4.1平面向量的坐标表示

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第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示

个正交基底{e1，e2}，e1，e2分别是与x轴和y轴同方向
的单位向量，这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
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在坐标平面xOy内，任作一向量 AB ＝a，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对(a ，a )使得 a＝a1e1＋
1 2
a2e2，(a1，a2) 就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a ＝ (a1，a2)，显然，0＝ (0,0) ，e1＝(1,0)，e2＝ (0,1) ． (2)在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量 OA 所唯一确定．设A(x，y)，则 OA ＝xe1＋ ye2＝(x，y) ．
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第二节平面向量的基本定理及坐标表示
抓基础
明考向
教你一招我来演练
提能力
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[备考方向要明了]
考什么 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
1 n ∴m＝，n＝－1.∴m＝－4. 4
答案：－4
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1．平面向量基本定理的理解 (1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底．
(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，
并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的． (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算．
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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怎么考 1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点． 2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点

平面向量基本定理及坐标表示讲义

专题3:平面向量基本定理及坐标表示核心知识点1：平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．核心知识点2：平面向量的正交分解及坐标表示1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y i ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．【知识微点评】点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2. 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．2．区别：(1)书写不同，如a ＝(1,2)，A (1,2)．(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x ，y )在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x ，y )或向量(x ，y )．4．平面向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有下表：核心知识点3：平面向量的垂直与平行1．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2＝x 2y 1时，a ∥b ．【知识微点评】两个向量共线条件的三种表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当b ≠0时，a ＝λb ．这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2．即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). 数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 两个向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识微点评】1.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．2．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．3．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示模 |a |2＝x 21＋y 21或|a |＝x 21＋y 21 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2夹角cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(a ，b 为非零向量) 【知识微点评】向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．必考必会题型1：用基底表示向量【典型例题】在平行四边形ABCD 中，，且，则λ+μ＝．【题型强化】1.如图，在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若m ，则实数m 的值为．2.如图，已知，与的夹角为60°，与的夹角为30°，，用，表示，则．【名师点睛】用基底表示向量的两种基本方法：用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.必考必会题型2：平面向量基本定理在平面几何中的应用【典型例题】如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【题型强化】1.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M．设，．（1）试用向量表示；（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，其中λ，μ∈R．当EF与AD重合时，λ＝1，μ，此时5；当EF与BC重合时，λ，μ＝1，此时5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式5恒成立，请说明理由．2.如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交AB，AC两边于点P，Q，设，请求出x、y的关系式，并记y＝f（x）（1）求函数y＝f（x）的表达式；（2）设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，且S1＝kS2，求实数k的取值范围．（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）必考必会题型3：平面向量坐标运算【典型例题】已知向量，．那么向量的坐标是．【题型强化】1.已知A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||||，则点P的坐标为．2.如图所示，在平面直角坐标系中，（2，﹣3），则点D的坐标为．【名师点睛】利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路：1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数.必考必会题型4：向量共线、垂直的坐标表示的应用【典型例题】已知向量（1，3），（2，），若单位向量与2平行，则．【题型强化】1.已知向量（1，3），（﹣2，1），（3，2）．若向量与向量k共线，则实数k＝．2.已知2，2，与的夹角为45°，且λ与垂直，则实数λ＝．【名师点睛】根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路：借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助或(其中，)，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可.必考必会题型5：向量坐标运算与平面几何的交汇【典型例题】如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【题型强化】1.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．（1）试以，为基底表示，；（2）求证：A，G，C三点共线．2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，O为△ABC的外心，，求x，y的值．【名师点睛】利用向量解决平面几何问题的基本思路：利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.必考必会题型6：向量坐标运算与三角函数的交汇【典型例题】设向量．（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值．【题型强化】1.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（cos A，a﹣2b），（2c，1）且．（1）求角C；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2.已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量（2﹣2sin A，sin A+cos A）与向量（sin A﹣cos A，1+sin A）共线，且角A 为锐角．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数的值域．【名师点睛】解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路：先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，注意到，可以简化运算. 【课后巩固】 1．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．-3B ．-2C ．2D ．32．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC 3．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．34．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（） A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 5．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．126．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．07．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________.8．已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 9．已知()2,1a =--，(),1b λ=，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为______. 10．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,2m =，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 12．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，(,),(,)p a c b q b a c a =+=--，若//p q ，（1）求角C 的大小；（2）若()cos 23ab C c =，求11tan tan A B +的值．。

