f π=．13．2或3解析：展开式中3x 的系数为3425666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a=或3．14．[0,6π+解析：作出可行域如图所示．直线2x yz+=与y 轴交于点(0,)2z．设直线2x y z+=与曲线cos (0)2yx x π=≤≤相切于点A ．∵由1sin 2y x '=-=-得6xπ=，∴(62A π，代入2x yz+=得6zπ=+(0,0)O 代入2x y z+=得0z=．故z 的取值范围为[0,6π+．15．3 解析：∵2AD AE AB=⋅，∴24ADABAE==．设CD x =，则CBx=．∵222AB BCAC+=，∴2224(2)x x +=+，得3x =，即3C D =．162解析：将极坐标方程化为普通方程，得2221210,:C y C x y a +-=+=．在1C 中，令y =，得2x=，再将0)2代入2C 得2a =．17．解：（1）由()|34|1f x x --≤得|2||34|1x x +--≤，即2,(2)(34)1,x x x <-⎧⎨-++-≤⎩或42,3(2)(34)1,x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪++-≤⎩或4,3(2)(34)1,x x x ⎧≥⎪⎨⎪+--≤⎩得解集为35{|,}42x x x ≤≥或．（6分）（2）方法1：在数轴上，设点,,A B M 对应的实数分别为2,,a x -，则“()||1f x x a +->恒成立”⇔“|2|||1x x a ++->恒成立”⇔“||||1MA MB +>恒成立”．∵||||MA MB +的最小值为||AB ，即|2|a +，∴|2|1a +>，得21a +>，或21a +<-，即1a >-，或3a <-．方法2：由绝对值三角不等式得|2||||(2)()||2|x x a x x a a ++-≥+--=+，∴|2|1a +>，得1a >-，或3a <-．（12分）18．解：（1）∵24()4123T πππ=-=，∴23Tπω==，∴()2sin(3)f x x ϕ=+．∵点(,2)12π在图象上，∴2sin(3)212πϕ⨯+=，即sin()14πϕ+=，∴2()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即24k πϕπ=+．故()2sin(3)4f x x π=+．（6分）（2）2()2sin(3)cos 32(sin 3coscos 3sin)cos 33cos 3cos 3)444h x x x x x x x x x πππ=+=+=+6cos 61)sin(6)242x x x π=++=++262()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得函数()h x 的单调递增区间为[,]()38324k k k ππππ-+∈Z ．（12分）19．解：（1）记“在一次游戏中摸出k 个白球”为事件(0,1,2,3)k A k =． ①2132322531()5C C P A C C==．（3分）②22111323222323225317()()()510C C C C C P A A P A P A C C +=+=+=．（6分）（2）1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100P XP X C P X ==⨯===⨯===⨯=．（9分）①X②X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=．（12分）【或：∵7(2,)10XB ，∴77()2105E X =⨯=】 20．解：方法1：（1）∵,PCBC PC AB⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PCAC⊥．（2分）（2）取BC 的中点N ，连MN ．∵P MC N =，∴M NP C=，∴M N⊥平面ABC ．作N H ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ．由三垂线定理得AC MH ⊥，∴M HN ∠为二面角MAC B --的平面角．∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AM N ∆中，60AM N ∠=︒．在AC N ∆中，AN ==在Rt AM N ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒=．在Rt NCH ∆中，sin 1sin 602N HC N N C H =⋅∠=⨯︒=．在Rt M NH ∆中，∵2M H ==，∴cos 7N H M H NM H∠==．故二面角M AC B --7（8分）（3）作NEM H⊥于E ．∵AC ⊥平面MNH ，∴ACN E⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到平面MAC的距离为7M N N H N E M H⋅==N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC7（12分）方法2：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分）（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设(0,0,)P z ，则(0,0,)CP z =．13(0,1,),0)(,)2222AM z z =--=- ．∵2cos 60|cos ,|||||||AM C PAM C P AM C P ⋅︒=<>==⋅且z >，∴12=，得1z =，∴3(,1)22AM =-．设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则由0,0AM C A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n得310,2210,22y y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得31,x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)3=-n ．平面ABC的一个法向量为(0,0,1)CP =．cos ,7||CP CP ||CP ⋅<>==⋅ n n n ．显然，二面角MAC B--为锐二面角，∴二面角MAC B--7（8分）（3）点B 到平面MAC的距离||||7C B d⋅==n n ．（12分）21．解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212121,1,2y y x x y y x x -+=+==--．∵221121,x y a+=222221x y a+=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a+-++-=，即121212212()x x y y y y x x a+-++-=，即211(2)0a+⨯-=，得212a =，∴椭圆C 的方程为2221x y +=．（4分）（2）解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+（∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在）．由,4PM M Q O P O Q O Mλλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩即3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧⎨+++= ⎩①②将①代入②得(3)0m λ-=，∵0m≠，∴3λ=．解法2：∵PM M Q λ= ，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+，又∵OP OQ λ+= 4OM ，∴(1)4OM OMλ+=，∴(3)OM λ-=0，又∵OM ≠0，∴3λ=．（8分）（3）将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=．∵3λ=，∴由3434223423,2,212x x km x x k m x x k ⎧⎪=-⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩消去3x 、4x 得2222(1)41m km -=-．由0∆>得222(1)k m >-，即222(1)41m m ->-22(1)m -，即222(1)041m m m -<-，即(1)(1)0(21)(21)m m m m +-<+-，得112m -<<-，或112m <<．（13分）22．解：（1）方法1：∵*13()n n S n n S n ++=∈N ，且111S a ==，∴当2n≥时，3211214562(1)(2)112316n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- ，且11S =也适合．当2n≥时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且11a =也适合，∴*(1)()2nn n a n +=∈N ．方法2：∵1(3)0n n nS n S +-+=，∴1(1)(2)0n n n S n S ---+=，两式相减，得11()(2)()n n n n n S S n S S +--=+-，即1(2)n nna n a +=+，即12(2)n na n n a n++=≥．又∵可求得23a =，∴213a a =也适合上式．综上，得*12()n na n n a n++=∈N ．当2n≥时，3211213451(1)112312n n n a a a n n n a a a a a n -++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- ，且11a =也适合，∴*(1)()2nn n a n +=∈N ．（4分）（2）2(1)nb n =+．设2(1)(1)(1)nnnn c b n =-=-+．当n 为偶数时，∵1221(1)(1)(1)21n n n n c c n n n --+=-⋅+-⋅+=+，12341[5(21)](3)2()()()5913(21).22n n n nn n n T c c c c c c n -+++=++++++=+++++==∴当n 为奇数（n ≥3）时，221(1)(2)34(1)22nn n n n n n T T c n --+++=+=-+=-，且114T c ==-也适合上式．综上：得234(),2(3)().2n n n n T n n n ⎧++-⎪⎪=⎨+⎪ ⎪⎩为奇数为偶数（9分）（3）令()ln(1)f x x x =-+．当0x >时，∵1()101f x x'=->+，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴当0x>时，()(0)0f x f >=，得ln(1)x x +<．令1(1,2,,)ixi n a == ，得11211ln(1)2()(1)1iia a i i i i +<==-++，∴11111111ln(1)2[(1)()()]2(1)222311ni ia nn n =+<-+-++-=-<++∑ ，即12111ln[(1)(1)(1)]2na a a +++< ，即21212111e 9n na a a a a a +++<< ．（14分）。