平面向量的基本定理及其坐标表示

19
所以有xy11－＋21＝＝21，和－2－1－y2＝x22＝1. 解得xy11＝＝40，和xy22＝＝0－2. 所以点C、D的坐标分别是(0，4)、(－2，0)，从而C→D＝(－2，－4)．
CHENLI
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[规律总结] 向量的起、终点坐标、向量坐标可“知二求一”，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程组求解．向量坐标的概念其实质是平面向量基本定理的具体运用．随着学习的深入对此应有一个深刻的认识．
第四章平面向量
CHENLI
1
第2课时平面向量的基本定理及其坐标表示
CHENLI
2
考纲传真： 1. 了解平面向量的基本定理及其意义． 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
CHENLI
3
请注意！平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和数形结合的思想方法．
CHENLI
15
思考：4. [2012·黄冈]在平行四边形ABCD
中，E、F分别是BC、CD的中点，DE
交AF于H，记 A→B 、 B→C 分别为a、b，
则A→H＝( )
A. 25a－45b
B. 25a＋45b
C. －25a＋45b
D. －25a－45b
答案：B
CHENLI
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解析：A→F＝b＋12a，D→E＝a－12b，设D→H＝λD→E，则 D→H＝λa－12λb，∴A→H＝A→D＋D→H＝λa＋(1－12λ)b，

平面向量的坐标表示(2)

（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，
求点P的坐标。解：（2）
P1
M
y P
P2
O
(1)
x
推广:已知 P1 ( x1 , y1 ) ，P2 ( x2 , y2 ) ，P是直线 P1P2上的一点,且P1P=λPP2(λ≠-1) 求P点的坐标. P1 P ( x x1 , y y1 ) 解:设P(x,y),则
有向线段 P 1P 2 的中点坐标公式
x1 x 2 x 2 y y1 y2 2
有向线段 P 1P 2 的定比分点坐标公式 x1 x 2 x 1 y y1 y 2 1
关于有向线段的定比分点含义:
P2 的任一直线l上两点 P1 、P2 ，在l上取不同于 P1 、点P，则P点与 P1 P2 的位置有哪几种情形？
同向. 并判断a与b是同向还是反向y=12/5, .
由(1)知:(±2)2=4,由(2)知:5y=12,请你想一
想若a=(x1,y1),b=(x2,y2).如果a∥b,则
一般地,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),
如果a∥b,那么 x1y2-x2y1=0 反过来,如果x1y2-x2y1=0
/ /
OB
( 2 . 5 , 3 ) 的坐标为_______________
例1.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 ( x , y ), ( x , y ) 1 1 2 2 （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，
M
y P P1
P2
x1 x2 y1 y2 ( , ) 2 2 x1 x2 y1 y2 , ) 所以，点P的坐标为 ( 2 2

平面向量基本定理及向量的坐标表示

第四章平面向量
人教 A 版数学
第四章平面向量
人教 A 版数学
第四章平面向量
重点难点
重点：①掌握平面向量基本定理，会进行向量的正交
分解
人教
A
②理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运
版数
学
算
难点：向量的正交分解与平面向量基本定理
第四章平面向量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识归纳
1．平面向量基本定理
人教
A
与b共线(平行)．
版数
学
(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则向量
a∥b.
(3)对于向量a，b，若|a·b|＝±|a|·|b|，则a与b共线．
第四章平面向量
人教 A 版数学
第四章平面向量
[例 1] 已知 A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且C→M＝人
为 l 外一点，点 P 在直线 l 上的充要条件是O→P＝(1－t)O→A＋
tO→B (t 为参数)．
(4)O→M＝12(O→A＋O→B)⇔M 是线段 AB 的中点．
第四章平面向量
2．已知两个非零向量 a 与 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
＝θ 叫做 a 与 b 的夹角．(0°≤θ≤180°)
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)非零向量 a 的单位向量为±|aa|.
第四章平面向量
误区警示
已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要
搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标．
本节易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误为向
人教

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。

平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。

一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。

2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。

设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。

设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。

在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。

根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。

对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。

设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。

平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。

平面向量的坐标表示

例4：如图，OA，OB不共线，AP tAB（t R) 用OA, OB表示OP。
题型三：综合创新已知两点A（3， 1 ），B（ 1， 3）。若点 C满足OC OA OB，其中， R，
D 且 1，则点C的轨迹方程为（）
例（ 4 2002 高考） (1)平面直角坐标系中， O为坐标原点
A；（x 1 ）（y 2） 5
2 2
B； 3 x 2 y 11 0 C； 2x y 0 D；x 2 y 5 0
(3)欲使ke1 e2与e1 ke2共线，试确定实数 k的值

五、两个重要定理 1、向量共线充要条件向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得
b a
定理的应用：（ 1）. 证明向量共线（ 2）. 证明三点共线: AB=λBC （3）. 证明两直线平行: AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
复习目标： 1．了解平面向量基本定理，了解平面向量的坐标概念， 2、会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；
1 : 平面向量的坐标表示向量（x，y）向量OA 点A（x，y）。
2 : 平面向量的坐标运算设a （x1，y1），b （x2，y2） 1 则（）a b （x1 x2，y1 y2）， -- （2）a b （x1 x2，y1 y2），（3）a （x1，y1）（4）设A（x1，y1），B（x2，y2）则AB （x2，y2）（x1，y1）（x2 x1，y2 y1）

平面向量的基本定理及坐标表示

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1 而CM OM OC (m )a nb, CB OB OC 4 1 m 1 1 n 4 b a a b,因为C､M､B三点共线, 所以 , 1 4 4 1 4 即4m n 1. 1 m 1 m 2 n 1 3 7 由 , 解得 .所以OM a b. 7 7 4m n 1 n 3 7
第21页共 44 页
同理可求N 9, 2 ,因此MN (9, 18). 所求M 0, 20 , N 9, 2 , MN (9, 18).
第22页共 44 页
[反思感悟]由A､B､C三点坐标易求得 CA 、 CB坐标,再根据向
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求k; (4)若(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
第25页共 44 页
[分析](1)直接用向量加减法的坐标运算公式. (2)借助于向量相等的条件,建立关于m,n的方程组.
(3)利用向量共线的充要条件,建立关于实数k的充要条件.
答案:B
第10页共 44 页
2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于() A.(-5,14) B.(5,14)
C.(7,4)
D.(5,9)
解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14). 答案:A
第11页共 44 页
3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=() A.(-15,12) B.0

平面向量的坐标公式大全

平面向量的坐标公式大全若向量a=x，y，向量b=m，n，则a乘以b=xm+yn，a+b=x+m，y+n。

在直角坐标系内，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

2、减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。

-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。

3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。

当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。

扩展资料：物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。

18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。

同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。

它始于莱布尼兹的位置几何。

现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。

18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。

哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。

随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

平面向量基本原理及向量坐标表示

平面向量基本原理及向量坐标表示基本原理平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量。

它由两个有序实数组成，分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

平面向量的起点可以选择在原点，终点则可以是任意一点。

平面向量有以下基本性质：- 大小：平面向量的大小是它的模，可以通过勾股定理计算得到。

- 方向：平面向量的方向可以用夹角来表示，夹角是向量与x 轴正方向的夹角。

向量坐标表示平面向量可以用向量坐标来表示。

向量坐标使用有序实数对来表示向量在x轴和y轴上的分量。

假设平面向量为A，它的向量坐标为(x, y)。

其中x表示A在x 轴上的分量，y表示A在y轴上的分量。

向量的基本运算平面向量可以进行加法和乘法运算。

向量加法向量加法即将两个向量相加，得到一个新的向量。

具体步骤如下：1. 将第一个向量的x分量与第二个向量的x分量相加，得到新向量的x分量。

2. 将第一个向量的y分量与第二个向量的y分量相加，得到新向量的y分量。

3. 得到新向量的向量坐标。

向量乘法向量乘法有两种形式：数量乘法和点乘法。

数量乘法即将向量的分量与一个实数相乘。

具体步骤如下：1. 将向量的x分量与实数相乘，得到新向量的x分量。

2. 将向量的y分量与实数相乘，得到新向量的y分量。

3. 得到新向量的向量坐标。

点乘法即将两个向量的对应分量相乘，再将结果相加。

具体步骤如下：1. 将第一个向量的x分量与第二个向量的x分量相乘。

2. 将第一个向量的y分量与第二个向量的y分量相乘。

3. 将两个乘积相加，得到点乘结果。

总结平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量。

它可以通过向量坐标来表示，并进行加法和乘法运算。

向量的运算可以帮助我们解决许多几何和物理问题。

对于更复杂的向量运算和应用，我们可以进一步研究和探索。

以上是平面向量基本原理及向量坐标表示的内容。

希望能对您有所帮助！。

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备课记录
主备人：钟金平
课题：4.1平面向量的坐标表示本课第课时本学期第课时
集体备课记录二次备课记录
学科德育设计育人为本,德育为先

教学目标 1. 掌握平面向量的坐标的定义及其坐标的表示 2. 掌握平面向量的坐标运算
教材重点难点学习重点平面向量的坐标运算．学习难点对平面向量坐标运算的理解

教学方法设计

教学过
程（含
板书设
计）

4.1平面向量的坐标表示

第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

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