湖北省黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试数学理(附答案)

湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．设非空集合P 、Q 满足PQ P =，则（）A ．,x Q x P ∀∈∈有B ．x Q ∀∉，有x P ∉C ．0x Q ∃∉，使得0x P ∈D ．0x P ∃∈，使得0x Q ∉2．已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3．设随机变量ξ服从正态分布N (3，7)，若(2)(2)P a P a ξξ>+=<-，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ，且()2,M N b =，则()a b +=A ．6B ．7C ．8D ．9 5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）正视图侧视图俯视图（第5题图）（第6题图） A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2π D ．4+π 6．如右上图，已知k 为如图所示的程序框图输出的结果，二项式1k nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．77．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x +y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且“x y ≠”，则概率()P B A =（）22 2212231∙第15题图O CDBAA ．12 B ．13 C ．14 D ．258．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是( ) A ．32B ．2C ．73D ．2569．设y x ,满足约束条件223231x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若224x y a +≥ 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．12 B ．34 C ．45D ．5610．已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分．11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生人． 12．已知函数32()f x x ax bx =-++ (,a b ∈R )的图象如下图所示，它与x 轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为．13．某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2013时，对应的指头是 (填指头的名称)．14．设12,F F 是椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，当12F PF ∠取最大值时的余弦值为149-．则（Ⅰ）椭圆的离心率为；（Ⅱ）若椭圆上存在一点A ,使()220OA OF F A +⋅=(O 为坐标原点)，且12AF AF λ=,则λ的值为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,C ∠=72° ,⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC ＝15-,则AC = ． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 2ρθ=，π4cos (00)2ρθρθ=<，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设角C B A ,,是ABC ∆的三个内角,已知向量(sin sin ,sin sin )m A C B A =+-，(sin sin ,sin )n A C B =-,且m n ⊥.(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若向量2(0,1),(cos ,2cos )2Bs t A =-=,试求s t +的取值范围.18．（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；校车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．19．（本题满分12分）如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，1,2AB AD CD a PD ====. （Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ；（Ⅱ）求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小．20．（本题满分12分）已知正项数列{a n } 的前n 项和22n n n a a S +=，1(1)2nn na b a =+．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）定理：若函数)(x f 在区间D 上是下凸函数，且()f x '存在，则当1212(,)x x x x D >∈时，总有12112()()()f x f x f x x x -'<-．请根据上述定理，且已知函数1()n y x n +=∈+N 是 ),0(+∞上的下凸函数，证明：b n ≥ 32 ．21．（本题满分13分）抛物线P :py x 22=上一点(,2)Q m 到抛物线P 的焦点的距离为3，,,,A B C D为抛物线的四个不同的点，其中A 、D 关于y 轴对称，00(,)D x y ，11(,)B x y ， 22(,)C x y ，2010x x x x <<<- ，直线BC 平行于抛物线P 的以D 为切点的切线．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）证明：CAD BAD ∠=∠；（Ⅲ）D 到直线AB 、AC 的距离分别为m 、n，且m n +=，ABC ∆的面积为48，求直线BC 的方程．22．（本题满分14分）已知函数()(1)x f x e a x =-+在ln 2x =处的切线的斜率为1．（e 为无理数，271828e =）（Ⅰ）求a 的值及()f x 的最小值；（Ⅱ）当0x ≥时，2()f x mx ≥，求m 的取值范围；（Ⅲ）求证：42ln 12ni i ie =<∑(,)i n +∈N ．（参考数据：ln 20.6931≈）数学（理）试卷答案及解析选择填空：BDCBA BBACB11．20 12．1- 13．小指 14．57， 3443或 15．2 16．)4π1．【解析】,P Q P P Q =⇒⊆故选B ．2．【解析】1()1,2,1,12x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D ． 3．【解析】由题意知对称轴为3，故选C ．4．【解析】{05},2,5,M x x a b =<<∴==故选B ．5．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分2π，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．故选A ． 6．【解析】由程序框图得4k =，通项公式451r n rr n T C x-+=，n ∴的最小值为为5．故选B ． 7．【解析】23/36()1()()(3333)/36 3.A P AB P B A P A ===⨯+⨯故选B ．8．【解析】6542a a a =+，2444a q a q a ∴=+，解得1(2q q =-=舍）或，14a =得2221116,6m n a q a m n +-=∴+=，21411413()()(12)662m n m n m n ∴+=⋅++=⨯+≥（当2,4m n ==取等），故选A ． 9．【解析】作出可行域，由a y x ≥+224恒成立知22min (4)a x y ≤+令224t x y =+，由图可知，当直线1x y +=与椭圆224x y t +=相切时，t 最小，消x 得：25210,0y y t -+-=∆=由得4,5min t =∴45a ≤．故选C ．10．【解析】由题意可得(4)()()f x f x f x +=-=，∴函数的周期是4，可将问题转化为()y f x =与11||y x =-在区间[10,10]-有几个交点．如图：由图知，有9个交点．选B ．11．【解析】2405020600⨯=．12．【解析】2()32f x x ax b '=-++， (0)0,0f b '=∴=，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x＝0或x ＝a (a <0)．∴S 阴影＝0a ⎰ [0－(－x 3＋ax 2)]d x ＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112，∴a ＝1-． 13．【解析】∵小指对的数是5+8n ，又∵2013=251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指． 14．【解析】设2,2a b 分别为椭圆的长轴长，虚轴长，（Ⅰ）当点P 位于短轴端点时，12F PF ∠ 最大，2221149b a -=-得5/7.e = 或设12,,PF t PF s ==22221242cos 1,2t s c b F PF ts ts+-∴∠==-222t s ts a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，2221149b a ∴-=-；（Ⅱ）取2AF 中点D ，由()220OA OF F A +⋅=得212,,OD AF AF AF ⊥∴⊥设12,,AF u AF v ==2222,4,5/7u v a u v c c a ∴+=+==得， 28668,,77777u v a u a v a u a v a -=====，或，34.43λ∴=或 15．【解析】由已知得BD AD BC ==，2()BC CD AC AC BC AC =⋅=-⋅，解得2AC =．16．【解析】由cos 2(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=⎧≥≤<⎨=⎩解得4ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩)4π． 17．【解答】(Ⅰ)由题意得0)sin sin (sin )sin (sin 222=-+-=⋅B A B C A ，即B A B A C sin sin sin sin sin 222-+=，由正弦定理得ab b a c -+=222，再由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C ，3,0ππ=∴<<C C . (Ⅱ))cos ,(cos )12cos2,(cos 2B A BA t s =-=+ ， ∴222222cos cos cos cos ()3s t A B A A π+=+=+-，41cos(2)1cos 2113cos 221sin(2)122426A A A A A ππ+-+=+=+=--+，67626,320ππππ<-<-∴<<A A 1sin(2)126A π∴-<-≤，所以21524s t ≤+<5s t ≤+<. 18．【解答】（Ⅰ）由已知条件得，即31p =，则． 19．N ，连结MN ，在PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点， ∴//MN AC ，MN ⊂面MDE ，又AC ⊄面MDE ，∴//AC 平面MDE ，（Ⅱ）解法一：设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a (,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(0,1,0)n = 设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a n BC x y a a ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，即：00ax ay ax ay ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22(22n = ，∴121212cos 21n n n n θ⋅===⨯⋅ ，所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°.解法二：延长CB 、DA 相交于G ，连接PG ，过点D 作DH ⊥PG ，垂足为H ，连结HC ， ∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ，而AD ⊥DC ，PD ∩AD =D ， ∴CD ⊥平面P AD ∴CD ⊥PG ，又CD ∩DH =D ， ∴PG ⊥平面CDH ，从而PG ⊥HC ，∴∠DHC 为平面P AD 与平面PBC 所成的锐二面角的平面角，在Rt =△PDG 中，22DG AD a ==，PD =，可以计算DH=，在Rt △CDH中，2tan 2CD aDHC DH ∠===，所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°.20．【解答】（Ⅰ）当1=n 时，21111102a a a s a +==⇒=或11a =．由于{a n } 是正项数列，所以11a =．当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a s s ---++=-=-，整理，得()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+-．由于{a n }是正项数列，∴11n n a a --=．∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．从而n a n =，当1n =时也满足．∴n a n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1)2n n b n=+，又1()n y x n +=∈+N 是),0(+∞上的下凸函数，根据定理，得 111121121212()(1),[(1)]n n n n n x x f x n x x n x nx x x x +++-'<=++-<-整理得，令12111,122(1)x x n n =+=++，整理得111)122(1)nn n n ⎡⎤⎛⎫+<+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦， 1n n b b +∴<，132n b b ∴≥=． 21．【解答】（Ⅰ） |QF|=3=2+2p， ∴p =2．（Ⅱ）∴抛物线方程为y x 42=，A(4,200x x -)， D(4,200x x )， B(4,211x x ) ，C(4,222x x )，2xy =' ，2212012124442BC x x x x xk x x -+∴===-，0212x x x =+∴， 2202202044,4ACx x x x k x x --==+22011010444AB x x x x k x x --==+， 201012020444AC AB x x x x x x x k k --+-∴+=+==，所以直线AC 和直线AB 的倾斜角互补， BAD CAD ∴∠=∠．（Ⅲ）设α=∠=∠CAD BAD ，则m =n =|AD|sin α，4)2.0(,22sin παπαα=∴∈=∴ ， 0204:x x x y l AC+=-∴ 即0204x x x y ++=，把:ACl 0204x x x y ++=与抛物线方程y x 42=联立得：0442002=---x x x x ， 202004x x x x ∴-=--，402+=∴x x ，同理可得401-=x x ， 00004,2,x x x x -<-<∴>48)4(4)42(2)24(221||||212000=-=-+==∴∆x x x AC AB S ABC ， 40=∴x ，(0,0),:2BC B l y x ∴∴=．22．【解答】（Ⅰ） ()xf x e a '=-，由已知，得(ln 2)21f a '=-=∴a ＝1．此时()1xf x e x =--，()1xf x e '=-，∴当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．∴当x ＝0时，f (x )取得极小值，该极小值即为最小值，∴f (x )min ＝f (0)＝0．（Ⅱ）记2()1xg x e x mx =---，()12xg x e mx '=--, 设()()12,()2,x x h x g x e mx h x e m ='=--'=-则①当12m ≤时，()0 (0)h x x '≥≥，()(0)0h x h ≥=， ()0 g x ∴'≥，()(0)0g x g ∴≥=，12m ∴≤时满足题意；②当12m >时，()=0h x '令，得ln 20x m =>,当[0,ln 2]x m ∈，()0h x '<，()h x 在此区间上是减函数，()(0)0h x h ≤=, ∴()g x 在此区间上递减， (ln 2)(0)0g m g ∴≤=不合题意. 综合得m 的取值范围为1(,]2-∞.法二：当0x ≥时，2()f x mx ≥，即21xe x mx --≥．①当0x =时，m R ∈；②当0x >时，21xe x mx --≥等价于21x e xm x--≤．记21()x e x g x x --= ，(0+)x ∈∞，，则3(2)2()x x e x g x x-++'=．记()(2)2x h x x e x =-++ (0+)x ∈∞，，则()(1)1x h x x e '=-+，当(0+)x ∈∞，时，''()0x h x xe =>，()h x ∴'在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h '>'=，()h x ∴在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，∴当(0+)x ∈∞，时，3()()0h x g x x '=>，从而21()x e xg x x--=在(0+)∞，上单调递增．由洛必达法则有，20000111lim ()lim lim lim 222x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---====．即当0x →时，1()2g x →，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12m ≤． m ∴的取值范围为1(,]2-∞.（Ⅲ）记2ln )(x x x h =，312ln ()xh x x-∴'=，令()0h x '=解得e x =，当e x =时函数)(x h 有最大值，且最大值为12e， 2ln 12e x x ∴≤，∴42ln 11(2)2e n n n n≤⋅≥,∴42222ln 1111()223ni i i e n=<⋅++⋅⋅⋅+∑，又n n n )1(132121113121222-+⋅⋅⋅+⨯+⨯<+⋅⋅⋅++111)111()3121()211(<-=--+⋅⋅⋅+-+-=nn n ，∴42222ln 11111()2232ni i i e n e=<++⋅⋅⋅+<∑，即42ln 12ni i i e =<∑.。

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1 湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学试题（理科）命题：袁小幼审稿：程金辉校对：陈晓洁本试卷满分共150分，考试时间120分钟．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“函数()()fxxR存在反函数”是“函数()fx在R上减为函数”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．过原点和3i在复平面内对应点的直线的倾斜角为（） A．6 B．6 C．23 D．56 3．不等式||yx≥表示的平面区域为（）

4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是（） A． B．2 C．3 D．23 5．右图实线是函数()(02)yfxxa≤≤的图象，它关于点A（a, a）对称. 如果它是一条总体密度曲线，则正数a的值为（） A．22 B．1 C．2 D．2 6．已知a、b、m、n、x、y均为正数，且ab，若a、m、b、x成等差数列，a、n、b、y成等比数列，则有（） A．m>n, x>y B．m>n, xy 2

7．正三棱锥V—ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是VA、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（）

A．0, B．23,3a C．23,6a D．21,2a 8．已知不等式|2|1axx，对任意[0,2]x恒成立，则a的取值范围为（） A．,15, B．,25, C．（1，5） D．（2，5） 9．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且12,55APABAC 则△ABP与△ABC的面积之比等于（） A．15 B．12 C．25 D．23 解析：方法1用特殊图形法，ABC是以A为直角的等腰三角形方法2过P分别作PEAC,PFAB,则AFPE是平行四边形，再有面积公式可得。 10．在如图所示的10块地上选出6块种植A1、A2、„、A6等六个不同品种的蔬菜，每块种植一种不同品种蔬菜，若A1、A2、A3必须横向相邻种在一起，A4、A5横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（） A．3120 B．3360 C．5160 D．5520 解析：解法1直接法33334(541513)52(2554)5AA5160 解法2 间接法3223223723724(7)52(6)55160AAAAAA 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上)

11．函数sinyx的定义域为[,]ab，值域为11,2，则ba的最小值为___________.

12．若双曲线2221613xyp的左焦点在抛物线22ypx的准线上，则p的值为__________. 13．某种基金今天的指数是2，以后每一天的指数都比上一天的指数增加0.2%，则100天以后这种基金的指数约是___________（精确到0.001）. 3

14．已知函数2()2(4)4,()fxxmxmgxmx，若存在一个实数x，使()fx与()gx均不是正数，则实数m的取值范围是________________. 解析：因为()fx开口向上，若存在x使()fx不是正数，则0，所以 2(4)42(2)0mm，所以4m或4m

当4m时，对称轴404mx，(0)40fm，而()gx的图像在第一、三象限，可知4m满足要求当4m时，对称轴404mx，(0)40fm，在同一坐标系中画出两个函数图像，可知一定不满足题意。（同类题）已知函数()fx222(4)1mxmx，()gxmx，若对于任一实数x，()fx

与()gx的值至少有一个为正数，求m的范围？ 15．对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如右图的方式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的数是__________，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为__________. 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos,cos,cosaCbBcA 成等差数列. （Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求22sincos()AAC的范围.

17．（本小题满分12分）在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。（Ⅰ）通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（Ⅱ）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为（所有取值为0，1，2，3．．．，10）分

别为1P、2P.根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1P 0 0 0 0 0.06 0.04 0.06 0.3 0.2 0.3 0.04 4

2P 0 0 0 0 0.04 0.05 0.05 0.2 0.32 0.32 0.02 ①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率； ②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．

18．（本小题满分12分）如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C的离心率为32，点A、B分别是椭

圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为65.5 （Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EPEQ，求EPQP

的最小值. 5

19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中,,60ABCDADDCCBaABC，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上. （Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论；（Ⅲ）求二面角B—EF—D的大小.

20．（本小题满分13分）已知函数||()2xfxx.

（Ⅰ）判断函数()fx在区间0,上的单调性并加以证明；（Ⅱ）求函数()fx的值域；（Ⅲ）如果关于x的方程3()fxkx有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.

21．（本小题满分14分）设函数()ln(1)fxx，2()(0)1xgxxx，数列{}na满足：

*111,()()2nnaaganN

（Ⅰ）当1x时，比较x与()fx的大小；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；

（Ⅲ）求证：1221ln2nnaaa． 6

湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）参考答案 1．B 2．D 3．A 4．A 5．A 6．B 7．B 8．B 9．C 10．C 11．23 12．4 13．2.442 14．4m≥ 15．9，15 16．（Ⅰ）2coscoscosbBaCcA，∴2sincossincossincossin()sinBBACCAACB， ∴1cos2B，∴.3B

（Ⅱ）222222sincos()2sincos()2sincos(2)33AACAAAAA 131cos2cos2sin222AAA2213

13sincos13sin2223AAA





20,2333AA，∴3sin2123A≤，

∴212sincos(),13.2AAC 17．（Ⅰ）从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有24C种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的

概率为 2444114CPA （Ⅱ）①由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P=（1-0.3）（1-0.32）=0.476至少有一人命中9环的概率为p=1-0.476=0.524 ②6.704.0103.092.083.0706.0604.0506.041E 75.702.01032.0932.082.0705.0605.0504.042E 所以2号射箭运动员的射箭水平高.

18．（Ⅰ）设椭圆方程为22221xyab，则有22365,25cabaab，∴a=6, b=3.∴椭圆C的方程为

221.369xy

（Ⅱ）22()||EPQPEPEPEQEPEP，设点00(,)Pxy，则2200436,xy ∴22220003||(3)(4)64EPxyx，∵066x≤≤，∴2||6EP≥，∴2min||6,EP∴EPQP

的最小

值为6. 19．（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵,,60ABCDADDCCBaABC， ∴四边形ABCD是等腰梯形，且30,120,DCADACDCB ∴90ACBDCBDCA，∴.ACBC 又∵平面ACFE平面ABCD，交线为AC，∴BC平面ACFE.

（Ⅱ）当33EMa时，AM平面BDF. 在梯形ABCD中，设ACBDN，连结FN，则:1:2.CNNA ∵33EMa而3EFACa，∴:1:2,EMFM∴MFAN

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